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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA

SEMINARIO DE PROYECTOS I y II

Para obtener la:

LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA

Presenta: Donají Melchor Quintas

Bajo la asesoría de:

Dr. Juan Manuel Zamora Mata

México, D.F. Diciembre de 2010

i

AGRADECIMIENTOS

A mis padres, Bersalia y Arturo, mi preciada tía Sofía y a mi hermano Dani, mi equipo de

toda la vida que esta siempre para apoyarme.

Al amor de mi vida Efren Huitrón Peralta, que siempre llevo en mi mente y en el corazón.

Al Dr. Juan Manuel Zamora Mata, agradezco su paciencia, dedicación y esmero que me

demostró cada semana.

A la Universidad Autónoma Metropolitana por todo lo aprendido y vivido.

A mi amiga y compañera de estudio de quien aprendí mucho Alejandría.

ii

ÍNDICE GENERAL

Índice de tablas .................................................................................................................. v

Índice de figuras .................................................................................................................. vi

MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.

1.1 Integración de procesos ................................................................................. 1

1.2Optimización de procesos ............................................................................... 2

1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos ............ 4

1.3 Red de Recuperación de Calor ..................................................................... 5

1.3.1 Formulación del problema ..................................................................... 6

1.3.2 Métodos de solución al problema de HENS......................................... 7

1.4 Estado del arte ................................................................................................. 8

1.5 Delimitación y Objetivos del trabajo ............................................................. 9

CAPÍTULO 2. REDES DE CONSUMOS MÍNIMOS DE ENERGÍA EN INTERCAMBIO DE CALOR

2.1 Elementos del Método del punto de pliegue .............................................. 12

2.1.1 Requerimientos mínimos de servicios auxiliares:

calentamiento y enfriamiento(RMSA) ................................................... 12

2.1.2 Balances de energía ............................................................................... 13

2.1.3 Diagrama de Intervalos de Temperatura............................................. 14

2.1.3.1 Diagrama de cascada ................................................................ 17

Requerimientos mínimos de servicios generales ...................... 18

Temperatura del punto de pliegue ........................................... 18

2.1.4 Diagramas entalpía-temperatura (H-T) ................................................ 19

2.1.5 Diagrama de curva compuesta ........................................................... 20

2.1.6 Curva Compuesta Integral .................................................................... 21

2.1.7 El problema umbral ................................................................................. 24

2.2 Número mínimo de intercambiadores .......................................................... 25

iii

2.3 Modelo de Transporte ..................................................................................... 26

2.3.1 Representación Gráfica ......................................................................... 26

2.3.2 Planteamiento general del modelo de transporte ............................ 27

CAPÍTULO 3. ESTIMACIÓN DEL ÁREA DE TRANSFERENCIA DE CALOR

3.1 Planteamiento de la fórmula ......................................................................... 38

3.2 Análisis de la Fórmula ...................................................................................... 40

CAPÍTULO 4. MÉTODO DE INTERVALOS DE TEMPERATURA DE JEżOWSKI PARA ESTIMAR EL

ÁREA REQUERIDA PARA RECUPERACIÓN DE CALOR

4.1 Introducción ..................................................................................................... 43

4.2 Definiciones, conjuntos y notación ............................................................... 44

4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta

por Jeżowski ...................................................................................................... 46

4.3.1 Tabla de calor estándar ........................................................................ 46

4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżowski............................................. 47

4.3.3 Modelo para minimizar área ................................................................. 52

4.3.4 Resultados ................................................................................................ 55

4.3.5 Mejora de la estructura y cálculo del área modificada ................... 56

CAPÍTULO 5. MÉTODOS DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS PARA METAS DE ÁREA

MÍNIMA

5.1 Introducción ..................................................................................................... 57

5.2 Planteamiento del método matemático ..................................................... 58

5.2.1 Definiciones, conjuntos, subíndices y parámetros .............................. 59

5.3 Procedimientos para plantear la tabla de calor modificada ................... 62

5.3.1 Caso de estudio 1 ................................................................................... 64

5.4 Función objetivo............................................................................................... 70

5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas ..................... 71

5.6 Pruebas variando el parámetro β ................................................................. 72

5.7 Validación del modelo ................................................................................... 72

CAPÍTULO 6. CASOS DE ESTUDIO 2

6.1 Introducción ..................................................................................................... 75

iv

6.2 Datos del problema......................................................................................... 75

6.3 Balances de energía ....................................................................................... 76

6.4 Diagrama de intervalos de temperatura ..................................................... 76

6.5 Diagrama de curvas compuestas ................................................................. 79

6.6 Curva Compuesta Integral ............................................................................. 79

6.7 Estimación de área de transferencia mediante el uso de la fórmula de

Bath .......................................................................................................................... 80

6.8 Modelo de transporte ..................................................................................... 81

6.9 Número mínimo de intercambiadores .......................................................... 81

6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área

requerida para recuperación de calor .............................................................. 82

6.11 Método de distribución de cargas térmicas para metas de

área mínima ........................................................................................................... 85

CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES

7.1 Metas de energía ............................................................................................ 87

7.2 Metas de área .................................................................................................. 88

REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 90

v

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Datos para el caso de estudio 1 .............................................................. 12

Tabla 2.2 Formación de intervalos de temperatura

Para el caso de estudio 1 .......................................................................... 15

Tabla 2.3 Tabla de calor para el caso de estudio 1 .............................................. 17

Tabla 2.4 Población de corrientes por intervalos de

Entalpía para el caso de estudio 1 .......................................................... 21

Tabla 3.1 Corrientes calientes .................................................................................... 41

Tabla 3.2 Corrientes frías ............................................................................................. 41

Tabla 3.3 Cálculo de área empleando la fórmula de Bath ................................ 42

Tabla 4.1 Valores de LMTD’s ....................................................................................... 51

Tabla 4.2 Valores de las cargas térmicas ................................................................ 55

Tabla 4.3 Valores de área ........................................................................................... 55

Tabla 5.1 Cargas térmicas permitidas ...................................................................... 65

Tabla 5.2 Resultados para diferentes β .................................................................... 72

Tabla 5.3 Comparación del método con resultados en la literatura ................ 73

Tabla 6.1 Datos del caso de estudio 2 ..................................................................... 75

Tabla 6.2 Formación de intervalos de temperatura para el caso

De estudio 2 ................................................................................................. 77

Tabla 6.3 Tabla de calor para el caso de estudio 2 .............................................. 78

Tabla 6.4 Corrientes calientes, caso de estudio 2 ................................................. 80

Tabla 6.5 Corrientes frías, caso de estudio 2 .......................................................... 80

Tabla 6.6 Área de transferencia estimada caso de estudio 2 ............................ 81

Tabla 6.7 Resultados para diferentes β caso de estudio 2 ................................... 85

Tabla 6.8 Comparación del método con resultados en la literatura

Caso de estudio 2 ....................................................................................... 85

Tabla 7.1 Tabla comparativa para resultados de metas de energía

Caso de estudio 1 ....................................................................................... 87

Tabla 7.2 Resultados con fórmula de Bath caso de estudio 1 ............................ 87

Tabla 7.3 Resultados utilizando método de Jeżowski caso de estudio 1 .......... 88

Tabla 7.4 Comparación del modelo de distribución de cargas

Caso de estudio 1 ....................................................................................... 88

Tabla 7.5 Comparación del modelo de distribución de cargas

Caso de estudio 2 ....................................................................................... 88

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 El proceso visto como tres sistemas interactuantes ............................. 5

Figura 2.1 Procesos químico simplificado ................................................................. 11

Figura 2.2 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a

Los datos de la tabla 2.1 ........................................................................... 15

Figura 2.3 Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue ........ 18

Figura 2.4 Curvas compuestas para el caso de estudio 1 .................................... 22

Figura 2.5 Curva compuesta integral para el caso de estudio 1 ........................ 23

Figura 2.6 Variaciones del consumo de servicio de calentamiento

Y enfriamiento en función del ∆Tmin ...................................................... 24

Figura 2.7 El problema umbral .................................................................................... 24

Figura 2.8 Representación general del modelo de transporte ............................ 26

Figura 2.9 Representación gráfica del modelo de transporte

Para una red de recuperación de calor ............................................... 27

Figura 2.10 Intervalos de temperatura del ejemplo 1 .............................................. 30

Figura 2.11 Cargas térmicas de las corrientes de proceso ejemplo 1 .................. 31

Figura 2.12 Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo ........ 34

Figura 2.13 Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1 ......... 37

Figura 4.1 Intervalos de temperatura ........................................................................ 48

Figura 4.2 Tabla de intervalos de calor modificada por Jeżowski ....................... 49

Figura 4.3 Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada

por Jeżowski ................................................................................................. 49

Figura 4.4 Estructura espagueti y estructura compactada .................................. 56

Figura 5.1 Tabla de calor estándar caso de estudio 1........................................... 65

Figura 5.2 Intervalos permitidos para la corrientes caliente 1 y la corriente

Fría 1 ............................................................................................................... 66

Figura 5.3 Intervalos permitidos para el caso de estudio 1 ................................... 66

Figura 5.4 Intervalos mayores que marcan la división ........................................... 67

Figura 5.5 Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4

Del caso de estudio 1................................................................................. 68

Figura 5.6 Tabla de calor modificada para una β=15% ........................................ 69

Figura 6.1 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los

Datos de la tabla 6.1 .................................................................................. 77

Figura 6.2 Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2 .............................. 79

Figura 6.3 Curva compuesta integral caso de estudio 2 ...................................... 79

Figura 6.4 Intervalos de temperatura caso de estudio 2 ....................................... 82

vii

Figura 6.5 Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2 ............. 84

Figura 6.6 Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos .............. 86

D.M. QUINTAS CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

Información extraída de Puijaner L. , (2006)

1.1 Integración de procesos

El diseño de procesos químicos se inicia con el análisis de los procesos de fabricación

de productos químicos, de alta calidad y costos aceptables por la demanda. Un estudio

inicial determina si el producto es aceptado en el mercado, si el resultado es positivo, se

lleva a cabo el estudio preliminar de las operaciones básicas, es decir, la transformación

de materias primas necesarias en productos acabados (síntesis del proceso). Esta etapa

conducirá a diversas alternativas que deberán ser analizadas hasta obtener el diagrama

de flujo final del proceso después de una optimización paramétrica o estructural. La

etapa final consiste en la ingeniería de detalle (diseño mecánico) del equipo de proceso

y su interconexión, instrumentación y servicios auxiliares.

El diseño de procesos tanto continuos como discontinuos se lleva a cabo mediante

simulación bajo el concepto de integración. El diseño integrado supone la integración

apropiada de todos los elementos que requiere el proceso de fabricación (ingeniería de

proceso), junto a un adecuado sistema de dimensionamiento (ingeniería de diseño) para

producir el diagrama de flujo del proceso deseado. Un buen diseño deberá tener en

cuenta los siguientes factores claves: aceptación de un amplia variedad de materias

primas, previsión a ampliación de nuevos productos o variantes, integración energética,

alto grado de automatización, previsión de perfiles de demanda variable (incierta),

flexibilidad en las operaciones de la planta, minimización de residuos y emisiones (que

cumplan la legislación medio ambiental), evaluación de riesgos y estrategias de control

de calidad.

Una vez que se examinan los diferentes subprocesos y alternativas que componen el

diseño del proceso mediante modelos de simulación, queda pendiente un aspecto clave

que es la relación entre las variables del proceso y su optimización. Antes de tomar una


2

decisión sobre el proceso preferido, cada una de las alternativas contendientes debería

ser optimizada a fin de comparar procesos óptimos.

Una solución a este problema es mejorar mediante simulaciones sucesivas el modelo

del proceso. Dicho procedimiento está sujeto a una búsqueda y error que solamente

permiten encontrar soluciones óptimas locales. En cambio el camino de búsqueda hacia

el óptimo implica estrategias de optimización a partir de un modelo inicial.

Para encontrar la mejor solución, se establece una función objetivo. En diseño de

procesos, los objetivos incluyen costos de inversión y operación, rendimiento, beneficio,

etc. Los valores de la función objetivo quedan determinados por las variables de proceso

(tamaño de equipos, condiciones de operación). Finalmente, las relaciones entre las

variables del problema deben ser restringidas dentro de ciertos límites. Las variables del

proceso se clasifican en variables de decisión, que representan los grados de libertad, y

variables dependientes, que se resuelven mediante variables de restricción.

La optimización de procesos comúnmente se basa en programación matemática e

investigación operativa, que permiten obtener soluciones rigurosas al problema del diseño

óptimo. Sin embrago, consideraciones de tiempo de cálculo y sus consecuencias en

costos de diseño, retrasos, inflación, etc., hacen necesario llegar a una solución óptima

donde se utilice heurística.

1.2 Optimización de procesos

La industria química y afín utiliza la optimización para ser más competitiva. Esta

mejora normalmente lleva asociado un ahorro de costos (por ejemplo, al establecer la

etapa de alimentación de una columna de destilación en función de consumo

energético), una mayor eficacia de operación (por ejemplo, al fijar la temperatura de

reacción que maximiza la conversión del producto principal y simultáneamente minimiza

la conversión de los productos secundarios) o aspectos relacionados con la logística. Por

lo tanto queda claro que muchas de las decisiones que se toman en la operación de las

plantas químicas están basadas en la aplicación de herramientas de optimización.


3

Los factores que han contribuido al espectacular auge en la aplicación de técnicas

de optimización son:

• Disponibilidad de computadoras con una creciente capacidad de cálculo y el

establecimiento de redes de computadoras conectadas entre sí.

• Desarrollo de algoritmos matemáticos robustos para la optimización. La mayoría

de los métodos matemáticos se desarrollaron en áreas como la investigación de

operaciones y el análisis numérico, mientras que su aplicación a sistemas

complejos, como los estudiados en la ingeniería química, fue más tardía.

• La mejora en los modelos de simulación de operaciones unitarias, junto con los de

estimación económica, permite decidir entre alternativas similares.

A continuación se dará una visión global de las técnicas más utilizadas en ingeniería

química:

• Programación lineal (LP, linear programming): tanto la función objetivo como

las restricciones son lineales. Tiene en algunos casos una única solución, para

ciertos problemas se tienen multiplicidad de soluciones a las cuales de forma

particular se les denomina solución óptima local, en la mayoría de las

ocasiones se utiliza el método simplex ara resolver este tipo de problemas.

• Programación Lineal Mixta (MILP, mixed integer linear programming): incorpora

variables discretas, que pueden ser binarias (0 ó 1) o enteras, a la

programación lineal. El algoritmo más utilizado es Branch and Bound

(ramificación y acotamiento).

• Programación No Lineal (NLP, non-linear programming): algunas de las

funciones involucradas no son lineales, por lo que la resolución del problema es

más compleja debido a la posibilidad de que existan mínimos locales. El

algoritmo de programación cuadrática sucesiva (SQP, sequential quadratic

programming) es el más utilizado.

• Programación no lineal mixta (MINLP, mixed integer non-linear programming):

incorpora variables discretas (binarias o enteras) a la NLP. Normalmente el

problema original se descompone en varios subproblemas que se resuelve

dentro de una MILP.


4

1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos

No existe ningún método que garantice a priori la solución de un problema de

optimización, por lo que lo mejor es aprovechar la estructura del problema (tipo de

función objetivo, restricciones y variables) y utilizar métodos específicos para cada caso

(LP, MILP, NLP, MINLP u otros). De todas formas, incluso seleccionando un buen algoritmo

de cálculo, la convergencia y la robustez serán aspectos clave: un problema planteado

de cierta forma puede no converger, mientras que planteado de otra forma su solución

puede ser trivial (en muchas ocasiones basta con plantear un restricción de forma

equivalente: A-B=0 o A/B=1). Lamentablemente, no existe ningún método que garantice

la convergencia, ni ningún algoritmo que abarque todas las posibilidades dada la enorme

variedad de problemas que se pueden encontrar en ingeniería química. A continuación

se enumera una serie de consejos para tener un mejor desarrollo del problema:

• La mejor estrategia es mantener el modelo lo más sencillo posible. Esto es, si el

problema se puede resolver rápidamente a mano, es mejor resolverlo a mano. Y si

para resolverlo basta con utilizar el solver de Excel, entonces no es necesario utilizar

ninguna herramienta.

• Normalmente es necesario dedicar más tiempo del que inicialmente uno tiene

pensado en obtener el modelo del proceso, pese a que sea la fase más sencilla.

En primer lugar, porque el modelo debe ser robusto. Y en segundo lugar, porque es

crucial familiarizarse con el problema antes de intentar optimizarlo.

• Siempre es una buena idea realizar análisis de sensibilidad, modificando las

variables más importantes del proceso (±5-10%) para conocer su efecto sobre el

sistema. Las variables típicas están relacionadas con las condiciones de operación

(temperatura, razón de reflujo, purga de una corriente) o con el dimensionamiento

de los equipos. Basándose en esta información se fijan los grados de libertad del

proceso (normalmente se seleccionan las variables que tienen un mayor impacto

en la función objetivo).

• Hay que construir el modelo de optimización poco a poco, incluyendo las

restricciones una a una, para detectar problemas lo antes posible. La posibilidad

de resolver un problema complejo al primer intento es remota. En un principio se

debe restringir la zona de búsqueda y después considerar relajar algunas de las

restricciones, añadiendo complejidad a la función objetivo poco a poco.

• Iniciar la optimización partiendo desde diferentes valores iniciales factibles, puesto

que todos los métodos de optimización son altamente sensibles al valor inicial. De


5

esta forma, se minimiza el riesgo de obtener un mínimo local en lugar de un mínimo

absoluto (en todo caso, normalmente el número de mínimos locales es pequeño).

La existencia de múltiples óptimos se debe, normalmente, a discontinuidades en la

función objetivo o a la no linealidad de las funciones.

