Método directo de diseño por peso mínimo de secciones

de concreto reforzado en flexión

Diego Miramontes De León1

1 Programa de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Zacatecas, e-mail:

diego.miramontes@gmail.com, web: http://www.uaz.edu.mx/dmiram

Profesor de carrera desde 1983, Ingeniero Civil por la Universidad Autónoma de Zacatecas, Maestría en

Construcción de estructuras por la Universidad Autónoma del Estado de México y Doctorado por el Instituto

Nacional de Ciencias Aplicadas de Lyon, Fr. Actualmente profesor y subcoordinador del programa de doctorado

interinstitucional en ingeniería civil del CUMex.

RESUMEN

En este trabajo, se replantea el procedimiento de diseño para elementos de concreto presforzado propuesto por

Khachaturian y Gurfinkel al caso del concreto reforzado. Además de ser un método de diseño óptimo y directo,

resultan expresiones simples cuando se utilizan hipótesis comunes como el bloque rectangular del concreto a

compresión y comportamiento elastoplástico del acero, las cuales sugieren su programación. El procedimiento

propuesto facilita el diseño de secciones rectangulares T o I en donde se pre-establecerá el nivel de deformación

máxima del acero a tensión, además de elegir, si la sección se quiere con simple o doble refuerzo. El enfoque

permite adaptar diferentes reglamentos de diseño para cumplir con los requisitos de seguridad impuestos,

obteniéndose expresiones particulares para cada caso. Se presentan al final del trabajo, varios ejemplos para el

reglamento de construcciones del Distrito Federal en donde se comparan los resultados entre el método propuesto y

el método convencional.

1. INTRODUCCIÓN

En el diseño de secciones de concreto reforzado sujetas a flexión, es común proponer las

dimensiones de la sección para posteriormente calcular el acero que se requiere para soportar el

momento de diseño. Una vez calculado este acero, es necesario verificar que el acero requerido

esté dentro de los límites definidos por el porcentaje de acero mínimo y máximo. También es

común que sólo se verifique la fluencia del acero a tensión o compresión comparando la

deformación unitaria que alcanza el acero. Si esto ocurre, la sección propuesta es correcta, en

caso contrario, se modifican las dimensiones propuestas.

El procedimiento anterior, provoca una deformación en el refuerzo, que puede no estar

previamente definida, por lo que se debe verificar que sea aceptable.

Un mejor intento de una deformación predefinida, es el establecer un valor del porcentaje de

refuerzo por usar, y dejar como variable alguna dimensión de la sección o la relación entre las

mismas.

Para una sección rectangular, el procedimiento descrito es relativamente simple, sin embargo, si

se pretende diseñar una sección T ó I, las relaciones entre las dimensiones de la sección, pueden

complicar la solución que determinará la cantidad de refuerzo que requiere tal sección.

En el presente trabajo, se describe un procedimiento de diseño directo, en el cual, el peso propio

de la sección está implícito en las ecuaciones de diseño, lo que provoca que la sección tenga un

peso mínimo de acuerdo a una forma preseleccionada (Khachaturian y Gurfinkel, 1979) . Es

decir, el método propuesto requiere elegir entre una sección rectangular, T o I y además, escoger

entre simplemente o doblemente armada y además, proponer una deformación unitaria deseada.

2. FORMULACIÓN ADIMENSIONAL

En este procedimiento se pueden determinar las dimensiones de la sección y el refuerzo para un

valor predefinido de la deformación en el refuerzo a tensión, requiriéndose proponer un valor del

peralte de la sección, y las relaciones geométricas que definen la forma de la sección. También

se requiere conocer el valor del momento por carga viva, muerta, sobre impuesta, impacto etc. Se

podrá observar que para cada valor en la deformación unitaria del refuerzo a tensión, se obtendrá

una solución (Miramontes, 1989).

El planteamiento propuesto se basa en las suposiciones básicas de la resistencia a flexión de

elementos de concreto reforzado, que se enlistan a continuación :

1. La distribución de la deformación en el concreto, varía linealmente con la profundidad al eje

neutro.

