Miembros a Flexion y Cortante

7/22/2019 Miembros a Flexion y Cortante

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CAPITULO 5

MIEMBROS SUJETOS A FLEXION Y CORTANTE

5.1 COMENTARIOS GENERALES

Los miembros sujetos a flexin y cortante son usados para soportar cargas transversales omomentos aplicados. Perfiles laminados en fro, como las secciones I, C, Z, T, sombrero,tubulares (ver Fig. 1.1), decks y paneles (ver Fig. 1.9) pueden ser usados como miembros sujetos aflexin y cortante.

Los usos tpicos ms comunes de dichos miembros en edificios son en sistemas de piso, ensistemas de cubiertas ligeras, en sistemas de muro, entre otros. En sistemas de piso estosmiembros son llamados generalmente vigas. En el caso de los sistemas de cubierta ligera y murosse les conoce por el nombre de polines. Por conveniencia, en este captulo se usar el nombregenrico de viga para identificar a todos los miembros sujetos a flexin y/o cortante.

Al disear vigas, se debe considerar la capacidad para resistir momento y la rigidez delmiembro calculada a partir de las propiedades efectivas de la seccin. Esto es, evaluando elmomento de inercia y mdulo de seccin considerando el ancho efectivo del patn de compresin yel peralte efectivo del alma, usando los procedimientos expuestos en el Captulo 4. Adems, lasalmas de vigas deben ser revisadas por cortante, combinacin de flexin y cortante, aplastamientodel alma y combinacin de flexin y aplastamiento del alma.

Adems de las consideraciones de diseo expuestas anteriormente, la capacidad para resistirmomento de un perfil puede estar limitada por pandeo lateral de la viga, particularmente cuando elperfil es fabricado de lmina de pared delgada y con apoyo lateral espaciado a intervalosrelativamente grandes. Por sta razn, las vigas debern cumplir con los criterios de apoyo lateraladecuado determinados por el AISI, de lo contrario, la capacidad a flexin de la viga se versignificativamente mermada.

Contrario a los perfiles laminados en caliente, en el diseo de vigas a base perfiles laminadosen frio se deben considerar problemas tales como desfasamiento por cortante y rizados de patines.Adems, si se desea aprovechar el incremento en las propiedades mecnicas debido al laminadoen fro, el diseo de elementos a flexin puede complicarse.

Basado en las consideraciones mencionadas anteriormente, los siguientes temas serntratados en este Captulo:

1. Resistencia a la Flexin y Deformaciones.2. Diseo de Almas por Cortante, Combinacin de Flexion y Cortante, Aplastamiento del Alma y

Combinacion de Flexin y Aplastamiento.3. Requisitos de Apoyo Lateral.4. Desfasamiento por Cortante.

5. Rizado de Patines.

En general, las vigas de claros grandes y con poco peralte son gobernadas por criterios dedeformaciones mximas (flechas), las de claros medianos son gobernadas por criterios deresistencia a la flexin y en las de claros cortos, los criterios de resistencia por cortante puedenllegar a ser crticos.


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5.2 RESISTENCIA A FLEXION Y CONTROL DE DEFORMACIONES

5.2.1 Introduccion

En el diseo de elementos a flexion, se debe proveer suficiente resistencia por flexin para noexceder los estados lmites de falla correspondientes y al mismo tiempo se deber cuidar que losestados limites de servicio, como la deformacion maxima del elemento, no excedan de ciertos

valores permisibles.

De acuerdo con la Seccion C3.1 del AISI 1996, el momento de flexin de diseo se determina apartir de la resistencia nominal por flexin y un factor de seguridad o de resistencia, dependiendode que el mtodo de diseo considerado sea ASD o LRFD, respectivamente. Las siguientesexpresiones representan las ecuaciones generales de diseo por flexion para ASD y LRFD:

1. Mtodo ASD: = ibn

a MM

M (5.1a)

