UNIVERSIDAD DE GRANADA E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Apuntes de Clase MTODOS DE TRANSFORMACINLLUVIA-ESCORRENTA Y DE PROPAGACIN DE CAUDALES Prof. Leonardo S. Nana Asignatura: Hidrologa Superficial y Subterrnea rea de Conocimiento: Ingeniera Hidrulica Curso Acadmico 2002-03 Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- ii - 0.NDICE 1.Transformacin lluvia-escorrenta......................................................................................... 1 1.1..El Hidrograma Unitario ................................................................................................. 1 1.1.1Definicin e hiptesis bsicas........................................................................... 1 1.1.2Deduccin del hidrograma unitario................................................................... 4 1.1.3Clculo matricail del hidrograma unitario ........................................................ 6 1.1.4Aplicacin del mtodo del hidrograma unitario ............................................... 8 1.1.5Hidrograma unitario instantneo..................................................................... 10 1.1.6Hidrogramas unitarios sintticos..................................................................... 10 1.1.7Hidrograma unitario sinttico de Snyder ........................................................ 10 1.1.8Hidrograma adimensional del SCS................................................................. 14 1.1.9Hidrograma unitario de Clark. Mtodo de las isocronas................................. 17 1.1.10Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia .............................. 19 1.2..Modelos de depsitos .................................................................................................. 23 1.2.1Modelo de sistema hidrolgico integral.......................................................... 23 1.2.2Modelo de embalse lineal ............................................................................... 24 1.3..Modelo de onda cinemtica......................................................................................... 26 2..... Propagacin de caudales...................................................................................................... 30 2.1 Propagacin de sistemas agregados o hidrolgica....................................................... 30 2.1.1 Propagacin de embalse a nivel ...................................................................... 32 2.1.2 Propagacin en cauces. Mtodo de Muskingum............................................. 35 2.1.3 Modelo de embalse lineal ............................................................................... 41 2.2 Propagacin distribuida o hidrolgica ......................................................................... 43 2.2.1 Propagacin mediante el mtodo de la onda cinemtica ................................ 45 2.2.2 Mtodo de Muskingum-Cunge ....................................................................... 52 2.2.3 Propagacin mediante el mtodo de la onda difusiva..................................... 53 2.2.4 Propagacin mediante el mtodo de la onda dinmica ................................... 53 3. Bibliografa.......................................................................................................................... 54 Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 1 - 1. TRANSFORMACIN LLUVIA-ESCORRENTA Una vez que se ha estudiado el rgimen de precipitaciones de una cuenca, obtenido una lluvia de diseo asociada a un determinado periodo de retorno y estimado las prdidas con alguno de los modelos disponibles, de manera tal de encontrar la lluvia neta o efectiva, el paso siguiente es transformar esa lluvia efectiva en escorrenta o caudal. Estatransformacinpuedellevarseacabomediantediferentesmtodos.Elmspopularesel delhidrogramaunitario,introducidoporShermanenlosaos'30.Tambinesposiblela utilizacin modelos de depsito y, si el nivel de informacin es el adecuado, tambin se pueden usarmodelosbasadosenlasecuacionesdelmovimientodelfluido,especialmenteenzonas urbanas. 1.1 El Hidrograma Unitario 1.1.1 Definicin e Hiptesis Bsicas El mtodo del Hidrograma Unitario tiene en cuenta, adems del rea y la intensidad de la lluvia, como lo hace el mtodo racional, la forma, pendiente y caractersticas fisiogrficas de la cuenca de estudio, aunque lo hace de forma implcita. El Hidrograma Unitario es el hidrograma de escorrenta directa causado por una lluvia efectiva unitaria (1 cm 1 mm, por ejemplo), de intensidad constante a lo largo de la duracin efectiva y distribuida uniformemente sobre el rea de drenaje (Sherman, 1932). El mtodo se basa en dos hiptesis: 1)Larespuestadelacuencaanteelprocesodeescorrentasigueuncomportamientolineal. Esto significa que son aplicables los principios de proporcionalidad y superposicin. 2)No se tiene en cuenta la variabilidad temporal de las caractersticas de la cuenca, de manera que una misma lluvia efectiva produce siempre el mismo hidrograma de escorrenta directa. Las condiciones que deben cumplirse en virtud de estas hiptesis son: 1)Lalluviaefectivatieneunaintensidadconstantedentrodeladuracinefectiva:esta condicin exige que las tormentas sean de corta duracin, ya que la tasa de lluvia efectiva sera mayor y aproximadamente constante en el tiempo, produciendo un hidrograma mejor definido, con pico nico y tiempo base corto. 2)Lalluviaefectivaestuniformementedistribuidaatravsdetodaelreadedrenaje:en virtuddeestacondicin,elreadedrenajenodebersermuygrandeobiendeberser subdividida en subcuencas de modo que se cumpla esta suposicin. Elorden de magnitud del lmite superior que se maneja es de 300 a 400 km2 (Martnez Marn 1994) 3)El tiempo base del hidrograma de escorrenta directa resultante de una lluvia efectiva de una duracin dada es constante. Para que el comportamiento de la cuenca sea considerado lineal, esnecesarioasumirqueloshidrogramasdeescorrentasuperficialgeneradosporlluvias netasdeigual duracin tienen el mismo tiempo base, independientemente de la intensidad dedichas lluvias netas. Esta consideracin se extiende tambin, lgicamente, al tiempo de punta.Lainformacinhidrolgicarealnoescompletamentelineal,perolosresultados obtenidos suponindola lineal son lo suficientemente aproximados para fines prcticos. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 2 - 4)El hidrograma unitario de una duracin determinada es nico para una cuenca e invariante en el tiempo. Las caractersticas del cauce no deben tener cambios y la cuenca no debe tener almacenamientos apreciables (no debe tener embalses). Principio de proporcionalidad Para una lluvia efectiva de una duracin dada, el volumen de lluvia, que es igual al volumen de escorrentadirecta,esproporcionalalaintensidaddedichalluvia.Comoloshidrogramasde escorrentadirectacorrespondientesalluviasefectivasdelamismaduracin,tienenelmismo tiempobase,seconcluyequelasordenadasdedichoshidrogramassernproporcionalesala intensidad de la lluvia efectiva (Figura 1.1). Es decir: kQeQeieiePePe= = =212121 DondePeeselvolumendelluviaefectiva,ie,laintensidadefectivayQe,elcaudalde escorrenta directa. Figura 1.1: Aplicacin del principio de proporcionalidad. Principio de superposicin Loscaudalesdeunhidrogramatotaldeescorrentadirectaproducidosporlluviasefectivas sucesivaspuedenserhalladossumandoloscaudalesdeloshidrogramas de escorrenta directa correspondientesalaslluviasefectivasindividuales,teniendoencuentalostiemposenque ocurren tales lluvias. La aplicacin de los principios de proporcionalidad y superposicin llevan a la definicin de la llamada ecuacin de convolucin discreta: =+ =M nmm n m nU P Q11 kie ie ie Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 3 - DondeQneselcaudaldeescorrentadirectaenelinstante n,Pm,laprecipitacinefectivadel bloque m y Un-m+1 los caudales por unidad de precipitacin efectiva del hidrograma unitario. Porejemplo,sisedeseaencontrarelhidrogramadeescorrentadirectacorrespondienteauna lluvia efectiva compuesta por M = 3 bloques de igual duracin e intensidades P1, P2 y P3 y las ordenadas del hidrograma unitario son N-M+1 = 6, U1 a U6, los caudales de dicho hidrograma se obtienen aplicando la ecuacin de convolucin, de la siguiente manera: Q1 = P1U1 Q2 = P1U2 + P2U1 Q3 = P1U3 + P2U2 + P3U1 Q4 = P1U4 + P2U3 + P3U2 Q5 = P1U5 + P2U4 + P3U3 Q6 = P1U6 + P2U5 + P3U4 Q7 = P2U6 + P3U5 Q8 = P3U6 EnlaFigura1.2semuestragrficamenteelmismoejemplodeaplicacindelprincipiode superposicin: Figura 1.2: Ejemplo de aplicacin del principio de superposicin. Fuente: Chow et al. 1994. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 4 - 1.1.2 Deduccin del Hidrograma Unitario En el anterior apartado se vio que la ecuacin de convolucin discreta era: =+ =M nmm n m nU P Q11 DadoslalluviaefectivaPyelhidrogramadeescorrentadirectadelacuencaQ,pueden deducirse las ordenadas del hidrograma unitario U mediante el proceso llamado deconvolucin. Si existen M pulsos de precipitacin neta y N pulsos de escorrenta directa, pueden escribirse N ecuacionespara Qn,n=1,2,...,N,entrminosde N-M+1valores desconocidos del hidrograma unitario: 11 1 11 1 2 2 11 2 1 13 1 2 2 1 3 32 1 1 2 21 1 10 0 0 0 00 0 0 00+ + + ++ + + + + + + =+ + + + + + + =+ + + + =+ + + =+ + =+ ==M N M NM N M M N M NM M M MM M M MU P QU P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P QU P QL LL LM M M M MLLM M M Puede observarse que este sistema de ecuaciones est sobredimensionado, ya que tenemos ms ecuaciones que incgnitas. El nmero de ecuaciones es N, mientras que las incgnitas son slo N-M+1, donde M > 1. Ejemplo1.1:Calcularelhidrogramaunitariodemediahoradeduracinutilizandoel hietograma de lluvia neta y el hidrograma de escorrenta directa de la Tabla 1.1. Solucin: El hietograma de lluvia neta est formado por 3 bloques, mientras que el hidrograma deescorrentadirectaestformadopor11valores,es decir que M = 3 y N = 11. Por lo tanto, tendremosN-M+1=11-3+1=9ordenadasdelhidrogramaunitario.Las11ecuaciones quedaran planteadas de la siguiente manera: 9 3 119 2 8 3 109 1 8 2 7 3 98 1 7 2 6 3 87 1 6 2 5 3 76 1 5 2 4 3 65 1 4 2 3 3 54 1 3 2 2 3 43 1 2 2 1 3 32 1 1 2 21 1 1U P QU P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P U P QU P U P QU P Q=+ =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ == Estas ecuaciones pueden resolverse por eliminacin gaussiana, que consiste en aislar cada una delasvariablesdesconocidasyresolverlassucesivamente.Enestecasopuedeempezara Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 5 - resolversedesdearribahaciaabajo,a partir de U1 o bien, desde abajo hacia arriba, a partir de U9. Nosotros comenzaremos a partir de U1: Tabla 1.1: Datos de lluvia neta y caudales de escorrenta directa de la tormenta del 24 al 25 de mayo de 1981 en Austin, Texas, segn Chow at al. 1994. Tiempo Lluvia Neta Hidrograma de Esc. Dir.Dahorammm3/s 24 mayo 20:3021:0021:3022:00 26,9512,1 22:30 49,0554,5 23:00 45,95150,0 23:30 258,6 25 mayo 0:00 300,9 0:30 221,9 1:00 111,1 1:30 52,3 2:00 39,7 2:30 23,5 3:00 8,9 3:304:004:30122,01233,5 mm/ m449 , 0mm 95 , 26/ m 1 , 123 3111s sPQU = = = mm/ m205 , 1mm 95 , 269 49,050,44 - 5 , 54311 2 22sPU P QU = == mm/ m607 , 2mm 95 , 26205 , 1 05 49 449 0 95 45 150312 2 1 3 33s , - , , - PU P U P QU = = = mm/ m796 , 2mm 95 , 26607 , 2 05 49 205 , 1 95 45 6 , 258313 2 2 3 44s , , - PU P U P QU == = mm/ m628 , 1mm 95 , 26796 , 2 05 49 607 , 2 95 45 8 , 300314 2 3 3 55s , ,PU P U P QU = = = mm/ m500 , 0mm 95 , 26628 , 1 05 49 796 , 2 95 45 8 , 221315 2 4 3 66s , ,PU P U P QU = = = mm/ m433 , 0mm 95 , 265 , 0 05 49 628 , 1 95 45 111316 2 5 3 77s , ,PU P U P QU = = = Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 6 - mm/ m300 , 0mm 95 , 26433 , 0 05 49 5 , 0 95 45 3 , 52317 2 6 3 88s , ,PU P U P QU = = = mm/ m189 , 0mm 95 , 263 , 0 05 49 433 , 0 95 45 7 , 39318 2 7 3 99s , ,PU P U P QU = = = Paracomprobarqueloquehemoshalladoeselhidrogramaunitario,podemoscalcularsu volumendeescorrentadirecta.Sumandotodaslasordenadasdelhidrogramaunitario obtenemos 10,107 m3/s/mm. Si multiplicamos este valor por la amplitud del intervalo de tiempo consideradodemediahora,obien,1800segundos,hallaramoselvolumendeescorrenta directa, que es 10,107 m3/s/mm1800s = 18192,6 m3/mm. Dividiendo este valor por el rea de la cuenca,queesde18,2km2yhaciendolasconversionesdeunidadescorrespondientes, comprobaremosqueelvolumendeescorrentadirectadel hidrograma unitario es de 1 mm. Si no se cumpliera este requisito, habr que ajustar todas las ordenadas del hidrograma unitario, de tal manera de que su volumen sea de 1 mm (o 1 cm, en su caso). Sihubisemoscomenzadoaresolverelsistemadeecuacionesdesdeabajohaciaarriba, habramos obtenido: mm/ m194 , 0mm 95 , 45/ m 9 , 83 33119s sPQU = = = mm/ m304 , 0mm 95 , 454 49,050,19 - 5 , 23339 2 108sPU P QU = == que no difieren mucho de los valores encontrados anteriormente. Algunas veces, el hidrograma unitario resultante, puede mostrar algunas variaciones errticas e inclusotenervaloresnegativos.Lacausadelasvariacioneserrticaspuededebersealano linealidadenlarelacinlluvianeta-escorrentadirectaenlacuencaconsiderada.Adems,las tormentasrealesnosonsiempreuniformeseneltiempoyenelespacio,talcomorequierela teora, incluso dividiendo el hietograma de lluvia neta en bloques de corta duracin. 1.1.3 Clculo matricial del Hidrograma Unitario Laecuacindeconvolucindiscretapuedeexpresarseenformamatricialdelasiguiente manera: (((((((((((((