2. La deformación del acero es igual a la deformación en el concreto a nivel del refuerzo.

3. Los diagramas esfuerzo-deformación de los materiales son conocidos.

4. La falla ocurre cuando la deformación en el concreto en la fibra a compresión máxima alcanza

el valor de

5. La deformación promedio en una barra de acero no es notablemente diferente a la deformación

máxima de esa barra.

Las suposiciones anteriores pueden expresarse en las siguientes ecuaciones :

ccdus /)( 1)

)(øis ii ssf 2)

Es decir, el esfuerzo está en función de la deformación, donde representa la función de variación.

u

ysssu fAfAdfcb

0

')()/( 3)

cdfAdcfAdfbcMr ysssu

u

)'()(/ '

0

22

4)

La ecuación (1) incluye la aplicación de las suposiciones 1, 2 y 5, considerando implícito el

principio de Bernoulli y el de adherencia.

La ecuación (2) implica la aplicación del diagrama esfuerzo-deformación del acero, mientras que

la ecuación (3) (condición de equilibrio) y la ecuación (4) (suma de momentos) implican ambas,

la aplicación del diagrama esfuerzo-deformación del concreto, así como la aplicación de la

suposición 4.

La solución simultánea de las ecuaciones (1) a (4) es aplicable a secciones rectangulares, o

secciones T o I, donde la profundidad del eje neutro (c) no debe ser mayor del espesor del patín

superior (t).

Cuando la profundidad del eje neutro es mayor que el espesor del patín a compresión de la

sección, las ecuaciones (3) y (4), pueden expresarse como la suma de los volúmenes de

compresión, resultantes sobre el alma y el patín, de la siguiente forma :

ctc

ctcysssuu

u u

u

fAfAdfbcdfcb/

0 /

'')(//'

3´)

u

u

u

ddfAcdfAdfbcdfcbMr ssys

ctc

uu

)'()(/)(/' ''/

0

2222 4´)

Donde los primeros términos de las dos ecuaciones corresponden a la compresión y momento

que se presentan sobre el alma de ancho b '.

Si la ecuación de equilibrio (en unidades de fuerza) se divide por ( '

cbdf ), se transforma en una

expresión adimensional quedando :

'0 '

'/c

y

c

s

uf

fp

f

fpdffcdc

u

5)

De igual forma la ecuación de momentos puede dividirse entre ( '2

cfbd ) para expresarla

adimensionalmente, resultando :

u

dddcf

fpdc

f

fpdf

f

dc

bdf

MrQ

c

s

c

y

ucc

0 ''2'

2

2')/'()/(')/1()(

)/( 6)

Para el caso de secciones con patín las ecuaciones (5) y (6) se pueden expresar como :

'/)( '

/)(

0 ''')(

)/)(/'1()(

)/)(/'(

cctc

c

ctc

cucu f

fyp

f

fspdf

f

dcbbdf

f

dcbb u

u

u

5´)

)/'/(')/1()()/)(/'1(

)()/)(/'(

'/)( '

/)(

0 2'

2

2'

2

'2dddc

f

fpdc

f

fpdf

f

dcbbdf

f

dcbb

fbd

MrQ

c

s

ctcc

yctc

ucucc

u

u

u

6’)

El momento último provocado por las cargas aplicadas al elemento, se puede expresar como la

suma del momento debido al peso propio y el correspondiente a las cargas sobre impuestas,

multiplicadas por el factor de carga como :

vvmmu MFcMFcM 7)

Para efecto de evitar una falla frágil, se requiere que al menos :

yu ss 8)

El requisito mínimo de diseño consistirá en que Mr = Mu, donde el momento debido al peso

propio, se puede expresar como :

FALM m /2 9)

En donde: = peso volumétrico del concreto.

A = área de la sección transversal.

L = claro.

F = Factor que define las condiciones de apoyo. F es igual a 8 para una viga

simplemente apoyada con carga uniforme.

