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12. Métodos energéticos para cálculo de deformaciones:::

Trabajo: El trabajo hecho por una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia que se mueve al aplicar la misma. Bajo cargas aplicadas, la estructura se deforma y sus fibras desarrollarán esfuerzos y deflexiones. El producto de las fuerzas internas por los desplazamientos es el trabajo interno del sistema.

Trabajo externo: Si una estructura es de un material elástico y tiene una carga Fi en un punto i y una deformación infinitesimal dvi es inducida en el punto i , por otra carga, entonces si Fipermanece constante el trabajo de Pidebido al desplazamiento dvi es dW = Fi * dvi . El trabajo es el área bajo la curva esfuerzo-deformación es:

Si la deformación es inducida por la carga misma, para un material elástico, el desplazamiento es proporcional a la carga, y tiene un valor vi = Fi / K , donde K es una constante de proporcionalidad. El trabajo de Fi para una deflexión dvi es el área bajo la curva fuerza-deformación o sea,

Para un material no linear, se puede calcular el trabajo elástico como la integral del área bajo la curva de fuerza-deformación . El área por encima del diagrama es llamado trabajo complementario y es definido como:

Para materiales linealmente elásticos el trabajo complementario es igual al trabajo elástico, pero para materiales elásticos no lineales el

trabajo complementario y el trabajo elástico son diferentes.

Fuerzas internas: son desarrolladas en la estructura elástica en respuesta a las cargas aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar trabajo y restaurar la estructura a su configuración original una vez las cargas han sido removidas.

Para un Elemento infinitesimal de la estructura bajo cargas causando un esfuerzo normal s , la fuerza normal en esta sección es s dy dz , y el cambio de longitud es el producto de la deformación unitaria con el largo del elemento. Puesto que las cargas se incrementan desde cero hasta sus valores actuales, así mismo lo hacen los esfuerzos y las deformaciones. Entonces, el trabajo interno de un elemento infinitesimal cuando la carga se ha aplicado en su totalidad y esta causando una deformación unitaria e es:  

Trabajo interno total: El trabajo interno de un sistema bajo cargas normales o esfuerzo axial es la integral de la energía de un elemento infinitesimal sobre el volumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energía elástica puede ser encontrada de manera similar sustituyendo esfuerzos normales y deformación por esfuerzos y deformaciones de cortante. 

El factor   es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando determinado el valor de la constante   la cual depende de la configuración de la sección. Para secciones rectangulares  es 1.2 y para circulares es 1.1. Para secciones en forma de I se puede considerar   igual a 1.0.

Por conservación de energía si una estructura se deforma no hay cambio en la energía total del sistema. Por tanto, el trabajo externo debido a las cargas externas que actúan sobre la estructura debe ser igual al trabajo interno desarrollado por las fuerzas internas a través de las respectivas deformaciones.

We = Wi We = Usistema

Para una viga en voladizo con luz L y carga F en extremo libre, la deformación

es:

Utilizando energía de deformación debido a cortante, se obtiene:

   

Si una estructura es sometida a desplazamientos virtuales adicionales o fuerzas virtuales, resultan igualmente desplazamientos adicionales o fuerzas adicionales. El trabajo de las fuerzas reales sobre los desplazamientos virtuales, o el de los desplazamientos reales sobre las fuerzas virtuales, es el TRABAJO VIRTUAL DEL SISTEMA.

Podemos inducir TRABAJO VIRTUAL imponiendo desplazamientos virtuales o fuerzas virtuales . Para una barra axial, la cual es en equilibrio bajo las fuerzas extremas F1 y F2 , requiere que F1= F 2 = F, donde F es la fuerza axial en un punto x . El trabajo virtual de un elemento infinitesimal es F*d(  u) / dx , y para toda la barra el trabajo virtual es:

El trabajo virtual de las fuerzas externas es:

En términos del principio de trabajo virtual el trabajo externo es igual al

interno y puesto que se incluye todo el elemento, los desplazamientos virtuales deben ser compatibles con las condiciones de borde, o lo que es lo mismo, los desplazamientos virtuales en soportes sin movimiento deben se cero.