=(((((((

(((((((((((((

++ NNMMM NMM MM MM M MQQQQQQQUUUUPP PP P P PP P P PP P PP PP11321132111 2 11 2 11 2 31 21.0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0MMMK KK KM M M M M M MK KL KM M M M M M ML LL LL L [ ] [ ] [ ] Q U P = Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 7 - Dados [P] y [Q], usualmente no existe solucin para [U] que satisfaga todas las N ecuaciones. Si se da una solucin [U] que da como resultado un [Q] estimado como: [ ] [ ] [ ] Q U P = que satisface todas las ecuaciones. Se busca una solucin que minimice el error [Q] [Q] entre los hidrogramas observado y estimado. Solucin por regresin lineal La solucin por regresin lineal consiste en calcular las ordenadas del hidrograma unitario [U], conociendolasordenadasdelalluviaefectiva[P]yloscaudalesdeescorrentadirectadela cuenca [Q]: [P][U] = [Q] [Nx(N-M+1)][(N-M+1)x1] = (Nx1) [P]T[P][U] = [P]T[Q] [(N-M+1)xN][Nx(N-M+1)][(N-M+1)x1] = [(N-M+1)xN](Nx1) [PTP][U] = [PTQ] [(N-M+1)x(N-M+1)][(N-M+1)x1] = [(N-M+1)x1] [U] = [PTP]-1[PTQ] [(N-M+1)x1) = [(N-M+1)x(N-M+1)][(N-M+1)x1] Solucin por optimizacin Lasolucinporoptimizacinconsisteenproponerapriorilasordenadasdelhidrograma unitariomediantealgnmtodo(HUtriangular,SCS,etc),encontrarconesehidrograma unitario un hidrograma de caudales calculadoQ y comparar esta solucin con el hidrograma de caudales observado Qn (Figura 1.3). Figura 1.3: Diferencias entre un hidrograma unitario obtenido del clculo y otro observado. Fuente: Chow et al. 1994. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 8 - El objetivo sera minimizar el error entre los hidrogramas calculado y observado, a travs de la modificacindelasordenadasdelhidrogramaunitarioprevio.Dichaminimizacinpuede hacerse por programacin lineal, en donde la funcin a minimizar sera la siguiente: = =Nnn nQ Q f1 O bien por mnimos cuadrados, en donde la funcin a minimizar sera: ( )= =Nnn nQ Q f12 1.1.4 Aplicacin del mtodo del Hidrograma Unitario Unavezquesehaobtenidoelhidrogramaunitariocorrespondienteaunaduracindelluvia efectivadeterminada,laaplicacindelmtododelhidrogramaunitarioparaencontrarel hidrograma de escorrenta directa puede resumirse en los siguientes pasos: Determinar el hietograma de la lluvia de diseo. Determinar el hietograma de lluvia efectiva a travs de la estimacin de las abstracciones. Ajustar la duracin del hidrograma unitario segn se necesite, a travs del hidrograma en S. Estopuedesernecesariodadoqueelintervalodetiempoutilizadoparadefinirlas ordenadasdelhietogramadelluviaefectivadebeserelmismoqueelespecificadopara el hidrograma unitario. Calcularelhidrogramadeescorrentadirectaatravsdelaecuacindiscretade convolucin. Calcular el hidrograma de caudalsumando un flujo base estimado al hidrograma de escorrenta directa. Ejemplo 1.2: Calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de 150 mm de lluvia neta, con 50 mm en la primera media hora, 75 mm en la segunda media hora y 25 mm en la tercera media hora.Utilizarelhidrogramaunitariodemediahoracalculadoenelejemplo1.1ysuponerel flujo base constante e igual a 14,2 m3/s. Comprobar que el volumen total de escorrenta directa es igual al total de lluvia neta. El rea de la cuenca es de 18,2 km2. Solucin:Elclculodelhidrogramadeescorrentadirectapormediodelaecuacinde convolucinsemuestraenlaTabla1.2.Eltiempoestdivididoenintervalosdemediahora. Para el primer intervalo de tiempo, se tiene que: Q1 = P1U1 = 50 mm 0,449 m3/s/mm = 22,4 m3/s Para el segundo intervalo de tiempo: Q2 = P2U1 + P1U2 = 75 0,449 + 50 1,205 = 33,675 + 60,25 = 93,9 m3/s Y as sucesivamente, como se muestra en la Tabla 1.2 Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 9 - Tabla 1.2: Clculo del hidrograma de escorrenta directa y el hidrograma de caudales. TPeOrdenadas del HU [m3/smm]QeQ x 0,5 hmm0,449 1,2052,6072,7961,6280,500 0,4330,3000,189m3/sm3/s 15022,45 22,436,6 27533,68 60,2593,9108,1 32511,22 90,38130,4232,0246,2 430,13195,5139,8365,4379,6 565,18209,781,4356,3370,5 669,9122,125,0217,0231,2 740,737,521,6599,8114,0 812,532,4815,060,074,2 910,8322,59,4542,857,0 107,514,1821,735,9 114,734,718,9 1516 El volumen total de escorrenta directa es: 3 6 31 1m 10 x 729 , 2h 1s 3600/s m 1516 h 5 , 0 = = = = = =NnnNnn eQ t t Q V ylaalturacorrespondientedeescorrentadirectaseencuentradividiendoporelreadela cuenca: mm 150 mm 9 , 149m 1mm 1000m 1000000km 1km 2 , 18m 27290002223 = = =AVred queesigual al volumen total de lluvia neta. Finalmente, el caudal total se obtiene sumando el caudal base de 14,2 m3/s al hidrograma de escorrenta directa, tal como se muestra en la ltima columna de la Tabla 1.2. En la Figura 1.4 se muestra grficamente los hidrogramas obtenidos. Figura 1.4: Hidrograma de caudal obtenido en la aplicacin del hidrograma unitario del ejemplo 1.2. 0501001502002503003504000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Intervalo de tiempo [x 0,5 h]Caudal [m3/s]Q (25 mm)Q (75 mm)Q (50 mm)Q baseMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 10 - 1.1.5 Hidrograma unitario instantneo Si la lluvia efectiva o neta es unitaria y su duracin es infinitesimal, el resultado a la salida de la cuencaeselhidrogramaunitarioinstantneo,HUI,queeslafuncinimpulsorespuestadela cuenca. Aunque el concepto de hidrograma unitario instantneo es un concepto terico, ideal, es tilporquepermitecaracterizarlarespuestadelacuencaanteunimpulsodelluvianeta,sin tener en cuenta la duracin del mismo, en funcin de la geomorfologa de la cuenca. La integral de convolucin en su forma continua es: = 0) ( ) ( ) ( d t u I t Q donde la funcin impulso respuesta es u(t - ) y son las ordenadas del HUI. Las propiedades del HUI son: 0 u(t - ) algn valor mximo positivopara (t - ) > 0 u(t - ) = 0para (t - ) 0 u(t - ) 0para (t - ) 1 ) (0= d t u y Lt d t t u = 0) )( ( = tiempo de retardo del HUI 1.1.6 Hidrogramas Unitarios Sintticos El hidrograma unitario calculado a partir de la informacin de lluvia y caudal de una cuenca se aplicasolamentealacuencayalpuntodelcauceendondesemidieronloscaudales.Los hidrogramas unitarios sintticos se utilizan para calcular hidrogramas unitarios en otros puntos del cauce dentro de la misma cuenca, o bien, en cuencas adyacentes de carcter similar. Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintticos: 1)Losquerelacionanlascaractersticasdelhidrogramaunitarioconlascaractersticasdela cuenca (Snyder, Gray) 2)Los basados en hidrogramas unitarios adimensionales (SCS) 3)Los basados en modelos de almacenamiento y trnsito de la cuenca (Clark) 1.1.7 Hidrograma unitario sinttico de Snyder Snyder realiz estudios en cuencas de los Montes Apalaches (EEUU), con reas de 30 a 30000 km2 y encontr relaciones sintticas de un hidrograma unitario estndar (Figura 1.5a) a partir de las cuales pueden calcularse las caractersticas de un hidrograma unitario requerido (Figura 1.5b). Para una duracin de lluvia efectiva determinada, los parmetros del hidrograma unitario requerido son: 1.Retardo de la cuenca, tpR: diferencia de tiempo entre el centroide del hietograma efectivo y el pico del hidrograma unitario 2.Caudal punta o pico por unidad de rea de la cuenca, qpR 3.Tiempo base, tb 4.Ancho W50 [T] del hidrograma unitario al 50 % del caudal pico 5.Ancho W75 [T] del hidrograma unitario al 75 % del caudal pico Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 11 - Snyder defini el hidrograma unitario estndar como aquel que cumple que: 5 , 5prtt = dondetresladuracindelalluviaefectivaytpeltiempoderetardo,ambosdelhidrograma unitarioestndar.Ademsencontrqueparaunhidrogramaunitarioestndareltiempode retardo es: tp =0,75Ct(LLc)0,3 [h] dondeLeslalongituddelcauceprincipalhastaladivisoriadeaguasarriba[km],Lcesla distancia desde la salida de la cuenca hasta el punto del cauce principal ms cercano al centroide del rea de la cuenca [km] y Ct es un coeficiente que vara entre 1,35 (pendientes altas) y 1,65 (pendientes bajas). Tambin para el hidrograma unitario estndar se encontr que el caudal pico por unidad de rea es:ppptCq75 , 2= [m3/skm2] donde Cp es un coeficiente que vara entre 0,56 y 0,69. Para calcular los coeficientes Ct y Cp de una cuenca instrumentada se sigue el siguiente procedimiento: Se miden L y Lc de un mapa de la cuenca. Deunhidrogramaunitariodeducidoconunalluviaefectivayunhidrogramade caudales, que ser nuestro "hidrograma unitario requerido", se obtiene tR, tpR y qpR. Si tpR 5,5 tR, entonces se considera tpR = tp, qpR = qp y se calculan Ct y Cp de las ecuaciones correspondientes.SitpResmuydistintode5,5tR,eltiempoderetardoestndares 4R rpR pt tt t+ = ;quese resuelve junto con tp = 5,5 tr para calcular tr y tp, luego se calculan Ct y Cp con tpR = tp y qpR = qp

