Metodos Numericos Unidad Nº2

Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de IngeniaríaCurso: Métodos Numéricos 2013 Escuela de Ingeniería Civil

INTRODUCCION

Los problemas de ingeniería civil, requieren de la solución de sistemas de ecuaciones lineales, como en el

caso de diseño de sistemas masa resorte, de agua potable, en la cual se plantean ecuaciones lineales de

continuidad y conservación de energía, las cuales permiten construir una matriz la que permitirá mediante

procesos iterativos y corregidos obtener la solución (método de la teoría lineal, método del gradiente)

La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, surgen frecuentemente de manera natural, del

estudio de una amplia variedad de problemas prácticos de la ingeniería, los sistemas de ecuaciones no

lineales son pesados y complejos, requieren un volumen importante de cálculo y el éxito depende tanto del

método elegido como de los problemas numéricos involucrados y la habilidad del analista.

OBJETIVOS

-Comprender y resolver problemas que incluyan sistemas de ecuaciones no lineales.

-Graficar el sistema de ecuaciones no lineales.

-Representar en forma matricial sistemas de ecuaciones.

-Comprender, analizar, construir sistemas de ecuaciones, como solución de problemas de ingeniería.

-Aplicar la herramientas de Excel para la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

II.-UNIDAD: SOLUCION NUMÉRICA DE SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Y LINEALES.Los sistemas de ecuaciones no lineales y lineales de tres incógnitas con tres ecuaciones pueden resolverse

Ing Wilson E. Vargas Vargas 2013 Página 1


rápidamente, mediante técnicas simples.

Pero para sistemas mayores estas demandan de más tiempo y son muy laboriosas, en muchas aplicaciones

de Ingeniería es frecuente encontrar este tipo de sistemas, por lo que es indispensable el uso de las

computadoras, por lo que ahora se pueden enfrentar ejemplos y problemas más complicados y también

contrastar las repuestas por diversos métodos.

2.1. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.Los ejemplos que se muestran a continuación representan sistemas de ecuaciones no lineales:

y-x-x2 = 0 ......(1) x-e-y = 0.....(1)

x2/3+y2/3-4=0 . .....(2) e-x-y = 0......(2)

x- sen(y) = 0 ......(1) (x-1)2+(y-1)2=9 ........(1)

y-cos(x)+0.001 ......(2) y2–x2 =1 ......(2)

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

En forma general un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas se denota por:

F(x,y) = 0 (1)

G(x,y) =0 (2)

Este tipo de sistemas tiene peculiaridades que los diferencian notablemente de los sistemas lineales. Así por

ejemplo, los sistemas lineales de n ecuaciones con n incógnitas en los que la matriz del sistema es regular

sólo admiten una solución. A diferencia de este caso, los sistemas no lineales, aunque tengan el mismo

número de incógnitas que de ecuaciones, desde un punto de vista matemático, pueden admitir una, ninguna o

varias soluciones.

El elegir entre ellas las que sirven a la aplicación concreta que motivo el sistema de ecuaciones debe

hacerse en función de los criterios físicos, químicos y técnicos que regulen el problema en cuestión (por

ejemplo, aunque matemáticamente puedan tener sentido, químicamente serán inadmisibles fracciones

molares negativas o superiores a 1 de una especie química).

Una segunda diferencia es la debida al hecho de que un sistema lineal que admita solución única puede ser

resuelto de forma exacta mediante un número finito de operaciones (recuerdense los métodos directos de

resolución de sistemas lineales de ecuaciones: Gauss, LU, Choleski, Crout, QR, etc...). En el caso de los

sistemas no lineales, en general, la solución no podría ser encontrada mediante un número finito de



operaciones. En este sentido, los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales serían

métodos de tipo iterativo mediante los cuales se construiría una

sucesión de vectores que, en los casos en que el método funcione, se irían aproximando hacia uno de los

vectores solución del sistema no lineal.

El hecho de que los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas no lineales sean de tipo iterativo nos

plantea muchas cuestiones. Entre ellas cabe citar las siguientes:

a) ¿Cómo se genera la sucesión de vectores que puedan aproximarse a la solución?

b) Dado que es imposible evaluar los infinitos vectores de la sucesión anterior, ¿Cómo se sabrá si se está

suficientemente cerca de una solución?

c) Si la solución encontrada mediante un método no es la que pueda interesarnos ¿cómo buscar otras

posibles soluciones?

d) En el caso de tener diferentes métodos que nos proporcionen las soluciones de un sistema ¿cómo elegir

el mejor entre ellos?

A estas y otras cuestiones intentaremos dar respuesta en el presente tema. La descripción general de los

principales métodos de resolución puede hacerse de una forma muy intuitiva sin necesidad de recurrir a

artificios matemáticos complicados.

No obstante la justificación rigurosa de las técnicas de resolución y el análisis de las condiciones que pueden

garantizar su convergencia así como el estudio de la velocidad con que convergen exigiría acudir a conceptos

matemáticos previos.

Conviene por último que el lector tome conciencia desde el primer momento de un hecho relativo a los

métodos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, no existe un método universal de resolución de

sistemas de ecuaciones no lineales. Algunos de ellos funcionarán sobre ciertos sistemas y no servirán para

resolver otros. Los métodos que presenten un buen comportamiento sobre algunos sistemas pueden no ser

los mejores para resolver otros sistemas diferentes. Más bien cabría decir que cada sistema no lineal

requerirá su método de resolución idóneo.

Para su solución existen diversos métodos tales como:

- Método de aproximaciones sucesivas.

- Método de las derivadas parciales.

- Método de Taylor.

- Usando el computador, mediante icono herramientas Solver (EXCEL).

2.1.1. METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS.Ing Wilson E. Vargas Vargas 2013 Página 3


Este método se basa en el teorema del punto fijo, descrito en la solución de ecuaciones no lineales. Para su

aplicación, al igual que en el caso de una ecuación, se transforma el sistema f(x) = 0 en otro equivalente (es

decir con las mismas soluciones, de la forma x = g(x): La forma de realizar esta transformación no es única).