• Se debe considerar que además de las restricciones evidentes (por ejemplo pureza

máxima o satisfacer la demanda), existen restricciones lógicas (por ejemplo al

comparar opciones mutuamente excluyentes) y restricciones inherentes al proceso

(por ejemplo, las emisiones deben cumplir la legislación ambiental).

• Analizar críticamente los resultados. Hay que comprobar si el resultado tiene

significado físico y es coherente, y confirmar mediante el análisis de sensibilidad,

que la solución es aceptable para un amplio rango de situaciones.

1.3 Red de Recuperación de Calor

Los proceso químicos pueden considerarse como tres subsistemas que interactúan

(figura 1.1): el proceso en sí mismo incluyendo reactores (en el caso más general) y

unidades de separación, la red de intercambiadores de calor que incluye todas las

corrientes de proceso a intercambiadores internos (entre corrientes de proceso) y,

finalmente, la red de servicios que ha de satisfacer las necesidades externas de calor,

potencia y vapor.

Figura 1.1 El proceso visto como tres subsistemas interactuantes.

La integración energética trata de estos tres subsistemas y de sus interacciones con

el fin de conseguir una utilización eficiente de la energía disponible y obtener la red de

intercambiadores de calor que permita que cada corrientes alcance la temperatura

deseada a partir su temperatura de entrada. La optimalidad de dicha red se define como

Equipo Proceso

Servicios Generales

Red de Intercambiadores

Materia Prima

Energía

Residuos Pérdidas

Productos Subproductos


6

aquella de costo total mínimo, incluyendo los costes de operación e inversión de la

misma, o área total mínima dependiendo. Asimismo, la red óptima debe ofrecer una

buena operabilidad y flexibilidad frente a condiciones cambiantes del entorno

(económicas, ecológicas y de seguridad) y una buena integración del proceso teniendo

en cuenta su topología, los equipos disponibles en la planta y el rango de operación de

dicho equipo.

El primer método relacionado con el diseño de redes de intercambio de calor es de

Ten Breck en 1944. Pero el problema de síntesis de redes de intercambio de calor (HENS)

no aparece rigurosamente definido hasta 1969 en la publicación de Masso y Rudd. Una

revisión bibliográfica completa se encuentra en el texto Gundersen y Naess (1988), y

actualizaciones posteriores de Furman y Shanidis (2001) y Westerberg (2003), entre otras.

1.3.1 Formulación del problema

El problema básico de HENS se puede plantear de la siguiente forma. Dados:

� Un conjunto H de corrientes calientes del proceso deben ser enfriadas

desde su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida deseada.

� Un conjunto C de corrientes frías del proceso deben ser calentadas desde

su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida requerida.

� Las capacidades caloríficas y caudales de las corrientes calientes y frías del

proceso.

� Los servicios generales disponibles y las temperaturas o rango de

temperaturas y costes de dichos servicios.

Determine la red de intercambiadores con un costo de operación e inversión

anualizada. Aunque la función puede variar a determinar requerimientos mínimos de

energía o área.


7

1.3.2 Métodos de solución al problema de HENS

Los métodos de solución al problema de síntesis de redes de calor pueden

clasificarse en dos grandes grupos:

A. Método de síntesis secuencial

Los métodos de síntesis secuencial llevan a cabo una partición del problema de HENS

en cierto número de intervalos, usualmente dividiendo el rango de temperaturas del

problema en intervalos de temperatura. Así, el problema se descompone en una serie

de subproblemas que se resuelven sucesivamente en orden decreciente, empleando

para ello reglas heurísticas. Las estrategias generalmente empleadas se basan en

hallar la red que minimice costos, área o energía. Existen dos métodos de sistema

secuencial:

a) Métodos de diseño evolutivo basados en el punto de pliegue (PDP, pinch

en inglés) y sus derivados (pseudo PDP).

b) Métodos basados en técnicas de programación matemática que utiliza

formulaciones enteras mixtas lineales (MILP) o bien resuelven el problema

de optimización no lineal.

Los métodos del apartado a) constituyen la base de productos comerciales (por

ejemplo SuperTarget, PinchExpress, AspenPinch) que han recibido una gran aceptación

por parte de la industria, además de haber contribuido de forma significativa al ahorro

energético en la industria de proceso durante esta última década. Por este motivo, y

dado que otros métodos basados en la programación matemática no son alternativas

razonables para resolver problemas a escala industrial, algunos elementos del método

PDP se desarrollarán más adelante.

B. Método de síntesis simultánea

El objetivo de los métodos de síntesis simultánea de redes de intercambio de calor es

hallar la red óptima sin descomponer el problema. Se trata de métodos basados en

formulaciones no lineales del problema entero-mixto (MINLP) de HENS, sujeto a

hipótesis que tratan de simplificar su complejidad y facilitar la búsqueda de la solución.


8

Por el momento la utilización de tales métodos sigue mayoritariamente restringida al

campo de la investigación académica.

1.4 Estado del arte

Para simplificar el problema de síntesis de redes de intercambio de calor, es

descompuesto en tres partes: (1) Encontrar los requerimientos mínimos de consumo para

un problema dado y un valor de HRAT (Heat Recovery Approach Temperature) propuesto,

(2) sintetizar una red de intercambio de calor que tenga un número mínimo de unidades,

y que satisfaga los requerimientos mínimos de consumo, (3) minimizar el área total. De los

datos del problema, y antes de diseñar la red, podemos obtener la siguiente información:

• Requerimientos mínimos, para un HRAT específico. (Hohmann, 1971;

Raghavan, 1977; Linnhoff & Flower, 1978; Papoulias & Grossmann, 1983; Cerda

et al., 1983; O’Young et al., 1988).

• Número mínimo de unidades, para requerimientos específicos,

independiente del área (Hohmann,1971; Papoulias and Grossman,1983).

• Área mínima de la red para requerimientos específicos, independiente del

número de unidades (Hohmann, 1971; Nishida et al., 1971; Raghavan, 1977;

Townsend and Linnhoff, 1974).

En lo que respecta a minimizar área, autores como Yee &Grossmann(1990)

proponen una superestructura, que es una representación por etapas, en donde en cada

etapa, ocurre un intercambio de calor, de las corrientes calientes a las frías que se

encuentran presenten en dicha etapa. Rev y Fonyo (1993), proponen usar contribuciones

individuales ∆Ti a la diferencia de temperatura de aproximación mínima entre las

corrientes calientes y frías, en esta propuesta, la temperatura de las corrientes debe ser

cambiada proporcionalmente por el inverso del coeficiente de película de la corriente en

cuestión, de acuerdo con la ecuación:

1−=∆ ii khT

En donde k es una constante. El valor de k puede ser calculado para cualquier valor de

∆Tmin de una manera iterativa. Merdardo Serna y Arturo Jiménez(2004) se basan en el


9

método utilizado por Rev y Fonyo, con la diferencia de que utilizan el concepto de pinch

diverso como base para proponer su algoritmo. Colberg y Morari(1990) usan un modelo

no lineal, lo que lo vuelve complejo, pero puede aceptar coeficientes de transferencia de

calor que no sean iguales, utilizan intervalos de entalpía. El modelo de Jeżowski (2003),

también se basa en intervalos de temperatura, pero este modelo es lineal, por lo que es

más fácil de resolver. Este método se basa en el modelo de transporte, y no requiere del

conocimiento de los intervalos de entalpía.

1.5 Objetivos y justificación de este trabajo

En el proceso de determinación de redes de intercambiadores de calor, las técnicas

empleadas habitualmente exigen una primera etapa de determinación de la Máxima

Energía Recuperable. Para ello, existen diversas técnicas basadas en métodos

termodinámicos como el procedimiento de la tabla de calor (PP), y métodos

matemáticos que empleando el modelo de transporte en etapas, se resuelven utilizando

el método Simplex para Redes.

A fin de explorar las posibilidades, los métodos que aplican programación lineal más

actual y exponer los resultados de su aplicación, se presenta el actual trabajo.

El siguiente trabajo es una presentación del contenido que se abordó dentro de la

materia Seminario de Proyectos 1 y 2, y cuyos objetivos son:

� Explorar las técnicas como la del punto de pliegue, fórmula de Bath o el

modelo de transporte, para tener una primera aproximación a los métodos

más utilizados dentro de la programación lineal orientada a la optimización

de procesos dentro de la industria.

� El estudio y análisis del método presentado por Jacek Jeżoswki (2003), donde

utiliza intervalos de temperatura (TI’s).

� Plantear un método que nos permita resolver de forma menos compleja el

problema de optimización de HEN’s , mejora del tiempo de ejecución, así

como de los resultados con respecto a otros métodos presentados en el

presente trabajo.


10

En el siguiente capítulo vemos a fondo las técnicas de recuperación de energía,

modelo para minimizar los consumos de energía tanto de calentamiento como de

enfriamiento. Se abordan algunos elementos de la tecnología de punto de pliegue,

como: análisis de la primera ley que es el punto de partida para comenzar con el estudio

de las redes de intercambio de calor, para posteriormente hacer la tabla de intervalos de

temperatura. Las curvas compuestas y la gran curva compuesta integral, que están

basadas en los intervalos que se crean en la tabla de intervalos de temperatura. Para

finalizar el capítulo, se aborda otro método para resolver el problema de metas de

energía, que es el modelo de transporte, de forma gráfica se describe el procedimiento

para poder plantear el método. Se analiza un caso de estudio, para comprender mejor la

metodología de cada procedimiento.

En los capítulos siguientes se abordan las metas de área, en el capítulo 3, en

particular se utiliza la fórmula de Bath, propuesta por Townsend y Linnhoff en 1984 en un

encuentro de investigadores en la Ciudad de Bath (U.K). En el capítulo 4, se aborda el

modelo de Jeżowski, una parte fundamental del presente trabajo ya que introduce el

nuevo modelo sin que uno sea consecuencia del otro, al familiarizarse con el modelo de

transporte del capítulo 3, este nuevo modelo es de fácil introducción, debido a su similitud

en el planteamiento con el modelo de transporte. Se propone un nuevo modelo, donde

las cargas se distribuyen, de forma que ninguna sea mayor que una cota establecida,

esto con el fin de crear una distribución uniforme, basados en un porcentaje fijo.

El capítulo 6, presenta casos de estudio diversos utilizando los dos métodos centrales

de este trabajo, el de Jezowski y el de distribución de cargas uniformes, dichos casos de

estudio fueron resueltos con la ayuda de Gams, para disminuir tiempos de ejecución.

Para poder comparar los resultados, utilizamos el capítulo 7, donde se discute cual

método es mejor de acuerdo a lo obtenido en el presente trabajo. Además, se presentan

las conclusiones de los otros métodos abordados.

Los métodos de programación lineal, contribuyen en la industria al optimizar

procesos, esto es recuperar energía en forma de calor, y también a disminuir los costos,

creando redes más económicas, y que puedan recuperar la energía para cierto HRAT.

D.M. QUINTAS CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA

11

Capítulo 2

Redes de consumos mínimos de energía en intercambio de

calor

2.1 Elementos del método del punto de pliegue

Los procesos químicos son una sucesión de operaciones químicas y/o físicas que

trasforman materias primas en productos, subproductos y residuos. Por ejemplo en la

Figura 2.1 los reactantes pasan por la primera etapa de purificación antes de la operación

de reacción que tiene lugar a continuación. Los productos y subproductos obtenidos son

sometidos a una segunda operación de purificación donde se separan de los reactantes

no convertidos. Estos últimos se reciclan a la primera sección de purificación.

Figura 2.1 Proceso químico simplificado

Cada una de dichas transformaciones tiene lugar a una temperatura y presión

determinadas. La tarea encomendada a la red de intercambio de calor y al sistema de

servicios generales es conseguir que las corrientes de proceso alcancen las condiciones

apropiadas para la operación siguiente.

Por consiguiente, los datos requeridos son el estado inicial y final (objetivo) de la

corriente que interviene en la integración energética. Dichos datos en términos generales,

son:

• La temperatura y presión de entrada.

Purificación 1 Reacción Purificación 2

Energía

Materia prima

Subproductos Productos

Pérdidas Residuos


12

• La temperatura y presión de salida.

• El caudal y la composición de la mezcla en cada corriente, que constituye el

transporte de materia entre operaciones.

2.1.1 Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares: calentamiento y

enfriamiento (RMSA)

El punto de partida en el análisis de la integración energética con el método del

punto de pliegue es el cálculo de los requerimientos mínimos de calentamiento y

enfriamiento de la red de intercambiadores, necesarios para satisfacer la demanda de

calor qhu o para las corrientes calientes que requieren ser enfriadas qcu, y donde el

intercambio de calor entre corrientes calientes y frías es insuficiente para que alcancen su

temperatura objetivo. Dicho cálculo puede realizarse sin tener que especificar una red de

intercambio de calor. Asimismo, podemos determinar el número mínimo de

intercambiadores sin necesidad de especificar la red. Una vez establecidos los RMSA y el

número mínimo de intercambiadores, se podrá proceder al diseño de la red de

intercambiadores. Supongamos el siguiente caso:

Considere la información de la Tabla 2.1, en la que se muestran 2 corrientes frías y

dos calientes, considerando una diferencia mínima de temperaturas de 20 K.

Tabla 2.1. Datos para el caso de estudio 1(HRAT=20 K) Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW)

H1 423 333 20 0.1 1800 H2 363 333 80 0.1 2400 C1 293 398 25 0.1 2625 C2 298 373 30 0.1 2250

Vapor 453 453 0.1 Agua de Enfriamiento 283 288 0.1

Este caso de estudio fue tomado de Colberg y Morari (1990), también se presenta en

Jeżowski (2003).

Se dan las temperaturas de entrada To y salida Ts de cada corriente y su contenido

de calor CP=FCp, donde F es el flujo másico que discurre por la corriente y Cp es el calor

específico del fluido en cada corrientes, suponiendo que se mantiene constante en el


13

rango de temperaturas indicado. Aparecen también en la Tabla 2.1 los valores de las

cantidades netas Q a suministrar o sustraer necesarias para que las corrientes alcancen

sus temperaturas objetivo To.

2.1.2 Balances de energía

A partir de los datos de la Tabla 2.1, y de la tabla 2.2, tabla de intervalos de

temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es qhu y para

enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía:

kWTCPTTCFQ ospH 180020*)333423()( 11111 =−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospH 240080*)333363()( 22222 =−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospC 262525*)398293()( 33333 −=−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospC 225030*)373298()( 44444 −=−=∆=−=

kWkWkWqdisp 420024001800 =+= (2.1.1)

kWkWkWqreq 487522502625 =+= (2.1.2)

kWkWkWqq hudisp 527510754200 =+=+ (2.1.3)

kWkWkWqq cureq 52754004875 =+=+ (2.1.4)

De (2.1.3) y (2.1.4), tenemos: cureqdisphu qqqq +=+ (2.1.5)

La ecuación (2.1.5) nos dice que la energía que tenemos en las corrientes calientes,

qdisp, más la energía del servicio de calentamiento, qhu, debe ser igual a la energía que

debemos suministrar a las corrientes frías, qreq, más la ayuda de servicio de enfriamiento,

qcu.

ESTADO ESTACIONARIO

H1

H2 C2

C1

HU CU

qhu=1075 kW

qH2=2400 kW

qH1=1800 kW

qCU= 400 kW

qc2= 2625 kW

qC1= 2250 kW


14

La primera ley de la termodinámica no contempla el hecho de que es únicamente

posible transferir calor de una corriente caliente a una fría si la temperatura de la corriente

caliente está por encima de la correspondiente a la corriente fría. Por lo tanto, para

obtener un estimado físico razonable de los requerimientos de calentamiento y

enfriamiento, una fuerza motriz positiva debe existir en la tabla de calor entre la corriente

fría y caliente. Es decir, que se debe satisfacer también la segunda ley. La segunda ley de

la termodinámica nos dice que es imposible un proceso cuyo único resultado sea la

transferencia de energía en forma de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro

de mayor temperatura. Lo que esta ley nos dice es también conocido como enunciado

de Clausius. La segunda ley reafirma a la primera, y nos indica que en la tabla de calor

solo se debe transferir calor de intervalos de mayor temperatura a intervalos de menor

temperatura.

2.1.3 Diagrama de intervalos de temperatura

Una forma sencilla de asegurar el cumplimiento de la segunda ley en la aplicación

del análisis de integración energética es la representación de las corrientes de proceso

susceptibles de un intercambio energético en el llamado diagrama de intervalos de

temperatura (Umeda et al., 1978; Linnhoff y Flower, 1978). El diagrama de intervalos de

temperatura parte de la selección de una diferencia de temperaturas mínima ∆Tmin entre

las corrientes que intercambian calor como fuerza impulsora del intercambio. Para

construir esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla

2.2 (a)) las remarcamos con negritas, posteriormente para TH restamos el HRAT

correspondiente, y para TC sumamos el HRAT (Tabla 2.2 (b)), ahora se ordenan de forma

descendente (Tabla 2.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para

así obtener nuestra escala de temperaturas.


15

Tabla 2.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta

o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final

TH TC TH TC

423 423 403

363 363 343

333 333 313

333 333 313

398 418 398

373 393 373

298 318 298

293 313 293

(a) (b) (c) (d)

A partir de la Tabla 2.2 (d), se forma la figura 2.2, que indica los intervalos de

temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus

temperaturas de entrada y salida.

Figura 2.2 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla

2.1.

Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos

obtener de estos datos, (ver tabla 2.3). La columna (2) de la tabla 2.3, es el calor

disponible de las corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes, y

TH TC

423 403

418 398

393 373

363 343

333 313

333 313

318 298

313 293

TH TC

423 403

418 398

393 373

363 343

333 313

318 298

313 293

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

418

393

363

333

403

398

373

343

313

TH TC

318

313

298

293


16

que se puede utilizar, para que esta corriente alcance su temperatura objetivo, sigue la

ecuación:

kIi

Hikdisp TFCPqk

∆=∑ε

, (2.1.3)

Por ejemplo para el intervalo 4, tenemos:

kWKKkWTFCPTFCPq HHdisp 300030*/)8020(444, 21=+=∆+∆=

Para el calor requerido, columna (3), podemos utilizar la ecuación (2.1.4), solo que

ahora se aplica para las corrientes frías.

kJj

Cjkreq TFCPqk

∆= ∑ε

, (2.1.4)

En cada intervalo de temperaturas es posible el intercambio de calor entre

corrientes calientes y frías, ya que queda garantizado un ∆Tmin entre ellas. Obviamente,

también es posible el intercambio de calor entre intervalos a más alta temperatura con los

de corrientes a temperaturas más bajas. Si se restringe el intercambio de calor a las

corrientes dentro de cada intervalo de temperaturas, la cantidad de calor máxima

transferible en cada intervalo de temperatura vendrá dada por:

],min[ reqdisprec qqq = (2.1.5)

Más adelante se describirán las columnas restantes.

En la Tabla 2.3, se muestra la tabla de intervalos de temperatura, desglosada, donde

la columna 4, representa la ecuación (2.1.5) nos dice.


17

Tabla 2.3 Tabla de calor para el caso de estudio 1.

∆T

(K)

(1)

qdisp

(kW)

(2)

qreq

(kW)

(3)

qrec

(kW)

(4)

qneto

(kW)

(5)

qhu

(kW)

(6)

Hacumh

(kW)

(7)

Hacumc

(kW)

(8)

5 100.00 0.00 0.00 100.00

qhu

1075.00

25 500.00 625.00 500.00 -125.00

1175.00

30 600.00 1650.00 600.00 -1050.00

1050.00

30 3000.00 1650.00 1650.00 1350.00

0.00

15 0.00 825.00 0.00 -825.00

1350.00

5 0.00 125.00 0.00 -125.00

525.00

1800 2400 2625 2250 4200 4875 3800 400 qcu

2.1.3.1 Diagrama de cascada

El diagrama de intervalos de temperatura nos indica las cantidades netas de calor

en exceso necesario para el enfriamiento y calentamiento en cada intervalo que podría

suministrarse por un servicio de frío y de calor, respectivamente. Sin embargo una forma

más eficiente de suministro es utilizar el exceso de calor disponible en cierto intervalo para

cubrir el déficit de enfriamiento del siguiente a temperaturas más bajas garantizando de

esta manera el cumplimiento de la segunda ley. De esta forma, el exceso de calor se

transfiere de forma de cascada de intervalos a más alta temperatura hacia los de más

baja temperatura.

423

418

393

363

333

318

403

398

373

343

298

313

293 313

TH TC H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

4200

41000

3600

3000

0

5275

4650

3000

1350

525

400


18

La columna (5), resulta de la sustracción de la columna (2) y la (3). De esta columna,

observamos que hay valores negativos, entonces, observamos donde hay un cambio de

signo, el primero esta del intervalo 3 al 4, este punto donde cambio el signo se llama punto

de pliegue (PDP) entonces sumamos los tres valores por arriba de este punto, para

obtener el valor de los requerimientos de calentamiento, qhu. Colocamos este valor arriba,

en la columna (6), conforme bajamos, sumamos el valor de qneto, primero tenemos 1075

kW, sumamos qneto = 100 kW, en el siguiente intervalo tendremos 1175 kW, y así

sucesivamente, al valor al final de esta columna, obtendremos el valor de qcu. En la tabla

de calor, se muestra como fluye la energía en cascada a través de cada intervalo (Tabla

2.2, columna 6).

Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares (RMSA)

Por construcción del diagrama de cascada, columna 6 Tabla 2.3, se observa que para

un HRAT= 20 K, el consumo mínimo de servicios de calentamiento se halla al comienzo de la

cascada. Correspondiente a qhu= 1075 kW. Asimismo, el consumo mínimo de servicios de

enfriamiento se halla en el extremo inferior de la cascada que son qcu= 400 kW.

Temperatura del punto de pliegue (TPDP)

El punto de pliegue se encuentra, para las corrientes frías en 343 K, y para las calientes en

363 K, entonces la temperatura del punto de pliegue se encuentra a 353 K. Por encima del

punto de pliegue se deben suministrar 1075 kW, y por debajo del punto de pliegue se deben

retirar 400 kW.

Figura 2.3. Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue

PP

=1075 kW QHUmín

=400 kW QCUmín


19

El punto de pliegue (PDP) define la mínima fuerza impulsora permitida por cierto

∆Tmin. La temperatura del punto de pliegue permite descomponer el problema de diseño

de la red de intercambiadores. Es decir, por encima de dicha temperatura “solamente se

debe suministrar calor”, mientras que por debajo de ella “solamente se debe suministrar

enfriamiento” de un servicio auxiliar externo.

Normalmente el punto de pliegue no aparece a una temperatura extrema del

proceso, si no que corresponde a la posición del proceso donde el intercambio

energético es más difícil. Es decir, que los intercambios de calor son más fáciles alejados

del PDP. Por ello el punto de pliegue identifica el cuello de botella del proceso. El análisis

de las corrientes involucradas en el PDP será de gran ayuda para mejorar la eficiencia

energética del proceso.

2.1.4 Diagramas entalpía-temperatura (T-H)

El comportamiento térmico de un proceso se caracteriza por la evolución entalpía-

temperatura, que puede representarse en el llamado diagrama T-H.

En el caso de un intercambiador de calor, el cambio de entalpía H asociado a una

corriente del mismo viene dado por la primera ley de la termodinámica:

H=Q±W, (2.1.4.1)

Teniendo en cuenta que no tiene lugar trabajo mecánico, W=0.Por consiguiente, la

ecuación (2.1.4.1) queda simplificada así:

H=Q (2.1.4.2)

Donde Q representa la demanda de calor entre las temperaturas, To y Ts asociada a

cierta corriente de proceso, la cual viene dada por:

∫=s

o

T

T

CPdTQ (2.1.4.3)


20

Si CP es constante, es decir, independiente de la temperatura en el rango de

operación contemplado, la ecuación (2.1.4.3) se convierte en:

)( os TTCPQ −= (2.1.4.4)

Es importante notar que, dado que solamente intervienen cambios de entalpía, el

origen en el eje de entalpía es arbitrario. La representación T-H se utilizará en los

diagramas de curva compuesta, que sirven de soporte al diseño de la red de

intercambiadores de calor.

Las columnas de Hacumh y Hacumc , (tabla 2.3) muestran la carga acumulada en las

corrientes frías y calientes, estas nos permiten construir las curvas compuestas y la curva

compuesta integral.

2.1.5 Diagrama de curva compuesta

El diagrama de entalpía-temperatura puede ser de gran utilidad en el análisis de

integración energética de un proceso si, en vez de representar aisladamente cada

corriente del proceso, procedemos a la representación del perfil compuesto de todas las

corrientes calientes del mismo y del perfil compuesto correspondiente a las corrientes frías.

Dichos perfiles representan cómo se compartirían las diversas corrientes del proceso como

si se tratase de una corriente única.

Para ello, dentro de cada intervalo de temperaturas, se combinan las diversas

corrientes calientes (frías) para producir una curva compuesta caliente (fría). Dicha curva

caliente (fría) tiene un CP equivalente en cada intervalo que es la suma de los valores de

las corrientes individuales.

De la tabla 2.4, se observa que para las corrientes calientes existen 2 intervalos de

temperatura que delimitan el cambio en la población de corrientes. El primer intervalo va

desde TH= 333 K y termina en TH= 363 K, (intervalo:∆T3, población: H1, H2)el segundo

intervalo va de TH= 363 K hasta TH= 423 K, (intervalo :∆T4, ∆T5 , ∆T6 población: H1), los valores

de la entalpía acumulada se muestran en la columna Hacumh. En la tabla 2.4, se muestra la

población de corrientes, por intervalos de entalpía, para las corrientes frías y calientes.


21

Tabla 2.4. Población de corrientes por intervalo de entalpía para el Caso de estudio 1, (a)

corrientes calientes, (b) corrientes frías

Intervalo

Hacumh(kW)

Intervalo

TH (K)

Población de

corrientes

0-3000 333-363 H1, H2

3000-4200 363-423 H1

(a)

Intervalo

Hacumc(kW)

Intervalo

TC (K)

Población de

corrientes

400-525 293-298 C1

525-4650 298-373 C1, C2

4650-5275 373-398 C1

(b)

Solamente los cambios de entalpía son de interés, pudiendo ser el origen arbitrario

de la escala.

2.1.6 Curva Compuesta Integral

La Curva Compuesta Integral(CCI) resulta de especial interés en el análisis y estudio

de integración energética de procesos. La representación de la CCI muestra el perfil

combinado de la curva compuesta caliente y fría en un solo diagrama T-H mediante la

representación de las entalpías correspondientes a los valores promedio de las

temperaturas de las curvas compuestas caliente y fría. Por definición, la entalpía a

temperatura del punto del pliegue (PDP) es cero. A partir de este punto, la CCI se

construye fácilmente a partir del diagrama de cascada por encima y por debajo del

punto de pliegue.

Se tienen las siguientes reglas heurísticas de diseño para redes de intercambio con

consumo mínimo de energía:


22

• No se debe transferir calor a través del punto de pliegue.

• Calentar solamente por encima del punto de pliegue.

• Enfriar únicamente por debajo del punto de pliegue.

Es importante hacer notar las limitaciones existentes en el procedimiento de cálculo

de los RMSA, que requiere como datos:

• Los valores de F Cp(FC) para todas las corrientes. Es decir, los valores de los

flujos másicos F y el calor específico del fluido.

• Las temperaturas de entrada y salida de todas las corrientes

Sin embargo, los valores de las variables de diseño que fijan los flujos másicos del

proceso (por ejemplo, conversión, purga, composición, relación molar entre reactantes,

etc.) se deben determinar a partir de un análisis de optimización. Para cada variable, la

optimización contempla en general los costes de reciclado que dependen a su vez de la

red de intercambiadores. Es decir, que los valores óptimos de los flujos másicos dependen

del diseño de la red de intercambiadores, pero éstos son a su vez datos del diseño de la

red. Para resolver este dilema, calculamos la red de intercambiadores en función de los

flujos másicos para estimar las condiciones óptimas de diseño.

Figura 2.4Curvas compuestas para el caso de estudio 1

250

300

350

400

450

0 1000 2000 3000 4000 5000

H[kW]

T[K

]

298288

333

283

423

453

398

363

343

293

337

qcu

IVH1

C1, C2

II

H1

H2

C1

VISTC1

VST

C1, C2

6251200400

452

373

450

364.82

333

2475125

338.25

IIIH1,H2C1, C2

IH1, H2

CW


23

Figura 2.5 Curva compuesta integral para el caso de estudio 1.

La información de la tabla 2.4, reproduce la información del diagrama de curvas

compuestas que se observa en la Figura 2.4. En esta figura se observan 6 intervalos, donde

las líneas cambian de pendiente, como se presentó en la tabla 2.4, son los cambios de

población de las corrientes.

A partir de estos cambios de población se determinan las temperaturas de

entrada y salida de cada intervalo. En las curvas existe un punto de mayor acercamiento,

se ubica en: para las calientes TH= 363 K, y para las frías TC= 343 K, la diferencia ∆Tmin= 20 K,

que corresponde al HRAT.

En los extremos de las curvas, donde no hay apareamientos, encontramos un qhu

=1075 kW, y un qcu= 400 kW. De igual manera podemos obtener estos dos valores en la

curva compuesta integral, en la parte superior e inferior. El punto de pliegue se identifica

fácilmente en la Figura 2.5, es donde la H=0 kW, en T=353 K.

CURVA COMPUIESTA INTEGRAL

250

270

290

310

330

350

370

390

410

430

0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00

H[kW]

T[K

]

qcu

qrec

qhu


24

2.1.7 El problema umbral

Se ha considerado que el punto de pliegue divide el proceso en dos zonas. Sin

embargo, existen ciertos problemas que conducen a situaciones límite donde una de las

zonas puede desaparecer.

Supóngase el caso de la Figura 2.6 a. Esta situación requiere el consumo de ambos

servicios, calor y frío.

a) b) c)

Figura 2.6 Variaciones del consumo de servicio de calentamiento y enfriamiento en

función de ∆Tmin.

A medida que ambas curvas compuestas se aproximan (∆Tmin disminuye), decrece

el requerimiento de servicio de calor hasta desaparecer (Figura 2.6 b) y luego llegar a la

situación de la figura 2.6 c, en la que el consumo de servicio de enfriamiento ocurre tanto

en el extremo inferior de la curva compuesta de las corrientes frías como en el superior. Es

decir, a partir de la situación de la figura 2.6 b, el consumo de servicios generales (de

enfriamiento) es constante (QC1+QC2=QC). Dicha situación se conoce como problema

umbral. La representación de los consumos mínimos de servicio de calor QHmin y frío QCmin a

medida que ∆Tmin disminuye aparece en la figura 2.7. Como puede observarse a partir del

escenario b (umbral) el consumo mínimo de servicios externos permanece constante

aunque ∆Tmin disminuya, correspondiendo en este caso a un servicio de enfriamiento. En

ciertos problemas de umbral desaparecen los requerimientos de servicio de

calentamiento y en otros los requerimientos de enfriamiento.

Figura 2.7 El problema umbral correspondiente al escenario b.

T

H QC

QH

T

H QC

T

H QC1 QC2

QHmin

∆Tmin

QCmin QHmin QCmin


25

2.2 Número mínimo de intercambiadores

El análisis precedente ha permitido determinar los requerimientos mínimos de

servicios de calentamiento y enfriamiento externos de forma previa al diseño de la red de

intercambio entre corrientes de proceso. A partir de los resultados obtenidos se puede

predecir el número mínimo de intercambiadores necesario antes de realizar el diseño

detallado de dicha red.

Análisis de la primera ley

Del análisis precedente se han deducido los requerimientos mínimos de servicios

de calentamiento y de enfriamiento que cumplen con la segunda ley para un valor

determinado de ∆Tmin.

De acuerdo a la teoría de grafos (Euler), que establece el número mínimo de

intercambiadores entre corrientes de proceso que satisface los requerimientos de las

mismas:

NE= NS + NU + L – S

NE: Número de intercambiadores (enlaces en teoría de grafos).

NS: Número de corrientes del proceso (nodos en teoría de grafos).

NU: Número de servicios auxiliares.

L : Número de lazos

S : Número de sistemas independientes

Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que Ns =4.

De acuerdo a la figura 2.4, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del

número de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, V, y VI, donde se

suministra la energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de

calentamiento o enfriamiento según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y

tomando en cuenta que el número mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos:

NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6


26

2.3 Modelo De Transporte

El Modelo de Transporte es un problema particular de la Programación Lineal; trata

de determinar la red óptima para transportar una mercancía desde las fuentes

directamente a sus destinos, sin intermediarios.

Figura 2.8 Representación General del Modelo de Transporte

Cada fuente ó destino es un nodo, el arco ó flecha que une a la fuente con un

destino es la ruta, esta tiene dos tipos de información, a sabe, la cantidad de

mercancías que irán por esa ruta, así como el costo de llevar esa cantidad de

mercancías por esa ruta determinada.

2.3.1 Representación Gráfica

Como se ilustra en la figura 2.9, se puede pensar en el calor como una mercancía

que es transportada desde las corrientes calientes como las fuentes, hasta las corrientes

frías como los sumideros respetando las restricciones impuestas por la primera y la

segunda leyes de la termodinámica para la transferencia de calor.

Unidades de

oferta

1

2

m n

2

1

Origen Destinos

b1

b2

bm

c11 : x11 a1

.

.

.

.

. an

a2

cmn : xmn

Unidades de

demanda


27

Figura 2.9 Representación gráfica del Modelo de Transporte para una red de recuperación de

calor

2.3.2 Planteamiento General del Modelo de Transporte

A continuación se muestra la nomenclatura utilizada en el modelo:

Índices:

i = corriente fría

j = corriente caliente

k = intervalo para corriente fría

l = intervalo para corriente caliente

Parámetros:

aik = Calor requerido por la corriente fría i en su intervalo de temperatura k.

bjl = Calor disponible de la corriente caliente j en su intervalo de temperatura l.

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Corrientes Calientes (Fuentes)

Corrientes Frías (Destinos)

Intervalos de

Temperatura


28

L = Número total de intervalos de temperatura.

C-1 = Número de corrientes de proceso frías

H-1 = Número corrientes de proceso calientes.

C = Número total de corrientes frías del problema.

H = Número total de corrientes calientes del problema.

Variables continuas positivas:

qik,jl = Calor transferido de la corriente caliente j en su intervalo l, hacia la corriente

fría i en su intervalo de temperatura k.

