Capıtulo 1

Espacios Metricos

1.3. Topologıa de un espacio metrico

1.3.1 Definicion. Sean (X, d) un espacio metrico, x ∈ X y ε > 0. Elconjunto B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} se llama la bola abierta centradaen x con radio ε. El conjunto B[x, ε] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ ε} se llama labola cerrada centrada en x con radio ε.

Notese que en R, la bola abierta centrada en un numero real x con radioε es el intervalo abierto (x− ε, x + ε).

La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centrada en elorigen, para cada una de las metricas ρ, ρ1 y ρ2 definidas sobre R2 en losnumerales 2, 3 y 4 de los ejemplos 1.1.2.

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Por su parte, la bola abierta de radio ε centrada en una funcion f : R −→R que pertenezca al espacio metrico descrito en el numeral 5. de los ejemplos1.1.2., esta formada por las funciones acotadas que tienen su grafica contenidaen la franja que muestra la siguiente figura:

Si X es un espacio discreto, es decir si en X consideramos la metricadiscreta, entonces la bola abierta de radio ε > 0 centrada en un punto x ∈ Xse reduce a {x} si ε ≤ 1 y es todo el conjunto X si ε > 1.

Si X es el Espacio Metrico de Sierpinski definido en el numeral 8 de 1.1.2.entonces la bola de radio 0 < ε ≤ 1 centrada en cualquier punto x ∈ X sereduce a {x}.

Una de las propiedades mas bonitas y relevantes de las bolas en un espaciometrico se enuncia en el siguiente resultado:

1.3.2 Proposicion. Si (X, d) es un espacio metrico, si a y b son elementosde X, si ε y δ son numeros reales positivos y si x ∈ B(a, ε)∩B(b, δ) entoncesexiste γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ B(a, ε) ∩B(b, δ).

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Para probar esta proposicion basta considerar γ = mın{ε − d(a, x), δ −d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.

En los espacios metricos tenemos la posibilidad de hablar de “cercanıa”.Decir que un punto esta tan cerca de otro como queramos, significa que lospuntos estan a una distancia menor que un numero positivo que hemos fijadocon anterioridad. En otras palabras, si para nosotros “estar suficientementecerca” de un punto a significa estar a una distancia menor que un ciertonumero ε > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos “suficientementecercanos a a” son precisamente los elementos del conjunto B(a, ε). Estasconsideraciones sugieren la siguiente definicion:

1.3.3 Definicion. Sean X un espacio metrico y x ∈ X. Un subconjunto Vde X es una vecindad de x si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ V . Denotamospor V(x) al conjunto de todas las vecindades del punto x.

1.3.4 Ejemplos.

1. En los numeros reales el intervalo [1, +∞) es una vecindad de 3 (enrealidad es una vecindad de cualquier real mayor que 1); pero no es unavecindad de 1.

2. El conjunto {x ∈ R : |x| > 2} es una vecindad de 3 en R.

3. La bola cerrada B[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) en R2.

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4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} es una vecindad de cada uno de lospuntos de A.

5. El conjunto {f : R −→ R : |f(x)| < 2 para cada x ∈ R} es unavecindad de la funcion arctan x en el espacio de funciones acotadasdefinido en el numeral 5. de 1.1.2.

Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntos muy es-peciales en los que se basara todo nuestro estudio en topologıa. Tienen encomun la caracterıstica de ser vecindades de cada uno de sus puntos. De estosconjuntos diremos que son conjuntos abiertos.

1.3.5 Definicion. Un subconjunto A de un espacio metrico X es un con-junto abierto en X si A es vecindad de cada uno de sus puntos.

Consideremos un espacio metrico X. De la definicion se infieren de maneranatural los siguientes hechos:

1. El conjunto vacıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.

2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es un conjuntoabierto en X.

3. La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjuntoabierto en X.

Notese que en un espacio metrico X las bolas abiertas son conjuntosabiertos y que cada conjunto abierto se puede expresar como una unionde bolas abiertas. Decimos entonces que las bolas abiertas “generan” losconjuntos abiertos. Mas adelante expresaremos este hecho diciendo que lasbolas abiertas “generan la topologıa del espacio X” o que “son una base parala topologıa de X”.

La siguiente definicion establece un criterio que nos permite saber cuando,desde el punto de vista puramente topologico, vale la pena distinguir entredos metricas aparentemente distintas.

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1.3.6 Definicion. Dos metricas sobre un conjunto X son equivalentes sigeneran los mismos conjuntos abiertos.

1.3.7 Ejemplos.

1. Hemos visto que si X es un conjunto contable entonces los subconjuntosunitarios de X son bolas abiertas, tanto si consideramos la metricadiscreta sobre X, como si consideramos la metrica de Sierpinski. Estasdos metricas generan entonces los mismos conjuntos abiertos en X. Enotras palabras, estas metricas son equivalentes.

2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen metricas equivalentes sobreR2.

3. Si (X, d) es un espacio metrico, la funcion d1 : X ×X −→ R definidapor d1(x, y) = mın{d(x, y), 1} es una metrica acotada sobre X equiva-lente a la metrica d.

Estudiaremos otros conceptos topologicos en espacios metricos a lo largode los siguientes capıtulos.

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Ejercicios

1. Sea X un espacio metrico. Demuestre los siguientes hechos:

a) El conjunto vacıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.

b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjuntoabierto en X.

c) La union de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es unconjunto abierto en X.

d) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.

2. Sea X un espacio metrico. Decimos que un subconjunto F de X escerrado en X si su complemento es abierto. Pruebe las siguientes afir-maciones:

a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un punto son cer-rados.

b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A ∪ B es unconjunto cerrado en X.

c) La interseccion de cualquier familia de conjuntos cerrados en Xes un conjunto cerrado en X.

d) Si X tiene la metrica discreta entonces todo subconjunto de X esabierto y cerrado.

e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.

3. Sean X y Y espacios metricos y sea f : X −→ Y una funcion.Demuestreque las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f es continua.

b) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f−1(A) es un sub-conjunto abierto de X.

c) Si K es un subconjunto cerrado de Y entonces f−1(K) es un sub-conjunto cerrado de X.

4. Mueste que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen metricas equiv-alentes sobre R2.

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5. Sea (X, d) es un espacio metrico. Muestre que la funcion d1 : X×X −→R definida por d1(x, y) = mın{d(x, y), 1} es una metrica acotada sobreX equivalente a la metrica d.

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