Entonces se puede plantear :

vvmmc MFcMFcfFrQbd '2 10)

Ya que se pretende aplicar un diseño adimensional, se requerirá definir un factor de forma, que

represente la concentración del área de la sección alrededor del eje neutro, definido como :

A/bhø 11)

Entonces øh/Ab , que sustituido en (10) y despejando mM queda :

v

m

v

m

c

m MFc

Fc

Fc

fFrQAdFALM

øh/

'2

2 12)

Ahora despejando A :

F

L

Fc

fFrQd

MFc

Fc

A

m

c

v

m

v

2'2

øh

13)

La ecuación (13) representa el área requerida de concreto, que está en función del momento por

carga viva Mv (más la muerta sobre impuesta en caso de existir), del factor de forma (que

indica cómo se distribuirá el área de la sección) y del parámetro adimensional Q (momento

resistente), que a su vez está en función de la relación '

c

y

f

fp (índice de refuerzo).

En la ecuación (5) y (6) (o 5' y 6') aparece la relación c/d, que del diagrama de deformaciones

unitarias (Figura 1) puede verse que es igual a :

us

u

d

c

14)

Figura 1.- Deformaciones en una sección de la viga y esfuerzo resultantes.

Si u para el concreto es 0.003 y al menos ys para el acero puede definirse la máxima

relación de c/d como :

003.0

003.0

max

yd

c

15)

La ecuación (15) concuerda con la definición de falla balanceada en concreto reforzado

(González y Robles, 2000). El valor de d deberá ser lo más cercano posible al peralte h, pero

asegurando un recubrimiento adecuado para el refuerzo inferior en tensión.

Asi

As

u

s

i

b

Fsi

Fs

Cc

c

fc

=f(c

‏(

=As

f(s

) =As

fs

d

La relación entre los factores de forma , y los parámetros geométricos de una sección (Figura 2)

se puede expresar por :

h

t

b

bk 21

'1

h

t ø 16)

Figure 2.- Geometría de secciones transversales

Donde los diferentes valores de k, t, o b'/b pueden definir una sección rectangular, una sección T,

o una I simétrica o asimétrica.

El procedimiento de diseño requiere que sean conocidos el claro L, la carga viva Wv, los factores

de carga y resistencia FCv, FCm y Fr, diagramas de esfuerzo-deformación (que para el concreto

puede usarse el bloque rectangular equivalente), y la condición de ductilidad s, de modo que

para un valor propuesto de h, A se determinará como sigue :

1. Asignar un valor a d lo más próximo a h, pero previendo el recubrimiento.

2. Proponer la forma de la sección por medio de b'/b, t/h y K, para calcular . 3. Calcular la relación c/d, de acuerdo a la condición de ductilidad.

4. Calcular p fy/f´c (a partir de la condición de Equilibrio).

5. Calcular Q y sustituirlo en la expresión de A.

6. Con las relaciones de forma, determinar la sección definitiva.

7. Obtener el área de acero a partir del paso 4.

Puede resultar muy cómodo el utilizar un bloque rectangular equivalente en lugar del volumen

parabólico, que para este caso, se modificarán las expresiones (5) y (6) (o 5' y 6' según

corresponda) y dependiendo del código de diseño por aplicar.

3. ADAPTACIÓN A DIFERENTES REGLAMENTOS DE DISEÑO

3.1 Reglamento de construcciones del Departamento del Distrito Federal

El procedimiento descrito antes, puede adaptarse a diferentes reglamentos de diseño, como el del

Instituto americano del concreto (ACI por sus siglas en inglés), el Reglamento de construcciones

del Departamento del Distrito Federal (RCDDF, 2004) o el de Reglas técnicas de concepción y

cálculo de obras y construcciones en concreto armado por estados límite (BAEL, 2008), entre

otros. Si además, se utiliza el bloque rectangular equivalente a compresión para el concreto, las

expresiones resultantes son más simples que las obtenidas en el apartado anterior. Ya que el

procedimiento general se aplicará a diferentes reglamentos, en lo que sigue se usará la misma

numeración para las ecuaciones de uno u otro.

