MÉTODOS NUMÉRICOS M. en C. José Andrés Vázquez Flores Solución de una ecuación no lineal...

MÉTODOS NUMÉRICOS

M. en C. José Andrés Vázquez Flores

Solución de una ecuación no lineal

“Cálculo de raíces”

Búsqueda de raíces

Consiste en obtener una raíz x de una ecuación de la forma

f(x) = 0

para una función f dada.

Al número x se le llama también cero de f.

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria

Supongamos que f es una función continua definida en el intervalo [a,b] con f(a) y

f(b) de signos diferentes. De acuerdo con el teorema de valor intermedio, existe un

número p en (a,b) tal que f(p) = 0 .

Este procedimiento se aplica en el caso en que f(a) y f(p) tengan signos diferentes y

exista más de una raíz en el intervalo (a,b), por razones de simplicidad suponemos

que la raíz de este intervalo es única.

El método requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [a,b] y en

cada paso, localizar la mitad que contenga a p.


Para empezar, supongamos que a1=a y b1=b, y sea p1 el punto medio de [a,b] es

decir;

p1 = (1/2)(a1 + b1)

Si f(p1) = 0, entonces p = p1; de no ser así, entonces f(p1) tiene el mismo signo

que f(a1) o f(b1).

Si f(a1) y f(p1) tienen el mismo signo, entonces p ϵ (p1,b1) y tomamos a2=p1 y

b2=b1.

Si f(a1) y f(p1) tienen signos opuestos, entonces p ϵ (a1,p1) y tomamos a2=a1 y

b2=p1.

Después volvemos a aplicar este proceso al intervalo [a2,b2].

Esto nos da el siguiente algoritmo.


Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f en el intervalo [a,b], donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:

ENTRADA extremos a,b; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No.

SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1 Tomar i = 1

Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3-6

Paso 3 Tomar p = a + (b - a) / 2 (Calcular pi)

Paso 4 Si f(p) = 0 ó (b - a) / 2 < TOL entonces

SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente)

PARAR

Paso 5 Tomar i = i + 1

Paso 6 Si f(a)f(p) > 0 entonces tomar a = p (Calcular ai, bi)

si no tomar b = p

Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No)

(Procedimiento completado sin éxito)

PARAR


f(x) = x3 + 4x2 – 10 [ä,b] = [1,2] │pn-1 – pn │ / │pn │ <10-4

n an bn pn f(pn)

1 1.0 2.0 1.5 2.3752 1.0 1.5 1.25 -1.796873 1.25 1.5 1.375 0.162114 1.25 1.375 1.3125 -0.848395 1.3125 1.375 1.34375 -0.350986 1.34375 1.375 1.359375 -0.096417 1.359375 1.375 1.3671875 0.032368 1.359375 1.3671875 1.36328125 -0.032159 1.36328125 1.3671875 1.365234375 0.00007210 1.36328125 1.365234375 1.364257813 -0.0160511 1.364257813 1.365234375 1.364746094 -0.0079912 1.364746094 1.365234375 1.364990235 -0.0039613 1.364990235 1.365234375 1.365112305 -0.00194

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

f(x)

x


Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como

aproximación de la raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

x1

f(x)

x

f(x1)



aproximación de la raíz y obtener el valor de la función por ese punto.

Trazar una recta tangente a la función por ese punto.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

x1

f(x)

x

f(x1)

x2




Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)




Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.

El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)


Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.


Supóngase que la función f es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo [a,b]; o sea f ε C2[a,b]. Sea ẋ ε [a,b] una aprox. A p ɟ f´ (ẋ)≠0 y | ẋ-p| es “pequeño”.

Consideremos el Pol. De Taylor de primer grado para f(x) alrededor de ẋ.

donde 𝜉(x) esta entre x y ẋ. Dado que f (p)=0 , con x=p tenemos:

2____

!2)(

))(´´())(´()()(xx

xfxxxfxfxf

2____

!2)(

))(´´())(´()(0xp

xfxpxfxf

Derivando el método de Newton suponiendo que, como |p- ẋ| es tan pequeño el termino

que contiene (p- ẋ)2 es mucho menor entonces podemos tomar:

Despejando p de esta ecuación obtenemos:

Esto prepara el método de Newton-Raphson, el cual comienza con una aproximación

inicial p0 y genera la sucesión {pn} definida como

para n ≥ 1

))(´()(0___

xpxfxf


_

__

)´(

)(

xf

xfxp

)´(

)(

1

1

1 pp

ppn

n

nn f

f

ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON

Para encontrar una solución de f(x)=0 dada una aproximación inicial p0.

ENTRADA aproximación inicial p0 ; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No.


Paso 1 Tomar i = 1


Paso 3 Tomar p = p0 – f(p0) / f´(p0) (Calcular pi)

Paso 4 Si │p – p0 │ < TOL entonces


PARAR


Paso 6 Tomar p0 = p (Redefinición de p0, q0, p1, q1)



PARAR

Método de la Secante

El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior.

Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

Por ejemplo:

f(x)=x23xcos(2x), entonces

f´(x)= 2x3xcos(2x)+x23x(cos(2x))ln3-2x23xsen(2x)

La cual es extremadamente tediosa de evaluar

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos

(xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de

la función.


En la imagen anterior se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente.

Esta línea tiene la siguiente ecuación


Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de

recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas

obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a

un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente

pequeñas entre xn y xn-1).

Derivación del Método de la Secante

)(xf)f(x

- = xxi

iii ' 1

1

1 )()()(

ii

iii xx

xfxfxf

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Método de Newton

Aproximación de la derivada

Sustitución de la ecuación 2 en la ecuación 1 nos da el Método de la Secante

(1)

(2)

Algoritmo del Método de la Secante

Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f y unas aproximaciones iniciales p0, p1.

ENTRADA aproximaciones iniciales p0, p1; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No.


Paso 1 Tomar i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)


Paso 3 Tomar p = p1 – q1(p1 - p0) / (q1 - q0) (Calcular pi)



PARAR


Paso 6 Tomar p0 = p1 (Redefinición de p0, q0, p1, q1)

q0 = q1

p1 = p

q1 = f(p)



PARAR

Ejemplo

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

f(x)

x


Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

xi Xi+1

f(x)

x

f(xi)

f(xi+1)



Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)).


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

xi Xi+1

f(x)

x

f(xi)

f(xi+1)



Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)).

Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

xi xi+1xr

f(x)

x

f(xi)

f(xi+1)f(xr)



Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)) y se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

xi xi+1xr

f(x)

x

f(xi)

f(xi+1)f(xr)

rxx =i+1



Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1))Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

intersección xr coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.


)x(f)x(f)xx)(x(f

xxsi

sissr

xi xi+1xr

f(x)

x

f(xi)

f(xi+1)f(xr)

)x(f)x(f

)xx)(x(fxx

ii+1

ii+1i+1

i+1r -

--=

ALGORITMO DE LA REGLA FALSA

ENTRADA aproximaciones iniciales (p0,p1) = (a,b) ; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No.


Paso 1 Tomar i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1)


Paso 3 Tomar p = p1 – q1(p1 - p0) / (q1 - q0) (Calcular pi)



PARAR

Paso 5 Tomar i = i + 1 , q = f(p)

Paso 6 Si q * q1 < 0 entonces

Tomar p0 = p (Redefinición de p0, q0, p1, q1)

q0 = q

Si no p1 = p

q1 = q



PARAR

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