Procedimiento para su solución:1.-Sea el sistema de ecuaciones:

F(x,y) = 0 (1)

G(x,y) =0 (2)

2.-Graficamos las ecuaciones F(x,y) = 0 y G(x,y) =0, y localicemos una posible raíz es decir un Punto cuya

coordenadas son P(x0, y0).

3.-De cada una de las ecuaciones dadas tratamos de despejar “x” y “y” de alguna manera tal que se pueda

escribir:

x= f(x,y)

y=g(x,y).

4.- Verificamos el criterio de convergencia para las ecuaciones asumidas en item(3), y cumplir con las

siguientes condiciones:

4.1.- En una vecindad de la solución al sistema se debe cumplir que:

f, g, Df/Dx, Df/Dy, Dg/Dx, Dg/Dy, son contínuas.

4.2.-Existe K tal K<1, que debe cumplir al evaluarse las funciones en el punto P(x0, y0).

Df/Dx + Df/Dy = K < 1

Dg/Dx + Dg/Dy = K < 1

5.- Una vez que se satisface las condiciones anteriores se sigue el proceso iterativo como se indica:

x1 = f(x0, y0) y1 = f(x0, y0)..................... .....................

...................... ......................

xn = f(xn-1, yn-1) y1 = f(xn1, yn-1)

6.-Comprobar el resultado.

EJERCICIO DE APLICACIÓN:



Hallar la solución del sistema de ecuaciones:

xey-1=0 (1)

x2+4y2- 4=0 (2).

Solución:1.- Sea el sistema

xey-1=0 (1)

x2+4y2- 4=0 (2).

2.-Graficamos las dos ecuaciones, para localizar las posibles raíces.

3.- Del gráfico podemos observar que existen dos raíces, y cuya aproximaciones a las raíces las podemos

estimar para: x0= 0.50, y calculamos y0 en cualquiera de las ecuaciones:

x0= 0.50 sustituimos en y= ln(1/x) = y0= ln(1/0.50)= 0.69por lo que tenemos un punto como aproximación P: (0.50, 0.69)

4.-De las ecuaciones:

xey-1=0

x2+4y2- 4=0, despejamos x, y.(opción personal)

De donde: x = e-y = f y = +- (4- x 2 ) 1/2 = g

2



5.- Criterio de Convergencia:

Derivamos Df/DX: 0

Df/Dy: -e-y

Dg/Dx:-0.5x(4-x2)-1/2

Dg/Dy: 0

Verificamos el criterio de convergencia para en el punto P: (0.50, 0.69).

Df/Dx + Df/Dy = 0.5016 < 1 OK.

Dg/Dx + Dg/Dy <= 0.129 < 1 OK.

6.- Proceso iterativo usando hoja de cálculo Excel

I x =e-y y= +(4- x 2 ) 1/2

2

0 0.5000 0.9682

1 0.3797 0.9818

2 0.3746 0.9823

4 0.3744 0.9823

5 0.3744 0.9823

La solución al sistema esta dado por el punto P: (0.3744, 0.9823).

De igual manera se puede hallar el otro Punto que también es la solución al sistema.

2.1.2. METODO DE LA DERIVADA PARCIAL1.-Consideremos el sistema no lineal:

F(x,y) = 0 (1)

G(x,y) =0 (2)

2.- Asimismo localicemos una aproximación inicial de la raíz P:(x0, y0).

3.- El proceso iterativo para la solución estará dado por:

xn+1 = Xn - F(xn, yn) Df/Dx (xn, yn)



yn+1 = yn - G(xn+1, yn) Dg/Dy (xn, yn)

La convergencia del método enunciado dependerá sustancialmente de la aproximación inicial de P:(x0, y0).

Ejercicio de Aplicación: Resolver el sistema. xey-1=0 (1)

x2+4y2- 4=0 (2).

Solución:1.- Sea el sistema

xey-1=0 (1)

x2+4y2- 4=0 (2).

2.-Graficamos las dos ecuaciones, para localizar las posibles raíces.



x0= 0.50 sustituimos en y= ln(1/x) = y0= ln(1/0.50)= 0.69por lo que tenemos un punto como aproximación P: (0.50, 0.69)

4.-De las ecuaciones:



xey-1=0 se tiene que F(x,y) = xey-1

x2+4y2- 4=0, se tiene que G(x,y) = x2+4y2- 4

luego hallamos sus derivadas: Df/Dx = ey

Dg/Dy= 8y.

5.- Proceso iterativo: xn+1 = Xn - F(xn, yn) Df/Dx

yn+1 = yn - G(xn+1 yn) Dg/Dy

Resultado del proceso iterativo usando hoja de cálculo Excel:xi F(x,y) Df/Dx X=x- f(x,y)/Df/Dx Y G(x,y) Dg/Dx Y=yi- f(x,y)/Df/Dx

xi F= xe(y)-1 Df/dg=e(y) G=x(2)+4y(2)-4 Dg/Dx=8y

0.5000

0

-0.00314 1.9937

2

0.50158 0.69000 -1.84402 5.52000 1.02406

0.5015

8

0.39663 2.7844

8

0.35913 1.02406 0.32379 8.19249 0.98454

0.3591

3

-0.03875 2.6765

8

0.37361 0.98454 0.01686 7.87632 0.98240

0.3736

1

-0.00214 2.6708

6

0.37441 0.98240 0.00062 7.85919 0.98232

0.3744

1

-0.00008 2.6706

5

0.37444 0.98232 0.00002 7.85857 0.98232

0.3744

4

0.00000 2.6706

4

0.37444 0.98232 0.00000 7.85854 0.98232

Del cuadro anterior se obtiene como

Solución:Las raíz es: x=0.37444 ; y=0.98232. es decir P=(0.37444, 0.98232)

2.1.3.METODO DE LA SERIE DE TAYLOR.1.-Consideremos el sistema no lineal:

F(x,y) = 0 (1) hacemos F= F(x,y).



G(x,y) =0 (2) G=(g(x,y).

2.- Asimismo localicemos una aproximación inicial de la raíz P:(x0, y0).