Aplicando pues el procedimiento adimensional descrito en 2 para las Normas Técnicas

Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal se tiene que el

equilibrio de fuerzas está dado por la ecuación (3) y se transforma ahora en :

ysssc fAfAabf '''

Si se toma en cuenta que a=0.8c y para cambiarlo a su forma adimensional debe dividirse por

bdf c

'' resultando en :

''''')/(8.0

c

y

c

s

f

fp

f

fpdc 17)

Para el momento flexionante en forma adimensional resulta :

)/8.01()/'/8.0(')/(32.0''

2

2''dc

f

fpdddc

f

fpdc

bdf

MrQ

c

y

c

s

c

18)

Para el caso de secciones con patines, si la profundidad del bloque rectangular a compresión

rebasa el espesor del patín, las ecuaciones (17) y (18) se transforman en :

''''')/')(/8.0()/'1(/

c

y

c

s

f

fp

f

fpbbdcbbdt 17´)

El momento flexionante, en forma adimensional es :

)/8.01()/'/8.0(')/5.0()/8.0)(/'1(/''''2''

dcf

fpdddc

f

fpdtdcbbdt

bdf

MrQ

c

s

c

s

c

18´)

El área de la sección transversal, puede expresarse en función de las relaciones geométricas por :

ø)/21(/'1/ bhhtbbkhtbhA 19)

Ya que se quiere imponer una valor de la deformación del acero a tensión s (condición de

ductilidad), la relación (c/d) será siempre conocida, por lo tanto, la profundidad del eje netro c

también se conocerá.

3.2 Reglamento europeo para concreto armado por estados límite BAEL

Para el caso del BAEL, el equilibrio de fuerzas se muestra en la Figura 3. En lo que sigue, yu quien es

la profundidad del eje neutro a partir de la fibra más comprimida, se nombrará c, 0.8yu, quien es

la profundidad del bloque a compresión, se nombrará a y para el esfuerzo del concreto se usará

f''c para dejar como válidos los coeficientes correspodientes a , y yb.

Figure 3.- Bloque rectangular del concreto comprimido

Con las adaptaciones anteriores, todas las ecuaciones presentadas en 3.1 también son válidas

para el reglamento europeo.

4. VALIDACIÓN

Se compararán las geometrías resultantes para diferentes secciones transversales utilizando el

método convencional de diseño y el propuesto en este trabajo. Ya que en el método

convencional, la deformación del acero a máxima tensión no es definida a priori, será necesario

utilizar la geometría obtenida a fin de comparar los resultados del porcentaje de refuerzo. Es

importante notar que para el acero se usará una ley elasto-plástica perfecta, lo que hace el

procedimiento más simple. En los ejemplos que siguen, se usará un coeficiente de seguridad para

las cargas permanentes tales como la carga viva y peso propio de 1.4. Para un caso dado, deberá

consultarse el apéndice A.3.1 del BAEL, las NTC-RCDDF, el ACI o el reglamento que se

aplique. Debido a la similitud planteada entre los volúmenes de compresión de al menos dos

reglamentos, se considera que los ejemplos muestran resultados similares para los apartados 3.1

y 3.2.

4.1 Viga simplemente apoyada con refuerzo simple a tensión

Se diseñará, por el método propuesto, una viga simplemente apoyada en la que se desea que las

cargas aplicadas uniformemente distribuidas, se sostengan con una sección rectangular y

simplemente reforzada. El peralte total de la sección será de 60cm, con una deformación deseada

en el acero a tensión de 0.003, una resistencia del concreto de ''

cf = 250 kg/cm2 (24.517Mpa) y

una longitud de la viga de 10m.

Figura 4. Viga simplemente apoyada con refuerzo simple

Los datos del problema son :

''

cf = 250 kg/cm2

(24.517Mpa), h = 60cm, d = 55cm, s= 0.003 , L = 10m, Wv = 2 T/m, ø = 1

(rectangular)

4.2 Método propuesto

El momento último debido a la carga viva es :

8

)10(2 2

Mu = 25 T-m

Para una deformación del acero a tensión de 0.003>y, se tiene :

5.0003.0003.0

003.0

d

c

De la condición de equilibrio de fuerzas :

4.0)5.0(8.08.0 d

cq

Ya que : 22)55(4.0 qda

donde a es la profundidad del bloque equivalente.