Podemos escribir nuestro modelo del transporte para el problema para consumo

mínimo de energía como sigue:

∑∑∑∑= = = =

C

i

L

k

H

j

L

ljlikjlikq qCMin

jlik1 1 1 1

.,,

(2.3.1)

sujeto a :

∑∑==

=L

ljlik

H

j

q1

,1

ika (2.3.2)

i = 1,2,…,C.

k = 1,2,…,L. (2.3.4)

=∑∑= =

C

i

L

kjljlik bq

1 1, (2.3.5)

0, ≥jlikq para todo i,j,k,l. (2.3.6)

Donde:

0, =jlikC si i y j son corrientes de proceso con apareamiento permitido; i.e., kl ≤

0, =jlikC si i y j son las dos corrientes de servicio auxiliar ( i.e., HjCi == , )

1, =jlikC solo cuando i ó j sean una de las dos corrientes de servicio auxiliar


29

MC jlik =, Cualquier otro caso, donde M es un número muy grande (pensado

como ∞) (2.3.7)

Comentarios

a) La ecuación (2.3.2) dice que el calor requerido por la corriente fría i en el

intervalo k debe ser satisfecho transfiriendo calor de alguna parte entre las corrientes

calientes.

b) La ecuación (2.3.3) dice que el calor disponible en la corriente caliente j en el

intervalo I debe ceder su calor en alguna parte a corrientes frías.

c) La ecuación (2.3.6) dice que todo calor transferido debe ser no negativo, esto

es ningún calor puede fluir de una corriente fría a una caliente pues estaríamos violando

la segunda ley de la termodinámica.

d) La ecuación (2.3.1) es la función objetivo que se minimizará con los

coeficientes del costo definidos por (2.3.7), en ésta se minimiza el costo de la

transferencia de calor de cada corriente en cada intervalo.

e) Nótese que en el cuarto caso del costo (2.3.7), estamos introduciendo los

apareamientos prohibidos entre corrientes, es decir, para poder prohibir apareamientos

entre corrientes calientes que se encuentran en un nivel de temperatura mas bajo que

una corriente fría declaramos el costo de esta transferencia con un precio muy alto, por

lo cual al minimizar el costo, automáticamente desechamos ese apareamiento, otra

manera sería simplemente no declarar ese apareamiento, es decir, no incluir en el

balance del nodo, la transferencia de calor prohibida, ó “ hacia” arriba en los intervalos

de temperatura. Dicho de otra forma, los apareamientos termodinámicamente

rechazados se dan como costo cercano a infinito para imposibilitar ser parte de

cualquier solución óptima.

f) No se asocia ningún costo a un apareamiento permitido entre corriente de

proceso – corriente de proceso, pues lo que deseamos es recuperar energía, y al permitir

el apareamiento entre corrientes de proceso eso es precisamente lo que estamos

logrando al minimizar el costo de la transferencia de calor.


30

g) De la misma manera lo hacemos entre corriente de servicio auxiliar -servicio

auxiliar calentamiento ó enfriamiento (esta última meta nunca se había puesto en

ejecución en una red). Lo anterior porque sabemos que permitir el apareamiento entre

estas corrientes de manera real no es racional, así, si al llevar a cabo la solución del

modelo de minimización, obtuviéramos un valor dado para el intercambio de energía

entre servicios auxiliares, sabemos que en realidad no pondremos a esas corrientes en

contacto.

h) Los apareamientos termodinámicamente rechazados se dan como costo

cercano a infinito para imposibilitar ser parte de cualquier solución óptima.

Retomando los datos de la tabla 2.1, para aplicar el modelo de transporte. Primero en una

tabla de calor se muestra la división de corrientes en sus respectivos intervalos de

temperatura (figura 2.10).

Figura 2.10 Intervalos de temperatura del ejemplo 1.

Tenemos los siguientes conceptos:

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

418

393

363

333

403

398

373

343

313

TH TC

318

313

298

293

1

2

3

4

5

6

aik = carga térmica requerida por la corriente fría i en el intervalo k

bjl = carga térmica disponible en la corriente caliente j en el intervalo l


31

Entonces, debido a estas definiciones obtenemos la siguiente figura:

Figura 2.11 Cargas térmicas de las corrientes de proceso Ejemplo 1

De la figura 2.10, se observa que existen 8 intervalos, comenzando por un intervalo 0,

a diferencia de la tabla de calor, donde solo tenemos 6. Esto se debe a la necesidad de

tener un intervalo para los requerimientos de calentamiento, en este caso el intervalo 0,

donde tenemos el vapor a 453 K. En el intervalo 7, no existe corriente de proceso o para

los servicios, sin embargo es necesaria, para poder delimitar, la corriente de enfriamiento,

que se encuentra en el intervalo 8, donde el agua de enfriamiento, va desde 283 K a 288

K. Para las corrientes de proceso, solo se tomará en cuenta del intervalo 1 al 6.

Para introducir a la notación del modelo, se presentan los siguientes balances:

b1l = carga térmica disponible en la corriente caliente H1 en el intervalo l, así:

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

418

393

363

333

403

398

373

343

313

TH TC

318

313

298

293

1

2

3

4

5

6

b11= 100

b12= 500

b13= 600

b14= 600 b24= 2400

a12= 625

a13= 750

a14= 750

a15= 375

a16= 125

a23= 900

a24= 900

a25= 450

0 bH0 453

288

283

St

Cw

7

8


32

∑=

6

1l

b1l =1800

b2l = carga térmica disponible en la corriente caliente H2 en el intervalo l, así:

∑=

6

1l

b2l =2400

∑=

2

1j∑

=

6

1l

bjl = carga térmica disponible en las corrientes calientes H1 y H2 en todos los L

intervalos

∑=

2

1j∑

=

6

1l

bjl = 4200

a1l = carga térmica requerida por la corriente fría C1 en el intervalo l, así:

∑=

6

1k

a1k =2625

a2l = carga térmica requerida por la corriente fría C2 en el intervalo l, así:

∑=

6

1k

a2k =2250

∑=

2

1i∑

=

6

1k

aik = carga térmica requerida por las corrientes frías C1 y C2 en todos los L

intervalos

∑=

2

1i∑

=

6

1k

aik = 4875

Así se obtiene la energía disponible de cada corriente caliente, así como la energía

requerida por las corrientes frías. En la figura 2.3.6, se observa la distribución que puede

seguir la carga que transfiere la corriente caliente H1 en los intervalos del 1 al 4, en que se

encuentra presente, a las corrientes frías C1 en los intervalos 1 al 6 y C2 en el intervalo 3 al

5. Los apareamientos prohibidos, no se toman en cuenta, debido a la simplicidad que

esto produce al modelo, pues se omiten los términos que estos apareamientos producen

al momento de minimizar el área.

De forma análoga, se aplicó este criterio a las demás corrientes, H2, C1 y C2.

Entonces, para la corriente caliente H2, presente en el intervalo 4, puede aparearse con la


33

corriente fría C1, presente en los intervalos 4, 5 y 6, y con la corriente fría C2, presente en

los intervalos 4 y 5. Hay que recordar que no es posible transferir energía de un intervalo

de menor temperatura a uno de mayor, es decir j≤k, en la figura 2.3.6, la línea roja que va

de H13 a C12, ilustra un apareamiento prohibido. La línea roja que va del servicio de

calentamiento bH0 al servicio de enfriamiento aC8, también es un apareamiento prohibido,

pues no tiene sentido transferir energía entre los servicios auxiliares, debido al gasto que

implica y el mal uso.


34

Figura 2.12 Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo

bH0

H1

H1

H1

H1

H2

C1

C2

C1

C2

C1

C1

1

2

3

4

5

6

C1

C2

aC8

423

418

393

363

333

318

313

403

398

373

343

313

298

293

7

8

0 453

288

283

b11=100

b12=500

b13=600

b14=600

Vapor

Agua de Enfriamiento

b14=2400


35

Aplicando el modelo de transporte:

08CaMin Hb+

Sujeto a:

Balances de energía para la Corriente Caliente H1:

aHCHCH CH CHCHCHCH CH ,q,q,q,q ,q,q,q,q ,q 1001,12,51,12,41,12,31,11,61,11,51,11,41,11,31,11,21,1

++++++++=

a2,HCHCH CHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q ,q ,q ,q,q 50012,51,22,41,22,31,21,61,21,51,21,41,21,31,21,21,2

++++++++=

aHCHCHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q,q,q 6001,32,51,32,41,32,31,31,61,31,51,31,41,31,31,3

+++++++=

aHCHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q 6001,42,51,42,41,41,61,41,51,41,41,4

+++++=

Balances de energía para la Corriente Caliente H2:

aHCHCHCHCHCH ,q,q,q,q,q,q 24002,42,52,42,42,41,62,41,52,41,42,4

+++++=

Balances de energía para la Corriente Fría C1:

1,21,21,21,11,2 CHCHCb ,q ,q ,q 625 ++=

1,31,1,31,21,31,11,3 C3,HC,H C,HCb, q q q q 750 +++=

1,42,41,41,41,41,31,41,2 1,41,11,4 CHCH CHCHCH Cb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 750 +++++=

1,52,41,51,41,51,31,51,21,51,11,5 CHCHCHCHCH Cb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 375 +++++=

1,62,41,61,41,61,31,61,21,61,11,6 CHCHCH CHCHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 125 +++++=

Balances de energía para la Corriente Fría C2:

2,31,3 2,31,22,31,1 2,3 CHCH CHCb ,q ,q ,q ,q 900 +++=

2,42,42,41,42,41,32,41,22,41,12,4 CHCHCH CH CHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 900 +++++=

2,52,42,51,42,51,32,51,22,51,12,5 CHCHCHCHCHCb ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450 +++++=

D.M. QUINTAS CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA

36

Balances de energía para los Servicios Auxiliares:

aHaHaHaH aHC ,q ,q ,q ,q ,q a2,41,41,31,21,18

++++=

1,62,51,2,41,42,31,31,20 CbCb5CbC,bCb CbCbCbH ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q b +++++++=

, para i=1,2, j=1,2, k=1,…,4, l=2,…,6.

Al resolver el modelo con ayuda de Solver complemento de Excel, se obtiene la

distribución que se presenta en la Figura 2.13, los valores que son de nuestro interés son:

1075kW b0H =

400kW a8C =

C1,6qH1,2,

Se observa que los resultados obtenidos en la primera parte de este capítulo,

sección 2.1.3, en específico, la tabla 2.3 columna (6), coinciden con los resultados

obtenidos del modelo de transporte.

0,,q,,q,,q07lj,ki,lj,ki, Cb,aHCH ≥Hc ba

D.M. QUINTAS CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA

37

Figura 2.13 Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

0

b11=100

b12=500

b13=600

b14=600

b24=2400

bH0

H1

H1

H1

H1

H2

C1

C2

C1

C2

C1

C1

C1

C2

aC8

423

418

393

363

333

318

313

403

398

373

343

313

298

293

453

288

283

Vapor

Agua de

enfriamiento

a12=625

a13=750

a23 =900

a14=750

a24=900

a15=375

a25=450

a16=125

100

500 25

750

600

300

600

150

900

375

450

125

400

1075

D.M. QUINTAS CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA

38

Capítulo 3

Estimación del área de transferencia de calor

Una vez calculados los requerimientos mínimos de servicios generales de

enfriamiento y calentamiento del proceso, se puede estimar el área mínima de

intercambio de dichos servicios, antes de llevar a cabo el diseño detallado de la red de

intercambiadores. Una metodología para realizar dicha estimación fue desarrollada por

Townsend y Linnhoff (1984) como extensión del trabajo realizado por Hohmann (1971).

3.1 Planteamiento de la fórmula

El área total A del intercambiador entre dos corrientes de proceso correspondiente

a una utilización óptima del potencial de transferencia de calor entre dos curvas

compuestas puede estimarse de forma sencilla considerando ambas curvas compuestas,

la de las corrientes calientes y la de las corrientes frías como una corriente global a la que

corresponde un coeficiente global de transferencia de calor U mediante la siguiente

expresión:

∫ −=

Sal

Ent fríacal TTU

dQA

)( (3.1)

Suponiendo que el calor específico Cp es constante para cada corriente

(independiente de la temperatura), el resultado de la integración es:

( )

2

1

21

lnT

TTTU

Q

TU

QA

LM

∆∆

∆−∆=∆

= (3.2)


39

Donde ∆T1 y ∆T2 son las diferencias de temperatura en los extremos caliente y frío

del intercambiador de calor respectivamente y ∆TLM es la media logarítmica de la

diferencia de temperaturas.

En el caso general, la curva compuesta caliente y fría de la figura 2.4 puede

dividirse en k intervalos sucesivos de CP constante, de tal forma que el resultado de la

integración de la ecuación 3.1 viene dado por la suma de las áreas Ak calculadas

mediante la ecuación 3.2 para cada sección:

∑∑== ∆

==K

i LMi

kK

kk TU

QAA

11

(3.3)

Sin embargo, el valor de U no es constante para todo el proceso. Adicionalmente

ocurre que en cada tramo de CP constante puede existir más de una corriente. Townsend

y Linnhoff (1984) demostraron que la expresión general para el cálculo del área en

cualquier intervalo k viene dada por:

+

∆= ∑∑

frías

j j

cal

i iLM

k

hhT

QA

11 (3.4)

Donde hi y hj son los coeficientes individuales de película de transmisión de calor

para el fluido caliente i y el fluido frío j, respectivamente.

Por consiguiente, la estimación del área total de la red de intercambiadores viene

dada por:

+

∆= ∑∑∑

=

J

j j

jI

i i

iK

k LMk h

q

h

q

TA

1

1 (3.5)

Donde qi y qj son el calor de las corrientes i y j en el intervalo de entalpía k. La

ecuación 3.5 también es conocida como fórmula de Bath.

El procedimiento expuesto es aproximado y por lo tanto no obtiene los mismos

resultados alcanzados una vez diseñada la red de intercambiadores. Sin embargo, la

ecuación (3.5) proporciona una estimación razonable del área requerida. También es

importante notar que el cálculo abreviado del área, permite el análisis previo y mejora del


40

∆Tmin hacia el compromiso óptimo entre costos de inversión (red de intercambiadores) y

de operación (ahorro energético resultante).

3.2 Análisis de la fórmula

A partir de las curvas compuestas, presentadas en la sección 2 (figura 2.4), se

obtienen las tablas 3.1 y 3.2, se toman en cuenta 6 intervalos de entalpía. En la tabla 3.1,

se encuentran las corrientes calientes, para el último intervalo de entalpía, no tenemos

corrientes de proceso, sin embargo, completamos, el espacio que se nota en la gráfica,

con servicios auxiliares (vapor). En la tabla 3.2, están las corrientes frías, en el intervalo de

entalpía 6, aparece la corriente fría C1, que será calentada por el servicio descrito

anteriormente. De igual manera sucede para el intervalo de entalpía 1, donde solo existen

las corrientes H1 y H2, por lo que es necesario un servicio de enfriamiento.

Para los intervalos de entalpía 2, 3, 4 y 5, existen apareamientos, que nos permiten

recuperar calor. Para poder aplicar la fórmula de Bath (ecuación 3.5) de manera más

sencilla, se desglosaron las sumas (Tabla 3.1 y 3.2) de las corrientes frías y calientes, para

posteriormente obtener los valores de áreas (tabla 3.3), que sumadas resultan en un área

de 2896.27 m2. Se observa la consistencia de los resultados pues qhu, que es la suma de los

intervalos donde se utiliza vapor, tiene un valor de 450 kW más 625 kW que es igual a 1075

kW. Mientras que para qcu, que se encuentra en los intervalos donde se usa agua de

enfriamiento, se tiene un valor de 400 kW.

Las temperaturas, se obtienen de la figura 2.4, al trazar los intervalos de entalpía,

algunas temperaturas son fáciles de obtener, corresponden a las temperaturas de

entrada y objetivo de las corrientes, que se tienen en la tabla 2.1. Par el resto de las

temperaturas, se observa que corrientes participan en el intervalo, la carga de este

intervalo, y así obtenerlas.


41

Tabla 3.1. Corrientes calientes

Corrientes Calientes (Hi)

Intervalo(k) Corrientes THi,s(K) THi,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi

1 H1

337 333 80 800

4000 H2 320 3200

2 H1

338.25 337 25 250

1250 H2 100 1000

3 H1

363 338.25 495 4950

24750 H2 1980 19800

4 H1 423 363 1200 12000 12000

5 Vapor 453 453 450 4500 4500

6 Vapor 453 453 625 6250 6250

Tabla 3.2 Corrientes Frías

Corrientes Frías (Cj)

Intervalo(k) Corrientes TCj,s(K) TCj,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi

1 Agua de Enf. 283 288 400 4000 4000

2 C1 293 298 125 1250 1250

3 C1

298 343 1125 11250

24750 C2 1350 13500

4 C1

343.00 364.82 545.45 5454.55

12000.00 C2 654.55 6545.45

5 C1

364.82 373.00 204.55 2045.45

4500.00 C2 245.45 2454.55

6 C1 373.00 398.00 625.00 6250.00 6250.00


42

Posteriormente se aplica la ecuación (3.5):

Tabla 3.3 Cálculo del área empleando la Fórmula de Bath

Intervalo(k) ∆hi(kW) dth dtc ∆Tln,k Ak(m2)

1 400 49 50 49.49 161.62

2 125 40.25 44 42.09 59.38

3 2475 20 40.25 28.95 1709.59

4 1200.00 58.18 20.00 35.75 671.21

5 450.00 80.00 88.18 84.02 107.11

6 625.00 55.00 80.00 66.72 187.34

2896.27

D.M. QUINTAS CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI

43

Capítulo 4

Método de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar

el área requerida para recuperación de calor

4.1 Introducción

Este método es usado para calcular las metas de área para el diseño de redes de

intercambio de calor. La aproximación está basada en la solución de un problema de

programación lineal modelado como un problema de transporte óptimo. Este modelo de

transporte utiliza intervalos de temperatura y no requiere el uso de intervalos de entalpía

para un nivel fijo de recuperación de calor. Se utiliza una regla heurística basada en el

número de intervalos de temperatura que mantiene el número de variables y restricciones

en límites razonables, mientras asegura resultados bastante precisos. Este método de

metas de área puede, incluso, aplicarse a redes de intercambio que utilizan

intercambiadores multipaso (1-2). Los resultados demuestran que las soluciones de la

aproximación propuesta están muy cerca de los calculados por métodos basados en

programación no lineal compleja.