Lasrestantesrelacionesnecesariasparaencontrarelhidrogramaunitariocorrespondientea nuestra cuenca son: pRp ppRtt qq = pRpqt56 , 5= 08 , 15014 , 2=pRq W 08 , 17522 , 1=pRq W Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 12 - Se acostumbra distribuir el ancho W de manera tal que quede una tercera parte antes del tiempo al pico y dos terceras partes despus del tiempo al pico. Figura 1.5: a) Hidrograma unitario estndar (tp = 5,5 tr);b) Hidrograma unitario requerido (tp 5,5 tr). Fuente: Chow et al. 1994. Espey, Altman y Graves (1977) han adaptado estas relaciones para hidrogramas unitarios de 10 minutos de duracin, basndose en datos experimentales de 41 cuencas con tamaos desde 0,04 hasta 43 km2 y con porcentajes de impermeabilidad del 2 al 100%. Ejemplo 1.3: En una cuenca dada de 3500 km2 de rea, se mide L = 150 km y Lc = 75 km. Se tiene tambin el hidrograma unitario de la cuenca, en el cual se mide: tR = 12 h, tpR = 34 h y Qp = 157,5m3/s/cm.DeterminarloscoeficientesCtyCpdelhidrogramaunitariosintticodela cuenca. Solucin:Primerocalculamos5,5tR=66h,locualesmuydistintodetpR=34h,porlocual encontramos tr y tp, utilizando la ecuacin del retardo del hidrograma unitario estndar:

412344+ =+ =r R rpR pt t tt t junto con: tp = 5,5 tr que resolviendo da: tr = 5,9 h y tp = 32,5 h. Como sabemos que el retardo de la cuenca es tambin: tp = 0,75Ct(LLc)0,3, podemos calcular Ct como: 64 , 2) 75 150 ( 75 , 05 , 32) ( 75 , 03 , 0 3 , 0== =cptLLtC El caudal pico por unidad de rea es: 2323km cm sm045 , 0km 3500/s/cm m 5 , 157 = = =AQqpRpR Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 13 - Como sabemos que el caudal pico es tambin: pRppRtCq75 , 2= , podemos calcular Cp como: 56 , 075 , 2==pR pRpt qC Ejemplo 1.4: Calcular el hidrograma unitario sinttico de seis horas de duracin (tR = 6 h) para una subcuenca de 2500 km2 de la cuenca del ejemplo 1.3, en la que se ha medido L = 100 km y Lc = 50 km. Solucin: Como esta subcuenca tiene aproximadamente las mismas caractersticas que la cuenca del ejemplo 1.3, podemos utilizar Ct = 2,64 y Cp = 0,56. Podemos calcular: tp = 0,75Ct(LLc)0,3 = 0,752,64(10050)0,3 = 25,5 h h 64 , 45 , 5= =prtt h 8 , 2546 64 , 45 , 254=+ = =R rp pRt tt t cm km sm0604 , 05 , 2556 , 0 75 , 275 , 223 == =ppptCqcm km sm0597 , 08 , 255 , 25 0604 , 023 ===pRp ppRtt qq cm sm2 , 149 km 2500cm km sm0597 , 03223= = = A q QpR pR h 9 , 44 0597 , 0 14 , 2 14 , 208 , 1 08 , 150= = = pRq W 0,50QpR = 74,6 m3/s/cm h 6 , 25 0597 , 0 22 , 1 22 , 108 , 1 08 , 175= = = pRq W 0,75QpR = 111,9 m3/s/cm h 1 , 930597 , 056 , 5 56 , 5= = =pRpqt El hidrograma unitario as obtenido, quedara como muestra la Figura 1.6. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 14 - Figura 1.6: Hidrograma unitario sinttico calculado en el ejemplo 1.4 por el mtodo de Snyder (Chow et al. 1994). Porltimoseverificaqueelvolumendelhidrogramaesefectivamentelaunidad.Calculamosla superficie del hidrograma descomponindola en figuras simples: Ve = 0,5 [(93,1 + 44,9) 74,6 + (44,9 + 25,6 ) (111,9 - 74,6) + 25,6 (149,2 - 111,9)] = = 6940 m3h/s/cm 3600 s/h = 2,498 x 107 m3 Lalluviaefectivacorrespondiente,puedeobtenersedividiendoelvolumendeescorrenta efectiva, Ve, por el rea de la cuenca: cm 1 cm 999 , 0m 1cm 100m 10km 1km 2500m 10 498 , 22 6223 7 == =AVPee 1.1.8 Hidrograma adimensional del SCS El hidrograma adimensional del SCS (Servicio de Conservacin de Suelos de los EE.UU.) es un hidrograma unitario sinttico en el cual se expresan los caudales en funcin del caudal pico, qp y lostiemposenfuncindeltiempoalpico, Tp(Figura1.7a).Losvaloresde qpyTpseestiman basndose en el hidrograma unitario triangular del SCS (Figura 1.7b). Basndoseenunagrancantidaddehidrogramasunitarios,elSCSsugierequeeltiempode recesinpuedeaproximarsea1,67Tp.Comoelreadelhidrogramaesiguala1cm,se demuestra que: ppTAq08 , 2= Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 15 - donde qp es el caudal pico [m3/scm], A es el rea de drenaje [km2] y Tp es el tiempo al pico [hs] Figura 1.7: a) hidrograma adimensional del SCS; b) hidrograma unitario triangular. Fuente: Chow et al. 1994. Tiempodeconcentracindelacuenca,Tc:eseltiempoquetardaunagotadeaguaen trasladarse desde el punto ms alejado de la cuenca hasta la salida. Deacuerdoconestadefinicin,segnanlisisrealizadosencuencasespaolas,podra calcularse el tiempo de retardo, tp, tambin llamado tlag, como: tlag 0,35 Tc De esta manera el tiempo al pico ser:prpttT + =2 donde tr es la duracin de la lluvia efectiva. Ejemplo 1.5: Sabiendo que la cuenca que vierte al Embalse de Alhama de Granada es de 54,3 km2 y su tiempo de concentracin de 4,5 horas, calcular el hidrograma unitario (1 cm) para una duracin de 15 minutos segn el mtodo del SCS. Solucin:Conlainformacindeltiempodeconcentracin,podemoscalculareltiempode retardo, tlag, como 0,35Tc = 0,354,5 horas = 1,58 horas. El tiempo al pico, Tp, ser entonces, con tr = 0,25 horas: horas 7 , 1 58 , 1225 , 02= + = + =lagrpttTEl caudal pico, qp, ser: cm sm44 , 667 , 13 , 54 08 , 2 08 , 23== =ppTAqq/qp Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 16 - ElhidrogramaadimensionaldelSCSpuedeconvertirseenelhidrogramadeestacuencapara una duracin de 15 minutos, multiplicando los valores del eje de abscisas por Tp y los del eje de ordenadas por qp, lo que se hace en la Tabla 1.3. Tabla 1.3: Clculo del hidrograma unitario del SCS. t/Tpq/Qp t [hs] Q [m3/s/cm] Volumen [m3] 00000 0,100,0130,170,86264 0,200,0760,345,051809 0,300,1580,5110,504757 0,400,2780,6818,478864 0,500,4300,8528,5714394 0,600,6011,0239,9320961 0,800,8921,3659,2660707 1,001,0001,766,4476931 1,200,9182,0460,9977988 1,400,7532,3850,0367945 1,600,5322,7235,3552250 1,800,4183,0627,7738628 2,000,3233,421,4630130 2,200,2413,7416,0122933 2,400,1774,0811,7616996 2,600,1334,428,8412605 2,800,0954,766,319271 3,000,0765,15,056953 3,500,0385,952,5211588 4,000,0196,81,265794 4,500,0067,650,402541 5,000,0008,50610 544922 Tambin el hidrograma unitario triangular puede dibujarse con tb = 2,67 Tp = 2,671,7 horas = 4,54horas.AmboshidrogramassepresentanenlaFigura1.8.Elvolumendeescorrentadel hidrogramaunitariosegnelSCS,semuestraenlaltimacolumnadelaTabla1.3.Lalluvia neta equivalente sera: cm 00 , 1m 1cm 100m 10km 1km 3 , 54m 5449222 6223= = =AVPee El volumen de escorrenta del hidrograma unitario triangular es: cmm10 43 , 5h 1s 3600h 54 , 4cm sm44 , 6621353 = =eV y la lluvia neta equivalente es: cm 1m 1cm 100m 10km 1km 3 , 54m 10 43 , 52 6223 5== =AVPee Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 17 - Figura 1.8: Hidrogramas unitarios de 15 min. para la cuenca de Alhama de Granada, segn el mtodo del SCS. 1.1.9 Hidrograma unitario de Clark. Mtodo de las isocronas El hidrograma unitario de Clark, tiene en cuenta el trnsito a travs de la cuenca a travs de las curvas isocronas. Las curvas isocronas soncurvas que unen los puntos de la cuenca que tienen igual tiempo de desage (Figura 1.9a). Paraconstruirelhidrogramaunitario,apartirdelascurvasisocronastrazadascadauncierto intervalodetiempo(porej.,1hora)sedibujaunhistogramarea-tiempo(Figura1.9b).Sise aplicaunalluviaefectivainstantneade 1 cm uniforme en toda la cuenca, el histograma rea-tiempo, multiplicado por 1 cm dar el volumen que es desaguado por la cuenca al final de cada intervalodetiempoparaelcualestdefinidoelhistogramaysteserelhidrogramaunitario instantneo de la cuenca. Para transformar las rea en caudales, es necesario aplicar la frmula: tAq=78 , 2 donde q es el caudal en [m3/scm] cuando A est en [km2] y t, que es el intervalo de tiempo en funcindelcualestdefinidoelhistogramarea-tiempo,esten[hs].Paraobtenerel hidrogramaunitariocorrespondienteaunaduracincualquieradelluvianeta,puedeusarseel mtodo que se explica en el siguiente apartado. Sin embargo, tambin puede considerarse que el hidrograma unitario obtenido es el correspondiente a una duracin igual al intervalo con que es definidoelhistogramarea-tiempo,yaquedalomismoquelalluvianetaunitariacaiga instantneamente o que caiga en un tiempo inferior o igual al de definicin de dicho histograma. Clarkproponequeestehidrogramaseatransitadoporalgnmtododealmacenamiento,por ejemplo,undepsito,parasimularlasretencionesqueseproducenenlacuencay atenuar los picos. 0102030405060700 2 4 6 8Tiempo [hs]q [m3/s/cm]HU SCS HU TriangularMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 18 - (a)(b) Figura 1.9: a) Ejemplo de curvas isocronas para una cuenca hidrogrfica; b) Ejemplo de histograma tiempo-rea. Ejemplo1.6:EnlacuencavertientealembalsedeAlhamadeGranada,de54,3km2,sehan trazado las lneas isocronas cada media hora, obtenindose la relacin rea-tiempo de la Tabla 1.4. Calcular el hidrograma unitario sinttico de Clark utilizando dicha relacin. Tabla 1.4: Relacin rea-tiempo de la cuenca de Alhama de Granada y clculo del hidrograma unitario de Clark. Tiempo [h] % rea [km2] q [m3/s/cm] Volumen [m3] 00000 0,55,162,8015,5814019 18,044,3724,2835872 1,518,369,9755,4371743 217,009,2351,3196070 2,514,727,9944,4486174 313,207,1739,8675866 3,59,865,3629,7862672 47,283,9621,9946592 4,56,373,4619,2437109 500017317 100,0054,3 543434 Solucin: Cada una de las ordenadas del hidrograma unitario de Clark, se calculan aplicando la relacin: tAq=78 , 2 acadaunadelasporcionesdereaentreisocronas,obteniendoelhidrogramaunitariodela Figura 1.10.Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 19 - Figura 1.10: Hidrograma unitario de Clark de media hora de duracin, para la cuenca de Alhama de Granada. Comodecostumbre,verificamosqueelvolumendelhidrogramacorrespondeauna precipitacin igual a la unidad. El volumen del hidrograma se encuentra calculado en la ltima columna de la Tabla 1.4. La precipitacin correspondiente se obtiene dividiendo dicho volumen por el rea de la cuenca: cm ,00 1m 1cm 100m 10km 1km 3 , 54m 5434342 6223= = =AVPee