2. Mtodo LRFD: iinb MM (5.1b)Donde Ma = momento flexionante permisible

b = factor de seguridad para flexin

Mi = combinacin aplicable de momentos debido a cargas de servicio (Ver Art. 3.2.3)b = factor de resistencia por flexin

i = factor de carga correspondiente al momento Mi

iMi = combinacin aplicable de momentos factorizados (ver Art. 3.3.2)Mn = resistencia nominal a flexin menor determinada a partir de las siguientes

consideraciones de diseo:a. Resistencia de la seccin o momento nominal de la seccin calculada de

acuerdo al Art. 5.2.2.b. Resistencia al pandeo latero-torsional calculada de acuerdo al Art. 5.2.3.c. Resistencia de la seccin de vigas atornilladas a decks o cubiertas

determinada de acuerdo al Art. 5.2.4.d. Resistencia de la seccin de vigas unidas a cubiertas de lmina

engargolada con costuras sobresalientes determinada de acuerdo al Art.5.2.5.

Adems de las consideraciones anteriores, se deben tomar en cuenta los problemas relacionadoscon el desfasamiento por cortante para vigas con claros muy cortos.

5.2.2. Resistencia de la Seccin o Momento Nominal de la Seccin

La Seccion C3.1.1 del AISI 1996 considera dos procedimientos de diseo para el clculo de laresistencia de elementos a flexin. El Procedimiento I est basado en el Inicio de Fluencia y elProcedimiento II est basado en la Capacidad Inelstica de Reserva. Ambos procedimientos sediscuten en este artculo.

5.2.2.1 Inicio de Fluencia.

En el Procedimiento I del AISI 1996, el momento nominal, Mn, de la seccion es igual al momento defluencia efectivo, My, determinado a partir de las reas efectivas de los patines y almas de lasvigas. El ancho efectivo de los patines y el peralte efectivo de las almas pueden ser calculados delas ecuaciones de diseo presentadas en el Capitulo 4.


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El momento de fluencia My de un perfil laminado en fro se define como el valor de momentoque ocasiona que el esfuerzo en la fibra extrema (de tensin, de compresin o de ambas) alcanceel esfuerzo de fluencia del acero. Esta es la mxima capacidad a flexin a ser usada en diseoelstico. La Figura 5.1 muestra diferentes tipos de distribuciones de esfuerzos para el momento defluencia basadas en diferentes localizaciones del eje neutro. Para secciones balanceadas (Fig.5.1a) la fibra extrema del patn de compresin y de tensin alcanza el esfuerzo de fluencia almismo tiempo. Sin embargo, si el eje neutro presenta una localizacin excntrica, como se muestraen las Fig. 5.1 b y c, la fluencia inicial se presenta en el patin de tensin en el caso b y en el patnde compresin en el caso c.

Fig. 5.1 Distribuciones de esfuerzos para momentos de fluencia(1)

. (a) Secciones balanceadas; (b) Seccionescon eje neutro cerca del patn de compresin (inicio de fluencia en el patn de tensin); (c) Secciones con eleje neutro cerca del patn de tensin (inicio de fluencia en el patn de compresin).

En base a stas consideraciones, la resistencia nominal de la seccin para el inicio de fluenciase calcula a partir de la siguiente expresin:

yeyn FSMM == (5.2)

donde Fy= Esfuerzo de fluencia de diseo.Se= Mdulo de seccin elstico de la seccin efectiva calculada con la fibra extrema de

compresin o de tensin bajo fluencia (Fy).


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Para los perfiles laminados en fro, Se, se calcula usualmente mediante el uso de uno de lossiguientes dos casos:

1. Si el eje neutro se localiza ms cercano al patn de tensin que al patn de compresin, comose muestra en la Fig. 5.1c, el mximo esfuerzo ocurre en el patn de compresin, y por lo tanto,

la relacin de esbeltez del patn y el ancho efectivo, b, del patn de compresin sedeterminan a partir de la relacin w/t y f = Fy y las Ecs. (4.36) y (4.37), respectivamente.Obviamente, este procedimiento se aplica tambin para aquellas vigas cuyo eje neutro selocaliza a la mitad del peralte, como se muestra en la Fig. 5.1a.

