Metodología de las Matemáticas Secundaria

Zona 524Telesecundaria.

• En equipos de 4 resolvamos el problema presentado• Compartamos nuestras formas

de resolución• En plenaria expongamos los

procedimientos de resolución de cada equipo

• ¿Qué es Homotecia?• Homotecia: Transformación en el plano con respecto a

un centro O (centro de homotecia) que permite obtener un polígono semejante a otro polígono dado.

La figura A'B'C' se construyó tomando el punto O y trazando paralelas al triángulo ABC.Triángulo OCB es semejante a Triángulo OC'B', entonces: OB'/OB=OC'/OC=B'C'/BCTriángulo OCA es semejante a Triángulo OC'A', entonces: OC'/OC=OA'/OA=C'A'/CALuego, concluimos que: B'C'/BC=C'A'/CA

• Lo anterior es válido para todos los lados correspondientes:• B'C'/BC=C'A'/CA=B'A'/BA=k (factor de conversión)• Por tanto Triángulo ABC es semejante a Triángulo A'B'C'• Diremos que k (factor de homotecia) es el factor de conversión o escala

de conversión de una homotecia, siendo k la razón entre las medidas de los lados correspondientes de los polígonos semejantes. Para k entre 1 y cero (homotecia fraccionaria), obtenemos una figura más pequeña que la original.

• Observación: dividir distancia desde el centro de homotecia hasta el vértice correspondiente de la figura a escala (imagen), entre la distancia desde el centro de homotecia hasta el vértice.

• La figura homotética es la figura hecha a escala, para éste caso A’, B’, C’.

• HOMOTECIAS POSITIVAS.• (El punto P’ se encuentran del mismo lado de

O y P)• Sea k un número positivo, cuando aplicamos

una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que

• Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.

• Homotecia positiva: k > 1 Homotecia positiva fraccionaria: k < 1• Implica una ampliación de la figura Implica una reducción de la figura• El punto P’ se encuentra fuera de O y P El punto P’ se encuentra entre O y P

OP’ = 6.6 cm. OP’ = 0.7 cm.OP = 2.2 cm. OP = 2.1 cm.OP’ = 6.6 = 3 OP’ = 0.7 = 1

OP 2.2 OP 2.1 3

• OA’ = 3.2 cm. = 2 OA’ = 1.3 cm. = 1

OA 1.6 cm. OA 2.6 cm. 2• A su vez:• A’C’ = 2 cm. = 2 A’C’ = 2.5 cm. = 1

AC 1 cm. AC 5.0 cm. 2

• HOMOTECIAS NEGATIVAS• (Si k<1, el punto P' queda situado al otro lado de O y P) • Las figuras quedan a un lado y otro del centro de homotecia.• Con k < 1 corresponde a una rotación de 180º alrededor del centro de

homotecia.• También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en

la figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC:

Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto P y su imagen P’.

• RESUMIENDO:• 1) El centro de homotecia es el punto en el que

concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.

• 2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’, siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.

• 3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.

• Realicemos una lectura comentada del Enfoque de la asignatura de Matemáticas (programa de matemáticas 2011, PP 19-23)• Reflexionemos sobre la Lectura y

desarrollemos conclusiones• En equipos de 4 resolvamos el

problema planteado por el coordinador• En plenaria expongamos los

procedimientos desarrollados

TEOREMA DE THALES

• Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

• Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

• Esquematicemos el proceso metodológico desarrollado en la actividad anterior .

• Resolvamos en equipo y en plenaria argumentemos nuestros procedimientos y respuestasObtener la longitud de una escalera recargada en una pared de

4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al �piso.

De las razones a las funciones trigonométricas

• a. Antes de iniciar el llenado de la tabla comente con sus compañeros de grupo por que a los valores de 180° y 360° les corresponden respectivamente “π radianes” y “2 π radianes” .

• b. En la tabla proporcionada por el coordinador llene primero la columna referida a radianes y verifique con sus compañeros dichos valores

• c. Luego, según se muestre en la presentación con geometría dinámica que dirigirá el instructor, registre las medidas solicitadas en las columnas correspondientes.

• d. Compare los valores de las razones obtenidas, con las que proporciona la calculadora cuando se pide el valor seno, coseno o tangente de los ángulos en referencia.• Anote su observación al respecto:• Particularmente, ¿qué medidas le

corresponden a los diferentes triángulos rectángulos cuyo ángulo agudo es de 30°?

TRIÁNGULO

ÁNGULO A

CATETO ADYACE

NTE

CATETO

OPUESTO

HIPOTENUSA

(SENO) (COSENO)

(TANGENTE)

AMB 27º 6 6.71

ANC 27º 4 8.90

AOD 14 7 15.65

APE 10 22.36

hipotenusa

opuestocat.

hipotenusa

adyacentecat.

adyacentecat

opuestocat

.

.

f. ¿Por qué el valor de las razones indicadas permanece constante en cada uno de los casos presentados?g. Explore qué sucede para otros ángulos. Seleccione algunos y registre en la tabla lo que sucede en la presentación dinámica.Comenten los resultados obtenidos.

• h. ¿Con qué nombre se identifica cada una de las razones consideradas en los triángulos rectángulos observados?

• Tome nota del papel que juega la semejanza de triángulos rectángulos para establecer que el valor de cada una de las razones trigonométricas referidas a un ángulo agudo permanece constante.

• Esto lo utilizamos como una herramienta poderosa en situaciones en las que el cálculo de medidas que interesan pueda representarse geométricamente mediante triángulos rectángulos.

• Algunos ejercicios:• Encuentre, valiéndose del triángulo equilátero de la figura , los

valores de :• sen30° ___________• Cos30° ___________• Tan30° ___________• Sen60° ___________• cos 60° ___________• Tan60° ___________

2 2

2

• b. Ahora, haciendo los trazos convenientes en el cuadrado de la figura , determine el valor de:

• 1. sen 45° ___________• 2. cos 45° ___________• 3. tan 45° ___________

1

1

• 3. Para cualquier triangulo rectángulo ABC (con el ángulo recto en C), explique

• por que sucede que sen A = cos B• 4. Como hemos visto, cuando se determina el valor de una razón

trigonométrica para un ángulo agudo de un triangulo rectángulo, esta permanece constante para cualquier otro triangulo rectángulo semejante.

• a. En consecuencia, .Que se requiere variar para obtener diferentes valores de cada una de las razones consideradas?

• b. .Hay algún valor de α al que le correspondan dos o mas valores de la razón sen(α)? Comente.

A

B

C

• Como hemos visto, el valor de la razón trigonométrica sen (α) es única para cada valor de α . Por lo tanto, podemos establecer lo siguiente: esta relación que a cada valor del ángulo α le asigna un y sólo un valor de la razón seno, es una función*

• De la misma manera, a las otras dos razones trigonométricas, cos(α) y tan(α) se les puede llamar “funciones”.

• Genéricamente a estas relaciones se les llama funciones trigonométricas.

• * ¿Qué es una función? Comenten en grupo.

• Comentemos en plenaria el tratamiento de las matemáticas en nuestras aulas.

• Establezcamos conclusiones