1.1.10 Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia. El Hidrograma en S Sisedisponedeunhidrogramaunitarioparaunaduracindada,puedendeducirselos hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son mltiplos enteros de la duracindada,elnuevohidrogramaunitariopuedecalcularsedirectamenteaplicandolos principios de proporcionalidad y superposicin. Existeunmtodogeneralaplicableahidrogramasunitariosdecualquierduracin,basadoen estosprincipios,llamadoelmtododelhidrogramaenS.ElhidrogramaenSesaquelque resultadeunalluviaefectivacontinuaaunatasaconstantede1cm/hduranteunperiodo indefinido (Figura 1.11). Si conocemos el hidrograma unitario para una duracin de lluvia neta cualquiera, t, podemos considerarqueelhietogramaqueproduceelhidrogramaenSestformadoporunnmero indefinidodehietogramasdeesaduracinyconunaintensidad1/t,unotrasotro.Estose puede( ) ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( t n t h t t h t t h t h t g + + + + =Si se acepta el principio de superposicin, el hidrograma de escurrimiento directo ser como el indicado en la Figura 1.11. El caudal mximo del hidrograma en S es el denominado caudal de equilibrio, Qe, que es igual a: AtiA Qe= =cm 1 01020304050600 1 2 3 4 5Tiempo [hs]q [m3/s/cm]Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 20 - dondeAeselreadelacuenca, ies la intensidad y t es la duracin de la lluvia efectiva del hidrogramaunitariooriginal.Eltiempotranscurridohastaelestablecimientodelcaudalde equilibrio es el tiempo de concentracin, Tc. Figura 1.11: Hidrograma en S. Tericamente, el hidrograma obtenido de esta manera debera ser una curva suave, debido a que sesuponequelalluviaefectivadeentradatieneunaintensidadconstanteycontinua.Sin embargo,elprocesodesumaproducirunaformaondulatoriasiexistenerroresenlas abstracciones o en la separacin del flujo base, o tambin si la distribucin temporal y/o espacial delalluviaefectivaconlaquesecalculelhidrogramaunitarionofueuniforme.Antesde utilizar este hidrograma para nuestros clculos, se deber suavizar dicho hidrograma, sabiendo que para un tiempo igual al tiempo de concentracin, el caudal ser igual al caudal de equilibrio. Para obtener un hidrograma unitario de diferente duracin de lluvia efectiva, se sigue el siguiente procedimiento (Figura 1.12): SedesplazaelhidrogramaenSunaduracinigualaladelalluviaefectivadelacual queremos obtener el hidrograma unitario, t'. Se restan las ordenadas del hidrograma en S desplazado a las del hidrograma en S original, con lo que se obtiene un hidrograma para una duracin de lluvia efectiva de t', pero que no es unitario. Se transforma el hidrograma obtenido en unitario, teniendo en cuenta que i t = i' t' = 1 cm, por lo cual: ''tti i= siendo i' la intensidad del hidrograma unitario de duracin t'. Por lo tanto, para obtener el hidrograma unitario correspondiente a una duracin t', se deber multiplicar las ordenadas del hidrograma obtenido por t/t'. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 21 - Figura 1.12: Uso del hidrograma en S para encontrar el hidrograma unitario de otra duracin. Ejemplo 1.7: Encontrar el hidrograma unitario de una duracin de 1,5 horas, usando como base el hidrograma unitario de 0,5 horas del Ejemplo 1.1 y el concepto del hidrograma en S. Solucin: En la segunda columna de la Tabla 1.5 se muestra el hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin. El hidrograma en S se obtiene aplicando la frmula: ( ) ) ( ... ) 2 ( ) ( ) ( t n t h t t h t t h t h t g + + + + = tal como se indica en la tercera columna de la Tabla 1.5. La diferencia entre las ordenadas de la segunda y tercera columna es un hidrograma que corresponde a una duracin de 1,5 horas, pero no unitario. Para que dicho hidrograma sea unitario, se multiplican sus ordenadas por 0,5/1,5, obtenindose los valores que se muestran en la ltima columna. El volumen unitario queda comprobado ya que la suma de las ordenadas es igual en ambos hidrogramas.

En la Figura 1.13 se muestran: el hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin, el hidrograma en S, el hidrograma en S trasladado y la diferencia entre stos dos ltimos. EnlaFigura1.14semuestran,conpropsitoscomparativos,losdoshidrogramasunitarios,el de 0,5 horas y el de 1,5 horas de duracin. trasladado Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 22 - Tabla 1.5: Clculos necesarios para cambiar la duracin de un hidrograma unitario utilizando el concepto de hidrograma en S. T [hs] HU - 0,5 hs [m3/s/cm] HU en S [m3/s/cm]HU en S trasl.[m3/s/cm] Col.(3) - Col.(4)[m3/s/cm] HU - 1,5 horas [m3/s/cm] 000000 0,50,4490,44900,4490,150 11,2051,65401,6540,551 1,52,6074,26104,2611,420 22,7967,0570,4496,6082,203 2,51,6288,6851,6547,0312,344 30,59,1854,2614,9241,641 3,50,4339,6187,0572,5610,854 40,39,9188,6851,2330,411 4,50,18910,1079,1850,9220,307 5010,1079,6180,4890,163 5,5010,1079,9180,1890,063 6010,10710,10700 10,107 Figura 1.13: Hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin, hidrogramas en S y diferencia entre ellos, para el ejemplo 1.7. 0246810120 1 2 3 4 5 6Tiempo [hs]q [m3/s/cm]HU 0,5 horas H en S (H1) H en S, tras. (H2) H1 - H2Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 23 - Figura 1.14: Hidrogramas unitarios de 0,5 y de 1,5 horas de duracin del ejemplo 1.7. 1.2 Modelos de Depsito 1.2.1 Modelo de sistema hidrolgico general Lacantidaddeaguaalmacenadaenunacuenca,S,puederelacionarseconloscaudalesde entrada,Iydesalida,Q,delacuenca(Figura1.15),atravsdelaecuacinintegralde continuidad: ( ) ( ) t Q t IdtdS = Figura 1.15: Representacin simplificada de un sistema hidrolgico. Comolacantidaddeaguaalmacenadaenlacuencaaumentaydisminuyeconeltiempoen funcin de I y Q de su variacin con el tiempo, el almacenamiento en cualquier instante podr expresarse por una funcin tal como: ||.|

\|= K K , , , , , , ,2222dtQ ddtdQQdtI ddtdII f S Dondelafuncinfestardeterminadaporlanaturalezadelsistemahidrolgicoanalizado (cuenca o tramo de cauce). La solucin de este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (I y Q), puede resolverse, por ejemplo, de dos maneras: 1)Diferenciar la ecuacin de almacenamiento, sustituir el resultado en la primera y resolver la ecuacin diferencial integrando para I y Q. I(t)Q(t)S(t)00.511.522.530 1 2 3 4 5 6Tiempo [hs]q [m3/s/cm]HU - 1,5 hs HU - 0,5 hsMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 24 - 2)Aplicarelmtododediferenciasfinitasalasdosecuacionespararesolverlasenpuntos discretos del tiempo. 1.2.2 Modelo de embalse lineal Un embalse lineal es aquel cuyo almacenamiento, S, est relacionado linealmente con su caudal de salida, Q, a travs de una constante de almacenamiento k: S = kQ [L3] = [T][L3T-1] demaneraquekdebetenerunidadesdetiempo.Reemplazandoestadefinicindel almacenamiento en la ecuacin de continuidad de un sistema hidrolgico, nos queda: ( ) ( ) t Q t IdtdQkdtdS = =Operando, encontramos que: ( ) ( )|.|

\| =kt Qkt IdtdQ ( ) ( ) t Ikt Qk dtdQ 1 1= + Multiplicando ambos lados de la ecuacin por el factor integrante et/k, nos queda: ( ) ( ) t I ekt Q ek dtdQek t k t k t1 1= + que puede expresarse tambin como: ( ) ( ) t I ekQedtdk t k t1= Integrando con condiciones iniciales Q = Q0 en t = 0 quedar: ( ) ( ) d I ekQe dtkQQk t =010 donde es una variable auxiliar de tiempo en la integracin. Resolviendo: ( ) ( ) d I ekQ e t Qtk k t= 001 ( )( )( ) d I eke Q t Qtk t k t + =001 Suponiendo constantes k y I() y con Q0 igual a 0: ( )tkttkte I d ekI t Q001 = = Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 25 - Parauninstantecorrespondienteauntiempott0,siendot0laduracindelaentradaI, tendremos: ( )||.|

\| =kte I t Q 1 Para un instante correspondiente a un tiempo t > t0, es decir cuando I es igual a 0, entonces: ( )dtdQk t Q = QdQdtk= 1 Integrando: Q tkln1= ( )( )kt te t Q0= Ejemplo1.8:Calcularloshidrogramasdesalidadeundepsitoenelcualentrauncaudal constante de 1 m3/s durante 1 hora, considerando valores de la constante de almacenamiento, k, de 0,1; 0,5; 1; 2 y 5 horas. EnlaFigura1.16puedenverseloshidrogramascalculadosconlasfrmulasdeloscaudales antes deducidas. Obsrvese la influencia que tiene la constante k en la forma del hidrograma de salida. Figura 1.16: Influencia de la constante de almacenamiento, k, en la forma del hidrograma de salida. Sicontramoscondatosdecampodelacurvaderecesindelhidrogramadesalidadeuna cuenca, podramos estimar el valor de k para esa cuenca, partiendo de la ecuacin: Caudal de entrada, I = 1m3/sdurante 1 hora00.20.40.60.811.20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Tiempo [Hs]Q salida [m3/s]k=0,1 hk=0,5 hk=1 hk=2 hk=5 hMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 26 - ( )dtdQk t Q = que por diferencias finitas queda: 2 12 12t tQ Qk Q= SiconocemoselcaudaldesalidaQ2queseprodujoeneltiempoconocidot2yelcaudalde salida Q1 que se produjo en el tiempo conocido t1, la constante k del sistema hidrolgico puede calcularse como: ||.|

\| =2 12 12Q Qt tQ k Deestamanera,lascaractersticasdelalmacenamientodelacuencadeestudioquedaran resumidas en el valor de la constante k. 1.3 Modelo de Onda Cinemtica Lamodelacindelprocesodetransformacinlluvia-escorrentatambinpuedeefectuarsea travsdelaaplicacindelasecuacionesdelmovimientodelaguasobrelasuperficiedela cuenca.Estopermiteelconocimientoendetalledelascaractersticasdelflujosobrela superficiedelacuenca,perocomocontrapartida,esnecesariotenerinformacindedicha superficie con el suficiente detalle espacial. La superficie de la cuenca es simulada a travs de porcionesdeplanoinclinado,definidosporunarugosidad,unalongitud,unanchoyuna pendiente(Figura1.17).Elcomportamientodelflujosobreestosplanosinclinadosse considerar equivalente al comportamiento del mismo sobre la superficie de nuestra cuenca. Figura 1.17: Esquema de planos inclinados para simular la escorrenta sobre la superficie de una cuenca. Elmovimientodelaguapuededescribirseatravsdelasecuacionesdelflujonopermanente (ecuacionesdeSaint-Venant).Existeunasimplificacindeestasecuacionesenfuncinde considerarqueslolasfuerzasdegravedadydefriccinsonrelevantesenladescripcindel movimiento, simplificacin que se conoce como aproximacin de la onda cinemtica. AnalicemoselflujoenunplanoinclinadopermeablederugosidadnypendienteSoquese producira como consecuencia de una lluvia de intensidad i uniforme sobre este plano y de una tasa de infiltracin f tambin uniforme a travs del plano. El caudal unitario, q y el calado y, de Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 27 - dichoflujo,debencumplirlasecuacionesdecontinuidadydecantidaddemovimiento(o equilibrio de fuerzas) siguientes: f ityxq =+ nS yq21035=