2. Si el eje neutro se localiza ms cercano al patn de compresin que al patn de tensin, comose muestra en la Fig. 5.1b, el mximo esfuerzo ocurre en el patn de tensin. El valor delesfuerzo en el patn de compresin depender de la localizacin del eje neutro, la cual sedetermina considerando el rea efectiva de la seccin. Esta ltima no puede ser determinada amenos que se conosca primero el esfuerzo en el patn de compresin. La solucin analtica deeste caso es posible pero involucra un procedimiento muy complejo. Es este caso, seacostumbra calcular las propiedades de la seccin mediante procedimientos basados enaproximaciones sucesivas.

La Seccin C3.1.1 del AISI 1996 establece los siguientes valores del factor de seguridad y de

resistencia, los cuales deberan ser aplicados a Mndado por la Ec. (5.2) para obtener los momentosde diseo:

1. Para secciones con patines de compresin atiesados o parcialmente atiesados:

67.1=b (ASD)95.0=b (LRFD)

2. Para secciones con patines de compresin no atiesados:

67.1=b (ASD)

90.0=b (LRFD)

El clculo del momento nominal en base al inicio de fluencia y la determinacin del momento dediseo para diferentes tipos de vigas laminadas en fro se ilustran en los Ejemplos 5.1 al 5.4.

Ejemplo 5.1Determine el momento de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD con respecto al eje xpara la seccin I con un patn de compresin no atiesado mostrada en la Fig. 5.2. Asuma que Fy= 3514 kg/cm

2y que existe apoyo lateral adecuado. Utilice el Procedimiento I Inicio de Fluencia

para calcular el momento nominal.

Fig. 5.2 Ejemplo 5.1 (cotas en mm)(1)


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1. Clculo de las Propiedades de la Seccin

A. Propiedades de las esquinas:

Elemento circular lineal:

Ver Caso I, 1= 0;

2= 90para elementos circulares dado en el Apndice A.

r = R + t/2 = 4.763 + 3.429/2 = 6.478 mmL = 1.57r = 1.57(6.478) = 10.170 mmc = 0.637r = 0.637(6.478) = 4.126 mmI1= I2= 0.149r

3= 0.149(6.478)

3= 40.505 mm

3

Elemento de esquina = (Elemento circular lineal) x t:

Ix= Iy= I1t = 40.505(3.429) = 138.892 mm40(Ixde las esquinas es despreciable comparado

con el Ixde las almas)

Area para dos esquinas, A = 2Lt = 2(10.170)(3.429) = 69.746 mm2

Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:Esquinas superiores, y = (r c) + t/2 = (6.478 4.126) + 3.429/2 = 4.067 mmEsquinas inferiores, y = H 4.067 = 203.20 4.067 = 199.133 mm

B. Propiedades de los patines:

w = B/2 (R + t) = 101.600/2 (4.763 + 3.429) = 42.608 mm

w/t = 42.608/3.429 = 12.426 0.673, se procede entonces a calcular el factor de reduccin

Ec. (4.37): = (1 0.22/0.821)/0.821 = 0.892

Ancho efectivo de diseo, b = w = 0.892(42.608) = 37.991 mm

Area para dos patines, A = 2bt = 2(37.991)(3.429) = 260.542 mm2

Ix0, ya que el ejexes el eje longitudinal (ver Apndice A)Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = t/2 = 3.429/2 = 1.175 mm

Patn de tensin:

Ancho efectivo de diseo, b = w = 42.608 mm, ya que es un elemento no sujeto a esfuerzos decompresin.

Area para dos patines, A = 2bt = 2(42.608)(3.429) = 292.206 mm2

Ix0, ya que el ejexes el eje longitudinal (ver Apndice A)Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = H t/2 = 203.20 1.175 = 202.025 mm

Como el ancho efectivo del patn de tensin es mayor que el del patn de compresin, el ejeneutro de la seccin efectiva se desplaza desde su posicin original en el centro de la seccinI hacia el patn de tensin. Por consiguiente, la fluencia ocurrir primero en el patn decompresin y se deber calcular la nueva posicin del eje neutro.