El trabajo virtual puede ser descrito e n términos de esfuerzos y deformaciones unitarias en lugar de utilizar fuerzas y desplazamientos. Para una viga con carga axial , en términos de trabajo virtual, podemos sustituir F =  * A,  e = d(  u) / dx y adicionalmente d(vol)=A*dx, el trabajo virtual interno será:

We =  W1   W = e  Usistema

En la anterior expresión de se refiere a los desplazamientos virtuales unitarios. En esta expresión se observa que debe la energía interna de una barra con fuerzas axiales, términos de trabajo virtual, es igual es a la variación de la energía elástica del sistema. Por tanto,

W1 =  *   * d(vol)

Es decir, la variación de la energía elástica del sistema es igual al trabajo externo. Para un sistema real con varias cargas Fi , induciendo esfuerzos   y deformaciones reales vi , si la estructura está sometida a esfuerzos o desplazamientos virtuales, la anterior ecuación se puede plantear como:

En cerchas el trabajo externo virtual hecho por una carga unitaria es ( 1 * n ) , mientras que el trabajo interno virtual hecho por las fuerzas virtuales en las

barras es   i f i *   L i , entonces la ecuación de trabajo virtual es: }

L i son los cambios de longitud en las barras de la cercha debido a las fuerzas

internas Fi , las cuales a su vez son inducidas por un sistema de cargas Pi. Para

cada barra con área Ai y longitud L iel cambio de longitud y la deformación

vertical son:

Los pasos para su calculo son:

1. Encontrar las fuerzas F i bajo las cargas aplicadas.

2. Remover las cargas, aplicar una carga unitaria en el nudo y dirección

en la cual la deflexión es buscada, y encontrar las fuerzas internas

fi debidas a la carga unitaria.

3. Calcular la deflexión usando la ecuación de  .

En vigas y pórticos, si asumimos una carga simple unitaria vertical igual a Pi = 1, entonces los esfuerzos virtuales debidos a la carga virtual son  s = m*y/I donde m es momento debido a la fuerza virtual. La deformación unitaria debida a las cargas aplicadas y la deformación final son:

Involucrando todas las fuerzas internas la deformación final se calcula usando:

Para calcular la deflexión de una viga, se procede de acuerdo a los siguientes pasos:

1. Encontrar la expresión para el momento, debido a las cargas aplicadas

a lo largo de la estructura.

2. Remover las cargas aplicadas y adicionar una carga unitaria en el

punto y dirección en la cual la deflexión es buscada. Encontrar la

expresión para momentos m en toda la estructura debida a la carga

unitaria. Para hallar el ángulo, en un punto, m es encontrado aplicando

un momento unitario en el punto.

3. Calcular la deflexión usando la ecuación de v,  la cual es aplicable para ángulos q si m es debido a un momento unitario aplicado en i.       

Cálculo de deflexiones en cerchas simples

 

 

Ver animación

Calcular las deflexiones vertical y horizontal en el punto 4.

Considerar el área A = 10 cm2 y el modulo de elasticidad E = 2*106kg/cm2.

Inicialmente se calculan las fuerzas internas en la estructura E o debido a cargas aplicadas en nudo4

Barra F1

1 0.0

2 -2.0 (C)

3 2.83 (T)

4 2.0 (T)

5 -2.0 (C)

A continuación se colocan las fuerzas puntuales unitarias en el donde se quieren calcular las deformaciones ( nudo 4), en dirección vertical para el caso 1 y en la dirección horizontal para el caso 2.

Barra 1 2 3 4 5

fv1 0.0 - 1.0 1.414 0.0 - 1.0

Barra 1 2 3 4 5

fv1 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 A continuación se colocan las fuerzas puntuales

unitarias en el donde se quieren calcular las deformaciones (nudo 4), en dirección vertical para el

caso 1 y en la dirección horizontal para el caso 2. 

Barra

Incidencianudo

s

Li(

m)

Fuerza

EstructuraE0(Fi)

Fuerza

Estructura

E1(Fvi)

Fuerza

Estructura

E2(FHi)

Fi*fvi*

Li

(Ton*m)

Fi*fHi*

Li

(Ton*m)

1 14.

03 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

2 14.

02 -2.0 -1.0 0.0 8.0 0.0

3 35.

662

+2.8

28

+1.4

140.0

22.

630.0

4 34.

04 +2.0 0.0 +1.0 0.0 8.0

5 44.

02 -2.0 -1.0 0.0 8.0 0.0

 

Utilizando   A = 10 cm2  y   E = 2*106  kg/cm2.

Los resultados son positivos, lo que indica que las

direcciones de los desplazamientos son en los mismos

sentidos supuestos  para  las cargas unitarias.

Determinar las Reacciones de la estructura y la

deformación vertical en el punto 7

 = 38.63 8.0

Cálculo de fuerzas internas

Estructura F: Cálculo de Fuerzas internas para la

cercha con cargas externas aplicadas en nudos.