Igual que en trabajos previos de metas de áreas (Yee, Colberg, Merdardo), se

asume que las cargas de los servicios auxiliares son fijas y el número mínimo de

apareamientos no es conocido. Para estimar el área mínima requerida por una red de

recuperación de calor, es necesario resolver un problema de optimización donde la

función objetivo corresponde a la suma del área de recuperación de calor que surge del

intercambio de calor permitido dentro de las corrientes de proceso y restricciones sujetas

a balances de energía de los apareamientos.

Para asegurar la linealidad, se tienen que estimar las medias logarítmicas de

temperaturas (LMTD’s) antes de la optimización. Por tanto los valores de LMTD’s tiene que

ser dados como datos del problema.


44

Para obtener aproximaciones precisas de las metas de área, Briones y Kokossis

(1999) construyen un procedimiento que requiere el uso de intervalos de entalpía, curvas

compuestas, calculadas en base a la contribución de ∆Ti de las corrientes, y además usan

un algoritmo complejo para calcular LMTD’s. En la aproximación propuesta por Jeżowski

(2003), se utilizan intervalos de temperatura (TI’s). Solamente se usan los TI’s por: a)

considerar apareamientos prohibidos, b) Extender el problema a metas de costos y c)

simplificar información (intervalos de entalpía no necesarios).

Adicionalmente, se utiliza la formulación del modelo de transporte aunque

requiere más variables que el comúnmente usado en el modelo de transbordo. La razón

es que este último utiliza el calor residual proveniente de las corrientes de proceso. Los

residuos pueden causar serios problemas con la estimación de aproximaciones de

temperatura y asignando coeficientes de transferencia de calor a las corrientes

individuales. Además, la estimación de las temperaturas para los “mini apareamientos” en

el modelo propuesto es sencilla, e incluso pueden ser calculadas a mano. Como

consecuencia, la preparación de la información es sencilla.

4.2 Definiciones, conjuntos y notación

Definición

Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones

corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más

precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉ es el mayor entero no mayor que x. Gauss

presenta el soporte de notación cuadrada [x] para la función de ceil en

su tercera prueba de la reciprocidad cuadrática (1808). Esto sigue

siendo el estándar en matemáticas, Iverson presentó los nombres de

"piso" (floor) y "techo" (ceil) y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉

en su libro de 1962 Un lenguaje de programación. Ambas anotaciones se

utilizan ahora en las matemáticas.


45

Conjuntos

El conjunto de corrientes es definida como:

Hi={i/i=1,…,NH=corrientes calientes, Ej., corrientes calientes de proceso y servicios auxiliares de

calentamiento}

Cj={j/j=1,…,NC=corrientes frías, Ej., corrientes frías de proceso y servicios auxiliares de

enfriamiento}

Para incluir los apareamientos prohibidos, definimos el conjunto Fij, donde la

corriente i ∈ Hi no puede intercambiar calor con la corriente j ∈ Cj.

Fij={(i,j)/i H i, j ∈ Cj, apareamiento entre ellos esta prohibido}

Ahora las corrientes deben dividirse en elementos pequeños, para los cuales se

definen los siguientes conjuntos:

Parámetros

Him{i/i ∈ Hi, donde i esta en el intervalo m}

Cjn={j/j ∈ Cj, donde j esta en el intervalo n}

qim,jn, representa la carga que se transfiere de la corriente caliente i en el intervalo m, a la corriente

fría j en el intervalo n.

Para qim,jn, m,n=1, …, M, está definida solo para m≤n. Apareamientos entre servicios

de calentamiento y servicios de enfriamiento son prohibidos.

Modelo para metas de área

( )∑ ∑∑∑∈ ∈

−= = +

jn imCj Hi ji

jnimM

m

M

n nm hh

q

LMTD ¸1

,

1 1 , 11

1min (4.1)

;,∑ ∑= ∈

∆=M

mn Cjimjnim

jn

Hq i ∈ Hi; m=1, …, M (4.2)


46

;1

,∑∑= ∈

∆=M

m Hijnjnim

m

Hq j ∈ Cjn; n=m, …, M (4.3)

;0, =jnimq i ∈ Him; j ∈ Cjn; i,j ∈ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M (4.4)

;0, ≥jnimq i ∈ Him; j ∈ Cjn; i,j ∉ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M (4.5)

Ecuaciones (4.2) y (4.3) son balances de energía. Ecuación (4.4) fuerza a los

apareamientos prohibidos a cancelarse. Y por ultimo, la desigualdad (4.5) asegura que las

cargas tomen solo valores positivos.

4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta

por Jeżowski

Primero se tiene que construir intervalos de temperatura y parámetros del modelo

(LMTD’s). Además, algunos cálculos posteriores pueden ser realizados para incrementar la

exactitud de los resultados. Tenemos los siguientes pasos en el método propuesto por

Jeżowski: (A) crear intervalos de temperatura (TI’s); (B) solución del modelo; (C) mejorar la

estructura y cálculo del área.

4.3.1 Tabla de calor estándar

El tamaño de los TI’s es un punto muy importante. Claramente, se nota que entre

más pequeño sea el TI, las diferencias de temperaturas son menores, acercándose más al

área mínima. Sin embargo, esto nos lleva a un tener un gran número de variables. Nótese

que el modelo de transporte tiene solución con un algoritmo polinomial, y alargar el

número de variables, provoca un mayor tiempo computacional de ejecución. Se ha

creado un esquema de división de TI’s que mantiene el número de intervalos dentro de

límites razonables y asegura un área mínima muy precisa.


47

El procedimiento es similar al aplicado en Tecnología de Punto de Pliegue. Una

división preliminar es construida en base a las temperaturas de entrada y salida de las

corrientes, como describen Linnhoff y Flower (1978). En cuanto a la selección del valor de

la diferencia de temperaturas para construir los intervalos, es suficiente con usar un

número pequeño que cumpla con las restricciones termodinámicas. Nótese que esto

sigue el concepto de doble temperatura. Las cargas de servicios auxiliares son calculadas

para un HRAT, mientras que la diferencia de temperaturas aplicada en la división de los

intervalos es equivalente a la mínima aproximación de temperatura en el intercambiador

(EMAT).

4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżoswki

Se determina el tamaño medio del intervalo como sigue:

[ ]10,3max mindTdTmedio = (4.5)

Donde dTmin, corresponde al intervalo más pequeño después de realizar la división

preliminar con la tabla de calor estándar. Cada intervalo con valor mayor al dTmedio, es

dividido en Nad intervalos, como sigue:

medioad dTdTN /= (4.6)

Este esquema no produce un gran número de variables.

Utilizando el ejemplo desarrollado en el capítulo 2 y 3, se desarrolla aquí el método de

Jeżowski para plantear la tabla de calor modificada.

a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura)


48

A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se

obtiene la información:

Figura 4.1. Intervalos de temperatura

Seleccionamos el ∆Tmin = 5

Tenemos:

dTmedio= Max[3∆Tmin,10], entonces:

dTmedio= Max[15,10]=15

Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con:

Nad= ceil [∆T/dTmedio]

Tomando en cuenta los intervalos tenemos:

∆T ∆T>15 Nad

24 No Ceil(24/15)=2

25 Si Ceil(25/15)=2

11 Si Ceil(11/15)=1

30 Si Ceil(30/15)=2

34 No Ceil(34/15)=3

5 No Ceil(5/15)=1

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

399

374

363

333

422

398

373

362

332

TH TC

299

294

298

293

24

25

11

30

34

5

∆T


49

b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de

temperatura.

Se observa que de la figura 4.1 a la figura 4.2, aumentamos de 6 intervalos de temperatura

a 11, la corriente C2, es la que más intervalos genera, doblando el número al crear la tabla

de calor modificada. Cabe señalar que no es la de mayor flujo másico, la corriente H2, solo

se logra dividir tan sólo en dos intervalos, lo que no le permite lograr una distribución que

ocupe menos área.

c) Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada de Jeżowski. Se trata de

Distribuir las cargas, a los apareamientos que son permitidos. (Analogía con el modelo de

transporte), como ya se presentó en la sección 2 del presente trabajo, no se debe

transferir energía de intervalos de menor temperatura a los de mayor temperatura. En la

figura 4.3, se ilustra los apareamientos que son factibles, para la corriente H1 en los

primeros intervalos.

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

411

399

386.5

374

421

410

398

385.5

373

TH TC

363

348

362

347

1

2

3

4

5

6

Intervalo

333 332

321.66 320.66

310.33 309.33

7

8

9

10

11 299 298

294 293

Figura 4.2 Tabla de intervalos de calor modificada Jeżowski


50

Figura 4.3 Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada por Jeżowski

2

3

4

5

6

7

8

9

1

H1

H1

H1

H1

H1

H2

C1

C2

C1

C2

C1

C1

C1

C2

418

405.5

393

378

363

348

333

398

385.5

373

358

343

328

313

423

298

293

∆H11=100

C1

H1

C2

H2

H1

C1

C2

C1

∆H27=1200

∆H17=300

∆H26=1200

∆H16=300

∆H15=300

∆H14=300

∆H13=250

∆H12=250 ∆H12=312.5

∆H28=450

∆H27=450

∆H17=375

∆H26=450

∆H15=375

∆H24=450

∆H14=375

∆H13=312.5

∆H25=450

∆H16=375

∆H18=375

∆H29=125


51

d) Cálculo de parámetros

Primero para calcular las diferencias logarítmicas (LMTD), utilizamos la media logarítmica, la

cual se describe a continuación:

−=

dtc

dthdtcdth

LMTD nm

ln, , donde:

njmi os TTdth,,

−= ,njmi so TTdtc

,,−=

misT,

:Temperatura de suministro de la corriente i en el intervalo m.

mioT,

: Temperatura objetivo de la corriente i en el intervalo m.

njsT,

:Temperatura de suministro de la corriente j en el intervalo n.

njoT,

: Temperatura objetivo de la corriente j en el intervalo n.

Para todos los intervalos donde las corrientes existen y el apareamiento ente la corriente i la

corriente j es permitido, se forma la siguiente matriz:

Tabla 4.1 Valores de LMTD’s

m 3 4 5 6 7 n dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD 1 25 25.5 25.24 37.5 38 37.74 50 49 49.49 61 64 62.49 76 79 77.49 2 13 13.5 13.24 25.5 26 25.74 38 37 37.49 49 52 50.49 64 67 65.49 3 1 1 1 13.5 13.5 13.5 26 24.5 25.24 37 39.5 38.24 52 54.5 53.24 4 1 1 1 13.5 12 12.73 24.5 27 25.73 39.5 42 40.74 5 1 1 1 12 16 13.9 27 31 28.95 6 1 1 1 16 16 16 7 1 1 1 b 55 67.5 61.03 67.5 80 73.57 80 91 85.382 91 106 98.31 106 121 113.3

m 8 9 10 11 a n dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD dth dtc LMTD 1 91 90.34 90.67 102.34 101.7 102 113.7 113 113.3 125 118 121.5 135 128 131.46 2 79 78.34 78.67 90.34 89.67 90.00 101.7 101 101.3 113 106 109.5 123 116 119.46 3 67 65.84 66.42 78.34 77.17 77.75 89.67 88.5 89.08 101 94 97.2 111 103.5 107.20 4 54.5 53.34 53.92 65.84 64.67 65.25 77.17 76 76.58 89 81 84.69 98.5 91 94.700 5 42 42.34 42.17 53.34 53.67 53.50 64.67 65 64.83 76 70 72.96 86 80 82.96 6 31 27.34 29.13 42.34 38.67 40.47 53.67 50 51.81 65 55 59.86 75 65 69.88 7 16 12.34 14.09 27.34 23.67 25.46 38.67 35 36.8 50 40 44.81 60 50 54.84 b 121 132.34 126.6 132.34 143.7 137.93 143.7 155 149.3 155 160 157.5

Apareamientos prohibidos


52

A continuación, se deben obtener los coeficientes globales de transferencia de calor (U), en

este caso, los coeficientes de transferencia de calor (h) de cada una de las corrientes, son

constantes, por lo que se puede usar el mismo U

Para simplificar más la información, tenemos:

hH1=hH2=hC1=hC2 =0.1 kW/m2K, por tanto para las diferentes U’s, podemos nombrar una sola.

05.01.0

1

1.0

11111

,

11

11=

+=

+=

−−

CHCH hh

U

05.01.0

1

1.0

11111

,

21

21=

+=

+=

−−

CHCH hh

U

05.01.0

1

1.0

11111

,

12

12=

+=

+=

−−

CHCH hh

U

05.01.0

1

1.0

11111

,

12

22=

+=

+=

−−

CHCH hh

U

22122111 ,,,, CHCHCHCH UUUUU ====

4.3.3 Modelo para minimizar área

Ahora se aplica el modelo planteado en la sección 4.3.3, cuidando de aplicar bien el

fundamento del modelo de transporte. Cabe señalar que los apareamientos prohibidos

no aparecen en el modelo, por simplificación, otra forma es incluirlos, pero introducir un

costo muy grande en la función objetivo para dichos términos, y con esto se asegura que

no serán utilizados.

Minimizar:

+++++ ∑∑∑∑∑∑

======

10

5 ,3

CH11

3 ,3

CH10

5 ,2

CH11

3 ,2

CH10

5 ,1

CH11

3 ,1

CH.

,q,q,q,q,q,qn2,1,3n1,1,3n2,1,2n1,1,2n2,1,1n1,1,1

n nn nn nn nn nn n LMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD

∑∑∑∑∑∑======

++++++10

6 ,6

CH11

6 ,6

CH10

5 ,5

CH11

5 ,5

CH10

5 ,4

CH11

4 ,4

CH n2,1,6n1,1,6n2,1,5n1,1,5n2,1,4n1,1,4 ,q,q,q,q,q,q

n nn nn nn nn nn n LMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD

ULMTDLMTDLMTDLMTDLMTDLMTD n nn nn nn nn nn n

1,q,q

,q,q,q,q 10

7 ,7

CH11

7 ,7

CH10

6 ,6

CH11

6 ,6

CH10

7 ,7

CH11

7 ,7

CH n2,2,7n1,2,7n2,2,6n1,2,6n2,1,7n1,1,7

++++++ ∑∑∑∑∑∑

======


53

,q,q ,q,q,q 312.5H1,41,41,41,31,41,21,41,11,4 CHCHCHCH Cb14 ++++==∆

Sujeto a:

Balances de energía para la corriente caliente H1

CH CH CH CHCHCHCH CH11 1,91,11,81,11,71,11,61,11,51,11,41,11,31,11,21,1 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 240H +++++++==∆

aH CHCHCHCH CH ,q,q,q,q,q ,q1,12,81,12,71,12,61,12,51,12,41,1

++++++

1,91,21,81,21,71,21,61,21,51,21,41,21,31,21,21,2 CHCHCHCHCHCHCH CH12 ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q,q 240H +++++++==∆

Balances de energía para la corriente caliente H2

Balances de energía ara la corriente Fría C1

aHCH CHCHCH CH ,q,q,q,q,q,q1,22,81,22,71,22,61,22,51,22,41,2

++++++

aHCH ,q,q1,52,81,5

++

aHCHCHCHCHCH CHCH16 ,q,q,q,q,q,q,q,q 300H1,62,81,62,71,62,61,61,91,61,81,61,71,61,61,6

+++++++==∆

aHCHCHCHCH CH17 ,q,q,q,q,q,q 300H1,72,81,72,71,71,91,71,81,71,71,7

+++++==∆

aHCHCHCH ,q,q,q,q1,42,81,42,71,42,61,4

++++

2,71,52,61,52,51,51,91,51,81,51,71,51,61,51,51,5 CHCHCHCHCH CHCHCH15 ,q,q,q,q,q,q,q,q 220H +++++++==∆

2,51,31,91,31,81,31,71,31,61,31,51,31,41,31,31,3 CHCHCHCHCHCHCH CH13 ,q,q,q,q,q,q,q,q 250H +++++++==∆

2,51,42,41,41,91,41,81,41,71,41,61,41,51,41,41,4 CHCHCHCH CHCHCH CH14 ,q,q,q,q,q,q,q,q 250H +++++++==∆

,q ,q ,q,q 312.5H1,31,31,31,21,31,11,3 CHCHCH Cb13 +++==∆

aHCHCHCHCHCHCHCH26 ,q,q,q,q,q,q,q,q 1200H2,62,82,62,72,62,62,62,92,61,82,61,72,61,62,6

+++++++==∆

aHCHCHCHCHCH27 ,q,q,q,q,q,q 1200H2,72,82,72,72,72,92,71,82,71,72,7

+++++==∆

,q,q ,q ,q ,q ,q 275H1,51,52,51,31,51,31,51,21,51,11,5 CHCHCH CHCH Cb15 +++++==∆

,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q,q 375H1,62,61,61,61,61,51,61,41,61,31,61,21,61,11,6 CH CHCHCH CHCH CH Cb16 +++++++==∆ ,q,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 375H

1,71,71,71,61,71,51,71,41,71,31,71,21,71,11,7 CHCHCHCHCHCHCH Cb17 +++++++==∆

1,91,71,91,61,91,51,91,41,91,31,91,21,91,11,9 CHCHCHCHCHCHCH Cb19 ,q,q,q,q,q,q,q,q 283.5H +++++++==∆ ,q ,q

1,82,71,82,6 CHCH ++

,q,q 1,72,71,72,6 CHCH ++

1,81,71,81,61,81,51,81,41,81,31,81,21,81,11,8 CHCHCHCHCHCHCH Cb18 ,q,q,q,q,q,q,q,q 283.5H +++++++==∆


54

Balances de energía para la corriente Fría C2

Balances de energía para los servicios auxiliares

Donde n=3,…,11

Donde n=5,…,10

Donde n=1,…,7

0,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q CbCHCHCHCHCHCHCHCHCH n1,4n1,2,73n1,2,64n1,1,73n1,1,62n1,1,51n1,1,4n1,1,3n1,1,2n1,1,1≥

