Archivo: Clase23

Autor : Jorge E. Hernández H.

Fecha : 13/05/2008

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Clase # 23. Fecha: 13/05/2008

Continuación Unidad II:

Funciones. Límites. Continuidad.

Objetivo # 5:

- Definición intuitiva de Límite.

- Definición de Límites Laterales.

- Existencia del Límite.

- Límite de algunas funciones notables.

Contenido.

1. Introducción.

La noción de “límite”, como palabra ordinariamente usada, la tenemos

asociada al significado de frontera, de borde, de separación entre

objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas,

tanto que parecen tocarse (véase figura), el punto del espacio que falta

para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite.

x

Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una línea recta numerada,

horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2,

sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el

punto límite.

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Nos hacemos una pregunta: ¿Hacia que punto o valor numérico se

acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un

determinado valor numérico del dominio de la misma?

Antes de darle una respuesta a esta pregunta, veamos el siguiente

gráfico.

Cuando nos acercamos a ,0x ==== usando las aproximaciones

,4x3x,2x,1x y obtenemos los valores ),4x(f)3x(f),2x(f),1x(f y

las cuales son aproximaciones al valor ;1y ==== si queremos podemos

aproximarnos aún más hacia ,0x ==== y encontrar más acercamiento al

valor .1y ====

Ahora veamos un ejemplo numérico:

Sean .x)x(f3x 2======== y Vamos a crear una tabla de valores para

),x(f usando las siguientes aproximaciones:

9999,26x99,25x95,24x90,23x75,22x5,21x ======================== ; ; ; ; ;

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estas son aproximaciones a .3x ====

)x(f

Lo que observamos en el lado derecho de la tabla son, precisamente,

aproximaciones al valor 9. Entonces, si nos aproximamos al valor ,3x ====

con aproximaciones menores que 3, encontramos aproximaciones a 9, en

este caso, también menores que 9.

Sin más preámbulo, veamos las definiciones siguientes.

2. Límites laterales de una función.

2.1 Definición: El valor numérico aproximado que encontramos por

medio de las imágenes de las aproximaciones menores que un valor

determinado ,ax ==== usando la función f, se denomina “límite lateral

izquierdo de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por

)x(fLimax

−−−−

→→→→

Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir,

es un número. El símbolo ,ax−−−−

→→→→ representa la forma en la cual nos

aproximamos hacia ,"a" en este caso, el acercamiento es por el lado

izquierdo.

1x 2,5 6,25

2x 2,75 7,5625

3x 2,90 8,41

4x 2,95 8,9401

5x 2,99 8,994

6x 2,999 8,9994

aproximación 3 9

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2.2 Definición: El valor numérico aproximado que encontramos por

medio de las imágenes de las aproximaciones mayores que un valor

determinado ,ax ==== usando la función f, se denomina “límite lateral

derecho de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por

)x(fLimax

++++

→→→→

Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir,

es un número. El símbolo ,ax++++

→→→→ representa la forma en la cual nos

aproximamos hacia ,"a" en este caso, el acercamiento es por el lado

derecho.

Para ilustrar estas definiciones usaremos la tabla anterior; las

aproximaciones a ,3x ==== son todas menores que 3, es decir, x tiende a 3

por el lado izquierdo; además, hemos encontrado que las imágenes de

estas aproximaciones por medio de la función ,x)x(f 2==== son

aproximaciones al valor numérico 9; entonces podemos escribir:

9)x(fLim3x

====−−−−

→→→→

2.3 Definición: Límite de una función,

El valor numérico único, encontrado cuando x tiende hacia el valor

numérico “a”, por la izquierda y por la derecha, se denomina “límite de

la función f cuando x tiende a "a" , y se denota por

)x(fLimax

→→→→

Nota: Como anteriormente, este símbolo representa a un único número.

El símbolo ax →→→→ representa la forma en como nos aproximamos hacia

el valor “a”; en este caso la ausencia de los signos “+” y “-“, indica

que x se acerca al valor “a” en ambos sentidos, derecha e izquierda.