MF_Tema_6

7/25/2019 MF_Tema_6

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Matemáticas Financieras Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia

Tema 6:Teoría de Rentas. Rentas Constantes -1-La información de este tema está extraída casi en su totalidad de www.matematicas-financieras.com

TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE

1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA .............................................. 2

2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA ................................... 2

3. CLASES DE RENTAS ........................................................................ 3

3.1.

SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS ................................................... 3

3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS ........................................................... 3

3.3.

SEGÚN EL VENCIMIENTO DEL TÉRMINO .................................................. 4

3.4.

SEGÚN EL MOMENTO DE VALORACIÓN ................................................... 43.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL VENCIMIENTO ........................................ 4

3.6.

SEGÚN LA LEY FINANCIERA ...................................................................... 4

4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA ......................... 5

5. RENTAS CONSTANTES ................................................................... 7

5.1. RENTA TEMPORAL POSPAGA!LE INMEDIATA Y ENTERA ..................... 7

5.1.1. C"LCULO DEL VALOR INICIAL............................................................ 7

5.1.2.

C"LCULO DEL VALOR FINAL............................................................. 11

5.2. RENTA TEMPORAL PREPAGA!LE INMEDIATA Y ENTERA .................... 16

5.2.1.

C"LCULO DEL VALOR INICIAL .......................................................... 16

5.2.2. C"LCULO DEL VALOR FINAL............................................................. 1#

5.3. RENTAS PERPETUAS INMEDIATAS Y ENTERAS ..................................... 21

5.3.1.

RENTAS POSPAGA!LES ...................................................................... 22

5.3.2.

RENTAS PREPAGA!LES ...................................................................... 235.4. RENTAS DIFERIDAS.................................................................................. 24

5.4.1.

RENTAS TEMPORALES POSPAGA!LES Y ENTERAS .......................... 24

5.4.2. RENTAS TEMPORALES PREPAGA!LES Y ENTERAS .......................... 27

5.4.3. RENTAS PERPETUAS POSPAGA!LES Y ENTERAS ............................. 2$

5.4.4.

RENTAS PERPETUAS PREPAGA!LES Y ENTERAS.............................. 2#

5.5. RENTAS ANTICIPADAS ............................................................................ 31

5.5.1.

RENTAS TEMPORALES POSPAGA!LES Y ENTERAS .......................... 315.5.2.

RENTAS TEMPORALES PREPAGA!LES Y ENTERAS .......................... 34

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1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA

Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se

componían de un %&'()&* +,(%- - '-%-/0 tanto en la prestación como en la

contraprestación1. Sin embargo, hay un gran nmero de operaciones que secomponen de un elevado nmero de capitales: la constitución de un capital,

los planes de !ubilación, los pr"stamos,... #n todas ellas intervienen muchos

capitales y sería difícil y poco pr$ctico moverlos de uno en uno, como lo

hemos hecho hasta ahora.

Surge la necesidad de buscar un m"todo matem$tico que nos facilite la

tarea de desplazar un elevado nmero de capitales con relativa facilidad: *&/

,)&/. Se trata de unas %fórmulas& que en determinados casos permitir$n

desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

'a ,)& se define como un %-,,)- %&'()&*/ %-, ,%((,)-/

8((/)&,)/ )('-.

(ara que e)ista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

#)istencia de varios capitales, al menos dos.

(eriodicidad constante entre los capitales, es decir, entre dos capitales

consecutivos debe e)istir siempre el mismo espacio de tiempo

*cualquiera que sea+.

2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA

'os elementos que componen una renta financiera son:

• F,) *& ,)&: fenómeno económico que da origen al nacimiento

de la renta. (or e!emplo, las sucesivas aportaciones a un plan de

pensiones o el ingreso periódico de una nómina a lo largo del tiempo.

• O(9,: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.

• F(,&*: momento en el que termina de devengarse el ltimo capital.

1

Aquí la prestación y contraprestación se refiere tanto al dinero que se entrega para capitalizarlo como elque se recibe actualizado respectivamente.2 Recordemos que “devengarse” lo podemos considerar equivalente a “producirse”.

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• D&%(:,: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la

renta.

• T;(,-: cada uno de los capitales que componen la renta.

• P<--: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.

• T&,)- (,);/: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

-r$ficamente:

3. CLASES DE RENTAS

'as rentas se pueden clasificar segn diferentes criterios, entre los que

vamos a destacar los que aparecen en los apartados siguientes.

3.1. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS

C-,/)&,)= cuando todos los capitales son iguales.

V&(&>*= cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto,

pudi"ndose distinguir:

o V&(&>*/ /(, /9( ,& *? &)@)(%&, cuando varían

aleatoriamente.

o V&(&>*/ /(9(,- ,& *? &)@)(%&, cuando lo hacen con un

orden.

#n progresión geom"trica

#n progresión aritm"tica

3.2.

SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS

T'-&*= tienen un nmero finito y conocido de capitales.

P')&= tienen un nmero infinito o demasiado grande de capitales.

t0 t1 t2 t3 tn-1 tn

i …

Duración=tn-t0Origen Final

C1 C2 C3 Cn

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3.3.

SEGÚN EL VENCIMIENTO DEL TÉRMINO

P-/'&9&>*= los capitales se encuentran al final de cada periodo de

tiempo.

P'&9&>*= los capitales se sitan a principio de cada periodo.

3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE VALORACIÓN

I,(&)&= valoramos la renta en su origen o en su final.

D((&= cuando se valora la renta en un momento anterior a su

origen, es decir, el primer t"rmino se encuentra en algn momento

posterior al que le correspondería a una renta inmediata.

A,)(%('&&= el valor de la renta se calcula con posterioridad al final,

es decir, es aquella en la que el ltimo t"rmino de la renta se

encuentra en algn momento anterior al que le correspondería a una

renta inmediata/.

3.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL VENCIMIENTO

E,)&= el t"rmino de la renta viene e)presado en la misma unidad de

tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidadtomada, es decir, la frecuencia de los t"rminos de la renta coincide

con la frecuencia o periodicidad con la que se capitalizan los

intereses.