++++++

0,q,,q aH aH 5m2,m1,≥

+

0,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q,,q CbCHCHCHCHCHCHCHCHCH n2,2n2,2,71n2,2,62n2,1,71n2,1,6n2,1,5n2,1,4n2,1,3n2,1,2n2,1,1≥

++++

,q,q,q,q,q,q,q ,q 125H1,111,71,111,61,111,51,111,41,111,31,111,21,111,11,11 CHCHCHCHCHCHCH Cb111 +++++++==∆

1,101,71,101,61,101,51,101,41,101,31,101,21,101,11,10 CHCHCHCHCHCHCH Cb110 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 283.5H +++++++==∆

,q ,q1,92,71,92,6 CHCH ++

,q ,q1,102,71,102,6 CHCH ++

,q ,q1,112,71,112,6 CHCH ++

,q,q2,102,72,102,6 CHCH ++

,q,q,q,q,q,q,q,q 339.9H2,91,72,91,62,91,52,91,42,91,32,91,22,91,12,9 CHCHCHCHCHCHCH Cb29 +++++++==∆

,q ,q2,82,72,82,6 CHCH ++

,q,q2,72,72,72,6 CHCH ++

,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450H2,62,62,61,62,61,52,61,42,61,32,61,22,61,12,6 CH CHCHCH CHCH CH Cb26 +++++++==∆

,q,q ,q ,q ,q,q 330H2,51,52,51,32,51,32,51,22,51,12,5 CHCHCH CHCH Cb25 +++++==∆

2,71,72,71,62,71,52,71,42,71,32,71,22,71,12,7 CHCHCHCHCHCHCH Cb27 ,q,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q 450H +++++++==∆

,q,q,q,q,q,q,q ,q 340.2H2,81,72,81,62,81,52,81,42,81,32,81,22,81,12,8 CHCHCHCHCHCHCH Cb28 +++++++==∆

,q,q2,92,72,92,6 CHCH ++

2,101,72,101,62,101,52,101,42,101,32,101,22,101,12,10 CHCHCHCHCHCHCH Cb210 ,q,q,q,q,q,q,q ,q 339.9H +++++++==∆

aH aH aH aH aH aH aH aH aH ,q,q,q,q,q,q,q,q,q 4002,72,61,71,61,51,41,31,21,1

++++++++=

Cb Cb Cb CbCb Cb Cb Cb Cb Cb Cb Cb 2,72,62,51,111,101,91,81,71,61,51,41,3 ,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q,q1075 +++++++++++=

Cb Cb Cb 2,102,92,8 ,q,q,q +++


55

4.3.4 Resultados

Así obtenemos los siguientes resultados, resumidos en la siguiente matriz:

Tabla 4.2 Valores de las cargas térmicas

C1,3 C1,4 C1,5 C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 a H1,1 0 0 74.81 32.77 0 0 0 0 0 80.19 52.22 0 0 0 0 0 H1,2 0 0 0 90.12 0 0 0 0 0 0 149.88 0 0 0 0 0 H1,3 0 0 0 141.85 0 0 0 0 0 0 108.15 0 0 0 0 0 H1,4 0 0 110.24 0 0 0 0 0 0 139.75 0 0 0 0 0 H1,5 0 0 44.58 0 0 0 0 0 0 175.42 0 0 0 0 H1,6 0 51.84 58.09 39.43 0 0 0 51.11 65.22 34.32 0 0 H1,7 0 0 37.68 45.075 26.45 0 0 28.99 70.56 91.24 H2,6 0 278.58 225.41 62.09 0 0 0 223.48 274.98 135.46 0 0 H2,7 0 0 144.05 238.18 98.55 0 0 141.12 269.34 308.76 b 312.5 312.5 200.19 0 0 0 0 0 0 249.81 0 0 0 0 0

Tabla 4.3 Valores de área

C1,3 C1,4 C1,5 C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 a H1,1 0 0 30.23 10.49 0 0 0 0 0 32.4 16.71 0 0 0 0 0 H1,2 0 0 0 35.70 0 0 0 0 0 0 59.37 0 0 0 0 0 H1,3 0 0 0 74.19 0 0 0 0 0 0 56.57 0 0 0 0 0 H1,4 0 0 85.69 0 0 0 0 0 0 108.63 0 0 0 0 0 H1,5 0 0 30.79 0 0 0 0 0 0 121.17 0 0 0 0 H1,6 0 64.79 39.88 19.48 0 0 0 63.88 44.78 16.99 0 0 H1,7 0 0 29.60 24.49 11.80 0 0 22.78 38.35 33.27 H2,6 0 348.23 154.75 30.68 0 0 0 279.34 188.78 66.93 0 0 H2,7 0 0 113.15 129.43 43.98 0 0 110.86 146.36 112.59 b 102.39 84.95 46.89 0 0 0 0 0 0 58.51 0 0 0 0 0

Al resolver el problema mediante la aplicación de la metodología propuesta por

Jeżowski en Excel, usando Solver, obtenemos los resultados de las tablas 4.2 y 4.3, las

cargas y áreas que se habilitaron dentro del modelo se leen como se indica a

continuación:

kWq

kWq

kWq

kWq

CH

CH

CH

CH

22.52,

19.80,

77.32,

81.74,

6,21,1

5,21,1

6,11,1

5,11,1

=

=

=

=

Los apareamientos prohibidos no fueron tomados en cuenta por lo que no existe

valor alguno para ellos, mientras que 34 apareamientos entre corrientes de procesos están

presenten, y por parte de los servicios auxiliares, se tienen 6 apareamientos, cuyas áreas

con relativamente grandes debido a los LMTD. Así para las demás cargas y áreas, el Área

Total mínima es de 3089.87 m2. A partir de este punto, el siguiente paso es opcional, el

resultado de este método es una buena aproximación, pero si se desea mejorarlo, se

2

2

2

2

71.16,

4.32,

49.10,

23.30,

6,21,1

5,21,1

6,11,1

5,11,1

mA

mA

mA

mA

CH

CH

CH

CH

=

=

=

=


56

deben realizar una serie de ajustes, para los cuales no existe una metodología específica,

quedando el resultado en manos del criterio de quien reproduzca el ejercicios, por tanto

esta modificación no es muy factible de ser realizada a pesar de disminuir el área hasta

en un 15%.

4.3.5 Mejorar la estructura y cálculo del área modificada

El modelo produce una estructura de red que es una estructura tipo spaghetti. La

corriente i es dividida de acuerdo al número de apareamientos que se obtengan en la

solución del modelo de área, como se indica en 4.3.2 a 4.3.5. Sin embargo algunos

arreglos pueden causar sobre estimaciones de área. Como ejemplo tomemos una

estructura totalmente dividida y que resulta de la solución del modelo, que contiene dos

apareamientos en intervalos adyacentes, que corresponden a la misma corriente, como

se muestra en la figura 5.3 (a). Estos apareamientos pueden ser colocados de forma más

simple, como la suma de ambas cargas, que puede ser intercambiada por un solo equipo

en lugar de dos. La conexión en paralelo de la figura 5.3 (a) tiene una distribución de

fuerzas de empuje desiguales, mientras que la figura 5.3 (b) tiene apareamientos que

contienen más fuerza de empuje.

(a) (b)

Figura 4.4 (a) estructura de spaghetti (b) estructura pero compactada

Por tanto, para la solución del modelo, una estructura modificada puede surgir con

apareamientos como el descrito anteriormente. Esta estructura modificada, está entre 10

y 15% por debajo que la solución del modelo. Sin embargo, este paso se considera

adicional, y puede ser omitido para reducir los cálculos y por que el modelo produce una

buena aproximación al área mínima.

1

2

h

c

Tm-1

Tm-1 Tm Tm+1

Tm 1+2

h

c

Tm-1

Tm-1 Tm+1

Tm

D.M. QUINTAS CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS

57

Capítulo 5

Método de distribución de cargas térmicas para metas de área

mínima.

5.1 Introducción

Dentro de los métodos de programación lineal para minimizar área, entre los más

empleados se encuentran aquellos que utilizan intervalos de entalpía, como el método de

Linnnhoff y Flower, donde, además se utilizan las curvas compuestas, lo que vuelve al

método tedioso y complicado. En el capítulo 4, se presentó el método de Jeżowski, que se

basa en primero establecer intervalos de temperatura, y así tener cierta carga térmica por

intervalo y posteriormente distribuirlas. Aquí surge una pregunta crucial ¿Qué pasaría si

primero se distribuyen las cargas térmicas, de tal forma que entre cada una de ellas

tengan valores cercanos, o al menos que no varíen tanto unos de otros, y con estas

cargas térmicas poder formar los intervalos de temperatura, para poder minimizar el área.

Se considera una corriente caliente i, que necesita ser enfriada y una corriente fría j,

que necesita ser calentada, asociados a cada corriente se conocen su flujo de

capacidad calorífica FĈp, que es el producto del flujo másico F y la capacidad calorífica

Ĉp, su temperatura Ts de suministro y su temperatura objetivo To. Cada corriente tiene un

cierto contenido de energía térmica definido como: )(ˆoisiiii TTpCFq −= para la corriente

caliente, y de forma análoga )(ˆojsjjjj TTpCFq −= para la corriente fría, no todo el

contenido energético de la corriente caliente i, puede ser recibido por la corriente fría j,

por tanto, se debe conocer cual es la mayor cantidad de energía que se puede transferir,

y sobre todo cual es la mejor distribución para lograr este intercambio.

Dentro de la tabla de calor estándar, los intervalos son definidos por las temperaturas

de suministro y objetivo de las corrientes, y el HRAT, lo que da como resultado una

distribución un tanto especial, pues muchas veces la carga se concentra en un solo


58

intervalo, lo que provoca que en los restantes solo una parte muy pequeña de esta sea

colocada. Para evitar este problema, y no solo un intervalo se quede con la mayor parte

de la carga térmica kiq , o kjq , , debemos asegurar una distribución correcta; para

lograrlo, designamos un parámetro que indicará como dividir los intervalos existentes en

otros cuya carga térmica sea distribuida subuniformemente, este parámetro, designado

como β, representará un porcentaje de la carga térmica que contiene la corriente.

Tomemos a la corriente caliente i, designamos cierta β, y obtenemos un valor que será el

parámetro a considerar para dividir los intervalos, pues designará la máxima carga

térmica que se puede colocar en un intervalo, a la que llamaremos ii qq ⋅=100max

β. Se ha

considerado que los valores adecuados para β van de 5% a 25%, si son menores a este

rango, el problema se vuelve complejo en el sentido de que se tienen demasiadas

variables y restricciones a considerar lo que aumenta el costo computacional, por otro

lado si son mayores a este rango, la división resulta innecesaria pues la aproximación no

será buena en comparación con los métodos disponibles en la literatura. De forma similar

para la corriente fría j se tiene jj qq ⋅=100max

β. Ahora obtenemos el número mínimo en

que se debe dividir el intervalo, basándonos en max, iki qq ≤ para la corriente caliente i, y

en max, jkj qq ≤ para la corriente fría j, obtenemos max

,,

i

kiki q

qN = y

max

,,

j

kjkj q

qN = ,

respectivamente. A partir de estos valores, se seleccionan los mayores de cada intervalo,

así se asegura que ningún intervalo tenga una carga mayor a la carga máxima

establecida, para los intervalos que tengan valores menores a esta no hay problema pues

el intervalo no se divide. Para poder formar la nueva tabla de calor modificada, se

reconstruyen las escalas de temperaturas, de las corrientes calientes y de las frías.

5.2 Planteamiento del modelo matemático

Al igual que otras metodologías, las cargas térmicas de los servicios son las que se

determinan para cierto nivel de recuperación de calor (HRAT). Se utilizan conjuntos para

plantear solo las ecuaciones que sean necesarias.


59

5.2.1 Definiciones, Conjuntos, Subíndices y Parámetros

Definición

Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones

corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más

precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉, devuelve el número entero más pequeño

que sea mayor que el argumento x. Gauss presenta el soporte de

notación cuadrada [x] para la función de ceil en su tercera prueba de la

reciprocidad cuadrática (1808). Esto sigue siendo el estándar en

matemáticas, Iverson presentó los nombres de "piso" (floor) y "techo" (ceil)

y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ en su libro de 1962 Un

lenguaje de programación. Ambas anotaciones se utilizan ahora en las

matemáticas.

Subíndices

i =corriente caliente de proceso.

j =corriente fría de proceso.

k =intervalo de la tabla de calor estándar.

m =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes calientes.

n =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes frías.

Conjuntos

iiI :{= es una corriente caliente de proceso o auxiliar, i=1,…,NH}

jjJ :{= es una corriente fría de proceso o auxiliar, j=1,…,NC}

kkK :{= es un intervalo de temperatura, k=1,…, NK}

kK i {= ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente caliente i tiene una

carga térmica diferente de cero}


60

kK j {= ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente fría j tiene una carga

térmica diferente de cero}

Parámetros

iq = carga térmica disponible en la corriente caliente i.

jq = carga térmica requerida en la corriente fría j.

kiq , = carga térmica disponible en la corriente caliente i en el intervalo de

temperatura k, de acuerdo con la tabla de calor estándar.

kjq , = carga térmica requerida de la corriente fría j en el intervalo de temperatura

k, de acuerdo con la tabla de calor estándar.

kT∆ = diferencial de temperatura existente en el intervalo k.

maxiq = carga térmica máxima permitida para la corriente caliente i, en cada

intervalo de temperatura.

maxjq = carga térmica máxima permitida para la corriente fría j, en cada intervalo

de temperatura .

kiN , = número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para

satisfacer el criterio β de la corriente caliente i.


61

kjN , = número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para

satisfacer el criterio β de la corriente fría j.

KNP = número de subintervalos que deben crearse en el intervalo de temperatura

k para cumplir con el criterio de carga máxima para todas las corrientes.

kNPkT , = temperatura superior del subintervalo NPk, que surge de la división del

intervalo k.

sup,kT = Temperatura superior de un intervalo k.

inf,kT = Temperatura inferior de un intervalo k.

mHiH ,∆ = Cambio en entalpía, para la corriente caliente i en el intervalo m.

nCjH ,∆ = Cambio en entalpía, para la corriente fría j en el intervalo n.

β = Porcentaje máximo de la carga térmica disponible, o requerida, en una

corriente que se permite colocar en un intervalo de temperatura.

kδ = Partición del intervalo k, para la construcción de la tabla de calor

modificada.


62

5.3 Procedimientos para Plantear la tabla de calor modificada

a) Creación de la Tabla de calor Estándar. Obtener la tabla de calor estándar que

corresponda a un HRAT=1, utilizamos el método descrito en el capítulo 2, sección 2.1.3.

Posteriormente se obtiene el valor de la delta de temperaturas de cada intervalo,

∆Tk(como se ejemplifica en la figura 2.3, columna(1)) , y los valores de kiq , y kjq , .

b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías. Elegir

el valor de β (%), y maxiq y maxjq . Empleando las siguientes expresiones:

ii qq ⋅=100max

β, i ∈ I jj qq ⋅=

100max

β , j ∈ J (5.1)

Nótese que los valores de las ecuaciones representadas en (5.1), no dependen del

intervalo donde se encuentren dichas cargas térmicas, ya que para toda una

corriente i o j, será igual.

c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe dividir el intervalo. Para

obtener kiN , y kjN , , aplicamos las ecuaciones 5.2 a 5.5.

i ∈ I, k ∈ K \ Ki (5.2)

i ∈ I, k ∈ Ki (5.3)

j ∈ J, k ∈ K \ Kj (5.4)

j ∈ J, k ∈ Kj (5.5)

Las ecuaciones (5.2) y (5.4), obligan a los elementos que no existen para las corrientes

calientes i o para las corrientes frías j, a tomar el valor de 0, así se evita el problema de

la no existencia de las corrientes en determinados intervalos. Mientras que las

ecuaciones (5.3) y (5.4), dividen los intervalos donde las corrientes de proceso existen,

con base en el porcentaje que se eligió en el inciso B; recuérdese la definición de la

función ceil, manda el número más pequeño de elementos posibles pero mayor al

argumento .