El momento adimensional es :

32.05.08.014.0)5.0(32.08.0132.0 2

2

d

cq

d

cQ

Por lo tanto, el área necesaria de la sección transversal de concreto es :

65.1708

8

)1000(0024.0

)60)(1(4.1

)170()55)(32.0(9.0

250000022

A cm2

Para una sección rectangular =1, entonces :

47.28)60(1

65.1708

h

Ab

cm

El porcentaje de acero está dado por :

0162.04200

)170(4.0''

y

c

f

qfp

El acero necesario a tensión es :

237.25)55)(47.28(0162.0 cmpbdAs

Verificando el equilibrio interno de fuerzas se tiene :

00.554,106)4200(37.25 ys fAT

80.477,106)22)(47.28(170'' bafC c

4.3 Método convencional

Para diseñar el refuerzo por este método, se requiere incluir el peso propio de la sección, por lo

que, tomando el peso volumétrico del concreto como :

3/2400 cmkgc (23.535kN/cm

3)

El ancho de la sección de acuerdo al método propuesto fue de 28.47cm. Por lo tanto el área de la

sección transversal resulta en :

220.1708)60(47.28 cmbhA

En metros cuadrados es de :

21708.0000,10

2.708,1m

El peso de la viga por unidad de longitud es mT /41.0)4.2(1708.0 , por lo que la carga última

es :

mTWD /374.3)4.1(41.2 (33.088kN/m)

Por lo anterior, el momento de diseño es :

cmkgmtlW

M DD 500,217'4175.42

8

)10(374.3

8

22

(41,359.55kN-cm)

Con este valor es posible calcular el índice de refuerzo :

4.0

)55)(47.28(17045.0

00.500,217'411

''45.011

22

cbdf

Muq

Y con lo anterior, se obtiene el porcentaje de acero a tensión necesario :

01619.04200

1704.0

''

fy

cfqp

El área de acero es :

237.25)55)(47.28(0162.0 cmpbdAs

Comparando los resultados entre ambos métodos, se tienen los mismos resultados (Tabla 1)

Tabla 1 : Comparación de resultados entre ambos métodos Parámetro Método propuesto Método convencional

Índice de refuerzo, q 0.4 0.4

Ancho de la sección, b (cm) 28.47 28.47

Refuerzo a tensión, As (cm2) 25.37 25.37

En el método convencional, la deformación del acero no es conocida. Simplemente se admite

que el acero alcanza al menos la deformación de fluencia. Para verificar eso, es usual comparar

el porcentaje de acero p dado por la condición de falla balanceda imponiendo c=0.003 y al

mismo tiempo s=y=fs/Es (15).

4.4 Viga simplemente apoyada con sección T y simple refuerzo

En este ejemplo se desea soportar la carga viva uniformemente distribuida con una sección T y

con refuerzo simple. El peralte total de la sección será de 35cm, la deformación impuesta en el

acero a tensión será de 0.005 y la resistencia del concreto de '

cf =200 kg/cm2 (19.613Mpa). La

longitud de la viga será de 7m y seguirá siendo simplemente apoyada.

Figura 5. Viga T simplemente apoyada y con refuerzo simple a tensión.

4.5 Método propuesto

Los datos para este caso, incluyendo las relaciones de forma son :

'

cf = 200 kg/cm2 (19.613Mpa), h = 35cm, d = 30cm, L = 7m,

Wv = 1 T/m, t/h = 0.2, b’/b =0.2, s = 0.005

mTM v 125.68

)7(1 2

32.035

)7(212.02.0

t = 0.2 (35) = 7cm

Imponiendo la deformación deseada en el acero :

375.0003.0005.0

003.0

d

c 25.11)30(375.0 c 9)25.11(8.0 a cm

a t, por lo tanto, la sección es definitivamente T. Calculando ahora el índice de refuerzo y el

momento adimensional y el área de la sección transversal requerida :

252.02.0375.08.02.0124.0 q

d

cq

d

t

d

c

b

b

d

tQ 8.015.08.0

'1

211.0375.08.01252.024.05.0375.08.0)2.01(24.0 Q

67.458

8

)700(0024.0

)35)(32.0(4.1

)136()30)(211.0(9.0

00.500,61222

A cm2

A partir del factor de forma, se calculan ahora las dimensiones de la sección :

cmh

Ab 95.40

)35(32.0

67.458

cmbb 19.8)95.40(2.02.0'

A partir del índice de refuerzo previamente calculado, se obtiene el porcentaje de refuerzo y con

ello, el área de acero requerida :