N- ,)& - P(:(%&= el t"rmino de la renta viene e)presado en una

unidad de tiempo mayor a la del tanto de valoración.

F&%%(-,&&= el t"rmino de la renta se e)presa en una unidad de

tiempo menor que aquella en la que viene e)presada el tipo de

valoración de la renta.

3.6. SEGÚN LA LEY FINANCIERA

S('*= emplea una ley financiera a inter"s simple para desplazar los

capitales.

3 Por ejemplo, sería el caso de una renta anual en la que el primer término se encuentra en el quinto año.4 Por ejemplo, sería el caso de una renta anual cuyo primer término se encuentra en el momento 0.

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C-'/)&= la ley financiera empleada es la de la capitalización

compuesta.

4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA

#l &*- (,&,%(- o %&'()&* ,& ,)& , , -,)- ) es el

resultado de llevar financieramente *capitalizando o descontando+ todos

los t"rminos de la renta a dicho momento de tiempo t.

#)isten dos casos especialmente relevantes:

⇒ S( )B *siendo 0 el origen de la renta+ nos encontramos con el &*-

&%)&*, esto es, resultado de valorar todos los t"rminos de la renta en el

momento cero.

⇒ S( )B, *siendo n el final de la renta+ se define como el &*- (,&*,

resultado de desplazar todos los t"rminos de la renta al momento n.

(ara el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, ser$

,%/&(- %*&/((%& *&/ ,)&/ atendiendo a cada uno de los criterios que

hemos visto y, en función de la combinación que presente habr$ que aplicar

una u otra, segn proceda.

las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el

valor actual y final y para ello bastar$ con recordar las fórmulas

matem$ticas que permiten sumar una serie de t"rminos que varían en

progresión aritm"tica o en progresión geom"trica creciente o decreciente.

#stas e)presiones son las siguientes:

F:*& *& /& , );(,-/ , '-9/(:, &();)(%&:

n2

aaS

n1

⋅+

=

F:*& *& /& , );(,-/ , '-9/(:, 9-;)(%& %%(,):

r1

raaS

n1

−

⋅−=

F:*& *& /& , );(,-/ , '-9/(:, 9-;)(%& %%(,):

1r

araS1n

−

−⋅=

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2ecordemos tambi"n que las fórmulas para calcular un t"rmino n3"simo

son:

F:*& * %@*%*- * );(,- ,;/(- ,& '-9/(:, &();)(%&:

( ) d1naa 1n ⋅−+=

F:*& * %@*%*- * );(,- ,;/(- ,& '-9/(:, 9-;)(%&:

( )1n1n r aa −⋅=

donde:

≡1a Primer término de la progresión

≡na Último término de la progresión

≡n !mero de términos de la progresión

≡r "a#ón de la progresión

≡d Di$erencia de la progresión

EJEMPLO 1

%e desea sa&er a cu'nto asciende la suma de los 30 términos de una progresión

aritmética cu(o primer término es igual a ) ( a cada uno de los términos se le suman 2

unidades para o&tener el siguiente* +Cu'l ser,a su suma si en lugar de ser una

progresión aritmética $uera una progresión geométrica de términos. cu(o primertérmino $uese 1*000 ( su ra#ón $uese 0.)/

a $órmula para calcular los n términos de una progresión aritmética es

n

2

aa%

n1⋅

+=

Para ello a( ue calcular el 4alor de a30

( ) d1naa 1n ⋅−+=

( ) 532130)a30 =⋅−+=

6a podemos calcular la suma de los 30 términos de la progresión

020*1302

53)% =⋅

+=

%i la progresión $uera geométrica. gr'$icamente se representar,a as,…7…

a1 a2 a3 a8 a) a5 a29 a30

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…7…

Para calcular la suma tendr,amos ue actuar de $orma an'loga a como lo emoseco anteriormente. es decir. empe#ando por calcular el 4alor del !ltimo término

( )1n1n r aa −⋅=

( ) 12).:).0000*1a 130 =⋅=

−

6a podemos calcular la suma de los términos de la progresión. teniendo en cuenta

ue como la ra#ón es menor ue 1. se trata de una progresión geométrica decreciente.

por lo ue se tiene ue aplicar esta $órmula

r 1r aa%

n1

−

⋅−=

19.992*1).01

).012).:000*1% =

−

⋅−=

5. RENTAS CONSTANTES

5.1.

RENTA TEMPORAL POSPAGA!LE INMEDIATA Y ENTERA

4amos a estudiar una ,)& %-,/)&,) *t"rminos de igual cuantía+,temporal *tiene un nmero determinado de capitales+, '-/'&9&>* *los

t"rminos vencen al final del período+, (,(&)& *valoraremos la renta en

su origen y su final+ y ,)& *t"rminos y tanto est$n en la misma unidad

de tiempo+. unque no se diga e)presamente se calcular$ en ;9(,

%-'/)& *renta compuesta+.

5.1.1. C"LCULO DEL VALOR INICIAL

5omenzaremos por la renta constante m$s f$cil, la que tiene como

t"rmino la unidad *,)& ,()&(&+, cuya representación gr$fica es la

siguiente:

;0/ 1 1 1 1 1

0 1 2 3 n-1 ni

…

…

a1 a2 a3 a8 a) a5 a: a

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2ecordemos que la fórmula para actualizar un capital en r"gimen

de capitalización compuesta y descuento racional es:

( )n

n

0

i1

CC

+

=

plicando la definición de valor actual y llevando los t"rminos uno

a uno, descontando en r"gimen de descuento compuesto al tanto de

la renta i, desde donde est$n cada uno de los capitales hasta el origen

se obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología:

an <i

donde:

n≡n!mero de capitales

i≡ tanto de 4aloración

llegamos a la siguiente fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )n1n32in0