=max

,,

0

i

kiki

q

qN

=max

,,

0

j

kjkj

q

qN


63

d) Identificación de intervalos que requieren ser refinados. Considere una matriz de

coeficientes mayores o iguales que cero, que representa el número de elementos en

que se debe dividir el intervalo ( kiN , , kjN , ,0), recordemos que el 0 implica que en ese

intervalo la corriente de proceso (fría o caliente) no existe. Así, de cada intervalo se

obtiene el número mayor, visto de otro forma, de cada renglón de la matriz de

coeficientes de cargas térmicas, se selecciona coeficiente con mayor valor numérico,

que será el que defina el número de subintervalos que deben crearse, es decir:

},{ ,, kjki

JjIi

k NNMaxNP∈∈

= k ∈ K (5.6)

La ecuación 5.6, marca el número de subintervalos que se tendrán, se observa ahora

la ventaja que tiene el poner el valor de 0 a los intervalos donde no existen las

corrientes de proceso, pues estos no se dividirán, y siempre que exista un número

mayor a 0, será el que defina la división.

e) Cálculo de la partición de un intervalo. Para dividir el intervalo de acuerdo a lo

estipulado en el inciso anterior. Obtenemos kδ :

k

kk NP

T∆=δ k ∈ K (5.7)

Este parámetro, nos indica el tamaño que deben tener los intervalos de temperatura,

para poder construir la nueva escala de temperaturas. Nótese la parte fundamental

del modelo que consiste en la construcción de intervalos de cargas térmicas primero,

para luego crear intervalos de temperatura.

f) Intervalos de temperatura para la tabla de calor modificada. Se obtiene una escala

de temperaturas que usaremos para construir la nueva tabla de calor, utilizando la

ecuación 5.8:

kpNPkpNPk kkTT δ−= +−− 1,, , donde p=1,…,NPk, k ∈ K (5.8)


64

Por decisión del autor utilizaremos la escala de temperaturas de las corrientes

calientes (TH) para los intervalos de temperatura que se crean, cabe señalar que si se

desea se puede realizar el mismo procedimiento pero con base a la escala de

temperaturas de las corrientes frías (TC). En la siguiente figura se esquematiza la

formación de la escala de temperaturas:

Nótese que la temperatura kNPkT , corresponde a la que delimita al intervalo, o sea la

temperatura superior que encontramos para k, en la tabla de calor estándar, al igual

que para 0,kT , corresponde a la temperatura inferior del intervalo k en la tabla de

calor estándar.

g) Construcción de la tabla de calor modificada. Ahora que ya se tiene la escala de

temperaturas de las corrientes calientes (TH), solo restamos 1 grado para formar la

escala de temperaturas de las corrientes frías (Tc), si se decidió establecer la escala

(TC), se hace lo contrario, se suma 1 grado y se obtiene la escala (TH), con base en

estas escalas, obtenemos el ∆Tk del intervalo, para la tabla de calor modificada, y así

calcular las cargas en cada intervalo, es decir, obtenemos: miH ,∆ y njH ,∆ .

h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor modificada. Este procedimiento se

describe más a fondo en la próxima sección 5.4.

sup,, kNPk TTk

=

kNPkNPk kkTT δ−=− ,1,

inf,0, kk TT =

kNPkNPk kkTT δ−= −− 1,2,

kNPkNPk kkTT δ−= −− 2,3,

k

kNP

HT


65

5.3.1 Caso de estudio 1 (Jeżowski, 2003)

Retomando el caso de estudio 1, presentado en la Tabla 2.1, sección 2.1.1, del capítulo 2

(Jeżowski, 2003):

a) Creación de la Tabla de calor Estándar.

Figura 5.1 Tabla de calor estándar caso de estudio 1.

Se tienen 6 intervalos.

b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías.

Tabla 5.1 Cargas térmicas permitidas

H1 H2 C1 C2

Qdisp/qreq(kW) 1800 2400 2625 2250

(kW) 450 600 656.25 562.5

maxmax, ji qq

294

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

399

374

363

333

422

398

373

362

332

TH TC

299 298

293

1

2

3

4

5

6

q1,1=480

q1,2=500

q1,3= 220

q1,4= 600 q2,4= 2400

q1,2= 625

q1,3= 275

q1,4= 750

q1,5= 850

q1,6= 125

q2,3= 330

q2,4= 900

q2,5= 1020

∆Tk(K)

24

25

11

5

30

34


66

c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe particionar el intervalo.

Figura 5.2 intervalos permitidos para la corriente caliente 1 y la corriente fría 1.

Todos los resultados se redondean al entero más próximo, de acuerdo a la función ceil.

d) Identificación de intervalos que requieren ser refinados. Para todos los intervalos, se

obtiene:

Figura 5.3 Intervalos permitidos para el caso de estudio 1(Jeżowski, 2003).

De cada intervalo seleccionamos el mayor, que será el que marcará la nueva tabla de calor.

294

H1

20 C1

25

423

399

374

363

333

422

398

373

362

332

TH TC

299 298

293

1

2

3

4

5

6

233.14506004,1 ===N

195.025.6566252,1 ===N

141.025.6562753,1 ===N

214.125.6567504,1 ===N

229.125.6568505,1 ===N

119.025.6561256,1 ===N

05,1 =N

06,1 =N

01,1 =N 206.14504801,1 ===N

211.1450/5002,1 ===N

148.0450/2203,1 ===N

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

399

374

363

333

422

398

373

362

332

TH TC

299

294

298

293

1

2

3

4

5

6

N1,1=2

N1,2=2

N1,3= 1

N1,4= 2 N2,4= 4

N1,2= 1

N1,3= 1

N1,4= 2

N1,5 =2

N1,6= 1

N2,3= 1

N2,4=2

N2,5= 2 N1,5= 0

N1,6= 0

N2,1= 0

N2,2= 0

N2,3= 0

N2,5= 0

N2,6= 0

N1,1= 0

N2,2= 0

N2,1= 0

N2,6= 0

NPk

1

4

2

2

2

1


67

De cada intervalo, nos quedamos con los valores mayores, de acuerdo a la columna

NPk, colocando los valores en la tabla de calor estándar, obtenemos:

Figura 5.4 Intervalos mayores que marcan la división.

e) Cálculo de la partición de un intervalo. De acuerdo a la ecuación 5.7, para cada

intervalo se obtiene el kδ , retomamos la figura 5.1, la columna ∆Tk, algunos serían:

5.74

30

4

44 ==∆=

NP

Tδ 172

34

5

55 ==∆=

NP

Tδ

f) Intervalos de temperatura para la tabla de calor β. utilizaremos la escala de las

calientes TH. Tomaremos el intervalo 4, ya que es que más refinamiento requiere, para

ejemplificar el uso de la ecuación 5.8.

kpNPkpNPk kkTT δ−= +−− 1,, , donde p=1,…,NPk

3634sup,4,4 == TT

5.3555.736344,43,4 =−=−= δTT

3485.75.35543,42,4 =−=−= δTT

5.3405.734842,41,4 =−=−= δTT

3335.75.34041,4inf,40,4 =−=−== δTTT

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

399

374

363

333

422

398

373

362

332

TH TC

299

294

298

293

1

2

3

4

5

6

NP1=2

NP2=2

NP3= 1

NP4= 4

NP,3= 1

NP5 =2

NP6= 1

NP3= 1

NP5= 2


68

En la siguiente figura observamos de forma más clara la división que se planteo.

Figura 5.5 Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4, del caso de estudio 1

(Jeżowski, 2003)

El procedimiento se repite para el resto de los intervalos.

NP4= 4

5.3553,4 =T

3482,4 =T

5.3401,4 =T

333inf,40,4 == TT

k= 4

363inf,44,4 == TT


69

g) Construcción de la tabla de calor nueva para cierta β. Obtenemos la tabla de calor

con los intervalos permitidos.

Figura 5.6 Tabla de calor modificada, para una β=25%.

Ahora se tienen 12 intervalos, se duplicó la cantidad de intervalos, se nota en la

corriente H2, como la carga de 2400 Kw ya no se concentra en un solo intervalo. Esto

genera más libertad para poder colocar las cargas térmicas, que ahora son 4 de 600

Kw, con intervalos de las corrientes frías.

h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor nueva para cierta β.

H1

20 H2

80 C1

25 C2

30

423

411

399

386.

374

422

410

398

385.5

373

TH TC

363

355.5

362

354.5

1

2

3

4

5

6

∆HH1,1=240

∆HH1,2=240

∆HH1,3= 250

∆HH1,4= 250

∆HH26= 600

∆HC1,7= 187.5

∆HC1,3= 312.5

∆HC1,4= 312.5

∆HC1,5= 275

∆HC1,6= 187.5

∆HC2,5= 330

∆HC2,6= 225

11

7

8

9

10

348 347

299 298

316 315

340.5 339.5

333 332

294 293

12

∆HC2,7= 225

∆HC2,8= 225

∆HC2,9= 225

∆HC2,10= 510

∆HC2,11= 510 ∆HC1,11= 425

∆HC1,8= 187.5

∆HC1,9= 187.5

∆HC1,10= 425

∆HC1,12= 125

∆HH27= 600

∆HH28= 600

∆HH29= 600

∆HH1,5=220

∆HH1,6=150

∆HH1,7=150

∆HH1,8=150

∆HH1,9=150


70

5.4 Función Objetivo

Para formular la función objetivo, se sigue el planteamiento del modelo de

transporte, Capítulo 2, Metas de Energía, sección 2.3 Modelo de transporte, a cada

intervalo m, se le asocia un intervalo n, siempre y cuando este apareamiento sea

permitido. Tenemos los siguientes parámetros:

nmLMTD , = Media logarítmica asociado al apareamiento del intervalo m con n.

Definida para m,n=1,…,K, solo si m≤n.

jnimq , = Carga térmica asociada al apareamiento de una corriente caliente i en el

intervalo m con una corriente fría j en el intervalo n. Definida para

m,n=1,…,K, solo si m≤n.

ih = Coeficiente de transferencia de calor de la corriente caliente i.

jh = Coeficiente de transferencia de calor de la corriente fría j.

mHiH ,∆ = Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente

caliente Hi, para el intervalo m, formados a partir del método planteado

en la sección anterior 5.2.1, último inciso.

nCjH ,∆ = Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente

fría Cj, para el intervalo n, formados a partir del método planteado en la

sección anterior 5.2.1, último inciso.

Es necesario definir el siguiente conjunto:

:),{(, jiF jnim = i∈I, j∈J, n∈Khi ,m∈Kcj un apareamiento entre ellos está prohibido, es

decir cuando m>n o entre servicios auxiliares}


71

Modelo para metas de área:

( )∑∑∑∑∈ ∈

−= = +

NC

Jj

NH

Ii ji

jnimK

m

K

n nm hh

q

LMTD 1,

1 1 , 11

1min (1)

Restricciones:

;,,∑∑= ∈

∆=K

mn JjmHjnim i

Hq i ∈ I; m=1, …, K (2)

;1

,,∑∑= ∈

∆=K

m IinCjnim j

Hq j ∈ J; n=m, …, K (3)

;0, =jnimq i ∈ I; j ∈ J; i,j ∈ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (4)

;0, ≥jnimq i ∈ I; j ∈ J; i,j ∉ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (5)

La ecuación 1, implica minimización del área total de la red de intercambio de

calor, de acuerdo a los subíndices, se toman en cuentan las corrientes calientes y frías de

proceso, así como servicios auxiliares de calentamiento y enfriamiento.

Las ecuaciones (2) y (3), marcan balances de energía para las cargas térmicas,

estos plantean la cantidad de energía que una corriente caliente puede ceder a la vez

de la cantidad de energía de una corriente fría puede aceptar, además aseguran los

objetivos de calentamiento y enfriamiento de las corrientes de proceso, planteadas

desde antes de empezar el algoritmo.

En (4), se fuerza a los apareamientos prohibidos a tomar el valor de 0. Y por último la

desigualdad (5) asegura que las cargas térmicas solo tomen valores positivos.

5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas

Al igual que el capítulo 4, se desarrollan las LMTD’s y las U’s, para simplificar datos. Se

diseñó un programa en GAMS, donde fácilmente se pudieron realizar estos cálculos, que


72

no deben constituir mayor problema. Se retoma el modelo de transporte para distribuir las

cargas térmicas.

Al resolver nuestro modelo se obtuvo un Área Total mínima de 2953.53 m2.

5.6 Pruebas variando el parámetro β

Al ser β, un parámetro, no defino o con valor fijo, se puede tener la libertad de mover

el valor de esta, a continuación se realizó para el caso de estudio 1 del presente trabajo

Tabla 2.1, extraído de Jeżowski, 2003, un ejercicio donde claramente se pude observar el

efecto que tiene variar β.

Tabla 5.2 Resultados para diferentes β

β # int. De

temperatura # variables # restricciones

Área

Total(m2)

25% 12 193 33 2953.53

20% 14 269 39 2923.58

15% 17 417 49 2923.24

10% 24 800 69 2905.20

5% 46 2865 131 2898.83

A pesar de tener valores de β relativamente grandes, se obtienen valores muy buenos,

menores en algunos casos que los reportados en la literatura. Al incrementar en 2 el

número de intervalos, el parea mejora en un 1.02%. Aumentar los intervalos de 14 a 17, no

ayuda mucho pues la mejora es tan solo de 0.01%. Sin embargo al subir a 24 intervalos se

tiene un área menor, de 2905.2 m2. El mejor registro es de 2898.83 m2, esto representa un

1.88% menos si se compara con el área obtenida al 25%.

5.7 Validación del modelo

Con respecto al modelo de Jeżowski, comparamos resultados, la primera diferencia

radica en el número de intervalos, pues en Jeżowski usamos 11 intervalos, con 136


73

variables de carga, mientras que en nuestro modelo de distribución de cargas uniformes,

el mejor resultado arrojó 46 intervalos, con 657 variables de carga.

Así utilizar intervalos de más, incrementa el número de variables, pero mejora por

mucho el cálculo del área, que es razonable, teniendo en cuenta, que nuestro resultado

se aproxima al de Yee & Grossman, que es el mejor reportado. Además de que no

requerimos el paso extra que utiliza Jeżowski, donde cambia la estructura para mejorar el

área.

La distribución que proponemos, ayuda mucho a tener un área menor que la de

Jeżowski, pues tenemos intervalos con cargas más pequeñas, lo que produce una mejor

distribución de estas, en especial, para la corriente 2, ésta se encuentra solo en el intervalo

4, la carga es muy grande, por lo que cuando queremos aplicar el modelo de Jeżowski,

ésta se divide solo en 2, porque la diferencia de temperaturas es pequeña, pero el FCp de

la corriente 2, es grande, eh ahí el problema, esta gran carga, no se puede distribuir

“bien” , al aplicar nuestro modelo, esta corriente de divide en 35 intervalos, y tenemos

cargas más pequeñas, dando libertad a que haya mejor distribución, y minimizar el área.

Tabla 5.3 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la

literatura

Autor(es) Área (m2)

Modelo de Jeżowski 2925

Yee & Grossmann 2898.9

Townsend & Linnhoff 2896

Colberg & Morari 2896

Método de distribución de cargas

β=25% 2953.53


β =20% 2923.58


β =15% 2923.24


β =10% 2905.20


β =5% 2898.83


74

Nuestro método, con respecto a los resultados reportados con la literatura, es buena

aproximación. Con respecto al método de Colberg & Morari, varía un 0.097%, este

método es la mejor aproximación, como ya se explicó es un método no lineal, lo que lo

vuelve complejo, eh ahí una ventaja de nuestro método. Townsend & Linnhoff, reporta el

resultado de la ya expuesta fórmula de Bath, al ser estos los precursores de este método,

ese resultado es el mejor, además de ser reproducible, nuestro método varía un 0.097%

con respecto a este. Yee & Grossmann, utilizan una superestructura que utiliza etapas,

donde los intervalos de temperatura se van distribuyendo, en cuanto el calor se transfiere,

o sea el calor residual, esta complejidad, hace que el resultado sea bueno, pues se

acerca mucho al reportado por Townsend &Linnhoff , nuestra solución se acerca mucho a

la de Yee & Grossmann. Por último comparando nuestro resultado con el de Jeżowski, nos

encontramos 26.17 m2 por debajo de su propuesta, lo cual indica que el método resulta

satisfactorio tomando en cuenta que en nuestro método, no se requiere modificar la red

solución del algoritmo que se plantea, es decir, no se requiere ver que apareamientos se

pueden reescribir como uno solo para así mejorar el área, esta es una gran ventaja,

aunque pagamos con más variables, lo cual es razonable, teniendo en cuenta, lo bien

que nos acercamos al resultado de la fórmula de Bath.

D.M. QUINTAS CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2

75

Capítulo 6

Caso de estudio 2

6.1 Introducción

Para aclarar conceptos y poder visualizar de forma más clara los resultados obtenidos del

nuevo método, se realizo el siguiente caso de estudio extraído de Jeżowski(2003). Como

punto de comparación se utiliza el método de Jeżowski, además de resultados obtenidos

por otros autores.

Este caso de estudio además de ayudar a fortalecer los conocimientos, tiene la

peculiaridad de que los coeficientes de transferencia de calor varían, a diferencia del

caso de estudio 1, donde los h’s son constantes. Esto permite probar el método de

distribución de cargas, y evaluar su comportamiento ante tal situación, además de

tiempos de ejecución y resultados.

6.2 Datos del problema Como se ya se mencionó, este caso de estudio fue tomado de Jeżowski (2003), además

aparece en la literatura en artículos como Colberg y Morari (1990) y Yee y Grossmann

(1990), es un problema sencillo de dos corrientes calientes y dos corrientes frías, donde se

requiere recuperar calor, mediante la implementación de una red de intercambio de

calor, el objetivo será determinar la meta de área mínima que requiere dicho

intercambio.

Tabla 6.1 Datos del caso de estudio 2.

Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW) H1 395 343 4 2.0 208 H2 405 288 6 0.2 702 C1 293 493 5 2.0 1000 C2 353 383 10 0.2 300

Vapor 520 519 2.0 Agua de Enfriamiento 278 288 2.0


76

6.3 Balances de energía

A partir de los datos de la Tabla 6.1, y de la tabla 6.2, tabla de intervalos de

temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es qhu y para

enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía:

kWTCPTTCFQ ospH 2084*)343395()( 11111 =−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospH 7026*)288405()( 22222 =−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospC 10005*)493293()( 33333 −=−=∆=−=

kWTCPTTCFQ ospC 30010*)383353()( 44444 −=−=∆=−=

kWkWkWqdisp 910702208 =+=

kWkWkWqreq 13003001000 =+=

kWkWkWqq hudisp 1530620910 =+=+

kWkWkWqq cureq 15302301300 =+=+

Se cumple: cureqdisphu qqqq +=+

6.4 Tabla de calor estándar

Para el diagrama de intervalos de temperatura se tiene un HRAT= 10 K. Para construir

esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla 6.2 (a)) las

remarcamos con negritas, posteriormente para TH restamos el HRAT correspondiente, y

para TC sumamos el HRAT (Tabla 6.2 (b)), ahora se ordenan de forma descendente (Tabla

6.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para así obtener nuestra

escala de temperaturas.

