El punto GH esta es perpendicular a la mitad del radio y se usa para dibujar y colocar los puntos G y H. Uniendo estos con el punto I para formar el triángulo, se comprueba que la apotema es la mitad del radio.

Si tomamos la figura, el lado FH debe ser tangente a la circunferencia luego el apotema del circunscrito es el doble del apotema del inscrito.

El segmento AD mideAD = R sen(60º) = 2a sen(60º)El segmento FI se puede hallar de la misma forma haciendo que el apotema valga el dobleFI = 4a sen(60º)Luego FI = 2·ADY el perímetro de ABD es 6·AD y el de FGH es 6FI = 12·ADLuego el perímetro del circunscrito es el doble.

La apotema de cualquier polígono es el segmento que une el punto medio de un lado con el centro. En el caso del cuadrado la apotema es la mitad del lado.

Ap=L/2La suma de las apotemas es igual a ¼ del perímetro total del cuadrado.

El dodecágono, l = r√2- √3 Uniendo el centro del dodecágono ( o sea polígono de 12 lados ) con 2 vértices consecutivos del dodecágono obtenemos un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son 2 radios consecutivos del dodecágono. El tercer lado del triángulo es un lado L del dodecágono.

Calculamos el ángulo central, o sea el ángulo formado por los dos radios:

ángulo central = b = 360º / n = 360º / 12 = 30º

Ahora, trabajando siempre sobre el triangulo obtenido anteriormente, unimos el centro del dodecagono con el punto medio del lado opuesto. Obtenmos asi la apotema ap.

El angulo formado por la apotema ap y uno de los radios r sera igual a la mitad del angulo central b por ser un triangulo isosceles.

b / 2 = 30º / 2 = 15º

Tambien, por ser el triangulo isoceles, su altura ( en este caso la apotema ap ) divide a la base ( en este caso el lado L del dodecagono ) en dos partes iguales.

entonces:

sen 15º = ( L / 2 ) / r = L / ( 2 r )

despejando L resulta:

L = 2 r sen 15º

puesto que 15º = 45º - 30º

la ecuacion anterior se escribe:

L = 2 r sen ( 45º - 30º ) =

= 2 r ( sen 45º cos 30 - cos 45º sen 30º ) =

= 2 r [ (√2 / 2) (√3 / 2 ) - (√2 / 2 ) 0,5 ] =

= 2 r [ (√2 / 2 ) ( √3 / 2 ) - (√2 / 2 ) ( 1 / 2) ] =

= 2 r [ (√6 / 4 ) - (√2 / 4 ) ] =

= 2 r [ √6 - √2 ] / 4 =

= r [ √6 - √2 ] / 2 =

= r [ √2*√3 - √2 ] / 2 =

= r √2 ( √3 - 1 ) / 2 =

introduciendo el parentesis en la raiz:

= r raiz de [ 2 ( √3 - 1 )^2 ] / 2 =

desarrollando el cuadrado dentro de la raiz:

= r raiz de [ 2 ( 3 - 2√3 + 1 ) ] / 2 =

= r raiz de [ 2 ( 4 - 2√3 ) ] / 2 =

sacando factor comun 2:

= r raiz de [ 2*2 ( 2 - √3 ) ] / 2 =

= r raiz de [ 4( 2 - √3 ) ] / 2 =

extrayendo raiz de 4

= 2 r raiz de [ ( 2 - √3 ) ] / 2 =

simplificando con el 2 del denominador que siempre estuvo afuera de la raiz:

= r raiz de ( 2 - √3 ) = L = longitud del lado del dodecagono )