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1aV

+

+

+

+

+

+

+

++

==−

K

(ara simplificar la e)presión anterior, hemos de hacer notar que se

trata de una '-9/(:, 9-;)(%& de razón:

i1

1r

+=

5omo la razón es menor que la unidad6, la progresión es

%%(,), por lo que, tal y como recordamos en el tema anterior, lasuma de los n t"rminos de una progresión geom"trica decreciente es

la siguiente:

r1

raaS

n1

−

⋅−=

plicando dicha fórmula a los t"rminos actualizados de la renta y

simplificando posteriormente:

5 El numerador es menor que el denominador.

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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )i

i11

i

i1

11

i1

1i

i1

11

i1

1

i1

1i

i1

11

i1

1

i1

i

i1

11

i1

1

i1

1i1

i1

11

i1

1

i1

11

i1

1

i1

1

i1

1

a

nnnn

nnn

in

−

+−=

+

−

=

/+/

/⋅

+

−⋅/+/

/

=

+⋅

+

−⋅+

=

=

+

+

−⋅+

=

+

−+

+

−⋅+

=

+−

+⋅

+

−+

=

( )i

i11a

n

in

−

+−=

#sta es la e)presión que permite calcular el valor de una renta

%-,/)&,), )'-&*, '-/'&9&>*, (,(&)&, ,)& y ,()&(&.

Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. #n el

supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos t"rminos

fueran de %&,)<& %, el valor actual se representa por:

n <i

y se obtendría de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )n1n32in0

i1

c

i1

c

i1

c

i1

c

i1

cAV

+

+

+

+

+

+

+

++

==−

K

sacando factor comn el t"rmino c:

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

+

+

+

+

++

⋅==− n1n32

in0

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1cAV K

Se puede observar que el corchete es el valor actual de la ,)&

,()&(& )'-&* '-/'&9&>* (,(&)& ? ,)& de n t"rminos,

an 7i, es decir:

( )i

i11cacAV

n

inin0

−

+−⋅=⋅==

'a e)presión n 7i, indica, pues, que la renta es %-,/)&,) )'-&*'-/'&9&>* (,(&)& ,)& ? %&,)<& %.

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EJEMPLO 2

Calcular el 4alor actual de una renta de tres términos anuales 4encidos5 de 100

euros cada una a un tanto de interés del 10> e$ecti4o anual*

?o4iendo los capitales uno a uno

( ) ( ) ( ) ( )n1n32in0

i1c

i1c

i1c

i1c

i1c

;+

+

+

+

+

+

+

++

==−

K

( ) ( ) @59.28

1.01100

1.01100

1.01100

;32

1.030 =

+

+

+

++

==

@59.28;0 =

Atili#ando la $órmula de la renta constante. temporal. pospaga&le. inmediata (

entera

( )i

i11cac;

n

inin0

−

+−⋅=⋅==

( ) @59.28

1.01.011

100a100;3

1.031.030 =+−

⋅=⋅==

−

@59.28;0 =

EJEMPLO 3

Calcular el 4alor de la imposición ue tendremos ue reali#ar en un &anco ue

capitali#a al 12> de interés e$ecti4o anual compuesto. si ueremos disponer de

20*000 euros al $inal de cada uno de los próBimos ) aos*

…7…

6 Vencidos significa que los capitales se devengan al final del año, es decir, se va a tratar de una renta

pospagable.

;0/ 100 100 100

0 1 2 3 aos

i=10>

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…7…

as cantidades a reci&ir en el $uturo constitu(en una renta constante. temporal.

pospaga&le. inmediata ( entera* Por tanto. para ue eBista eui4alencia entre la

imposición ( los reintegros. auélla de&e coincidir con el 4alor actuali#ado de estos

!ltimos* s,. la imposición inicial ser' el 4alor actual de la renta $ormada por los

reintegros al tanto ue genera la operación*

Calculamos el 4alor inicial de una renta temporal. pospaga&le. inmediata (

entera

( )i

i11cac;

n

inin0

−

+−⋅=⋅==

( ) @)2.09)*:2

12.012.011

000*20a000*20;)

12.0)12.0)0 =+−

⋅=⋅==

−

@)2.09)*:2;0 =

5.1.2. C"LCULO DEL VALOR FINAL

Seguimos traba!ando con la misma ,)& %-,/)&,), ,()&(&,

)'-&* 8n capitales8, '-/'&9&>*, (,(&)& y ,)&9 pero ahora

vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los

t"rminos de la renta en su final *momento n+, quedando gr$ficamente

así:

2ecordemos que la fórmula para capitalizar un capital en r"gimen

;0/ 20*000

0 1 2 ) aosi=12>

3 8

20*000 20*000 20*000 20*000

;n/1 1 1 1 1

0 1 2 n-2 n-1 ni

…

…

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de capitalización compuesta es:

( )n0n i1CC +⋅=

plicando la definición de valor final y llevando los t"rminos uno a

uno, capitalizando en r"gimen de capitalización compuesta al tanto

de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se

obtiene el valor final, que se denota con la siguiente terminología:

sn <i

donde:

n≡n!mero de capitales



( ) ( ) ( ) 1n2inn i1i1i11sV

−

+++++++== K



i1r +=

5omo la razón es mayor que la unidad, la progresión es %%(,),

por lo que, tal y como recordamos en el tema anterior, la suma de los

n t"rminos de una progresión geom"trica creciente es la siguiente:

1r

araS

1n

−

−=

⋅

plicando dicha fórmula a los t"rminos capitalizados de la renta y


( ) ( )( )

( ) ( )i

1i1

1i1

1i1

1i1

1i1i1s

n11n1n

in

−+=

−+

−+=

−+

−+⋅+=

+−−

( )i

1i1s

n

in

−+=

l mismo resultado hubi"semos llegado si se capitaliza el valor

actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de

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valoración:

(or tanto, el valor final de la renta ser$ la capitalización de su valor

actual, como se demuestra a continuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i

1i1

i

i11i1

i

i11

i1ai1s

nnnn

n

in

n

in

−+

=

+−⋅+

=

+−

⋅+=⋅+=

−−

( )i

1i1s

n

in

−+=

#sta es la e)presión que permite mover n capitales de una unidad

monetaria equidistantes entre sí desde su origen hasta el momento n

al tanto de inter"s i.

Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. #n el

supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos t"rminos

fueran de %&,)<& %, el valor final se representa por:

%n <i


( ) ( ) ( ) 1n2inn i1ci1ci1ccSV

−

+⋅+++⋅++⋅+== K


( ) ( ) ( ) 1n2inn i1i1i11cSV

−

+++++++⋅== K

Se puede observar que el corchete es el valor final de la ,)&

,()&(& )'-&* '-/'&9&>* (,(&)& ? ,)& de n t"rminos,

sn 7i, es decir:

( )i

1i1cscSV

n

ininn−+⋅=⋅==

;n/

1 1 1 1 1

0 1 2 n-2 n-1 ni

…

…;0

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el mismo modo, se puede llegar a esa e)presión capitalizando el

valor actual:

( ) inn

ininn Ai1scSV ⋅+=⋅==

'a e)presión Sn 7i, indica, pues, que la renta es %-,/)&,) )'-&*

'-/'&9&>* (,(&)& ,)& ? %&,)<& %.

EJEMPLO 4

Calcular el 4alor $inal de una renta de tres términos anuales 4encidos de 100

euros cada una a un tanto de interés del 10> e$ecti4o anual*

Despla#ando los capitales uno a uno

( ) ( ) ( ) 1n2inn i1ci1ci1cc%; −

+⋅+++⋅++⋅+== K

( ) ( ) @3311.011001.01100100%; 21.033 =+⋅++⋅+==

@331;3 =

Atili#ando la $órmula de la renta constante. temporal. pospaga&le. inmediata (

entera

( )i

1i1csc%;

n

ininn−+

⋅=⋅==

( ) @3311.0

11.01100s100%;3

1.031.033 =−+⋅=⋅==

@331;3 =

Capitali#ando el 4alor actual. calculado en el eemplo 1

59.28 0.13 =

( ) inn

ininn i1sc%; ⋅+=⋅==

( ) @33159.281.11.01s100%; 30.13

31.031.033 =⋅=⋅+=⋅==

@331;3 =

;3/100 100 100

0 1 2 3 aosi=10>

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EJEMPLO 5

Calcular el importe acumulado en un &anco al ca&o de ) aos. si imponemos al

$inal de cada uno de ellos 20*000 euros siendo el tipo de interés de la cuenta el

12> e$ecti4o anual*El importe acumulado después de ) aos ser' el 4alor $inal de la renta $ormada

por las imposiciones ue se an reali#ado. utili#ando como tanto de 4aloración el

tipo de interés de la propia cuenta*

Calculamos el 4alor $inal de una renta temporal. pospaga&le. inmediata ( entera

( )i

1i1csc%;

n

ininn−+

⋅=⋅==

( ) @9).0)5*12:

12.0112.01

000*20s000*20%;)

12.0)12.0)) =−+

⋅=⋅==

@9).0)5*12:;) =

EJEMPLO 6

Calcular el n!mero de ingresos de 2)*000 euros ue tenemos ue reali#ar al

$inal de cada ao para reunir 209*8).98 euros en un &anco ue capitali#a al 5>

e$ecti4o anual*

En este caso se conoce la cuant,a a imponer periódicamente. ue constitu(e

una renta constante. ( el saldo ue ueremos tener constituido el 4alor $inal de larentaGH lo ue se desea conocer es el n!mero de imposiciones a reali#ar. esto es.

el n!mero de términos de la renta nG ue constitu(en las imposiciones*

…7…

;)=%aldo/

20*000

0 1 2 ) aosi=12>

3 8

20*000 20*000 20*000 20*000

;n=209*8).98

2)*000

0 1 2 n/ aosi=5>

…

2)*000 … 2)*000

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…7…

Atili#amos la $órmula del 4alor $inal de la renta renta temporal. pospaga&le.

inmediata ( entera. teniendo como incógnita el n!mero de términos. en este caso

aos. n

( )i

1i1csc%;

n

ininn−+

⋅=⋅==

( )98.8)*209

05.0105.01

000*2)s000*2)%;n

05.0n05.0nn =−+

⋅=⋅==

( )

)035302)5.105.11)035302)5.005.1

)035302)5.0105.105.03933:5.105.1

3933:5.05.0105.1

000*2)98.8)*209

05.0105.01

nn

nn

nn

=⇒+=⇒

⇒=−⇒⋅=−⇒

⇒=

−

⇒=

−+

plicamos logaritmos para poder despear n

aos:1.05log)035302)5.1log

n

)035302)5.1log1.05logn)035302)5.1log05.1log n

==⇒

⇒=⋅⇒=

aos:n =

5.2.

RENTA TEMPORAL PREPAGA!LE INMEDIATA Y ENTERA

4amos a estudiar una ,)& %-,/)&,) *t"rminos de igual cuantía+,

temporal *tiene un nmero determinado de capitales+, ''&9&>* *los

t"rminos vencen al principio del período+, (,(&)& *valoraremos la

renta en su origen y su final+ y ,)& *t"rminos y tipo de inter"s est$n en

la misma unidad de tiempo+. unque no se diga e)presamente se

calcular$ en ;9(, %-'/)& *renta compuesta+.