Como una porcin del alma estar sujeta a compresin, se deber revisar la efectividad delalma. Sin embargo, la efectividad no puede revisarse sin conocer la nueva posicin del eje


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neutro y dicha posicin puede verse afectada si el alma no resulta 100% efectiva. Porconsiguiente, para poder obtener un valor inicial de la posicin del eje neutro, se puede asumirque el alma es 100% efectiva y posteriormente corroborar dicha suposicin. Si la suposicinresulta falsa se deber recalcular la posicin del eje neutro y revisar la efectividadcorrespondiente a la nueva posicin. Este proceso interativo deber repetirse hasta lograr laconvergencia del valor de la posicin del eje neutro.

C. Almas (suponiendo 100% efectivas):

h = H 2(R + t) = 203.20 2(4.763 + 3.429) = 186.816 mm

h/t = 186.816/3.429 = 54.481


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Esfuerzos de compresin y tensin mximos, respectivamente:f1= Fy(d1/ycg) = 3514(95.019/103.211) = 3235.089 kg/cm

2(compresin)

f2= -Fy(d2/ycg) = -3514(91.797/103.211) = -3125.390 kg/cm2(tensin)

Clculo del peralte efectivo (b1+ b2):

Ec. (4.47): = -3125.390/3235.089 = -0.966Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-0.966)]

3+ 2[1 (-0.966)] = 23.13

f = f1= 3235.089 kg/cm2; h/t = 54.481

Ec. (4.36): = 1.052/(23.13)1/2

[(54.481)(3235.089/2.073x106)

1/2] = 0.470

Como


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Fig 5.4 Ejemplo 5.2 (cotas en mm)(1)


Elemento circular lineal (Elementos 2 y 4):

Ver Caso I, 1= 0; 2= 90para elementos circulares dado en el Apndice A.r = R + t/2 = 2.381 + 1.905/2 = 3.334 mmL = 1.57r = 1.57(3.334) = 5.234 mmc = 0.637r = 0.637(3.334) = 2.124 mm

longitud total en esquinas superiores e inferiores, L = 2(5.234) = 10.468 mmCoordenada centroidal y con respecto a la fibra extrema superior:Esquinas superiores, y = (r c) + t/2 = (3.334 2.124) + 1.905/2 = 2.163 mm

Esquinas inferiores, y = H 2.163 = 254 2.163 = 251.837 mm


w = B 2(R + t) = 88.90 2(2.381 + 1.905) = 80.328 mm

w/t = 80.328/1.905 = 42.167 S, aplica el Caso III [Ecs. (4.60) a (4.66)]:

Propiedades del labio atiesador (ver Fig. 4.42):

D = 18.288 mm; = 90d = D (R + t) = 18.288 (2.381 + 1.905) = 14.002 mm

d/t = 14.002/1.905 = 7.350


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Fig. 5.5 Elementos lnea(1)

Coeficiente de pandeo del patn de compresin, k[Ec. (4.62) con n = 1/3]:

Como D/w 4, por lo tanto, ka= 4.0Segn Caso II y III: ku= 0.43Ec. (4.66): Ia/t

4= 115(42.167)/31.089 + 5 = 160.978

Ia= 160.978(1.905)4= 2120.052 mm

4

Ec. (4.60): C2= 435.797/2120.052 = 0.206Ec. (4.62): k = (0.206)

1/3(4.0 0.43) + 0.43 = 2.537

Ancho efectivo del patn de compresin:

Ec. (4.36): = [1.052/(2.537)1/2](42.167)(3514/2.073x106)1/2= 1.147Como >0.673, usar Ec. (4.37) para calcular :

Ec. (4.37): = (1 0.22/1.147)/1.147 = 0.705

b = w = 0.705(80.328) = 56.600 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = t/2 = 1.905/2 = 0.953 mm

Labio atiesador a compresin (Elemento 6):

Peralte efectivo reducido dsdel labio atiesador a compresin:

El labio atiesador es un atiesador de borde sujeto a gradiente de esfuerzos (ver Art. 4.3.2.1),por lo que la Seccin B3.2 es aplicable.