3.- El proceso iterativo para la solución estará dado por:

xn+1 = Xn – F*Gy – G*Fy yn+1 = yn - G*Fx– F*Gx Fx*Gy-Gx*Gy Fx*Gy-Gx*GyDonde se tiene que: DF/Dx = Fx DF/Dy = Fy

DG/Dx = Gx DG/Dy = GyLa convergencia del método enunciado dependerá sustancialmente de la aproximación inicial de P:(x0, y0).

Ejercicio de Aplicación: Resolver el sistema. xey-1=0 (1) x2+4y2- 4=0 (2).

Solución:1.- Sea el sistema: xey-1=0 (1)

x2+4y2- 4=0 (2).2.-Graficamos las dos ecuaciones, para localizar las posibles raíces.



x0= 0.50 sustituimos en y= ln(1/x) = y0= ln(1/0.50)= 0.69por lo que tenemos un punto como aproximación P: (0.50, 0.69).

4.- De las ecuaciones: asumimos que si:

xey-1=0 se tiene que F(x,y): F= xey-1

x2+4y2- 4=0, se tiene que G(x,y): G=x2+4y2- 4

luego hallamos sus derivadas de cada una de las ecuaciones:

DF/Dx = Fx= ey DF/Dy = Fy= xey

DG/Dx = Gx=2x DG/Dy = Gy= 8y5.-El proceso iterativo esta dado por:

xn+1 = Xn – F*Gy – G*Fy yn+1 = yn - G*Fx – F*Gx Fx*Gy-Gx*Gy Fx*Gy-Gx*GySustituyendo se tiene:

xn+1 = 0.4 – (xe y -1)( 8y) –( x 2 +4y 2 - 4)( xe y ) (ey)( 8y) –(2x)( xey)

yn+1 = 0.69 - ( x 2 +4y 2 - 4)( e y )- (xe y -1)( 2x) (ey)(8y) –(2x)( xey)



Tabla del proceso iterativo:

Primera raíz.

Xi F Fx Fy Xi+1 Yi G Gx Gy yi+1

F=xey-1 Fx= ey Fy= xey G=x2+4y2- 4 Gx=2x Gy= 8y

0.50000 -0.00314 1.99372 0.99686 0.31791 0.69000 -1.84560 1.00000 5.52000 1.05734

0.31791 -0.08484 2.87869 0.91516 0.37016 1.05734 0.57290 0.63582 8.45868 0.98568

0.37016 -0.00811 2.67963 0.99189 0.37443 0.98568 0.02327 0.74032 7.88543 0.98233

0.37443 -0.00003 2.67066 0.99997 0.37444 0.98233 0.00006 0.74885 7.85862 0.98232

0.37444 0.00000 2.67064 1.00000 0.37444 0.98232 0.00000 0.74888 7.85854 0.98232

Para determiner la seguda raíz se tiene:

Segund

a

Raíz

Xi F Fx Fy Xi+1 Yi G Gx Gy yi+1

F=xey-1 Fx= ey Fy= xey G=x2+4y2- 4 Gx=2x Gy= 8y

1.60000 0.02021 0.63763 1.02021 1.70251 -

0.45000

-0.63000 3.20000 -3.60000 -

0.53388

1.70251 -0.00177 0.58633 0.99823 1.69726 -

0.53388

0.03865 3.40503 -4.27101 -

0.52902

1.69726 0.00000 0.58918 1.00000 1.69724 -

0.52902

0.00012 3.39452 -4.23214 -

0.52900

1.69724 0.00000 0.58919 1.00000 1.69724 -

0.52900

0.00000 3.39448 -4.23203 -

0.52900

Las raíces son:

Primera raíz: ( x=0.37444 ; y=0.98232.)

Segunda raíz: (x= 1.69724 ; y = -0.52900)



2.1.4.METODO USANDO EXCEL-SOLVER.1.-Consideremos el sistema no lineal:

F(x,y) = xey-10

G(x,y) = x2+4y2- 40

2.- Asimismo localicemos una aproximación inicial de la raíz P:(x0, y0), de los gráficos anteriores

3.- El proceso iterativo para la solución esta dado por la hoja de cálculo Excel:

4.- Con los datos anteriores usamos SOLVER:



Las raíz es: X=1.6966786 Y=-0.5294091

De igual forma se obtiene la otra raíz X= 0.37444391 Y= 0.98231636

Como se puede apreciar las raíces son las mismas que se obtienen por diversos métodos expuestos.

2.2. SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES.Sistemas de ecuaciones lineales.Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las

incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con

problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los

siguientes términos:



1/4 anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía

ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En

nuestra notación, sería:

y + 4x = 28

y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .

2.2.1. METODO DE GAUSS SEIDEL (G-S).El método de Gauss-Seidel constituye como un método iterativo alternativo a los métodos de eliminación, y

es el método iterativo más comúnmente usado.

El método de Gauss-Seidel es similar en esencia a la iteración del punto fijo (aproximaciones sucesivas), en

algunas ocasiones no puede converger, o cuando converge lo hace muy lentamente, lo que se puede

presentar como una desventaja.

El método de Gauss-Seidel se hace atractivo en el contexto de ciertos problemas de ingeniería. ( por ejemplo

cuando la matriz es muy grande y esparcida, es decir , cuando la mayoría de elementos son ceros, los

métodos de eliminación desperdician grandes cantidades de memoria de computo al guardar ceros).

Ejemplo sea el sistema:

-X+3Y+5Z+2W =10 (1) -1 3 5 2 X 10

X+9Y+8Z+4W =15 (2) 1 9 8 4 Y 15

Y +W = 2 (3) 0 1 0 1 Z 2

2X+Y+ Z -W =-3 (4) 2 1 1 -1 W -3

PROCESO:1.- Se ordena el sistema de ecuaciones de tal manera que los coeficientes de mayor valor absoluto de las

variables ocupen la diagonal principal, esto indica que también se puede reordenar las variables en cada una

de las ecuaciones dadas.

Para nuestro ejemplo se tiene:

2X+Y+ Z -W =-3 (4) 2 1 1 -1 W -3

X+9Y+8Z+4W =15 (2) 1 9 8 4 Y 15

-X+3Y+5Z+2W =10 (1) -1 3 5 2 X 10

Y +W = 2 (3) 0 1 0 1 Z 2



2.- De cada una de las ecuaciones anteriores se despeja X, Y , Z , W.