5.2.1. C"LCULO DEL VALOR INICIAL

5omenzaremos por la renta constante que tiene como t"rmino la

unidad *,)& ,()&(&+, cuya representación gr$fica es la siguiente:

7/25/2019 MF_Tema_6






la renta i, desde donde est$ cada capital hasta el origen se obtiene elvalor actual, que se denota con la siguiente terminología:

In <i


( ) ( ) ( )1n32

in0

i1

1

i1

1

i1

1

i1

11aV

−

+

+

+

+

+

++

+== K&&



i1

1r

+=

5omo la razón es menor que la unidad, la progresión es

%%(,), por lo que, tal y como recordamos en el tema anterior, la

suma de los n t"rminos de una progresión geom"trica decreciente es

la siguiente:

r1

raaS

n1

−

⋅−=

plicando dicha fórmula a los t"rminos actualizados de la renta y


;0/

1 1 1 11

0 1 2 3 n-1 ni

…

…

7/25/2019 MF_Tema_6




( ) ( ) ( ) ( )

i1

i

i11

i1

i

i1

11

i1

1i1

i1

11

i1

11

i1

1

i1

11

ä

nn11n1n

in

+

+−=

+

+

−

=

+

−+

+

−

=

+−

+⋅

+

−

=

−+−−

( )

i1

i

i11a

n

in

+

+−=

−

&&

Si recordamos, la fórmula de una renta constante, temporal,

pospagable, inmediata y entera era:

( )i

i11a

n

in

−

+−=

(or lo que la fórmula anterior la podemos e)presar tambi"n en

función de an 7i de la siguiente forma:

( )( )

( )[ ] ( ) ( )( )i1

i

i11

i

i1i11

i1

i

1

i11

i1

i

i11a

nn

n

n

in +⋅+−

=+⋅+−

=

+

+−

=

+

+−=

−−

−

−

&&

( )i1aa inin +⋅=&&

#sta es la e)presión que permite mover n capitales de una unidad

monetaria equidistantes entre sí hasta su origen, al tanto de inter"s i.

;tra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta

prepagable &*-&,- '- /'&&- * '( %&'()&* 8 ?& /)@ ,

* -(9, ? * /)- %&'()&*/ , 10 %-- ,)& '-/'&9&>*

(,(&)&:

#s decir:

i1-nin0 a1aV +== &&

1 1 1 11

0 1 2 n-2 n-1 n…

…

;0

7/25/2019 MF_Tema_6




(ara rentas constantes cuyos t"rminos fueran de %&,)<& %, el valor

actual se representa por:

Jn <i


( ) ( ) ( ) 1n32in0

i1

c

i1

c

i1

c

i1

ccAV

−

+

+

+

+

+

++

+== K&&


( ) ( ) ( )

+

+

+

+

+

++

+⋅==−1n32

in0

i1

1

i1

1

i1

1

i1

11cAV K&&

Se puede observar que el corchete es el valor actual de la ,)&

,()&(& )'-&* ''&9&>* (,(&)& ? ,)& de n t"rminos,

<n 7i, es decir:

( ) ( )

i

i11i1cacAV

n

inin0

−

+−⋅+⋅=⋅== &&&&

'a e)presión =n 7i, indica, pues, que la renta es %-,/)&,) )'-&*

'-/'&9&>* (,(&)& ,)& ? %&,)<& %.

( ) inin0 ai1cAV ⋅+⋅== &&

NOTA= *-/ &*-/ &%)&*/ ? (,&*/ *&/ ,)&/ ''&9&>*/ /

->)(,, & '&)( *&/ ,)&/ '-/'&9&>*/ *)('*(%&,- '- 1

(0 / %( *&/ ,)&/ ''&9&>*/ /-, * /*)&- %&'()&*(&

, '<-- *&/ ,)&/ '-/'&9&>*/.

5.2.2. C"LCULO DEL VALOR FINAL

ado que los valores finales de las rentas prepagables se obtienen a

partir de las rentas pospagables multiplicando por *1>i+, podemos

establecer las siguientes fórmulas:

V&*- (,&* ,& ,)& %-,/)&,) )'-&* ''&9&>*(,(&)& ,)& ? ,()&(&:

7/25/2019 MF_Tema_6




( )( )i1

i

1i1sV

n

inn +⋅−+

== &&

V&*- (,&* ,& ,)& %-,/)&,) )'-&* ''&9&>*

(,(&)& ,)& ? %&,)<& %:

( )( )i1

i

1i1cSV

n

inn +⋅−+

⋅== &&

EJEMPLO 7

Calcular el 4alor actual ( $inal de una renta de tres términos anuales situados a

principios del ao de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10> e$ecti4o

anual*

;alor actual

?o4iendo los capitales uno a uno

( ) ( ) ( ) 1n32in0

i1c

i1c

i1c

i1c

c;−

+

+

+

+

+

++

+== K&&

( ) @)).2:3

1.01100

1.01100

100;2

0.130 =

+

++

+== &&

@)).2:3;0 =

Atili#ando la $órmula de la renta constante. temporal. prepaga&le. inmediata (

entera

( ) ( )

ii11

i1c;n

0

−

+−⋅+⋅=

( ) ( )

@)).2:31.0

1.0111.01100;

3

0 =+−

⋅+⋅=

−

@)).2:3;0 =

;0/100 100100

0 1 2 3 aos

i=10>

7/25/2019 MF_Tema_6




…7…

;alor $inal

?o4iendo los capitales uno a uno( ) ( ) ( ) ( )i1i1ci1ci1cc%; 1n2

inn +⋅+⋅+++⋅++⋅+== −

K&&

( ) ( ) ( ) @10.3581.13311.011.011001.01100100%; 21.033 =⋅=+⋅+⋅++⋅+== &&

@10.358;3 =

Atili#ando la renta

( )( )i1

i

1i1c;

n

n +⋅−+

⋅=

( )( ) @10.3581.01

1.011.01

100;3

3 =+⋅−+

⋅=

@10.358;3 =

Capitali#ando el 4alor actual

( )n0n i1;; +⋅=

( ) @10.3581.01)).2:3; 33 =+⋅=

@10.358;3 =

5.3. RENTAS PERPETUAS INMEDIATAS Y ENTERAS

#ste tipo de rentas /:*- / * '-@ %&*%*& &*- &%)&* '- ,,%& *

&*- (,&*, y todo ello con independencia de que sea pospagable o

prepagable, constante o variable, etc.