En este caso, k = 0.43d/t = 7.350Asuma que el labio alcanza fluencia, f = Fy= 3514 kg/cm

2

Determinacin del factor de reduccin [Ecs. (4.36) y (4.37)]:

Ec. (4.36): = [1.052/(0.43)1/2

](7.35)(3514/2.073x106)

1/2= 0.485

Como


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Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = ds/2 + (R + t) = 2.884/2 + (2.381 + 1.905) = 5.728 mm

Labio atiesador a tensin (Elemento 1):

ds = ds = d = 14.002 mm, ya que no se requiere calcular el ancho efectivo para elementossujetos a esfuerzos de tensin.Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = H [ds/2 + (R + t)] = 254 [14.002/2 + (2.381 + 1.905)] = 242.713 mm

Patn de tensin (Elemento 3):

Ancho efectivo de diseo, b = w = 80.328 mm, ya que es un elemento no sujeto a esfuerzos decompresin.Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = H t/2 = 254 1.905/2 = 253.048 mm

Como el ancho efectivo del patn de tensin es mayor que el del patn de compresin, el ejeneutro de la seccin efectiva se desplaza desde su posicin original en el centro de la seccinI hacia el patn de tensin. Por consiguiente, la fluencia ocurrir primero en el patn de

compresin y se deber calcular la nueva posicin del eje neutro. Como se mencion en elEjemplo 5.1, la nueva posicin del eje neutro se calcula suponiendo inicialmente que el almaes 100% efectiva.

C. Propiedades del Alma (Elemento 7):

Asumiendo que el alma es 100% efectiva:h = H 2(R + t) = 254 2(2.381 + 1.905) = 245.428 mm

h/t = 245.428/1.905 = 128.834


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Fig. 5.6 Dimensiones efectivas y

distribucin de esfuerzos asumiendoalmas 100% efectivas

(1).


2(compresin)



Ec. (4.47): = -2884.441/3404.179 = -0.847Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-0.847)]

3+ 2[1 (-0.847)] = 20.296

f = f1= 3404.179 kg/cm2; h/t = 128.834

Ec. (4.36): = 1.052/(20.296)1/2

[(128.834)(3404.179/2.073x106)

1/2] = 1.219

Como >0.673, calcular factor de reduccin Ec. (4.37): = (1 0.22/1.219)/1.219 = 0.672

Ancho efectivo de diseo, be= h = 0.672(245.428) = 164.928 mm

Como


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Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra superior:y = b1/2 + (R + t) = 42.872/2 + (2.381 + 1.905) = 25.772 mm

Elemento 7:Longitud efectiva, h (b1+ dne) = 245.428 (42.872 + 7.520) = 195.036 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra superior:y = [h (b1+ dne)]/2 + (b1+ dne) + (R + t) = 195.036/2 + (42.872 + 7.520) + (2.381 + 1.905)

= 152.196 mm

Fig 5.7 Dimensiones efectivas ydistribucin de esfuerzos en elalma considerando al almaparcialmente efectiva (primerainteracin)

(1).

Clculo de la posicin del eje neutro considerando al alma parcialmente efectiva:

ElementoLongitud Efectiva

L (mm)y (mm) Ly (mm

2)

1 14.002 242.713 3398.467

2 10.468 251.837 2636.230

3 80.328 253.048 20326.840

4 10.468 2.163 22.642

5 56.600 0.953 53.940

6 2.884 5.728 16.520

7 195.036 152.196 29683.699

8 42.872 25.772 1104.897

Suma, 412.658 57243.235

ycg= (Ly)/L = 57243.235/412.658 = 138.718 mm

Revisin de la efectividad del alma:

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente:d1= ycg (R + t) = 138.718 (2.381 + 1.905) = 134.432 mmd2= h d1= 245.428 134.432 = 110.996 mm


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2(compresin)



Ec. (4.47): = -2811.747/3405.427 = -0.826Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-0.826)]

3+ 2[1 (-0.826)] = 19.829

f = f1= 3405.427 kg/cm2; h/t = 128.834

Ec. (4.36): = 1.052/(19.829)1/2

[(128.834)(3405.427/2.073x106)

1/2] = 1.234

Como >0.673, calcular factor de reduccin

Ec. (4.37): = (1 0.22/1.234)/1.234 = 0.666


Como


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Fig 5.8 Dimensiones efectivasy distribucin de esfuerzos enel alma considerando al alma

parcialmente efectiva(1).(segunda interacin).