Es decir:

De (4) X= -3-Y-Z+W

2

De (2) Y= 15-X-8Z-4W

9

De (1) Z= 10+X-3Y-2W

5

De (3) W= 2-Y

3.- El proceso iterativo comienza suponiendo los valores inciales de: Y=0, Z=0, W=0 (opcional)

Primera iteración: Se sustituyen los valore iniciales de Y=0, Z=0, W=0

X= -3-0-0+0 X=-1.5

2

Y= 15-(-1.5)-(8*0)-(4*0) Y= 1.833.

9

Z= 10+(-1.5)-(3*1.8330)-(2*0) Z= 0.6000

5

W = 2-(1.833) W=0.16667

Para la segunda iteración de procede de forma similar usando hoja de cálculo

X= -3-Y-Z+W Y= 15-X-8Z-4W Z= 10+X-3Y-2W W= 2-Y

2 9 5

Iteracion 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1 -1.500000 1.833333 0.600000 0.166667

2 -2.633333 1.351852 0.595556 0.648148

3 -2.149630 1.088066 0.657975 0.911934

4 -1.917053 0.889502 0.718115 1.110498

5 -1.748559 0.729072 0.768646 1.270928

6 -1.613395 0.597835 0.810249 1.402165

7 -1.502960 0.490257 0.844388 1.509743

8 -1.412451 0.402041 0.872388 1.597959



9 -1.338235 0.329700 0.895350 1.670300

10 -1.277375 0.270375 0.914180 1.729625

11 -1.227465 0.221725 0.929622 1.778275

12 -1.186536 0.181829 0.942285 1.818171

13 -1.152972 0.149112 0.952670 1.850888

14 -1.125447 0.122281 0.961187 1.877719

15 -1.102875 0.100279 0.968170 1.899721

16 -1.084364 0.082235 0.973898 1.917765

17 -1.069184 0.067438 0.978594 1.932562

18 -1.056735 0.055304 0.982446 1.944696

19 -1.046527 0.045353 0.985605 1.954647

20 -1.038155 0.037192 0.988195 1.962808

21 -1.031289 0.030500 0.990319 1.969500

22 -1.025659 0.025012 0.992061 1.974988

23 -1.021042 0.020511 0.993489 1.979489

24 -1.02 0.02 0.99 1.98

25 -1.0 0.0 1.0 2.0

Se aprecia del cuadro anterior que la solución va convergiendo obteniéndose:

La solución al sistema para : X=-1, Y=0, Z=1.0 y W = 2.0

Si no se converge a la solución se de reordenar nuevamente las ecuaciones y las variables a fin de tener

convergencia.

2.2.2 METODO DE SOLUCION USANDO MATRICES- HOJA DE CALCULO EXCEL.Ejemplo sea el sistema:

-X+3Y+5Z+2W = 10 (1)

X+9Y+8Z+4W = 1 5 (2)

Y +W = 2 (3)

2X+Y+ Z -W = -3 (4)

Expresando el sistema de forma matricial se tiene [A] * [x] = [B]



-1 3 5 2 X 10

1 9 8 4 Y 15

0 1 0 1 Z 2

2 1 1 -1 W -3

Recordando que una forma de determinar la solución de ecuaciones algebraica lineales, mediante matrices

es hallar la matriz inversa de [A], es decir [A]-1, y luego multiplicándola por matriz de términos

independientes {B}

{x} = [A]-1*{B}

De acuerdo a está operación de matrices, se procede en la hoja de cálculo hallar las matriz indicada.

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA: [A] -1

1.- Ordenamos la matriz en la hoja de cálculo.

A B C D F G

18 -1 3 5 2 X 10

19 1 9 8 4 Y 15

20 0 1 0 1 Z 2

21 2 1 1 -1 W -3

2.-Se procede a seleccionar en la hoja de cálculo: las celdas correspondientes para hallar la matriz inversa:

(4x4).A B C D F G

30 X 10

31 Y 15

32 Z 2

33 W -3

3.-Se selecciona la matriz a invertir ( las celdas que ocupa la matriz).A B C D

30 =minversa(A18:D21)



31

32

32

4.-Luego de seleccionadas las celdas se combinan (oprime) ctrl.+Shift+Enter obteniéndose la matriz

inversa de A es decir : [A]-1

A B C D

30 0.785714286 -0.642857143 2.214285714 1.214285714

31 -1.071428571 0.785714286 -1.928571429 -0.928571429

32 0.571428571 -0.285714286 0.428571429 0.428571429

33 1.071428571 -0.785714286 2.928571429 0.928571429

6.- Una vez obtenida la matriz inversa se procede ha hallar el producto:

{x} = [A]-1*{B}

Donde la matriz [A]-1 de orden (4x4)

La matriz B: términos independientes de orden (4x1), luego obtendremos una matriz de: (4x1) es decir una

matriz de 4 filas, 1 columna.

7.- Se selecciona las celdas de matriz resultante D

40

41

42

43

8.- Se escribe la multiplicación de las matrices y se señalan sus celdas procedentes es decir de [A] -1 y de {B}

de la siguiente manera. (algunas máquinas acepta la coma o el punto y coma)D

40 =mmult(a30:d33,g1

8:g21)

41

42

43

9.-Luego de seleccionadas las celdas en el paso anterior se combinan (oprimir) ctrl.+Shift+Enter

obteniéndose la matriz producto {x} = [A]-1*{B}



D

40 -1

41 -4.44089E-16

42 1

43 2

10.- Luego se tiene que la solución del sistema es:

X = -1 Y = 0 Z = 1 W = 2APLICACIONES EN CAMPO DE LA INGENIERIA.Hallar la solución del sistema de ecuaciones:Problema:El diagrama adjunto representa la discretización del calor en una placa. Se trata de determinar la temperatura

en los nodos (nudos) interiores de la malla Tj, j =1,2,3,,,,,6 conocidas las temperatura en los bordes,

suponiendo que hay equilibrio térmico, es decir que las temperaturas no varían.