00816.04200

)136(252.0'

y

c

f

qfp

202.10)30)(95.40(00816.0 cmpbdAs

Verificando el equilibrio :

15.103,42)4200(02.10 ys fAT

08.212,41)79(19.8)7)(95.40(136)(''' tabbtfC c

4.6 Método convencional

En este caso, debe de tomarse el ancho calculado con el método propuesto, a fin de comparar los

resultados del refuerzo necesario para ambos métodos, es decir b=40.95cm. De los datos

anteriores, el peralte total es de 35cm y la resistencia del concreto de 200 kg/cm2 (19.613Mpa).

Nuevamente el peso volumétrico del concreto se tomará como :

3/2400 cmkgc (23.535kN/cm3)

El área de la sección transversal con las dimensiones obtenidas es :

297.515)735(19.8)95.40(7)(' cmthbtbA

En metros cuadrados se tiene : 2051597.0000,10

97.515m

La carga debida al peso propio resulta en : wm= mT /1238.0)4.2(051597.0 con lo que la carga

de diseño y el momento último son :

mTWD /57.1)4.1(1238.1

cmkgmTlW

M DD 63.686,96363.9

8

)7(57.1

8

22

Con este valor, se calcula ahora el índice de refuerzo :

243.0

)30)(95.40(13645.0

63.686,96311

''45.011

22

cbdf

Muq

La distancia al eje neutro se puede calcular como qda =7.29cm t, en consecuencia, sí se trata

de una sección T. El acero que equilibra la fuerza de compresión dada por el patín es :

y

fc

sff

tbfA

''

= 243.74200

)7)(19.895.40(136cm

Y el momento resistente es :

cmkgt

dfAFM ysfRf

35.822,743)5.330)(4200)(43.7(9.0

2

El momento que queda por equilibrar es :

M’ = MD – Mf = 219,864.28 kg-cm

Con este momento se calcula el índice de refuerzo necesario y con ello el porcentaje de acero :

284.0

)30)(19.8(13645.0

28.864,21911

45.011

22''

'

bdf

Mq

c

0092.0''

y

c

f

fqp , Por lo tanto el refuerzo del alma es As = 2.26cm

2

El acero total en la sección es As = 9.69cm

2. Nuevamente se comparan los resultados entre ambos

métodos en la Tabla 2.

Tabla 2 : Comparación de resultados entre ambos métodos Parámetro Método propuesto Método convencional

Índice de refuerzo, q 0.252 0.244

Ancho de la sección, b (cm) 40.95 40.95

Refuerzo a tensión, As (cm2) 10.02 9.69

4.7 Viga simplemente apoyada con sección T y doble refuerzo por el método propuesto

A diferencia de los ejemplos anteriores, ahora se desea que en la viga haya doble refuerzo para

soportar las cargas aplicadas. El peralte total de la sección será de 45cm, la deformación en el

acero a tensión será de 0.004, la resistencia del concreto ''

cf =250 kg/cm2 (24.517Mpa) y la

longitud de la viga será de 8m (Figura 6).

Figura 6. Viga simplemente apoyada con sección T y doble refuerzo

Los datos completos para el problema, en donde se incluyen las relaciones de forma, así como el

porcentaje de refuerzo que se quiere a compresión, son :

''

cf = 250 kg/cm2 (24.517Mpa), h = 45 cm, d = 40 cm, L = 8 m, Wu = 2 T/m, b’/b =0.2,

s = 0.004, t/h = 0.3, d’ = 5 cm, q’ = 0.3q, d’/d = 0.125 El momento último debido a la carga viva, el espesor del patin y el factor de forma son :

mTMu 00.168

)8(2 2

, t = 0.3 (45) = 13.5cm, 38.0)3(.212.03.0 ,

Se impone ahora la deformación deseada en el acero a tensión, con lo que se calcula la

profundidad del eje neutro :

429.0003.0004.0

003.0

d

c 16.17)40(429.0 c

La profundidad del bloque a compresión es :