Revisin de la efectividad del alma:



2(compresin)



Ec. (4.47): = -2789.209/3405.814 = -0.819Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-0.819)]

3+ 2[1 (-0.819)] = 19.675

f = f1= 3405.814 kg/cm2; h/t = 128.834

Ec. (4.36): = 1.052/(19.675)1/2

[(128.834)(3405.814/2.073x106)

1/2] = 1.239


Ec. (4.37): = (1 0.22/1.239)/1.239 = 0.664


Como


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Elemento 7: Ixx= 1/12(192.724)3= 596521.576 mm

3

Elemento 8: Ixx= 1/12(42.722)3 = 6497.907 mm

3

Ixx = 603248.248 mm3

Ix= Ixx + Ly2 ycg

2L = 603248.248 + 11192973.43 (139.214)

2(410.196)

= 384640.595 mm3

Nota: Se considera que Ixx = 0 para los Elementos 2 al 6 ya que sus valores reales son

insignificantes y su contribucin a Ixxser despreciable.

Momento de inercia de la seccin total, Ix= Ixt = (384640.595)1.905 = 7327396.944 mm4

= 732.740 cm4

Mdulo de seccin enxcon respecto a la fibra extrema superior:

Sex= Ix/ycg= 7327396.944/139.214 = 52634.052 mm3= 52.634 cm

3

2. Momento de Diseo con Respecto al Eje x

Momento nominal, Mnx= FySex= 3514(52.634) = 184956.06 kg-cm

Mtodo ASD: Max = Mnx/b, donde b = 1.67 para patines de compresin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Max= 184956.06/1.67 = 110752.131 kg-cm = 110.75 Ton-cm

Mtodo LRFD: Mux = bMnx, donde b = 0.95 para patines de compresin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Mux= 0.95(184956.06) = 175708.257 kg-cm = 175.71 Ton-cm

Ejemplo 5.3Determine el momento de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD con respecto al eje xde la seccin sombrero con patn de compresin atiesado mostrada en la Fig. 5.9. Asuma que Fy=3514 kg/cm

2 y que existe apoyo lateral adecuado. Use el mtodo lineal para calcular las

propiedades geomtricas. Utilice el Procedimiento I Inicio de Fluencia para calcular el momentonominal.


Para efectos de usar el mtodo lineal, la seccin se transforma en elementos lnea rectos ycirculares (ver Fig. 5.10).


Elemento circular lineal (Elementos 2 y 4):

Ver Caso I, 1= 0; 2= 90para elementos circulares dado en el Apndice A.

r = R + t/2 = 4.763 + 2.667/2 = 6.097 mmL = 1.57r = 1.57(6.097) = 9.572 mmc = 0.637r = 0.637(6.097) = 3.884 mm

longitud total en esquinas superiores e inferiores, L = 2(9.572) = 19.144 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:Esquinas superiores, y = (r c) + t/2 = (6.097 3.884) + 2.667/2 = 3.547 mmEsquinas inferiores, y = H 3.547 = 254 3.547 = 250.453 mm


16/149

109

Fig. 5.9 Ejemplo 5.3 (cotas en mm)(1).


Patn de compresin (Elemento 5):

w = B 2(R + t) = 381 2(4.763 + 2.667) = 366.140 mm

w/t = 366.140/2.667 = 137.285 0.673, calcular factor de reduccin

Ec. (4.37): = (1 0.22/2.973)/2.973 = 0.311

Ancho efectivo de diseo, b = w = 0.311(366.140) = 113.870 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = t/2 = 2.667/2 = 1.334 mm


Ancho efectivo de diseo, b = w = 34.036 (R + t) = 34.036 (4.763 + 2.667) = 26.606 mm.