Si derivamos la ecuacin de equilibrio de fuerzas con respecto al calado, nos queda: nS yyq2103235= que se transforma, previa multiplicacin del numerador y denominador por el calado, en: c vyqynS yyq= = = =35353521035 donde c es la celeridad con que se propaga una perturbacin, en este caso una onda de caudal, porefectoexclusivodelagravedadydelafriccin.Combinandoestaecuacinconlade continuidad, podemos llegar a: ( ) f i cxqctq =+ que es una ecuacin diferencial de primer orden en trminos del caudal q. Si consideramos c = dx/dt, igual a la pendiente de una lnea caracterstica, se llega a que la derivada total de q en esa lnea, es igual a la celeridad por la diferencia entre la intensidad i y la tasa de infiltracin f: ( ) f i cdtdq = Para resolver la ecuacin, puede recurrirse a esquemas numricos en diferencias finitas, como el representado en la Figura 1.18. Figura 1.18: Esquema de solucin en diferencias finitas para la aproximacin de la onda cinemtica. Utilizando dicho esquema, la ecuacin del movimiento quedara: x1 t 0 1 x0 x qX11qX10qX00qX01xt Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 28 - ( ) f i cxq qctq qx x x x =+10110111 Pararesolverestaecuacinesnecesarioproveerledeslounacondicindecontorno,lade aguas arriba. En este caso se toma un caudal nulo en el extremo aguas arriba del plano. Por su formulacin, el modelo de la onda cinemtica no es capaz de reproducir la influencia del flujo desde aguas abajo, lo que no debe preocupar, ya que estamos hablando de lminas de agua de,alosumo,pocoscentmetros.Tampocoescapazestemodelodereproducirlosefectosde laminacin o atenuacin, aspecto que puede deducirse considerando nulos tanto la contribucin de la precipitacin, i = 0, como la de la infiltracin, f = 0, con lo que la ecuacin quedara: 0 =dtdq Lo cual significa que el caudal es constante a lo largo de la lnea caracterstica. El caudal unitario q obtenido de la aplicacin de esta metodologa es el resultante en el extremo aguas abajo del plano inclinado y ser el que reciba, por ejemplo, el cauce principal de nuestra cuenca si es rural o el colector de la red de drenaje pluvial en el caso de una cuenca urbana. Como se vio al plantear las ecuaciones del movimiento, la informacin de la cuenca necesaria para aplicar este mtodo sera, adems de la intensidad de precipitacin i, las caractersticas de lasuperficiedelacuenca(rugosidadypendiente)ylascaractersticasdelsueloenelcasode que ste sea permeable, necesarias para calcular la tasa de infiltracin. Ejemplo 1.9: Calcular el caudal a la salida de una cuenca de 18,2 km2, simulada a travs de un planoinclinadodeunalongitudde6000myunanchode3033m,conuncoeficientede Manning de 0,03 y una pendiente de 0,02, como consecuencia del hietograma de lluvia neta del Ejemplo 1.1, es decir, 26,95; 49,05 y 45,95 mm a 30; 60 y 90 minutos. Utilizar el esquema de diferencias finitas descrito anteriormente, con un x de 1000 m y un t de 15 minutos hasta la duracindelalluvianetayluegoconuntde30minutos.Calcularlaevolucindelos caudales durante las 4,5 horas posteriores a la finalizacin de la lluvia. Solucin:Setrataderesolver,paracadapuntodeclculo,laecuacinimplcitaenqx11del esquemaendiferenciasfinitasdelaFigura1.18.Expresandolaceleridad,c,enfuncindel caudal, de la pendiente y del coeficiente de Manning, quedara: 531030523535 = = n S qyqc que reemplazado en la ecuacin deducida anteriormente nos da: ( ) f i n S qxq qn S qtq qxx xxx x |.|

\| =|.|

\| + 53103052111011531030521101113535 Resolviendo esta ecuacin para cada punto de clculo, obtenemos la evolucin de los caudales en el tiempo y en el espacio que se muestra en la Tabla 1.6. En la Figura 1.19 se muestra el hidrograma resultante a la salida del plano inclinado de 3033 m de ancho y en la Figura 1.20 los calados resultantes a la salida del mismo plano en dos instantes, en el momento del caudal mximo, t = 1,5 hs y en el ltimo instante de tiempo, t = 6 hs. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 29 - Tabla 1.6: Caudales obtenidos de la aplicacin de la aproximacin de la onda cinemtica para la transformacin lluvia-escorrenta del Ejemplo 1.9. q [m3/s/m]t [hs] x = 0x = 1000 m x = 2000 m x = 3000 m x = 4000 m x = 5000 m x = 6000 m Q [m3/s] 000000000 0,2504,58E-036,61E-037,56E-038,01E-038,23E-038,33E-0325,26 0,508,31E-031,33E-021,63E-021,81E-021,91E-021,97E-0259,77 0,7501,63E-022,77E-023,57E-024,12E-024,49E-024,75E-02144,02 102,12E-023,83E-025,17E-026,22E-027,02E-027,63E-02231,34 1,2502,32E-024,37E-026,14E-027,65E-028,90E-029,93E-02301,12 1,502,43E-024,69E-026,77E-028,63E-021,03E-011,17E-01355,51 201,43E-023,11E-024,82E-026,50E-028,08E-029,54E-02289,48 2,509,06E-032,12E-023,48E-024,89E-026,30E-027,67E-02232,77 306,07E-031,49E-022,55E-023,71E-024,92E-026,15E-02186,43 3,504,25E-031,08E-021,91E-022,85E-023,87E-024,93E-02149,56 403,09E-038,07E-031,45E-022,22E-023,06E-023,98E-02120,61 4,502,31E-036,16E-031,13E-021,75E-022,46E-023,23E-0297,97 501,78E-034,80E-038,92E-031,40E-021,99E-022,65E-0280,23 5,501,39E-033,81E-037,16E-031,13E-021,63E-022,19E-0266,28 601,11E-033,07E-035,82E-039,30E-031,35E-021,82E-0255,23 Figura 1.19: Hidrograma a la salida del plano de 3033 m de ancho del Ejemplo 1.9. Figura 1.20: Evolucin de los calados a lo largo del plano de 6000 m de longitud del Ejemplo 1.9. 0501001502002503003504000 1 2 3 4 5 6Tiempo [hs]Q [m3/s]00.020.040.060.080.10.120 1000 2000 3000 4000 5000 6000Distancia [m]Calado [m]t = 1,5 hs t = 6 hsMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003 - 30 - 2. PROPAGACIN DE CAUDALES Sedenominapropagacinde caudales al procedimiento a travs del cual se puede determinarel hidrograma de caudal en un punto de un curso de agua utilizando hidrogramas conocidos en unoomspuntosaguasarriba.Dichoprocedimientopuedeaplicarseasistemasagregadoso distribuidos.Cuandoseaplicaasistemasagregados,elflujosecalculacomounafuncindel tiempoenunlugarenparticular,loquetambinseconocecomopropagacinhidrolgica. Cuando se aplica a sistemas distribuidos, el flujo se calcula como una funcin del espacio y del tiempo a travs del sistema, lo que se conoce tambin como propagacin hidrulica. 2.1Propagacin de sistemas agregados o hidrolgica Comoyahemosvisto,enunsistemahidrolgicolaentrada,I(t),lasalida,Q(t)yel almacenamiento S(t), se relacionan por la ecuacin de continuidad: ( ) ( ) t Q t IdtdS = Conociendo I(t), no podemos obtener Q(t) si no se conoce una segunda relacin llamada funcin de almacenamiento, que en general es: ||.|

\|= K K , , , , , , ,2222dtQ ddtdQQdtI ddtdII f S Estasdosecuacionesnosbrindanunacombinacindedosecuacionescondosincgnitasque pueden resolverse, por ejemplo, por el mtodo de diferencias finitas. La forma de la ecuacin de almacenamiento depende de la naturaleza del sistema analizado. Existen varios mtodos que se diferencian entre s en la manera de considerar la funcin de almacenamiento: Mtodo del embalse a nivel:el almacenamiento es funcin no lineal de Q

S = f(Q) Mtodo de Muskingum: el almacenamiento es funcin lineal de I y Q S = f(I,Q) Modelos de depsitos o embalses lineales: el almacenamiento es funcin lineal de Q S = kQ La relacin que existe entre el almacenamiento, S y el caudal de salida, Q, es invariable cuando se tiene un embalse con superficie de agua horizontal. En este caso, S es funcin nicamente de laalturadelalminadeaguaenelembalseyQesfuncindelaalturadeaguasobrela estructura de control, de maneratal que combinando ambas relaciones, se llega a una relacin nica entre S y Q: S = f(Q), como se muestra en la Figura 2.1a). LarelacinentreSyQsueleservariablecuandosetratadeembalseslargosyangostosyde canalesocaucesderos,yaquelasuperficiedelaguasueletenerunapendientedebidoalos efectos de remanso. En este caso, S depender del nivel variable a lo largo del sistema y ya no existe una funcin nica entre la altura de la lmina de agua y Q, lo que finalmente conduce a una relacin variable entre S y Q, formando un bucle como se muestra en la Figura 2.1b). Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 31 - Figura 2.1: Relacin entre el caudal y el almacenamiento. El efecto del almacenamiento sobre el hidrograma de salida es, por un lado, el de modificar la forma del hidrograma, retrasando el tiempo al pico, aumentando el tiempo base y disminuyendo el caudal punta y, por otro lado, el de retrasar el comienzo del hidrograma, especialmente si se trata de cauces muy largos, donde la onda de avenida debe viajar una distancia considerable. Deestamanera,eltiempodemovimientode la avenida puede considerarse compuesto por un tiempo de redistribucin, provocado por el cambio en la forma del hidrograma, ms un tiempo detraslacin,provocadoporelviajedelaondadeavenidaalolargodelcauce,talcomose muestra en la Figura 2.2. Figura 2.2: Tiempo de movimiento de una avenida. la avenida Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 32 - 2.1.1 Propagacin de embalse a nivel Elprocedimientoparacalcularunhidrogramadecaudalalasalidadeunembalseconuna superficie de agua horizontal se lo conoce como mtodo del embalse a nivel. Si se considera la variacin entre los caudales de entrada y de salida a lo largo de un intervalo de tiempo es lineal, lo que es aproximado a la realidad siempre y cuando se tengan en cuenta intervalos de tiempo pequeos,digamosmenoresa0,1veceseltiempoalpicodelhidrogramadeentrada,la variacin en el almacenamiento en el intervalo puede encontrarse haciendo: tQ QtI IS S + += 2 22 1 2 11 2 Donde I1 e I2 son los caudales de entrada, Q1 y Q2 son los caudales de salida y S1 y S2 son los almacenamientos correspondientes a los instantes inicial y final del intervalo, respectivamente. En esta ecuacin, las incgnitas son Q2 y S2. Agrupando las incgnitas por un lado y los datos por el otro podemos obtener: ( ) |.|

\|+ + = |.|

\|+112 1 222 2QtSI I QtS que puede resolverse conociendo la relacin entre S y Q, que ya sabemos que es invariable. La relacin entre S y Q se obtiene a partir de: Larelacinentrealturayalmacenamiento,S=f(H),obtenidaatravsdelevantamientos topogrficos o bien de mapas cartogrficos.La relacin entre altura y caudal de salida, Q = f(H), que son ecuaciones que dependen del tipo de vertedero o estructura de salida (con o sin compuertas). En la Figura 2.3 se muestra la manera de obtener una relacin entre 2S/t y Q, utilizando ambas relaciones. Figura 2.3: Forma de obtener una relacin entre S y Q para ser utilizada en el mtodo del embalse a nivel. Q H S H QQtS+2Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 33 - Ejemplo2.1:Undepsitoderetencindeaguaspluvialestieneunreade4110m2,paredes verticales y la salida se realiza a travs de una tubera de 1,5 m de dimetro. La relacin entre el niveldeaguadentrodeldepsitoyelcaudaldesalidasedaenlaTabla2.1.Calcularel hidrogramadesalidadeldepsitoporelmtododelembalseanivel,considerandoel hidrograma de entrada de la Tabla 2.2. Considerar que el depsito est inicialmente vaco. Solucin: En primer lugar, calcularemos la relacin entre el caudal de salida yQtS+2. Como el depsito tiene paredes verticales, el almacenamiento se obtiene multiplicando el nivel de agua por el rea del depsito, lo cual se indica en la tercera columna de la Tabla 2.1. Finalmente, se calculaQtS+2 considerando un t de 10 min. Tabla 2.1: Relacin entre la funcin de almacenamiento y el caudal de salida. HQSQtS+2 mm3/sm3m3/s 0000 0,30,22712334,337 0,60,85024669,070 0,91,700369914,030 1,22,747493219,187 1,53,880616524,430 1,84,900739829,560 2,15,805863134,575 2,46,541986439,421 2,77,1641109744,154 37,7871233048,887 Los clculos del caudal de salida se realizan aplicando la ecuacin: ( ) |.|