Hallar las temperaturas en los nudos indicados.T1-T2-T3-T4-T5-T6, utilizando 03 métodos diferentes:

para contrastar las respuestas.

Solución: 1. La condición de equilibrio para cada nudo es:

T1 = 1/4(50 +100+T2+T3)

T2 = 1/4(50 +T1+ 0 + T4)

T3 = 1/4( T1 +50 +T4+T5)

T4 = 1/4(T2 +T3+ 50 +T6)



T5 = 1/4(T3 +100+T6+ 50)

T6 = 1/4(T4 +T5+0 + 50)

2.- Escribimos el sistema de ecuaciones en su forma normal tenemos:

4T1 - T2 - T3 = 150

-T1 + 4T2 - T4 = 50

-T1 4T3 -T4 - T5 = 50

-T2 -T3 +4T4 - T6 = 50

-T3 + 4T5 - T6 = 150

-T4 -T5 + 4T6 = 50

Primera Opción: utilizando hoja de cálculo Excel:

Matriz de coeficientes Matriz de Matriz de térmi

Incógnitas nos independientes.

4 -1 -1 0 0 0 T1 150

-1 4 0 -1 0 0 T2 50

-1 0 4 -1 -1 0 T3 50

0 -1 -1 4 0 -1 T4 50

0 0 -1 0 4 -1 T5 150

0 0 0 -1 -1 4 T6 50

Matriz Inversa de los coeficientes:0.29482 0.08613 0.09317 0.04969 0.02816 0.01946 T1

0.08613 0.29482 0.04969 0.09317 0.01946 0.02816 T2

0.09317 0.04969 0.32298 0.10559 0.09317 0.04969 T3

0.04969 0.09317 0.10559 0.32298 0.04969 0.09317 T4

0.02816 0.01946 0.09317 0.04969 0.29482 0.08613 T5

0.01946 0.02816 0.04969 0.09317 0.08613 0.29482 T6

La solución se obtiene como el:

Producto de la matriz inversa de coeficientes*la matriz de los términos independientes

T1 60.8695



7

T2

39.1304

3

T3

54.3478

3

T4

45.6521

7

T5

60.8695

7

T6

39.1304

3

Las respuestas son: T1= 60.86957

T2=39.13043

T3=54.34783

T4=45.65217

T5=60.86957

T6=39.13043

Segunda Opción: Solución utilizando el método de GAUSS-SEIDEL.

Preparamos la hoja de Cálculo Excel, despejando cada una de las incógnitas.

Para iniciar el proceso se asumen valores iniciales para operativizar las celdas, con el siguiente

algoritmo:

T1 = 1/4(50 +100+0+0) =47.50

T2 = 1/4(50 +47.5+ 0 + 0) =29.3750

T3 = 1/4( 47.50 +50 +0+0) =34.3750

T4 = 1/4(29.3750 +34.3750+ 50 +0) =29.8438

T5 = 1/4(34.3750+100+0+ 50) =51.0938

T6 = 1/4(29.8434+51.0938+ 50) . =32,7344, y así sucesivamente hasta obtener la precisión deseada

Proceso iterativo en hoja de cálculo:

T1 T2 T3 T4 T5 T6

Valor inicial 20 20 20 20 20

Nº de iterac 1 47.5000 29.3750 34.3750 29.8438 51.0938 32.7344



2 53.4375 33.3203 46.0938 41.0645 57.2070 37.0679

3 57.3535 37.1045 51.4063 46.3440 59.6185 38.9906

4 59.6277 38.9929 53.8976 48.7389 60.7220 39.8652

5 60.7226 39.8654 55.0459 49.8316 61.2278 40.2648

6 61.2278 40.2648 55.5718 50.3310 61.4592 40.4476

7 61.4592 40.4476 55.8123 50.5594 61.5650 40.5311

8 61.5650 40.5311 55.9223 50.6639 61.6134 40.5693

9 61.6134 40.5693 55.9727 50.7116 61.6355 40.5868

10 61.6355 40.5868 55.9957 50.7335 61.6456 40.5948

11 61.6456 40.5948 56.0062 50.7435 61.6502 40.5984

12 61.6502 40.5984 56.0110 50.7480 61.6524 40.6001

13 61.6524 40.6001 56.0132 50.7501 61.6533 40.6009

14 61.6533 40.6009 56.0142 50.7511 61.6538 40.6012

15 61.6538 40.6012 56.0147 50.7515 61.6540 40.6014

16 61.6540 40.6014 56.0149 50.7517 61.6541 40.6014

17 61.6541 40.6014 56.0150 50.7518 61.6541 40.6015

18 61.6541 40.6015 56.0150 50.7518 61.6541 40.6015

19 61.6541 40.6015 56.0150 50.7519 61.6541 40.6015

20 61.6541 40.6015 56.0150 50.7519 61.6541 40.6015

21 61.6541 40.6015 56.0150 50.7519 61.6541 40.6015

Respuestas T1= 61.6541 T2=40,6015, T3=56.0150, T4=50.7519

T5=61,6541 T6=40.6015

Comprobación:

4T1 - T2 - T3 = 150

(4*61.6541) - 40.6015 - 56.0105 =150

-T1 + 4T2 - T4 = 50

61.6541+ (4*40.6015)-50.7519 = 50



METODO DE SOBRERRELAJACION SIMULTANEA O SUCESIVA.La relajación representa una ligera modificación al método de Gauss-Siedel y está permite mejorar la

convergencia . Después de de que se calcula cada nuevo valor de x por medio de la ecuación asumida para

Xi en el método de Gauss-seidel, este valor se modifica un promedio ponderado de los resultados de las

iteraciones anterior y actual.

λinuevo = K λnuevo +(1-λ)Xianterior

Donde λ es un valor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2.

Si λ es=1 o (1- λ)=0 y el resultado no se modifica.

Si λ es un valor entre 0 y 1, el resultado es un promedio ponderado de los resultados actuales y anteriores.

Este método se conoce con el nombre de sobrerrelajación . Se emplea comúnmente para hacer que un

sistema no converja o apresure la convergencia al amortiguar sus oscilaciones.