#l valor actual de estas rentas se obtendr$ viendo qu" ocurre siaplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de

i=10>

;0

100 100100

0 1 2 3 aos

;3/

7/25/2019 MF_Tema_6




utilizar un nmero finito de capitales *n+ traba!amos con infinitos

t"rminos *?+. #n definitiva, se trata de traba!ar con el concepto

matem$tico de los límites, cuando la duración de la renta *y por tanto, el

nmero de capitales+ tiende a infinito.

5.3.1. RENTAS POSPAGA!LES

#n el caso de ,)& %-,/)&,), '')& '-/'&9&>*, (,(&)& y

,)&, veremos los casos para rentas unitarias y no unitarias:

RENTA UNITARIA &H (0=

2ecordemos que an 7i:

( )i

i11a

n

in

−+−

=

5uando n tiende a infinito:

( ) ( ) ( )i

1

i

01

i

11

i

i1

11

i

i1

11

Limi

i11 Lima

n

n

n

n

i =−

=∞

−

=+

−

=+

−

=+−

=

∞

∞→

−

∞→

∞

i

1

aV i0 == ∞

RENTA NO UNITARIA AH (0=

2ecordemos que n 7i:

( )i

i11cA

n

in

−

+−⋅=

5uando n tiende a infinito:

( ) ( ) ( )

i

c

i

01c

i

11

c

i

i1

11

ci

i1

11

Limci

i11 cLimA

n

n

n

n

i

=−

⋅=∞

−

⋅=

=+

−

⋅=+

−

⋅=+−

⋅=

∞

∞→

−

∞→

∞

i

c

AV i0 == ∞

7/25/2019 MF_Tema_6




5.3.2.

RENTAS PREPAGA!LES

#n el caso de ,)& %-,/)&,), '')& ''&9&>*, (,(&)& y

,)&, se puede hacer uso de la regla habitual para calcular la renta

prepagable que consiste en multiplicar su correspondiente rentapospagable por *1>i+:

RENTA UNITARIA JH (0=

2ecordemos que a? 7i:

i

1a i =∞

@ultiplicando por *1>i+:

( ) ( )i

i1i1

i

1i1aa ii

+=+⋅=+⋅= ∞∞&&

i

i1aV i0

+== ∞&&

RENTA NO UNITARIA KH (0=

2ecordemos que ? 7i:

i

cA i =∞

@ultiplicando por *1>i+:

( ) ( )i

i1ci1

i

ci1AA ii

+⋅=+⋅=+⋅= ∞∞

&&

i

i1cAV i0

+⋅== ∞

&&

EJEMPLO 8

Kallar el 4alor actual de una renta perpetua semestral con un término de 2)*000

euros si el tanto de 4aloración es el 12> nominal capitali#a&le por semestres. en

los siguientes casos

a* %i los capitales son pospaga&les

&* %i los capitales son prepaga&les…7…

7/25/2019 MF_Tema_6




…7…

Pre4io a resol4er los 4alores de las rentas. a( ue calcular el tanto e$ecti4o

semestral eui4alente al tanto nominal* "ecordemos ue

LM

iL

L =

>505.02

12i2 ===

ora (a podemos calcular el 4alor inicial de las rentas planteadas

a* Capitales pospaga&les

ic

; i0 == ∞

@5:.555*81505.0000*2)

; 05.00 === ∞

@5:.555*815;0 =

&* Capitales prepaga&les

ii1

c; i0+

⋅== ∞&&

@5:.555*88105.0

05.01000*2); 05.00 =+

⋅== ∞&&

@5:.555*881;0 =

5.4.

RENTAS DIFERIDAS

Son aquellas que / &*-&, %-, &,)(-(& & / -(9,. #l tiempo

que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoraciónse denomina '<-- (((,)- de la renta.

5.4.1. RENTAS TEMPORALES POSPAGA!LES Y ENTERAS

Si partimos de una ,)& ,()&(&, )'-&* *de n t"rminos+ y

'-/'&9&>* se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno,

en el momento de valoración elegido.

-r$ficamente quedaría:

7/25/2019 MF_Tema_6




l aplicar la definición de valor financiero en el momento t:

( ) ( ) ( ) ( ) nd3d2d1dt

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1V

++++

+

++

+

+

+

+

+

= K

Sacando factor comn:

( )

di1

1

+

quedaría:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++

++

++

+⋅

+=

n321dt

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1

i1

1V K

#l corchete de esta e)presión representa el &*- &%)&* *& ,)&

,()&(&, )'-&* *n t"rminos+, '-/'&9&>*, (,(&)& y ,)&

*an 7i+ que posteriormente se descuenta como un capital nico, almismo tipo *i+, durante el período de diferimiento *d+.

( )in

dt a

i1

1V ⋅

+

=

(or tanto, / ->),<& * (/- /*)&- /( &*-&-/ *& ,)&

, / -(9, / %-,/(& %-- (,(&)& ? / %&*%*& / &*-

&%)&*0 ? '-/)(-,) / /%,)& (%- &*- &%)&* %-- ,

/-*- %&'()&*0 &/)& * -,)- ) *9(- , ;9(, /%,)-

;t/

t i 0 1 2 … n-1 n

;0 ;n

1 1 1 1…

Periodode di$erimiento

?omentode

4aloración

dGOrigen

7/25/2019 MF_Tema_6




%-'/)- &* )&,)- (,);/ (9,) &,) * '<--

(((,)-.

-r$ficamente sería:



la renta i, desde donde est$n cada uno de los capitales hasta el origen

se obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología:

inad

donde:

n≡ n!mero de términos de la renta


≡d periodo de di$erimiento

nalíticamente quedaría así:

( ) ( ) ( )

( )i

i11

i1

1

i1

a

i1

V

adV

n

dd

in

d

0

int

−

+−⋅

+

=

+

=

+

==

Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad

*no unitaria+, es decir, los t"rminos fueran de %&,)<& % el valor actual

se representa por:

ind

;t/

ti

0 1 2 … n-1 n

;0 ;n

1 1 1 1…


?omentode

4aloración

dG Origen

7/25/2019 MF_Tema_6




#n este caso, )-- *- (%- /9(<& /(,- @*(- ? >&/)&<& %-,

*)('*(%& * &*- *& ,)& ,()&(& '- *& %&,)<& * );(,- .