\|+ + = |.|

\|+112 1 222 2QtSI I QtS en cada uno de los intervalos de tiempo considerados. En el instante de tiempo 1, S1 = Q1 = 0, porque el depsito est vaco y por lo tanto0211= QtS. El caudal de entrada, I1 = 0 e I2 = 3,4 m3/s,oseaqueI1+I2=3,4m3/s.Luegocalculamoslafuncindealmacenamientoparaeste instante: ( )sm4 , 3 0 4 , 32 23112 1 22= + = |.|

\|+ + = |.|

\|+QtSI I QtS ElvalordeQ2correspondientea 222QtS+seobtieneporinterpolacinlineal.Enestecaso ser: ( )sQ32m18 , 0 0 4 , 30 337 , 40 227 , 00 = + = Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 34 - Luego, el valor de 222QtS necesario para la segunda iteracin se calcula como: sm04 , 3 18 , 0 2 4 , 3 22 232 2222= = |.|

\|+= |.|

\|Q QtSQtS Los siguientes intervalos de tiempo se calculan de forma similar y los resultados se muestran en la Tabla 2.2. Tabla 2.2:Clculo de la propagacin de caudales a travs del depsito de retencin del Ejemplo 2.1. tII1 + I2 112QtS 222QtS+Q2 minm3/sm3/sm3/sm3/sm3/s 0000 103,43,43,043,400,18 206,810,210,1213,241,56 3010,21718,3027,124,41 406,81723,4835,305,91 503,410,222,4033,685,64 6003,417,5025,804,15 70013,6017,501,95 80010,3413,601,63 9008,2010,341,07 10006,728,200,74 11005,646,720,54 12004,845,640,40 En la Figura 2.4 pueden verse los hidrogramas de entrada y salida del depsito. Puede verse que el efecto del depsito de retencin es el de bajar el caudal punta de 10,2 m3/s a 5, 91 m3/s y el de retrasar el tiempo al pico en 10 minutos. Figura 2.4: Hidrogramas de entrada y de salida del depsito de retencin del Ejemplo 2.1. 0246810120 20 40 60 80 100 120Tiempo [min]Caudal [m3/s]Hid. Entrada Hid. SalidaMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 35 - 2.1.2 Propagacin en cauces. Mtodo de Muskingum ElmtododeMuskingumfuepresentadoporMcCarthy(1938)ymanejarelacionescaudal-almacenamientovariables.Estemtodomodelaelalmacenamientoenuncaucemediantela combinacin de dos tipos de almacenamientos, tal como se muestra en la Figura 2.5: Un almacenamiento prismtico, formado por un volumen de seccin transversal constante a lo largo del cauce prismtico. Unalmacenamientoencua,formadoporladiferenciaentreloscaudalesdeentraday salida, o bien, por la pendiente de la lmina de agua en el tramo considerado. Figura 2.5: Almacenamientos por prisma y por cua en un tramo de cauce. Durante el avance de la avenida el caudal de entrada es mayor que el de salida y se forma lo que sedenominacuapositivaydurantelarecesinelcaudaldeentradaesmenoralcaudalde salida, formndose una cua negativa. El volumen de almacenamiento prismtico es proporcional al caudal de salida, ya que se supone que el caudal de salida es proporcional al rea de la seccin del cauce: Sp = KQ El valor de K se considera igual al tiempo de trnsito de la onda de avenida a travs del tramo. El volumen de almacenamiento por cua es proporcional a la diferencia entre las entradas y las salidas: Sc = KX(I - Q) Donde X es un factor de ponderacin tal que puede tomar valores entre 0 y 0,5, en funcin de la forma de almacenamiento en cua. Cuando X = 0, no existe cua, no hay curva de remanso y el almacenamientoenelcaucesertipoembalse:S = KQ. En este caso se producira la mxima atenuacin posible. CuandoX = 0,5; se dice que la cua est completamente desarrollada y no existira atenuacin alguna del pico. En cauces naturales muy caudalosos y de baja pendiente, X sueleserprximoa 0 y ser ms cercano a 0,5 cuanta ms pendiente y menos caudal tenga el cauce. En ros espaoles, en general poco caudalosos, se puede tomar como media un valor de 0,3 a 0,35. El almacenamiento total en el tramo de cauce considerado sera entonces: Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 36 - S = KQ + KX(I - Q) Que puede reordenarse como: S = K[XI + (1 - X)Q] Estaecuacin representa el modelo lineal de almacenamiento para la propagacin de avenidas encaucesporelmtododeMuskingum. Si analizamos el volumen de almacenamiento en dos instantes, 1 y 2, al comienzo y al final de un intervalo de tiempo t, stos pueden determinarse como: S1 = K[XI1 + (1 - X)Q1] S2 = K[XI2 + (1 - X)Q2] Lavariacinenelalmacenamientoatravsdeltramoseraladiferenciaentreambos almacenamientos: S2 - S1 = K{[XI2 + (1 - X)Q2] - [XI1 + (1 - X)Q1]} Utilizando la ecuacin de continuidad, la variacin en el almacenamiento es igual a: tQ QtI IS S + += 2 22 1 2 11 2 Sustituyendo obtenemos: ( ) ( )( ) [ ] tQ QtI IQ Q X I I X K + += + 2 212 1 2 11 2 1 2 y despejando Q2 nos queda: ( ) ( )( )( )1 2 1 22121212212QtX KtX KItX KtKXItX KtKXQ+ ++ + ++ +=o bien: 1 3 2 2 1 1 2Q C I C I C Q + + =donde: ( )2121tX KtKXC+ += ;( )2122tX KtKXC+ + = ;( )( )21213tX KtX KC+ = Se verifica que la suma de C1, C2 y C3 debe ser igual que 1. Obtencin de K y X a partir de informacin de campo Siseencuentrandisponibleslos hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de un ro, pueden determinarse los valores de K y X, utilizando la siguiente metodologa: 1)Se asumen varios valores de X2)Utilizando la informacin de los caudales de entrada y de salida, se calculan los valores del numeradorydeldenominadordelasiguienteexpresindeK,deducidadeunaecuacin anterior: ( ) ( ) [ ]( ) ( )( )1 2 1 21 2 1 212Q Q X I I XQ Q I ItK + + += Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 37 - 3)Losvalorescalculadosdelnumeradorydenominadorsecolocanenungrficocomo ordenadasyabscisas,respectivamente,loqueproducirunacurvaenformadelazo.El valordeXqueproduzcaunlazolomsparecidoposibleaunarectanicaseutilizapara calcular el valor de K, que es la pendiente de dicha recta. Ejemplo 2.2: En los extremos de un tramo de un ro se han medido los caudales mostrados en la Tabla 2.3. Obtener los valores de K y X para ese tramo de ro. Tabla 2.3: Hidrogramas de caudales medidos en los extremos de un tramo de ro. tIQtIQ [das][m3/s][m3/s][das][m3/s][m3/s] 0594211252481 1937012203371 21297613158252 320514214130196 421018315105161 52341851690143 63252131780112 7554293186895 8627397195983 9526487205975 10432533 Solucin: Primero se calcula el numerador de la ltima ecuacin de K, es decir: ( ) ( ) [ ]1 2 1 22Q Q I ItV + += queseraelvolumendealmacenamientoeneltramoderoconsideradoencadainstantede tiempo analizado. Para los instantes de tiempo 1 y 2, sera: ( ) ( ) [ ] dasm20sm42 70 59 932da 13 31 = + + = V ( ) ( ) [ ] dasm58sm70 76 93 1292da 1dasm203 3 32 = + + + = V Por otro lado, se calcula el denominador de dicha ecuacin, asumiendo varios valores de X, por ejemplo, 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 y 0,5: ( ) ( )( )1 2 1 21 Q Q X I I X D + = Para X = 0,1 y para los instantes 1 y 2 tendramos: ( ) ( )( )sm6 , 28sm42 70 1 , 0 1sm59 93 1 , 03 3 31= + = D( ) ( )( )sm6 , 37sm70 76 1 , 0 1sm93 129 1 , 0sm6 , 283 3 3 31= + + = D En la Tabla 2.4 se muestran los valores de Vi y de Di para cada instante de clculo. En la Figura 2.6 se muestran los diferentes lazos obtenidos graficando Vi vs. Di, para diferentes valores de X. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 38 - Tabla 2.4: Clculo de los pares de valores (V, D) del Ejemplo 2.2. tVD = X(I2 - I1) + (1 - X)(Q2 - Q1)[m3/s] [das][m3/sda]X = 0X = 0,1X = 0,2X = 0,3X = 0,4X = 0,5 0 1202828,629,229,830,431 2583437,641,244,848,452 3116100104,6109,2113,8118,4123 4161141142143144145146 5199143146,2149,4152,6155,8159 6279.5171180,5190199,5209218,5 7466251275,4299,8324,2348,6373 8711.5355376,3397,6418,9440,2461,5 9846445447,2449,4451,6453,8456 10815491479,2467,4455,6443,8432 11650439414,4389,8365,2340,6316 12451.5329310,5292273,5255236,5 13320.5210198,9187,8176,7165,6154,5 14240.5154145,7137,4129,1120,8112,5 15179.5119111,7104,497,189,882,5 161251019487807366 1782.57065,160,255,350,445,5 18535348,644,239,835,431 1927.54136,932,828,724,620,5 207.53329,726,423,119,816,5 Figura 2.6: Obtencin de los parmetros K y X de Muskingum, para el Ejemplo 2.2. X = 0,202004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]X = 0,102004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]X = 002004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]X = 0,502004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]X = 0,402004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]X = 0,302004006000 500 1000XI + (1-X)Q [m3/s]V [m3/sda]Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 39 - PuedeobservarseenlaFigura2.6,queelvalordeX=0,2eselqueproduceunbuclems cerrado,porloqueseadoptarstecomovlido.ElvalordeKseobtienecalculandola pendiente de la recta media que se ajusta al bucle y que es de 1,86 das. Como K es el tiempo necesario para que la onda de avenida atraviese el tramo, tambin puede estimarse como el tiempo observado del caudal punta a travs del tramo, que para este ejemplo sera igual a 2 das. Ejemplo 2.3: Calcular el hidrograma resultante aguas abajo de un tramo de cauce de 5,4 km de longitud, con una pendiente media de 0,001, conociendo el hidrograma de entrada que se da en la Tabla 2.3. Considerar un X igual a 0,35. Solucin: Calculamos K en funcin de la longitud del tramo, x y de la pendiente media, S0: horas 41 , 2001 , 04 , 518 , 0 18 , 076 , 025 , 076 , 025 , 00=||.|

\|=||.|

\|=SxK Luego se calculan los coeficientes C1, C2 y C3, utilizando un t de 1 hora: ( )6501 , 00665 , 23435 , 12135 , 0 1 41 , 22135 , 0 41 , 21= =+ + = C1662 , 00665 , 23435 , 00665 , 22135 , 0 41 , 22 ==+ = C ( )5161 , 00665 , 20665 , 10665 , 22135 , 0 1 41 , 23= = = C Y finalmente se calcula el hidrograma de salida aguas abajo del tramo como: 1 2 1 1 3 2 2 1 1 205161 1662 , 0 6501 , 0 Q I I Q C I C I C Q + = + + = Los valores resultantes se presentan en la Tabla 2.5 y los hidrogramas estn representados en la Figura 2.7. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 40 - Tabla 2.5: Clculo del hidrograma de salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3 tIQ [horas][m3/s][m3/s] 05942 19345 212962 320582 4210141 5234170 6325186 7554215 8627367 9526510 10432533 11252514 12203395 13158310 14130241 15105191 1690152 1780124 1868105 195988 205974 Figura 2.7: Hidrogramas de entrada y salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3. 01002003004005006007000 5 10 15 20Tiempo [horas]Caudal [m3/s]I QMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 41 - 2.1.3 Modelo de embalse lineal Unembalselinealesaquelenelcualelalmacenamientoestlinealmenterelacionadoconsu caudal de salida mediante una constante de almacenamiento k, que tiene dimensiones de tiempo: S = kQ El concepto de embalse lineal fue introducido por primera vez por Zoch en 1934 en un anlisis de la relacin entre lluvia y escorrenta. Un embalse lineal nico es equivalente a considerar el modelo de Muskingum con X = 0. Elcomportamientodeunacuencapuederepresentarsepormediodeunaseriedenembalses linealesidnticos,cadaunodeellosconunamismaconstantedealmacenamientok(Nash 1957). Transitando un flujo de entrada de volumen unitario a travs de los n embalses lineales, puede deducirse un modelo matemtico para el hidrograma unitario instantneo de la serie. La integral de convolucin en forma continua puede expresarse como: = 0) ( ) ( ) ( d t u I t Q La funcin impulso-respuesta para un embalse lineal fue deducida como: |.|