          Estructura f: Fuerzas internas para la cercha con carga

unitaria 

          aplicada en el punto 7  donde se quiere hallar la

deformación.

Elemento

Incidenciade Nudos

longitudLi(mts)

Fi (Tn) fi (Tn) Li*Fi*fi

1 N1-N2 4.0 +151.0 -0.20 -120.8

2 N2-N3 4.0 +151.0 -0.20 -120.8

3 N3-N4 4.0 +233.0 -0.60 -559.2

4 N4-N5 4.0 +233.0 -0.60 -559.2

5 N5-N6 4.0 -25.0 -1.00 +100.0

6 N6-N7 4.0 -25.0 -1.00 +100.0

7 N1-N8 5.66 -213.5 +0.28 -338.4

8 N2-N8 4.0 +50.0 0.00 0.0

9 N3-N8 5.66 +93.3 -0.28 -147.9

10 N3-N9 4.0 0.0 0.00 0.0

11 N3-N10 5.66 -22.6 +0.28 -35.8

12 N4-N10 4.0 +50.0 0.0 0.0

13 N5-N10 5.66 -147.1 -0.28 +233.1

14 N5-N11 4.0 0.0 0.0 0.0

15 N5-N12 5.66 +217.8 +0.28 +345.2

16 N6-N12 4.0 -214.0 -1.20+1027.

2

17 N7-N12 5.66 +35.4 +1.41 +282.5

18 N8-N9 4.0 -217.0 +0.40 -347.2

19 N9-N10 4.0 -217.0 +0.40 -347.2

20 N10-N11 4.0 -129.0 +0.80 -412.0

21 N11-N12 4.0 -129.0 -0.80 -412.0

 

Viga continua

 

Hallar las deformaciones verticales en las articulaciones

Las cargas, reacciones y orden de análisis de las estructuras están mostrados en la siguiente figura

 

Ver animación

Cuando colocamos las fuerzas unitarias en los nudos articulados

3 y 6 estas solo afectan la Estructura III y es en últimas por esta

donde se transmiten dichas cargas. Esto porque por orden de

jerarquía las cargas unitarias no actuarían en las estructuras

superiores sino que tienes que ser absorbidas por la Estructura

III , que sirve de sustento a las Estructuras I y II a través de los

nudos articulados 3 y 6

Solo definimos los momentos para la estructura primaria Eo , en

el tramo 3-4-5 de izquierda a derecha y en el tramo 6-5-4 de

derecha a izquierda, lo mismo que en las estructuras

secundarias E1 y E2.

Tramo 3 - 4 - 5:

La deformación vertical en la articulación del punto 3 es:

Tramo 6 - 5 - 4:

La deformación vertical en la articulación del punto 5 es :

 Entramado

 

Hallar la deformación horizontal y vertical en el punto 2

 

Ver animación

Cálculo de reacciones, en kN:

Determinar las Reaciones de la estructura y la

deformación vertical en el punto C.

Estructura

Tramo 1 - 4

Tramo 4 - 2 Tramo 3 - 2

E0

M14 = 120*

x

M42 = 1080 - 60*

x

M32 = -170*x +

1.5*x2

E1

M14 = 0.33*

xM42 = 0.33* x M32 = - 0.471* x

E2 M14 = 0.0 M42 = 0.0 M32 = - 0.0

Cargas

Momentos estrucutras E0

Momentos estrucutras E1

Momentos estrucutras E2

 

Pórtico

 

Hallar la deformación horizontal y vertical en el punto B,

donde se halla la articulación.

Ver animación

Cálculo de reacciones:

Diagramas de momento del pórtico

Estructur Tramo A Tramo B - Tramo B - E Tramo C -

a - D D E

E0

MAD = 

-16.67* x

MBD = 

20* x 2-24*x

MBE = 

- 20*x2- 24*x

MCE=

36.37*x

E1

mAD = 

- 0.21* xmBD = 0.5* x

mAD = - 0.5*

xMCE= 0.21*x

Momentos estructura E1

Momentos estructura E1

Momentos en cada tramo:

Estructur Tramo A Tramo B - Tramo B - E Tramo C -

a - D D E

E0

MAD = 

-16.67* x

MBD = 

20* x 2-

24*x

MBE = 

- 20*x2- 24*x

MCE=

36.37*x

E1

mAD = 

- 0.21* xmBD = 0.5*x

mAD = - 0.5*

xMCE= 0.21*x