La elección λ con un valor adecuado y es especificado por el problema y se determina de forma empírica

Ejemplo:

Utilizando el método de sobrerrelajación:

T1 = (1-W)(T11) + W/4(150+T2

1+T31)

T2 = (1-W) (T21) + W/4(50 +T1

2 + T41)

T3 = (1-W)(T31) + W/4( T1

2+50 +T42+T5

1)

T4 = (1-W)(T41 ) + W/4(T2

2 +T3

2+ 50 +T61)

T5 = (1-W)(T51) + W/4(T3

2+100+T61+ 50)

T6 = (1-W)(T61) + W/4(T4

2 +T52+ 50) ,

Es decir la hoja de cálculo, prepara para la combinación de celdas que sigue el siguiente proceso:

T12

= (1-W)(T11) + W/4(150+T2

1+T31)

T12= (-0.15)*(30) + (1.15/4)(150+30+30) =55.8750

T2 2= (1-W) (T2

1) + W/4(50 +T12 + T4

1)

T2 2= (-0.15) *(30)) +( 1.15/4)*(50 +55.8750 + 0) =34.5641

T32 = (1-W)(T3

1) + W/4( T1 2+50 +T4

2+T51)

T3 2= (-0.15)*(30) +(1.15/4)*(55.8750+50 +0+0) =43.1891

T42

= (1-W)(T41 ) + W/4(T2

2 +T3

2+ 50 +T61)

T4 2= (-0.15)*(T4

1 ) +(1.15/4)*(34.5641+43.189+ 50+0) =40.8540

T5 2= (1-W)(T5

1) + W/4(T3 2+100+T6

1+ 50)



T52

= (-0.15)*(30) +(1.15/4)*( 43.1891+100+0+ 50) =59.6669

T6 2= (1-W)(T6

1) + W/4(T42 +T5

2+ 50) ,

T6 2= (-0.15)(30) + (1.15/4)*( 40.8540 +59.6669+ 50) =38.7748, y así sucesivamente.

Proceso iterativo en hoja de cálculo:

iteración T1 T2 T3 T4 T5 T6

W= 1.15

(1-W)= -0.15

Valor inicial de 30 30 30 30 30 30

1 55.8750 34.5641 43.1891 40.8540 59.6669 38.7748

2 57.0978 37.3515 53.2120 45.4317 60.6212 39.0490

3 60.5974 39.2556 54.3051 45.6855 60.8711 39.1527

4 60.9341 39.1398 54.3828 45.6663 60.8858 39.1358

5 60.8726 39.1340 54.3522 45.6539 60.8699 39.1302

6 60.8714 39.1309 54.3483 45.6521 60.8696 39.1305

7 60.8696 39.1303 54.3477 45.6521 60.8695 39.1304

8 60.8695 39.1304 54.3478 45.6522 60.8696 39.1304

9 60.8696 39.1304 54.3478

La solución de las incógnitas de temperatura son:

T1= 60.8696

T2=39.1304

T3=54.3478

T4=45.6522

T5=60.8696

T6=39.1304

De los métodos usados en la solución de un sistema de ecuaciones se aprecia que las soluciones son

parecidas y difieren en algunos decimales.

Nota: Contrastar las repuestas por los métodos de solución que se utilice.



Problema Nº3Un ingeniero civil requiere para hacer una construcción 4800 m3 de arena, 5810 m3 grava fina, 5690 m3 de

grava gruesa para su proyecto de construcción. Existen tres canteras de las que se pueden extraer

materiales, el estudio de suelos ha determinado la composición de los materiales cono sigue:Arena

%Grava Fina

%Grava Gruesa

%

Cantera-1 52 30 18

Cantera-2 20 50 30

Cantera-3 25 20 55

¿Cuántos metros cúbicos se deben extraer de cada una cantera para satisfacer los requerimientos del

Ingeniero?

Solución:Datos de problema:Arena

%Grava Fina

%Grava Gruesa

%

Cantera-1 52 30 18

Cantera-2 20 50 30

Cantera-3 25 20 55

Requerimiento m3 4800 5810 5690

Arreglando los datos para su expresión matricial:Asignando

Variables

Arena Grava Fina Grava Gruesa

Cantera-1 X 0.52 0.30 0.18

Cantera-2 Y 0.20 0.50 0.30

Cantera-3 Z 0.25 0.20 0.55

Requerimiento m3 4800 5810 5690

Las ecuaciones son:

0.52X+0.20Y+0.25Z = 4800 (1)

0.30X+0.50Y+0.20Z = 5810 (2)

0.18X+0.30Y+0.55Z = 5690 (3)

PRIMER METODO: MATRICIALMENTE (EXCEL)Expresando matricialmente se tiene:

0.52 0.20 0.25 X 4800

0.30 0.50 0.20 Y 5810



0.18 0.30 0.55 Z 5690

Halllamos la matriz inversa:

0.52 0.2 0.25 X 4800

0.3 0.5 0.2 Y 5810

0.18 0.3 0.55 Z 5690

16300

0.52 0.20 0.25 X 4800

0.30 0.50 0.20 Y 5810

0.18 0.30 0.55 Z 5690

Matriz Inversa

2.5 -0.406977 -0.988372

-1.5 2.8023256 -0.337209

-1.29E-16 -1.395349 2.3255814

X= 4011.62791

Y= 7162.7907

Z= 5125.5814

16300

Respuesta:

Requerimiento por cantera en M3.