\| = ktekt u1) ( por lo que el caudal de salida del primer embalse lineal, considerando una entrada I() = 1 y un caudal inicial Q0 = 0, estar dado por: |.|

\| =011) ( d ekt Qkt Siestecaudalseusacomoentradaparaelsegundoembalselineal,sucaudaldesalidapuede obtenerse como: ktktktekd ekekt Q |.|

\| = = 2 021 1 1) ( Siestecaudalseusacomoentradaparaeltercerembalselinealyassucesivamenteparan embalses lineales, el caudal de salida del embalse n ser: kt nnektn kt Q|.|

\|=1) (1) ( Siendo (n) = (n - 1)! Cuando n no es un nmero entero, el valor de puede obtenerse de tablas delafuncingamma(AbramowitzyStegun1965).LaecuacinobtenidadeQn(t)puede considerarsecomoelhidrogramaunitarioinstantneodelaseriedenembalseslinealesy tambinesconocidacomolafuncindeprobabilidadgamma.Puedecomprobarsequela integral de esta ecuacin para t desde 0 hasta infinito es igual a 1. Tambin puede demostrarse que el primer y segundo momentos del HUI alrededor del origen t = 0 son: M1 = nkyM2 = n(n + 1)k2 Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 42 - El primer momento, M1 es el tiempo de retardo del centroide del HUI y debe ser equivalente a la diferenciadetiempoentreloscentroidesdelasreasdelhietogramadelluvianetayel hidrograma de escorrenta directa (Chow 1994). Utilizandolosconceptosanteriores,teniendocomodatoselhietogramadelluvianetaysu correspondientehidrogramadeescorrentadirectadeunacuenca,podracalcularselos parmetros n y k correspondientes a dicha cuenca y con los cuales puede obtenerse su HUI. El clculo de n y k se realiza a travs de la resolucin del siguiente sistema de ecuaciones: nk M MI Q= 1 1 ( )122 22 1I I QnkM k n n M M + + = DondeMI1yMI2sonelprimerysegundomomentos,respectivamente,delhietogramade precipitacinnetadivididoporlalluviaefectivatotalyMQ1yMQ2sonelprimerysegundo momentos,respectivamente,delhidrogramadeescorrentadirectadivididoporlaescorrenta directa total. Ejemplo2.4:Dadoselhietogramadelluvianetaoefectivayelhidrogramadeescorrenta directa de la Figura 2.8, determinar el valor de los parmetros n y kpara el HUI. Figura 2.8: Hietograma de lluvia efectiva e hidrograma de escorrenta directa del Ejemplo 2.4. 1003002001000501001502002503003501 2 3 4 5 6 7 8 9 10Intervalo de tiempo [x 6hs]Lluvia neta [m3/s]0107016518014279381330501001502001 2 3 4 5 6 7 8 9 10Intervalo de tiempo [x 6hs]Escorrenta directa[m3/s]Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 43 - Solucin: Calculamos los momentos MI1, MI2, MQ1 y MQ2, para lo cual necesitamos determinar el volumen total de lluvia neta, que debe ser igual al volumen total de escorrenta directa. Para calcular este volumen, sumamos las ordenadas del hietograma de lluvia neta, que da 700 m3/s, igualalasumadelasordenadasdelhidrogramadeescorrentadirectayelresultadolo multiplicamos por el ancho del intervalo de tiempo considerado, es decir, 6 horas, con lo que se obtiene un volumen de 4200 m3/sh. Los momentos se calculan como: [ ] h 57 , 11 hsm21 100 15 200 9 300 3 100hsm4200h 6331= + + + =IM[ ] [ ]233 3 3232 2 2 22h 3 , 166hsm4200m100 200 300 10012h 6hsm21 100 15 200 9 300 3 100 h 6=+ + + + + + + =sMI Enformasimilarsecalculanlosmomentoscorrespondientesalhidrogramadeescorrenta directa: MQ1 = 28,25 h MQ2 = 882,8 h2 Calculamos nk usando la frmula: h 68 , 16 h 57 , 11 h25 , 281 1= = =I QM M nk Que reemplazamos en la frmula: ( ) ( )12122 22 2 1I I I QnkM k nk nk nkM k n n M M + + = + + = h 57 , 11 h 68 , 16 2 h 68 , 16 h 68 , 16 h 3 , 166 h 8 , 8822 2 2 2 + + = k de la cual se obtiene k = 3,14 h y n = 16,68 h/3,14 h = 5,31. Con estos valores, puede calcularse el HUI de la cuenca de la que provienen los datos utilizados. 2.2 Propagacin distribuida o hidrulica Losmtodoshidrulicosdepropagacinsebasanenlaresolucindelasecuacionesde conservacindelamasaydelacantidaddemovimientoparaflujonopermanente unidimensional,tambinconocidascomoecuacionesdeSaint-Venant.Laecuacinde conservacin de la masa o de continuidad est dada, en su forma no conservativa, es decir, para un ancho unitario de flujo, por: 0 =++tyxVyxyV y la ecuacin que expresa la conservacin de la cantidad de movimiento, tambin en forma no conservativa, es: ( ) 00= ++fS S gxygxVVtV Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 44 - Enambasecuaciones,Veslavelocidadmediadelflujoenunaseccintransversal,yesel caladooniveldeaguaendichaseccin, g es la aceleracin gravitatoria, S0 es la pendiente de fondo del tramo de cauce considerado, Sf es la pendiente de friccin de dicho tramo de cauce y x y t son las variables independientes, el espacio y el tiempo, respectivamente. Las hiptesis que se tienen en cuenta para la validez de las ecuaciones de Saint-Venant son las siguientes: 1.El flujo es unidimensional: el calado y la velocidad varan slo en la direccin longitudinal; la velocidad es constante y la superficie del agua horizontal en cualquier seccin transversal perpendicular al eje del cauce. 2.Elflujovaragradualmentealolargodelcanal,loqueimplicaqueladistribucinde presiones es hidrosttica y que las aceleraciones verticales son despreciables. 3.El eje del cauce es una lnea recta. 4.La pendiente del fondo es pequea y el lecho es fijo, lo que implica que no hay erosin ni sedimentacin. 5.Loscoeficientesderesistenciaparaflujouniformepermanenteturbulentosonaplicables, por ejemplo, se utiliza la ecuacin de Manning para describir el efecto de la resistencia. 6.El fluido es incompresible y de densidad constante. Cadaunodelostrminosconlosquecuentalaecuacindecantidaddemovimientotieneen cuenta alguno de los procesos fsicos que gobiernan la movimiento del fluido: +tV+xVV xyg gS0 + gSf = 0 Aceleracin local Aceleracin convectiva Fuerza de presin Fuerza de gravedad Fuerza de friccin Aceleracin local: variacin de cantidad de movimiento debido al cambio de velocidad con el tiempo. Aceleracinconvectiva:variacindecantidaddemovimientodebidoalcambiode velocidad a lo largo del canal. Fuerza de presin: variacin en la presin producida por un cambio en la profundidad del agua. Fuerzadegravedad:fuerzaquemuevealfluido,proporcionalasupesoyalapendiente del lecho. Fuerza de friccin: resistencia a la friccin ocasionada por las paredes del cauce. Los dos trminos de aceleracin representan el efecto de las fuerzas de inercia en el flujo. Los efectosderemansopuedenincorporarseenlapropagacindistribuidaatravsdelostres primeros trminos de la ecuacin de la cantidad de movimiento. Losmtodoshidrolgicosnoposeenmecanismoshidrulicosparadescribirlapropagacin aguas arriba de los cambios de flujo de cantidad de movimiento porque estn basados slo en la ecuacin de continuidad. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 45 - La clasificacin de los modelos de propagacin distribuida se realiza en funcin del nmero de trminos de la ecuacin de la cantidad de movimiento que se utilizan para el clculo. Elmodelode la onda cinemtica desprecia los trminos de aceleracin y el de presin, por lo que la ecuacin de la cantidad de movimiento quedara como: S0 = Sf El modelo de la onda difusiva desprecia los trminos de aceleracin y la ecuacin de la cantidad de movimiento queda: 00= + fS Sxy Finalmente, el modelo de la onda dinmica considera todos los trminos de la ecuacin. Laecuacindeconservacindecantidaddemovimientopuedeescribirsetambinenformas que tienen en cuenta si el flujo es permanente o no permanente y uniforme o variable. tVg 1 xVgVxy + S0 = Sf Flujo uniforme y permanente Flujo variable y permanente Flujo variable y no permanente 2.2.1 Propagacin mediante el modelo de la onda cinemtica Como se vio anteriormente, en el modelo de la onda cinemtica, la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento queda expresada como: S0 = Sf DondeS0eslapendientedelfondodelcauceeneltramoconsiderado,calculableapartirde informacin topogrfica o batimtrica y Sf es la pendiente de friccin o de la lnea de energa del flujo, calculable a partir de alguna frmula de resistencia, como por ejemplo la de Manning. Si expresamos la velocidad media del flujo a travs de la ecuacin de Manning, el caudal sera igual a: 3221035 21032 nPSAnS RA V A Qh= = = DondeAeselreadelaseccintransversalyPeselpermetromojado.DespejandoA, tenemos: Q QSnPA =||.|

\|=535321032 Donde hemos llamado = [nP2/3/S01/2]3/5 y = 3/5 = 0,6. Si derivamos A con respecto al tiempo, nos queda: Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 46 - tQQtA=1 que sustituyendo en la ecuacin de la continuidad en forma conservativa: 0 =+tAxQ nos da: 01=+tQQxQ Lasondascinemticassonresultadodecambiosenelcaudal,Q.Laderivadatotaldelcaudal con respecto al espacio, x, es igual a: xttQxQdxdQ+= Comparando esta ecuacin con la de la continuidad en su forma conservativa, vemos que son idnticas si: 0 =dxdQy 11=Q dtdx con lo que queda demostrado que: kcdAdQdtdx= = queeslaceleridadde la onda cinemtica. Esto significa que un observador movindose a una velocidadck,veraquedQ/dx=0,esdecir,queelcaudalesconstante.Estasdosltimas ecuacionessonlasecuacionescaractersticasparaunaondacinemtica,esdecir,dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemticamente equivalentes a lasecuaciones de la continuidad y de la cantidad de movimiento. Siderivamoselcaudal,Q,conrespectoalrea,A,utilizandolaecuacindeManning, considerando n, S0 y P constantes, lo que es aproximadamente cierto cuando se trata de cauces mucho ms anchos que profundos, podemos encontrar que la celeridad, ck es igual a: VAQAAnPSAAAnPSdAdQck3535353535322103232210= =|||.|

\|=|||.|

\|= = Esdecir,quelaceleridaddelaondacinemticaessuperioralavelocidadmediadelflujoy utilizando la ecuacin de Manning, igual a 5/3 la velocidad media del flujo. Solucin analtica de la onda cinemtica Para resolver el valor de Q en funcin del tiempo, a una distancia L del extremo aguas arriba del cauce, es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, el valor de Q en todo punto del espacioparat=0ylascondicionesdecontorno,esdecir,elvalordeQentodoinstantede tiempo para x = 0. Las condiciones iniciales podran ser las de un caudal base uniforme a todo lo largo del cauce analizado en el instante t = 0 y las condiciones de contorno podran ser las de un hidrograma de entrada en el extremo aguas arriba del cauce, en el punto x = 0. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 47 - Las ecuaciones caractersticas nos dicen que dQ/dx = 0, es decir, que el caudal es constante si nos movemos a una velocidad igual a la celeridad de la onda: dtdxck= Lo que se intenta esquematizar en la Figura 2.9 Figura 2.9: Trnsito de una onda cinemtica a lo largo de un cauce de longitud L. Quieredecir,queenelmodelodelaondacinemticaelcaudalnoseatenanunca.Si integramos la ecuacin de la celeridad a todo lo largo del cauce, nos queda: ( )000t t c L dt c dxkL ttk = = Luego el tiempo en el cual un caudal Q transitar desde el extremo aguas arriba del cauce hasta el extremo aguas abajo ser: kcLt t + =0 Enestecasoparticularlaslneascaractersticassonrectasporquehemosconsideradoqueel caudalnovaraalolargodeltramodelcauce,perosiexistierauncaudallateraldeentradao salida, estas lneas seran curvas. Ejemplo 2.5: Un canal rectangular de 60 m de ancho tiene 5000 m de longitud, una pendiente de fondodel1%yuncoeficientederugosidadde Manning de 0,035. Calcular el hidrograma de salida del canal teniendo como dato el hidrograma de entrada dado en la Tabla 2.x y utilizando la solucin analtica de la onda cinemtica. Solucin: El caudal, utilizando la ecuacin de Manning para flujo uniforme y cuando el ancho es mucho mayor que el calado, est dado por: nS ByV A Q21035= = t x Q = Qmx LQ = 0 Q = 0Q = Qmx 1ckLneas caractersticasMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 48 - de la cual puede obtenerse el calado como: 53210|||.|