#s decir:

( ) ( ) ( )( )i

i11

i1

c

i1

ac

i1

A

adc

Ad

n

dd

in

d

in

inin

−+−

⋅

+

=

+

⋅=

+

=⋅=

E* (((,)- /-*&,) &%)& &* &*- &%)&*, por tanto, si lo

que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la

definición de valor final se tratar$ como una renta inmediata, aunque

tambi"n se podría obtener dicho valor final a partir del valor actual

diferido:

nalíticamente:

( ) ( ) ndt

n0n i1Vi1VV

+

+⋅=+⋅=

5.4.2.

RENTAS TEMPORALES PREPAGA!LES Y ENTERAS

Si la renta fuese %-,/)&,), )'-&*, ''&9&>*, ((&, ,()&(&

y ,)& tendríamos que calcular:

inad&&

2ecordando que los valores actuales y finales de las rentas

prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables

multiplicando por *1 > i+, es decir, las rentas prepagables son el

resultado de capitalizar un período las rentas pospagables.

;t/

ti

0 1 2 … n-1 n

;0 ;n

c c c c…


dG

7/25/2019 MF_Tema_6




( )( )

( )( )

( )i

i11

i1

1i1

i1

ai1

adV

n

dd

in

int

−

+−⋅

+

⋅+=

+

⋅+==&&

( )

( )

i

i11

i1

1

a

dV

n

1din

t

−

−

+−⋅

+

==

&&

e igual forma, si la renta fuese %-,/)&,), )'-&*, ''&9&>*,

((&, %&,)<& %, y ,)& tendríamos que calcular:

inAd&&

@ultiplicando por *1 > i+:

( )( )

( )( )

( )i

i11

i1

1i1c

i1

Ai1

AdV

n

dd

in

in

t

−

+−⋅

+

⋅+⋅=

+

⋅+==&&

( )

( )i

i11

i1

1c

AdV

n

1din

t

−

−

+−⋅

+

⋅==&&

5.4.3. RENTAS PERPETUAS POSPAGA!LES Y ENTERAS

Si la renta fuese %-,/)&,), '')&, '-/'&9&>*, ((&, ,()&(&


iad

∞

2ecordando que:

i

1a i =∞

y que:

( )din

in i1

a

ad

+

=

entonces:

( ) ( )dd

i

it

i1

1

i

1

i1

a

adV

+

⋅=

+

== ∞

∞

Si la renta fuese %-,/)&,), '')&, '-/'&9&>*, ((&,

%&,)<& % y ,)& tendríamos que calcular:

7/25/2019 MF_Tema_6




iAd

∞

2ecordando que:

i

cA i =∞

y que:

( )din

in i1

A

Ad

+

=

entonces:

( ) ( )dd

i

it

i1

1

i

c

i1

A

AdV

+

⋅=

+

== ∞

∞

5.4.4. RENTAS PERPETUAS PREPAGA!LES Y ENTERAS

Si la renta fuese %-,/)&,), '')&, ''&9&>*, ((&, ,()&(&


iad

∞&&

2ecordando que:

i

i1a i

+=∞&&

y que:

( )din

in i1

a

ad

+

=&&

&&

entonces:

( ) ( )dd

i

it

i1

1

i

i1

i1

a

adV

+

⋅+

=

+

== ∞

∞

&&

&&

Si la renta fuese %-,/)&,), '')&, ''&9&>*, ((&,

%&,)<& % y ,)& tendríamos que calcular:

iAd

∞&&

2ecordando que:

i

i1cA i

+

⋅=∞&&

7/25/2019 MF_Tema_6




y que:

( )din

in i1

A

A

d

+

=

&&

&&

entonces:

( ) ( )dd

i

i

t

i1

1

i

i1c

i1

A

AdV

+

⋅+

⋅=

+

== ∞

∞

&&&

&&

EJEMPLO 9

Calcular el 4alor actual ( $inal de una renta cu(a duración es de ) aos. con

términos anuales prepaga&les de 2*:00 euros sa&iendo ue se empie#an a

de4engar dentro de 3 aos* Nanto de 4aloración 11> e$ecti4o anual*%e trata de una renta di$erida 3 aos. con términos prepaga&les ( ) términos*

;alor actual

( )d

in

int

i1

d;

+

==

&&

&&

"ecordemos ue

( ) ( )

ii11

i1cn

in

−

+−⋅+⋅=&&

Por lo ue

( ) ( ) ( )

( )

+−⋅+⋅⋅+=

+

==

−

−

ii11

i1ci1i1

d;n

d

d

in

int

&&

&&

( ) ( ) ( )

+−⋅+⋅⋅+=

−

−

ii11

i1ci1;n

dt

( ) ( ) ( )

@12.099*

11.0

11.01111.01:00*211.01;

)3

t =

+−⋅+⋅⋅+=

−

−

…7…

3 aos

;t 2*:00

0 1 2 )aos

i=11> 3 8t

2*:00 2*:00 2*:00 2*:00

;0

Periodo

de di$erimiento

7/25/2019 MF_Tema_6




…7…

@12.099*;t =

;alor $inal

El di$erimiento no a$ecta al 4alor $inal. ue se pod,a a&er calculado como el deuna renta inmediata de ) términos prepaga&les

( )( )i1

i1i1

c%;n

inn +⋅−+

⋅== &&

( )( ) @:2.558*111.01

11.0111.01

:00*2%;)

0.11)) =+⋅−+

⋅== &&

@:2.558*1;) =

5.5. RENTAS ANTICIPADAS

Son aquellas que / &*-&, %-, '-/)(-(& & / (,&*. #l tiempo

que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoración se

denomina '<-- &,)(%('&%(:, de la renta.

5.5.1.