Cantera Arena Grava Fina Grava Gruesa

Cantera- 1 2086 1203 722

Cantera -2 1433 3581 2149

Cantera-3 1281 1025 2819

Total 4800 5810 5690

SEGUNDO METODO: GAUSS-SEIDELLas ecuaciones son:

0.52X+0.20Y+0.25Z = 4800 (1)

0.30X+0.50Y+0.20Z = 5810 (2)



0.18X+0.30Y+0.55Z = 5690 (3)

Despejando cada variable tenemos:

X= (4800 - 0.20Y - 0.25Z)/0.52

Y = (5810 - 0.30X - 0.20Z)/0.50

Z = (5690 - 0.18X - 0.30Y)/0.55

Proceso iterativo en hoja de cálculo:iteración Cantera -1

C-1

Cantera-2

C-2

Cantera-3

C-3

Valor inicial 0 0 0

1 9230.8 6081.5 4007.3

2 4965.1 7038.0 4881.6

3 4176.9 7161.2 5072.3

4 4037.8 7168.4 5114.0

5 4015.1 7165.4 5123.0

6 4011.9 7163.7 5125.0

7 4011.6 7163.1 5125.5

Cantera -1 = 4011.60 m3

Cantera - 2 = 7163.19 m3

Cantera –3 = 5125.50 m3

Respuesta del requerimiento por cantera en M3:

Cantera Arena Grava Fina Grava Gruesa

Cantera- 1 2086 1203 722

Cantera -2 1433 3582 2149

Cantera-3 1281 1025 2819

Total 4800 5810 5690



Problema Nº4:DISEÑO DE UNA LOSA D ESCALERA USANDO APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA LA SOLUCION

DE SISTEMAS DE EUACIONES NO LINEALES Y USO DE HOJA DE CALCULO.

Se desea diseñar el primer tramo de la escalera que se muestra en el plano utilizando el método de los

Coeficientes (ACI):

1.-Predimensionamiento1.1.- Espesor de losa : e= Luz libre/30 = 280/30 =10cm

1.2.- Otro criterio 3.5 cm por cada metro = 3.5*2.80 = 10 cm

1.3.- Asumimos espesor de la losa e= 10 cm

2.-Metrado de Cargas: Cargas Vivas + cargas muertasDel plano de arquitectura:

2.1.- Metrado Cargas Muertas: WD (por metro lineal de escalera y metro lineal dela ancho de escalera)

2.1.1.-Peso propio de la losa: espesor*largo*ancho*peso unitario de concreto

Pplosa= 0.10*1*1*2400= 0.24 Tn/ml

2.1.2.-Peso propio de escalones



Nº de escalones por metro lineal = 1.00/0.30 de la losa (por metro de ancho)

Nº de escalones= 3.333 escalones.

Peso propio de los escalones = 3.333*(0.175*0.30)*(1/2)*1*2.400 Tn/ml

2.1.3.- Piso terminado de la escalera=

As= Mu

0.90∗fy (d−a2) a= As∗fy

0.85∗f ´ c∗b

Problema: Diseñar la losa aligerada que se muestra utilizando aproximaciones sucesivas:

Problema 5:

Nudo 1 ∑ Fx=0 - F1*cos30º+F2*cos60º+ F1h = 0

∑ Fy=0 - F1*sen30º+F3*sen60º+F1v = 0

Nudo 2 ∑ Fx=0 F2 +F1*cos30º+ F2h + H2 = 0

∑ Fy=0 F1*sen30º + F2v + R2 = 0



Nudo 3 ∑ Fx=0- F2 - F3*cos60º+ F3h = 0

∑ Fy=0 F3*sen30º + F3v + R3 = 0

Usando Matrices- (completando coeficientes se tiene):

- F1*cos30º 0 F3*sen60º 0 0 0 F1 0

F1*sen30º -F3*sen60º 0 0 0 F2 -1000

Problema Nª6Los sistemas idealizados masa-resorte tienen diversas aplicaciones en la ingeniería. La figura muestra cuatro

resortes en serie cuando se comprimen con una fuerza de 2500 Kg.

En el equilibrio, se puede desarrollar las ecuaciones de equilibrio de fuerza definiendo las interrelaciones

entre los resortes:

K2(X2-X1) = K1X1

K3(X3-X2) = K2(X2-X1)

K4(X4-X3) = K3(X2-X2)

F= K4(X4-X3)

Dónde K son la constantes del resorte, si K1=150, K2=50, K3=75, K4=225 Kg/s2, calcular X

Acomodando las ecuaciones tenemos:

(K1+ K2)* X1 - K2X2 = 0……… (I)

K2* X1- (K2+K3)X2+K3X3 = 0……… (II)



K3* X2- (K3+K4)X3+K4X4 = 0……… (III)

-K4* X3 +K4X4 = F……… (IV)

Sustituyendo datos y escribiendo matricialmente tenemos:

SISTEMAS MASA-RESORTE:

Ejemplo de aplicación

Si se tiene el siguiente sistema

K

Se solicita hallar los desplazamientos de las masas, si se sabe que m1=50kg, m2=35kg, m3=44kg, K=500N/m

Solución:

Haciendo un Diagrama de cuerpo libre del sistema dado:

DCL-Para la masa 1

Las fuerzas que actúan en la masa 1 son:

K(x1) =500(x1)

K(x2-x1) =500(x2-x1) K(x2-x1) =500(x2-x1)

W=m1g=500N


m1

m2

m3

m1

m2

m3

m1


Se abe además que F= ma , entonces se tiene

ma=2k(x2-x1)-m1g-kx1 →

ma=1000(x2-x1)-500-500*x m1g-kx1

Para m2:K(x2-x1)=500(x2-x1) K(x2-x1)=500(x2-x1)

K(x3-x2)=500(x3-x2)

W2=m2g

ma=k(x3-x2)-m2g-2k(x2-x1)→ma=500(x3-x2)-350-1000(x2-x1)

Para m3:

k(x3-x2)

w=m3g

ma= m3g- k(x3-x2) →ma=440-500(x3-x2)

m1d2 xd t 2

=1000(x2−x1)−500−500 x1

m2d2 xd t 2

=500 (x3−x2 )+350−1000¿

m3d2 xd t 2

=500 (x3−x2 )+400

Si a= d2 xd t 2

=0, se tiene:

ORDENANDO LAS ECUACIONES Y VARIABLES se tiene:

-150(x1) + 100(X2) =50

100(x1) -150(x2) + 50(x3) =35

-50(x2) + 50(x3) = 44


m3


−150 100 0100 −150 500 −50 50

x1

x2

x3

=503544

El sistema de ecuaciones será resuelto por dos métodos

Método de Gauss Seidel:Ordenando los coeficientes de las ecuaciones para poder aplicar el método, se tiene:

-150(x1) +100(x2) +0x3 =50 (1)

100(x1) -150(x2) +50(x3) =35 (2)