\|=BSQny La celeridad de la onda cinemtica es ck = 5/3 V, que expresada en funcin del caudal, quedara: 10305253525321035353535S B n QBSQnBQByQAQck =|||.|

\|= = = El tiempo de trnsito a lo largo de todo el canal sera igual a 5000 m/ck y finalmente, el tiempo desalidadecadacaudalconsiderado,puedecalcularsesumandoeltiempodeentradayel tiempodetrnsito,talcomosemuestraenlaTabla2.6.EnlaFigura2.10semuestranlos hidrogramas de entrada y de salida resultante. Tabla 2.6: Trnsito de un hidrograma de caudal utilizando la solucin analtica de la onda cinemtica. tCaudalCeleridadTiempo trnsito Tiempo de salida minm3/sm/sminmin 0603,1326,626,6 12603,1326,638,6 241003,8421,745,7 361404,3919,055,0 481804,8617,265,2 602205,2615,875,8 721804,8617,289,2 841404,3919,0103,0 961003,8421,7117,7 108603,1326,6134,6 120603,1326,6146,6 132603,1326,6158,6 144603,1326,6170,6 Figura 2.10: Hidrogramas de entrada y de salida correspondientes al Ejemplo 2.5. 0501001502002500 24 48 72 96 120 144Tiempo [min]Caudal [m3/s]Hid. Entrada Hid. SalidaMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 49 - Solucin numrica lineal para la onda cinemtica La solucin numrica para la onda cinemtica consiste en resolver numricamente, en cada uno de los puntos de una malla x-t, la ecuacin: 01=+tQQxQ paraunosparmetrosy dados de un canal y unas determinadas condiciones iniciales y de contorno. Utilizando aproximaciones por diferencias finitas, para resolver el flujo en una malla x-t tal como la mostrada en la Figura 2.11, la ecuacin anterior quedara: 020111101101011=||.|

\|||.|

\|++tQ Q Q QxQ QX X X X X X enlacualseresolveraelvalordeQX11enfuncindelosvaloresconocidos,biendelas condicionesinicialesydecontornoobiendelosvaloresobtenidoseninstantesdetiempoy espacio anteriores, QX10 y QX01. Figura 2.11: Esquema en diferencias finitas para resolver la ecuacin de la onda cinemtica. Esteesquemadediferenciasfinitasmostradoeselllamadodediferencias finitas hacia atrs y necesita para ser resuelto slo valores de aguas arriba. Por este motivo, el modelo es insensible a la influencia del flujo aguas abajo. Este esquema tambin se llama explcito, porque cada valor de la incgnita QX11 se calcula uno a uno en cada punto de la malla, y cuyo valor quedara dado por: (((

||.|

\|++(((

||.|

\|++=1011010110 01101122X XX XX XXQ QxtQ QQ QxtQ Paraqueunesquemaexplcitoseaestable,eltamaodelamalladeclculodebecumpliren todomomentoconlacondicindeCourant-Friedrichs,queesnecesariaperonosuficientey est dada por: kcxt x1 t 0 1 x0 x QX11QX10QX00QX01xt Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 50 - Solucin numrica no lineal para la onda cinemtica En el esquema no lineal, se resuelve por diferencias finitas la ecuacin: 0 =+tAxQ utilizando la aproximacin A = Q para resolver A, quedando: 001111011=||.|

\|+tQ QxQ QX X X X Reordenando de tal manera que en el lado izquierdo quede la incgnita: 01101111 X X X XQ QxtQ Qxt+= + Que es una solucin no lineal de la incgnita QX11 Ejemplo 2.6: Calcular el hidrograma de salida del canal del Ejemplo 2.5 utilizando un modelo linealdeondacinemtica,conunxde1000myuntde3min.Lacondicininicialesun flujo uniforme a lo largo de todo el canal de 60 m3/s. Solucin: El valor de =0,6 y se calcula como: 74 , 201 , 060 035 , 0532132 5321032=||.|

\|=||.|

\|=SnP Utilizando los valores de x y t dados, el clculo de QX11 quedara: (((

||.|

\|+ +(((

||.|

\|+ +=4 , 001104 , 00110 01101126 , 0 74 , 2m 1000s 18026 , 0 74 , 2m 1000s 180X XX XX XXQ QQ QQ QQ Los clculos se detallan en la Tabla 2.7, en la que se han omitido algunas filas por brevedad y en la Figura 2.11 se muestran los hidrogramas de entrada y salida correspondientes. Puedeobservarsequeexisteunaatenuacindelpicodelhidrograma,atenuacinquees puramente numrica, ya que depende del tamao con que se elijan tanto el x como el t. Puede versequelosvaloresdexytfueronescogidosdemaneraquesecumplalacondicinde Courant-Friedrichs. En la Tabla 2.6 se ve que la celeridad mxima se da para el caudal de 220 m3/s y es de 5,26 m/s. Para esta celeridad, el t mximo sera igual a 1000 m/5,26 m/s = 190 s. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 51 - Tabla 2.7: Trnsito de un hidrograma de caudal por el mtodo lineal de la onda cinemtica. tx (m)010002000300040005000 (min)ndices 123456 016060,060,060,060,060,0 326060,060,060,060,060,0 636060,060,060,060,060,0 946060,060,060,060,060,0 1256060,060,060,060,060,0 1567063,761,360,560,260,1 1878069,864,561,960,860,3 2189077,669,464,762,261,0 24910086,576,068,964,762,4 271011096,183,974,768,464,6 3011120106,092,881,873,567,9 3312130116,2102,590,180,072,5 3613140126,5112,699,387,778,4 3914150136,8123,0109,396,585,5 4215160147,2133,6119,7106,193,9 4516170157,5144,3130,4116,4103,2 4817180167,9154,9141,3127,2113,3 5118190178,2165,6152,2138,2124,1 5419200188,5176,2163,2149,5135,2 5720210198,7186,8174,2160,7146,6 6021220209,0197,4185,0172,0158,1 6322210209,5203,2193,6182,1169,2 6623200204,9204,0198,6189,9178,8 6924190197,8201,1199,8194,6186,2 7225180189,4195,5197,7196,1190,9 7526170180,4188,4193,3194,8192,7 7827160171,0180,3187,2191,2192,0 120416062,568,075,985,194,9 123426061,665,772,180,189,0 126436061,064,069,075,983,9 129446060,662,866,772,479,5 132456060,461,965,069,675,7 135466060,361,363,667,472,6 138476060,260,962,665,770,0 141486060,160,661,964,367,9 144496060,160,461,463,266,2 Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 52 - Figura 2.12: Hidrogramas de entrada y salida obtenidos mediante la solucin numrica lineal de la onda cinemtica. 2.2.2 Mtodo de Muskingum-Cunge Cunge (1969) propuso un mtodo basado en el de Muskingum, pero que tiene en cuenta algunos conceptos tomados de la aproximacin de la onda cinemtica. La ecuacin de Muskingum, en la notacin utilizada para la onda cinemtica, puede escribirse como: 01 300 210 111 X X X XQ C Q C Q C Q + + = En la cual, los coeficientes C1, C2 y C3 dependen de los parmetros K y X. Cunge demostr que cuando K y t se toman como constantes, esta es una solucin aproximada de las ecuaciones de onda cinemtica, siendo los valores de K y X iguales a: kcxK= ||.|

\| =x S BcQXk 0121 Dondexeslalongituddeltramoconsiderado,ckeslaceleridaddelaondadeavenida correspondienteaQyB,BeselanchodelasuperficiedeaguayS0,lapendientemediade dicho tramo de cauce. Este mtodo tiene la ventaja de que la solucin se obtiene a travs de una ecuacin algebraica lineal,loquepermitequeelhidrogramapuedaobtenersesloenlasseccionesrequeridasen lugardetodoslospuntosdelamallacomorequiereelmodelodeondacinemtica,loque tambin producir una menor atenuacin numrica. En Espaa se acostumbra calcular el factor K, considerando vlida la aproximacin de la onda cinemtica y la ecuacin de resistencia de Manning, por lo cual, la celeridad, ck sera igual a 5/3 0501001502002500 24 48 72 96 120 144Tiempo [min]Caudal [m3/s]Hid. Entrada Hid. SalidaMtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 53 - la velocidad de la onda de avenida. Si calculamos la velocidad de la onda como x/T, donde T es un tiempo de concentracin del fluido en el tramo y utilizamos para calcularlo la frmula de Tmez, se llega a la siguiente ecuacin para K: 76 , 025 , 0018 , 0 6 , 0||.|

\|= =SxT Kc Donde x debe introducirse en km, S0 en m/m y K quedara expresado en horas. 2.2.3 Propagacin mediante el modelo de la onda difusiva En el modelo de la onda difusiva, la ecuacin de continuidad puede escribirse: 0 =++xVbAxyVty y la ecuacin de la cantidad de movimiento sera, despreciando los trminos de inercia: fS Sxy =0 Combinandoambasecuacionessepuedellegaraunaecuacindiferencialnicadetipo parablicoanlogaenestructurayformaalaecuacindedifusindelcalor.Necesitados condicionesdecontorno,aguasarribayaguasabajo,permiterepresentarlalaminacinyes vlida para todo tipo de cauces y flujos (supercrtico y subcrtico). Es un modelo adecuado para casos en que los hidrogramas tienen subidas suaves, es decir, sin mucha inercia. 2.2.4 Propagacin mediante el modelo de la onda dinmica En este caso, se usan todos los trminos de la ecuacin de la cantidad de movimiento y la forma delasolucincambiaatipohiperblico.Estemodelotieneencuentatodaslasfuerzasque actan en el fluido y tambin necesita de condiciones de contorno aguas arriba y aguas abajo. El aumento de tiempo de clculo con respecto al modelo de la onda difusiva no es muy grande, por lo cual normalmente se prefiere trabajar con las ecuaciones completas. Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- 54 - 3. BIBLIOGRAFA Abramowitz y Stegun (1965) Handbook of mathematical functions. Dover, New York. Chow, V.T.; Maidment, D.R.; Mays, L.W. (1994) Hidrologa Aplicada. McGraw-Hill, Bogot. GmezValentn,Manuel(2001) HidrogramaUnitarioyModelosdeDepsitos.En:Curso de HidrologaUrbana,4Edicin.UniversitatPolitcnicadeCatalunya,E.T.S.I.C.C.P,Depto.de IngenieraHidrulica,MartimayAmbiental,SeccindeIng.HidrulicaeHidrolgica, Barcelona. GmezValentn,Manuel(2001)TransformacinLluvia-Escorrentamedianteelusodela OndaCinemtica.En:CursodeHidrologaUrbana,4Edicin.UniversitatPolitcnicade Catalunya,E.T.S.I.C.C.P,Depto.deIngenieraHidrulica,MartimayAmbiental,Seccinde Ing. Hidrulica e Hidrolgica, Barcelona. Aparicio, F.J. (1999) Fundamentos de Hidrologa de Superficie. Limusa, Mxico, D.F. Linsley, R.K. Jr.; Kohler, M.A.; Paulhus, J.L.H. (1988) Hidrologa para Ingenieros. McGraw-Hill. New York Monsalve Senz, G. (1999) Hidrologa en la Ingeniera. Alfaomega, Mxico.