RENTAS TEMPORALES POSPAGA!LES Y ENTERAS

Si partimos de una ,)& ,()&(&, )'-&* *de n t"rminos+ y

'-/'&9&>* se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno,

en el momento de valoración elegido.

-r$ficamente quedaría:

;n/

ni

0 1 2 … n-1 n

;0 ;n

1 1 1 1…

Periodode anticipación

?omentode

4aloración

GOrigen Fin

7/25/2019 MF_Tema_6




l aplicar la definición de valor financiero en el momento t:

( ) ( ) ( ) ( ) 1nh2h1hhhn i1i1i1i1V

−+++

+ ++++++++= K

Sacando factor comn:

( )hi1+

quedar$:

( ) ( ) ( ) ( ) 1n2hhn i1i1i11i1V

−

+ +++++++⋅+= K

#l corchete representa el &*- (,&* *& ,)& ,()&(&, )'-&*

*n t"rminos+, '-/'&9&>*, (,(&)& y ,)& *sn 7i+, que

posteriormente se capitaliza como un capital nico, al mismo tipo *i+,

durante el período de anticipación *h+. (or tanto, /( '(- / &*-&

*& ,)& , / (,&* ? '-/)(-,) %&'()&*(&-/ * &*- (,&*

%-- , /-*- %&'()&* / ->),<& * (/- /*)&-.

-r$ficamente sería:


( ) ( ) inh

nh

hn si1Vi1V ⋅+=⋅+=+

#sta e)presión puede notarse de forma abreviada de la siguiente

forma:

insh

donde:

;n/

ni

0 1 2 … n-1 n

;0 ;n

1 1 1 1…


?omentode

4aloración

GOrigen Fin

7/25/2019 MF_Tema_6




n≡ n!mero de términos de la renta


≡ periodo de anticipación


( ) ( ) ( ) ( )

i

1i1i1si1Vi1

shV

n

h in

hn

h

inhn

−+⋅+=⋅+=⋅+==+

Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad

*no unitaria+, es decir, los t"rminos fueran de %&,)<& % el valor final

se representa por:

inSh

#n este caso, )-- *- (%- /9(<& /(,- @*(- ? >&/)&<& %-,

*)('*(%& * &*- *& ,)& ,()&(& '- *& %&,)<& * );(,- .

#s decir:

( ) ( ) ( )

i

1i1i1csi1c

shc

ShV

n

h in

h

ininhn

−+⋅+⋅=⋅+⋅=⋅==+

L& &,)(%('&%(:, /-*&,) &%)& &* &*- (,&* pero no al valor

actual, que se realizar$ como si de una renta inmediata se tratara,

cumpli"ndose la siguiente relación entre diferentes valores de la

renta:

;n/

ni

0 1 2 … n-1 n

;0 ;n


?omentode

4aloración

GOrigen Fin

7/25/2019 MF_Tema_6




nalíticamente:

( ) ( ) hn

hn

n

n

0

i1

V

i1

VV

+

+

+

=

+

=

5omo veremos a continuación, todo lo anterior se cumple, de igual

forma, para rentas constantes prepagables y perpetuas.

5.5.2.

RENTAS TEMPORALES PREPAGA!LES Y ENTERAS

Si la renta fuese %-,/)&,), )'-&*, ''&9&>*, &,)(%('&&,

,()&(& y ,)& tendríamos que calcular:

ins

h&&

2ecordando que los valores actuales y finales de las rentas

prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables

multiplicando por *1 > i+, es decir, las rentas prepagables son el

resultado de capitalizar un período las rentas pospagables.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i

1i1i1si1i1

shi1

shV

n

1h in

h

ininhn

−+⋅+=⋅+⋅+=⋅+==

+

+&&

( ) ( )

i

1i1i1

shV

n

1h

inhn

−+⋅+==

+

+&&

e igual forma, si la renta fuese %-,/)&,), )'-&*, ''&9&>*,

&,)(%('&&, %&,)<& %, y ,)& tendríamos que calcular:

inS

h&&

@ultiplicando la renta unitaria por c:

( ) ( )

i

1i1i1c

shc

ShV

n

1h

inin

hn

−+⋅+⋅=⋅==

+

+&&&&

( ) ( )

i

1i1i1c

ShV

n

1h

in

hn

−+⋅+⋅==

+

+&&

7/25/2019 MF_Tema_6




EJEMPLO 10

Calcular el 4alor actual ( $inal de una renta de 3 términos anuales de 1*000

euros pagaderos por 4encido si la 4aloración al :> anual se e$ect!a a los aos

de comen#ada la renta*

%e trata de una renta anticipada. puesto ue la 4aloración se reali#a ) aos

después de a&erse eco e$ecti4o el !ltimo capital* o o&stante. la anticipación

no a$ecta al 4alor actual ue se resol4er' como una renta inmediata*

;alor actual

"ecordemos ue el 4alor actual de una renta constante. temporal. pospaga&le.

inmediata. entera ( de cuant,a c es

( )i

i11cac;

n

inin0

−

+−⋅=⋅==

( ) @32.528*2

0:.00:.011

000*1a000*1;3

0:.030:.030 =+−

⋅=⋅==

−

@32.528*2;0 =

;alor $inal

Para calcular el 4alor $inal de una renta constante. temporal. pospaga&le.

anticipada. de cuant,a c ( entera se utili#a la siguiente $órmula

( ) ( )

i1i1

i1c%;

n

inn

−+⋅+⋅==+

( ) ( )

@05.)09*80:.0

10:.010:.01000*1%

);3

)

0:.03 =

−+⋅+⋅==

@05.)09*8; =

…7…

;0/;3 ;/

0 1 2 3 8 ) 5 : aos

1*000 1*000 1*000

i=:>

Origen Fin ;aloración

7/25/2019 MF_Tema_6



…7…

Nam&ién se puede calcular capitali#ando aos el 4alor actual de la renta* Es

decir

( )n

0n i1;; +

+ +⋅=

( ) @05.)09*80:.0132.528*2; =+⋅=

@05.)09*8; =

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