0x1 -50(x2) +50(x3) =44 (3)

Despejando:

De(1) x1=100x2−¿50

150¿

De(2) x2=100 x1+50 x3−35

150

De(3) x3=44+50x2

50

PROCESO ITERATIVO:

I

0 0 0 0

1 -0,333333333 -0,455555556 0,424444444

2 -0,637037037 -0,51654321 0,36345679

3 -0,677695473 -0,563978052 0,316021948

4 -0,709318701 -0,600871818 0,279128182

5 -0,733914546 -0,62956697 0,25043303

6 -0,753044647 -0,651885421 0,228114579

7 -0,767923614 -0,669244216 0,210755784



8 -0,779496144 -0,682745502 0,197254498

9 -0,788497001 -0,693246501 0,186753499

10 -0,795497667 -0,701413945 0,178586055

11 -0,80094263 -0,707766402 0,172233598

12 -0,805177601 -0,712707202 0,167292798

13 -0,808471468 -0,716550046 0,163449954

14 -0,811033364 -0,719538924 0,160461076

15 -0,81302595 -0,721863608 0,158136392

16 -0,814575739 -0,723671695 0,156328305

17 -0,81578113 -0,725077985 0,154922015

18 -0,816718657 -0,726171766 0,153828234

19 -0,817447844 -0,727022485 0,152977515

20 -0,81801499 -0,727684155 0,152315845

21 -0,818456103 -0,728198787 0,151801213

22 -0,818799191 -0,728599057 0,151400943

23 -0,819066038 -0,728910377 0,151089623

24 -0,819273585 -0,729152516 0,150847484

25 -0,81943501 -0,729340846 0,150659154

26 -0,819560564 -0,729487324 0,150512676

27 -0,819658216 -0,729601252 0,150398748

28 -0,819734168 -0,729689863 0,150310137

29 -0,819793242 -0,729758782 0,150241218

30 -0,819839188 -0,729812386 0,150187614

31 -0,819874924 -0,729854078 0,150145922

32 -0,819902719 -0,729886505 0,150113495

33 -0,819924337 -0,729911726 0,150088274

34 -0,819941151 -0,729931343 0,150068657

35 -0,819954228 -0,7299466 0,1500534

36 -0,8199644 -0,729958467 0,150041533

37 -0,819972311 -0,729967696 0,150032304

38 -0,819978464 -0,729974875 0,150025125

39 -0,81998325 -0,729980458 0,150019542



40 -0,819986972 -0,729984801 0,150015199

41 -0,819989867 -0,729988178 0,150011822

42 -0,819992119 -0,729990805 0,150009195

43 -0,81999387 -0,729992849 0,150007151

44 -0,819995232 -0,729994438 0,150005562

45 -0,819996292 -0,729995674 0,150004326

46 -0,819997116 -0,729996635 0,150003365

47 -0,819997757 -0,729997383 0,150002617

48 -0,819998255 -0,729997965 0,150002035

49 -0,819998643 -0,729998417 0,150001583

50 -0,819998945 -0,729998769 0,150001231

51 -0,819999179 -0,729999042 0,150000958

52 -0,819999362 -0,729999255 0,150000745

53 -0,819999503 -0,729999421 0,150000579

54 -0,819999614 -0,729999549 0,150000451

55 -0,8199997 -0,72999965 0,15000035

56 -0,819999766 -0,729999727 0,150000273

57 -0,819999818 -0,729999788 0,150000212

58 -0,819999859 -0,729999835 0,150000165

59 -0,81999989 -0,729999872 0,150000128

60 -0,819999914 -0,7299999 0,1500001

61 -0,819999933 -0,729999922 0,150000078

62 -0,819999948 -0,72999994 0,15000006

63 -0,81999996 -0,729999953 0,150000047

64 -0,819999969 -0,729999963 0,150000037

65 -0,819999976 -0,729999972 0,150000028

66 -0,819999981 -0,729999978 0,150000022

67 -0,819999985 -0,729999983 0,150000017

68 -0,819999989 -0,729999987 0,150000013

69 -0,819999991 -0,72999999 0,15000001

70 -0,819999993 -0,729999992 0,150000008

71 -0,819999995 -0,729999994 0,150000006

72 -0,819999996 -0,729999995 0,150000005



73 -0,819999997 -0,729999996 0,150000004

74 -0,819999997 -0,729999997 0,150000003

75 -0,819999998 -0,729999998 0,150000002

76 -0,819999998 -0,729999998 0,150000002

77 -0,819999999 -0,729999999 0,150000001

78 -0,819999999 -0,729999999 0,150000001

79 -0,819999999 -0,729999999 0,150000001

80 -0,819999999 -0,729999999 0,150000001

81 -0,82 -0,729999999 0,150000001

82 -0,82 -0,73 0,15

83 -0,82 -0,73 0,15

De esta manera obtenemos los valores para:

X1= -0,82, X2 = -0,73, X3 = 0,15, que vienen a ser las respectivas longitudes de las deformaciones que sufren

los resortes

MÉTODO: USANDO LA HOJA DE CÁLCULO DE EXCEL: Las ecuaciones y variables obtenidas del sistema son:

100(x2) -150(x1) =50

50(x3) -150(x2)+100(x1)=35

50(x3) -50(x2) =4

El sistema expresado matricialmente es:

−150 100 0100 −150 500 −50 50

x1

x2

x3

= 503544

Hallando la inversa de la matriz de los coeficientes:-0,02 -0,02 0,02 50

-0,02 -0,03 0,03 35

-0,02 -0,03 0,05 44



Hallando los valores de X1,X2,X3:x1 -0,82

x2 -0,73

x3 0,15

Que vienen a ser los valores las longitudes de las deformaciones que sufren los resortes

Conclusiones

-Comprender y resolver problemas que incluyan sistemas de ecuaciones no lineales.

-Graficar el sistema de ecuaciones no lineales.

-Representar en forma matricial sistemas de ecuaciones.

-Comprender, analizar, construir sistemas de ecuaciones, como solución de problemas de ingeniería.

-Aplicar la herramientas de Excel para la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales


Metodos Numericos Unidad Nº2

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