El procedimiento es similar al utilizado en la sección 2.1.3 del capítulo 2.


77

Tabla 6.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta

o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final

TH TC TH TC

405 405 395

395 395 385

343 343 333

288 288 278

493 503 493

383 393 383

353 363 353

293 303 293

(a) (b) (c)

(d)

A partir de la Tabla 6.2 (d), se forma la figura 6.1, que indica los intervalos de

temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus

temperaturas de entrada y salida.

Figura 6.1 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla

6.1.

TH TC

503 493

405 395

395 385

393 383

363 353

343 333

303 293

288 278

TH TC

503 493

405 395

395 385

393 383

363 353

343 333

303 293

288 278

H1

4 H2

6 C1

5 C2

10

503

405

395

393

363

493

395

385

383

353

TH TC

343

303

333

293

288 278


78

Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos obtener

de estos datos, (ver tabla 63). La columna (2) de la tabla 6.3, es el calor disponible de las

corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes. El calor requerido, lo

ubicamos en la columna (3). No se entrar a detalle, pues ya se hizo un análisis de estos

conceptos en el capítulo 2.

Tabla 6.3 Tabla de calor para el caso de estudio 2.

∆T

(K)

(1)

qdisp

(kW)

(2)

qreq

(kW)

(3)

qrec

(kW)

(4)

qneto

(kW)

(5)

qhu

(kW)

(6)

Hacumh

(kW)

(7)

Hacumc

(kW)

(8)

98 0.00 490.00 0.00 -490.00

qhu

620.00

10 60.00 50.00 50.00 10.00

130.00

2 20.00 10.00 10.00 10.00

140.00

30 300.00 450.00 300.00 -150.00

150.00

20 200.00 100.00 100.00 100.00

0.00

40 240.00 200.00 200.00 40.00

100.00

15 90.00 0.00 0.00 90.00 140.00

208 702 1000 300 910 1300 3800 230 qcu

503 493

TH TC

H1

4 H2

6 C1

5 C2

10

910

405

395

393

363

343

395

385

383

333

353

293 303

910

850

830

530

1040

990

980

530

430

230

278 288

330

330

0

1530

230


79

6.5 Diagrama de curvas compuestas

Figura 6.2 Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2

En la figura 6.2 observamos los diferentes cambios de pendiente que se dan al sumar las

corrientes, se tiene un total de 7 intervalos, de los cuales en el primero se requiere servicios

de enfriamiento, y los intervalos 6 y 7 utilizamos servicios de calentamiento. Por lo que

como mínimo tendremos 3 servicios auxiliares, y como mínimo 4 intercambios de corrientes

de proceso.

6.6 Curva Compuesta Integral

La figura 6.3, nos permite

ubicar la temperatura del

punto de pliegue en 358 K,

además de servicios de

enfrimiento de 230 kW, y de

calentamiento de 640 kW.

Figura 2.3 Curva Compuesta

Integral caso de estudio 2.

250

300

350

400

450

500

550

0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00

H[kW]

T[K

]

383

293

343

288

363

520

493

395

374.33

313

326.33

qcu

IIIH1,H2

C1

V

H2

C1

C2

VIISTC1

IIH2C1

550230

405

353

320

288

200100

278

IVH1,H2C1, C2

IH2CW

VI

ST

C1

C2

378.33

519

7060

250

300

350

400

450

500

550

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00

H[kW]

T[K

]

qcu

qrec

qhu


80

6.7 Estimación del área de transferencia mediante el uso de la fórmula de

Bath

Utilizando la figura 6.2, se realizaron los cálculos para estimar el área de transferencia de

calor, utilizamos la fórmula de Bath, procedimiento similar al realizado en el capítulo 3, primero

se obtienen para las corrientes calientes, ΣqHi,k/hi, y se realiza en mismo procedimiento para

las frías. Se divide por intervalos, en cada uno se coloca la corriente que participa, la

carga térmica, y las temperaturas de entrada y salida de cada intervalo, se tienen 7

intervalos, en el intervalo 1, utilizamos agua de enfriamiento, mientras que en el 6 y 7 se

usa vapor. Después se calculan los LMTD’s que se forman con el apareamiento de las

corrientes, en los diferentes intervalos, para finalmente aplicar la fórmula de Bath, que

arrojará una aproximación del área de transferencia.

Tabla 6.4 Corrientes calientes, caso de estudio 2

Corrientes Calientes (Hi)

Intervalo(k) Corrientes THi,s(K) THi,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi

1 H2 326.333 288 230 1150 1150

2 H2 343 326.333 100 500 500

3 H1

363 343 80 40

640 H2 120 600

4 H1

395 363 128 64

1024 H2 192 960

5 H2 405 395 60 300 300

6 Vapor 520 519 70 35 35

7 Vapor 520 519 550 275 275

Tabla 6.5 Corrientes frías, caso de estudio 2.

Corrientes Frías (Cj)

Intervalo(k) Corrientes TCj,s(K) TCj,o(K) qHi,k qHi,k/hi ΣqHi,k/hi

1 Agua de enf. 278 288 230 115 115

2 C1 293 313 100 50 50

3 C1 313 353 200 100 100

4 C1

353.00 374.33 106.67 53.33

1119.98 C2 213.33 1066.65

5 C1

374.33 378.33 20.00 10.00

210.00 C2 40.00 200.00

6 C1

378.33 383.00 23.33 11.67

245.02 C2 46.67 233.35

7 C1 383.00 493.00 550.00 275.00 275.00


81

Tabla 6.6 Área de transferencia estimada, caso de estudio 2.

Intervalo(k) ∆hi(kW) dth dtc ∆Tln,k Ak(m2) 1 230 38.3333 10 21.09 59.99 2 100 30 33.3333 31.64 17.38 3 200 10 30 18.20 40.65 4 320.00 20.67 10.00 14.69 145.91 5 60.00 26.67 20.67 23.54 21.67 6 70.00 137.00 140.67 138.83 2.02 7 550 27.00 136.00 67.42 8.16

295.78

6.8 Número mínimo de intercambiadores

Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que Ns =4. De

acuerdo a la figura 2.2, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del número

de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, VI, y VII, donde se suministra la

energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de calentamiento o enfriamiento

según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y tomando en cuenta que el número

mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos:

NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6

6.9 Modelo De Transporte asociado a la tabla de calor estándar

Al aplicar el modelo de transporte se tiene una figura como la siguiente:

H1

4 H2

6 C1

5 C2

10

503

405

395

393

36

493

395

385

383

353

TH TC

343

303

333

293

1

2

3

4

5

6

b22= 60

b23= 12 b13= 8

b14= 120 b24= 180

a12= 50

a13= 10

a14= 150

a15= 100

a16= 200

a11= 490

a24= 300

0 bH0 520

298 288

Vapor

Agua de enfriamiento

7

8

288 278

b15= 80 b25= 120

b26= 240

b27= 30

b28= 60


82

En el intervalo 0, se encuentra el servicio de calentamiento, del intervalo 1 al 8, encontramos

las corrientes de proceso, en último intervalos, se dividió en dos sólo para poder ejemplificar la

ubicación del servicio de enfriamiento, que va de 278 K a 288 K. Se debe recordar no transferir

energía de un intervalo de menor temperatura a uno de mayor.

Al resolver el modelo se obtienen los requerimientos de enfriamiento y calentamiento:

620kW b0H = , 230kW a

8C =

6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área

requerida para recuperación de calor

En esta sección se sigue la metodología presentada en el capítulo 4. La parte central del

método se desarrolla a continuación, que consiste en crear la tabla de calor modificada con

los pasos que plantea Jeżowski. Es importante recalcar que la tabla inicial debe ser hecha con

un HRAT =1 K.

a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura)

A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se

obtiene la información:

Figura 6.4 Intervalos de temperatura caso de estudio 2

Seleccionamos el ∆Tmin = 6

H1

4 H2

6 C1

5 C2

10

494

405

395

384

354

493

404

394

383

353

TH TC

343

294

342

293

89

10

11

30

11

49

∆T

288 287

6


83

Tenemos:

dTmedio= Max[3∆Tmin,10], entonces:

dTmedio= Max[18,10]=18

Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con:

Nad= ceil [∆T/dTmedio]

Tomando en cuenta los intervalos tenemos:

∆T ∆T>15 Nad

89 Si Ceil(89/18)=5

10 No Ceil(10/18)=1

11 No Ceil(11/18)=1

30 Si Ceil(30/18)=2

11 No Ceil(11/18)=1

49 Si Ceil(49/18)=3

6 No Ceil(6/18)=1


84

b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de

temperatura.

Se pasa de 6 intervalos, sin contar la división hecha para ejemplificar el agua de enfriamiento,

a 14 intervalos.

Resultados

Al resolver el modelo de áreas, sin dejar de lado las restricciones del modelo de transporte, se

obtiene un área de 335.16 m2, sin realizar el último paso de modificar el área, realizando

arreglos, uniendo cargas o cambiando algunas.

Figura 6.5 Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2

Intervalo H1

4 H2

6 C1

5 C2

10

494

476.2

458.4

440.6

422.8

493

475.2

457.4

439.6

421.8

TH TC

405

395

404

394

1

2

3

4

5

6

384 383

369 368

354 353

7

8

9

10

11 343 342

326.6 325.6 12

310.3 309.3

13

294 293

14

288 287


85

6.11 Método de distribución de cargas térmicas para minimizar área.

La metodología usada es la que se planteó en el capítulo 5, para este caso de estudio, se

evaluaron valores de β de 25% a 5%, de 5 en 5 por ciento.

Tabla 6.7 Resultados para diferentes β caso de estudio 2

β # int. De

temperatura # variables # restricciones

Área

Total(m2)

25% 12 142 34 288.02

20% 17 263 47 275.58

15% 19 363 55 272.37

10% 28 726 79 271.08

5% 52 2400 146 272.63

Tabla 6.8 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la

literatura caso de estudio 2

No. Autor(es) Área

(m2)

1 Tabla de calor estándar 1603.41

2 Modelo de Jeżowski 335.16

3 Yee & Grossmann 263.6

4 Townsend & Linnhoff 295.7

5 Colberg & Morari 258.8

6 Método de distribución de cargas β=25% 288.02

7 Método de distribución de cargas β

=20% 275.58


=15% 272.37


=10% 271.08

10 Método de distribución de cargas β =5% 272.63


86

Figura 6.6 Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos.

Se observa que desde el uso de una β=25%, se logra un resultado menor al de la

fórmula de Bath, y se supera el resultado que arroja la tabla de calor estándar, aquí se

comprueba la mala distribución que posee la tabla de calor, tiene una distribución

especial, pues en algunos intervalos se concentra la carga, lo que produce áreas muy

grandes, y una distribución ineficiente. Con las diferentes pruebas realizadas con β, se

observa que existe una tendencia que al principio decrece, y en un valor de β=10%, se

forma un mínimo local, para después incrementar el valor, y la tendencia crece. Este

comportamiento es debido en gran medida a la diferencia que existe de coeficientes de

transferencia de calor entre las corrientes.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Método

Áre

a(m

2 )

D.M. QUINTAS CAPITULO 7 CONCLUSIONES

87

Capítulo 7

Conclusiones

Analizaremos nuestros resultados y los compararemos con los que otros autores

(citadas en las referencias) han obtenido, discutiremos cual será la mejor opción,

tomando en cuenta rapidez de solución, variables en el modelo, dificultad del mismo,

cantidad de pasos empleados, exactitud y que tanto se alejan unos resultados de otros.

7.1 Metas de energía

La metodología del punto de pliegue da un acercamiento al desarrollo de redes de

intercambio de calor óptimas. Gracias a esta se conoce los requerimientos mínimos de

energía, para calentamiento y enfriamiento, de acuerdo a los resultados del capítulo 1,

para el ejemplo desarrollado en dicho capítulo, tenemos:

Tabla 7.1 Tabla comparativa de resultados para metas de energía

Meta: Energía Tabla de intervalos de

temperatura

Modelo de

transporte

Colber &

Morari

qhu (kW) 400 400 400

qcu (kW) 1075 1075 1075

Al tener un HRAT fijo, los requerimientos no deben variar, sea cual sea el método

usado, la tabla de intervalos de temperatura se desglosa y surge de manera más sencilla,

debido a esto presenta una ventaja sobre el modelo de transporte. Sin embargo, con el

modelo de transporte enriquecemos la información, al denotar los apareamientos

prohibidos, así como obtener los valores de las cargas que se activan al resolver el modelo

(ver capítulo 1 sección 2.3.2).


88

7.2 Metas de área

Minimizar el área, nos implica una disminución del capital de inversión, por tanto es

importante saber que diseño nos daría un área mínima, entonces fijamos un target (meta),

que nos indique hasta cuanto es posible reducir nuestra variable. A continuación se

resumen los resultados obtenidos en los capítulos 3,4 y 5, donde se utilizaron modelos

lineales, que minimizan el área, todos con diferente metodología.

Primero realizaremos una comparación de nuestros resultados contra los de otros

autores, para ver que tan buenos fueron nuestros cálculos.

Tabla 7.2 Resultados con Fórmula de Bath caso de estudio 1

Solución propia Jeżowski (Fórmula de Bath)

A(m2) A(m2)

2896.27 2896

Nuestra aproximación es buena, el error se debe al redondeo, que se utiliza en las

temperaturas y que se transfiere a las áreas de intercambio. La fórmula de Bath es una de

las aproximaciones más utilizadas, debido a su excelente exactitud, en casos en que los

coeficientes de película de las corrientes calientes y frías son todos iguales, además que

solo se requiere información de la tabla de calor, que se despliega en las curvas

compuestas y la gran curva compuesta.

Tabla 7.3 Resultados utilizando modelo de Jeżowski caso de estudio 1

Solución propia Modelo de Jeżowski Modelo de Jeżowski

usando tabla de calor.

A(m2) A(m2) A(m2)

3089.87 2925 3346.68

Al reproducir los resultados de Jeżowski, no logramos la meta que ellos reportan, sin

embargo nuestra aproximación oscila dentro de los límites que son correctos, pues ellos a

partir de este resultado (3089.87), unen apareamientos, que son adyacentes y que

comparten alguna corriente, como se explicó en el capítulo 4, sección 4.3. Nuestro

resultado está 5.6% por arriba del reportado por Jeżowski, el cual antes de realizar los

ajustes para mejorar el diseño, se encuentra entre 10 a 15% arriba. Como extra, se resolvió


89

el modelo de Jeżowski, utilizando la tabla original de intervalos de temperatura, con lo

cual, el área sube con respecto a la solución que utiliza la tabla de calor modificada, esto

equivale a 8.3%, y con respecto al resultado de Jeżowski, aumenta 14.41%. Por esta razón

es necesario modificar la tabla de intervalos de temperatura, cambiándola a ∆Tmin =1 K,

pues así las cargas tienen más libertad de “moverse”, además de que los dt’s son más

grandes, por lo que el área disminuye. Para el caso de estudio 2, se tiene un resultado por

debajo del obtenido por Jeżowski.

Tabla 7.4 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 1

Solución

propia

Modelo de

Jeżowski

Colberg &

Morari

Yee &

Grossmann

Townsend &

Linnhoff

A(m2) A(m2) A(m2) A(m2) A(m2)

2953.53 2925 2896 2898.9 2896

Tabla 7.5 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 2

Solución

propia

Modelo de

Jeżowski

Colberg &

Morari

Yee &

Grossmann

Townsend &

Linnhoff

A(m2) A(m2) A(m2) A(m2) A(m2)

271.08 260.6 258.8 263.6 295.7

El método de distribución de cargas, representa una forma sencilla de resolver problemas

de metas de área para redes de recuperación de calor, entre las ventajas que lo

caracterizan están:

� La metodología a seguir es realmente sencilla, surge de forma secuencial.

� No requiere de pasos extra para mejorar el área.

� Resultados de área precisas, para los coeficientes de calor constantes, resultados

con variación menor al 1%.

Algunas de las desventajas que se encontraron:

� Mayor número de intervalos de temperatura.

� Al tener más intervalos, el tiempo de ejecución es mayor.

� Para coeficientes de calor variables los resultados no son muy precisos, sin

embargo el porcentaje de variación es menor al 5%.


90

Este método es una buena herramienta para obtener metas de área, tomando en cuenta

los diferentes métodos existentes en la literatura, es un método sencillo, no requiere más

que información extraída de la tabla de calor, no requiere curvas compuestas. Además

que el resultado se da de forma directa sin necesidad de acomodar cargas para lograr

una mejor aproximación.

D.M. QUINTAS REFERENCIAS

91

Referencias Bibliográficas

Biegler, L.T., Grossmann, I.E. & Westerberg, A.W. (1997), Systematic Methods of Chemical Process

Design, Prentice Hall PTR.

Douglas, J. M. (1988), Conceptual Design of Chemical Processes, Mc Graw-Hill.

Edgar, T.F. & Himmelblau, D.M. (1989), Optimization of Chemical Processes, Mc Graw-Hill.

Smith, Robin. (1995 ), Chemical process Design. McGraw-Hill. Jeżowski J., Shetna H. & Castillo F. (2003), Area Target for Heat Exchanger Networks Using Linear

Programming.

Colberg &Morari (1989), Area and Capital Cost Targets for Heat Exchanger Network Synthesis with constrained matches and unequal heat transfer coefficients.

Yee, Grossmann & Kravanja (1990), Simultaneous optimization models for heat integration, area and

energy targeting and modeling of multi-stream exchangers.

Serna M. & Jiménez A. (2004), An Area algorithm for the synthesis of heat exchanger networks.

Linnhoff & Flower (1978), Synthesis of Heat Exchanger Networks. Puijaner L. , (2006), Estrategias de modelado, simulación y optimización de procesos químicos,

Editorial Síntesis.

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