Método Simplex
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Anaya Rodriguéz Fredi Orlado 07200464
Investigación De Operaciones I
Martínez Solis Luis Ignacio
08 Otoño
P a c h u c a D e S o t o A 2 2 D e O c t u b r e 2 0 0 9
1. Problema Con El Método Simplex. 2. Problema Con El Método De La Gran M. 3. Problema Con El Método De Doble Fase.
PROBLEMARIO Unidad II
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1. Problema Con El Método Simplex.
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 dólares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Sean las variables de decisión:
X1= Numero de bicicletas de paseo vendidas.
X2= Numero de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
Acero Aluminio Paseo 1 Kg. 3 Kg. Montaña 2 Kg. 2 Kg.
Max F (X)= 200 X1 + 150 X2
Sujeto A:
1X1 + 2X2≤80
3X1 + 2X2≤120
X1.X2≥0
Estandarizado:
Max F (X) -200 X1 - 150 X2=0
Sujeto A:
1X1 + 2X2 +h1=80
3X1 + 2X2+h2=120
X1.X2,h1,h2≥0
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2. Problema Con El Método De La Gran M.
Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg de vitamina B-1
(tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto periodo de
tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B (tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el
paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
Marca A Marca B Requerimientos mínimos
Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
B-1 10 mg 15 mg 2100 mg
B-2 5 mg 15 mg 1500 mg
Costo 0.06 0.08
Problema Original
Min f(x) = 6x1 + 8x2
sujeta a: 40x1 + 10x2 ≥ 2400
10x1 + 15x2 ≥ 2100
5x1 + 15x2 ≥ 1500
x1, x2 ≥ 0
Problema Estandarizado
Min f(x) = 6x1 + 8x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3
sujeta a: 40x1 + 10x2 - h1 + a1 = 2400
10x1 + 15x2 - h2 + a2 = 2100
5x1 + 15x2 - h3 + a3 = 1500
x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0
Igualar a cero la función objetivo
f(x) - 6x1 - 8x2 - Ma1 - Ma2 - Ma3 = 0 M=100
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Solución Optima
f(x) 1140
x1 30
h3 450
x2 120
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3. Problema Con El Método De Doble Fase.
Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada uno de los tres metales. la compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. sabiendo que el costo diario de la operación es de $2,000 en cada mina. ¿Cuántos días deben trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?
Mina A Mina B Cantidad
Hierro 1 2 80
Bronce 3 2 160
Cobre 5 2 200
X1= Producción por tonelada en la mina A
X2= Producción por tonelada en la mina B
Problema Original
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3
sujeta a: x1 + 2x2 ≥ 80
3x1 + 2x2 ≥ 160
5x1 + 2x2 ≥ 200
x1, x2 ≥ 0
Problema Estandarizado
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0
sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80
3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160
5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200
x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 ≥ 0
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Fase I Se hace el tableau y se itera con el método Simplex
Se hace cero los coeficientes de las variables básicas por el método gaussiano.
Se procede a iterar con el método Simplex
A qui termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solución
del renglón objetivo.
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Fase II
Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los
de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el renglón objetivo.
Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0
Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución
f(x) 1 -2000 -2000 0 0 0 0
x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20
x2 0 0 0 1 -2 1 40
h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40
Se hacen cero las variables no básicas.
Base f(x) x1 x2 h1 h2 h3 Solución
f(x) 1 0 0 -500 -500 0 120000
x1 0 0 1 - 3/4 1/4 0 20
x2 0 0 0 1 -2 1 40
h3 0 1 0 1/2 - 1/2 0 40
Así queda la solución optima ya que no hay ninguna variable no básica mas positiva en el renglón objetivo.
Solución
f(x) 120000
x1 20
x2 40
h3 40