73.13)16.17(8.0 a

En el método propuesto, no es necesario verificar que la sección es T, pero se muestra aquí como

comprobación. Ahora se calculará el índice del refuerzo a tensión, recordando que el índice a

compresión q’ se impuso como una fracción de q :

qq 3.0' qqq 3.0339.03.02.0429.08.02.013375.0

339.03.0 qq

339.07.0 q 484.07.0

339.0q 145.0)484.0(3.03.0' qq

Ahora se calcula el momento adimensional :

d

cq

d

d

d

cq

d

t

d

c

b

b

d

tQ 8.01

'8.0'5.08.0

'1

3966.0429.0(8.01484.0

125.0)429.0(8.0145.0)337.0(5.0)429.0(8.0)2.01(337.0

Q

El área de la sección transversal es :

70.413

8

)800(0024.0

)45)(38.0(4.1

)170()40)(3966.0(9.0

00.500,61222

A cm2

Con el área conocida, se calculan las dimensiones de la sección a partir de las relaciones

geométricas :

cmh

Ab 19.24

)45(38.0

70.413

, cmbb 26.7)19.24(3.03.0'

Con los índices de refuerzo y con las dimensiones de la sección, se obtienen los porcentajes y

cantidades de acero requeridas :

0196.04200

)170(484.0''

fy

qfp c , 0058.0

4200

170145.0'

p

296.18)40)(19.24(0196.0 cmpbdAs , 269.5)40)(19.24(0058.0'' cmbdpsA

Sólo como última comprobación, el equilibrio de fuerzas internas es :

kgAsfyT 00.632,79)4200(96.18

kgC 92.697,79)4200(69.5)5.1373.13(26.7)50.13)(19.24(170

5. PROGRAMACIÓN

Ya que el método propuesto es directo, la programación de los siete pasos descritos en la

formulación adimensional resulta sencilla. Un ejemplo de esta programación se muestra en la

Figura 7. Es conveniente recordar que no se requieren procedimientos iterativos. Las diferentes

opciones de forma de la sección transversal, simple o doble refuerzo, más los datos propios de un

problema dado deben aparecer en el menú del programa (Castañón, 2009).

Figura 7. Ejemplo de salida del método propuesto programado

6. CONCLUSIONES

Se propuso un método de diseño directo para secciones de concreto reforzado sujetas a flexión.

Las dimensiones de la sección transversal quedan definidas por la geometría deseada, entre ellas,

rectangular, T o I, además de definir, desde el inicio del diseño, si se quiere que sea simplemente

armada o con refuerzo a compresión. Otro aspecto importante del método, es que la deformación

del acero a tensión se impone a un valor deseado, por lo general, mayor al de fluencia, con lo que

se garantiza la ductilidad de la viga.

El procedimiento de diseño es directo y puede adaptarse a diferentes reglamentos. En este trabajo

se mostró la posibilidad de adaptarlo a dos de ellos, en donde se consideraron con valor unitario,

la mayoría de los factores que se intervienen en el reglamento BAEL para conservar la

generalidad de su aplicación.

Por último debe agregarse que el procedimiento propuesto es directo y resulta adecuado para su

programación, siendo ésta muy simple, ya que no requiere de aproximaciones.

7. BIBLIOGRAFÍA

-Castañón Romo N, (2009).- Programación del método de diseño a flexión por ductilidad en

secciones de concreto reforzado. Tesis de Maestría en Ingeniería, Fac. Ingeniería, UAZ.

-González Cuevas O & Robles F.V. (2000)- Aspectos fundamentales del concreto reforzado.-

Ed. Limusa. 675p.

-Khachaturian N., & Gurfinkel, G., (1979).- Concreto Presforzado. Ed. Diana, México. 506p.

-Miramontes De León D. (1989).- Diseño adimensional por ductilidad en elementos de concreto

a flexión, XV Congreso de la Academia Nacional de Ingeniería, A.C. Zacatecas, México.

-RCDDF, Gaceta Oficial del Distrito Fedral. (2004.)- Tomo 1, 103 Bis.- Normas Técnicas

Complementarias del Reglamento de Construcciones del Departamento del Distrito Federal. pp

88-194.

-Règles BAEL 91 (DTU P18-702) (2008) : Règles techniques de conception et de calcul des

ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites + Amendement A1

(février 2000), Edition S153-Septembre 2008.