Longitud total, L = 2b = 2(26.606) = 53.212 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:

y = H t/2 = 254 2.667/2 = 252.667 mm

Como el ancho efectivo del patn de compresin excede en magnitud a la suma total de anchos

efectivos de los patines de tensin (113.87 mm >53.212 mm), el eje neutro se desplazar endireccin al patn de compresin. Esto provocar que el esfuerzo de fluencia ocurra primero enlos patines de tensin.


17/149

110

C. Propiedades de las Almas (Elemento 3):

Asumiendo que las almas son 100% efectivas:h = H 2(R + t) = 254 2(4.763 + 2.667) = 239.140 mm

h/t = 239.140/2.667 = 89.666


18/149

111

Clculo de la posicin del eje neutro considerando al alma 100% efectiva:


L (mm)y (mm) Ly (mm

2) Ly

2(mm

3)

1 53.212 252.667 13444.916 3397086.693

2 19.144 250.453 4794.672 1200840.045

3 478.280 127.000 60741.560 7714178.120

4 19.144 3.547 67.904 240.8555 125.220 1.334 167.043 222.836

Suma, 695.000 79216.095 12312568.550

ycg= Ly/L = 79216.095/695.000 = 113.980 mmf = Fy[ycg/(H ycg)] = 3514[113.980/(254 113.980)] = 2860.489 kg/cm

2

Como el valor calculado de f es muy similar al valor asumido de 2860 kg/cm2, no se requieren

iteraciones adicionales.

Revisin de la efectividad de las almas (ver Fig. 5.11):

Distancia desde el eje neutro al extremo superior e inferior de h, respectivamente:d1= ycg (R + t) = 113.980 (4.763 + 2.667) = 106.550 mm

d2= h d1= 239.140 106.550 = 132.590 mm

Esfuerzos de compresin y tensin mximos, respectivamente:f1= Fy[d1/(H - ycg)] = 3514[106.550/(254 113.980)] = 2674.023 kg/cm

2(compresin)

f2= -Fy[d2/(H- ycg)] = -3514[132.590/(254 113.980)] = - 3327.534 kg/cm2(tensin)


Ec. (4.47): = -3327.534/2674.023 = -1.244Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-1.244)]

3+ 2[1 (-1.244)] = 31.087

f = f1= 2674.023 kg/cm2; h/t = 89.666

Ec. (4.36): = 1.052/(31.087)1/2

[(89.666)(2674.023/2.073x106)

1/2] = 0.608

Como


19/149

112

Fig. 5.11 Longitudes efectivas y distribucin de esfuerzos para almas 100% efectivas

(1)

Mdulo de seccin enxcon respecto a la fibra extrema a tensin:

Sex= Ix/(H - ycg) = 14836089.26/(254 113.980) = 105956.929 mm3= 105.957 cm

3



Mtodo ASD: Max = Mnx/b, donde b = 1.67 para patines de tensin no atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Max= 372332.898/1.67 = 222953.831 kg-cm = 222.95 Ton-cm

Mtodo LRFD: Mux = bMnx, donde b = 0.90 para patines de tensin no atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Mux= 0.90(372332.898) = 335099.608 kg-cm = 335.100 Ton-cm

Ejemplo 5.4Determine el momento de diseo segn el Metodo ASD y LRFD con respecto al eje xde la seccin mostrada en la Fig. 5.12. Asuma que Fy = 2319 kg/cm

2y que existe apoyo lateral

adecuado. Use el mtodo lineal para calcular las propiedades geomtricas. Utilice el ProcedimientoI Inicio de Fluencia para calcular el momento nominal.



20/149

113


Para efectos de usar el mtodo lineal, la seccin se transforma en elementos lnea rectos ycirculares (ver Fig. 5.13).


Elemento circular lineal (Elementos 2, 4, 6, 7 y 9):

Ver Caso I, 1= 0; 2= 90para elementos circulares dado en el Apndice A.r = R + t/2 = 2.381 + 1.905/2 = 3.334 mmL = 1.57r = 1.57(3.334) = 5.234 mmc = 0.637r = 0.637(3.334) = 2.124 mm

longitud total en cada par de esquinas superiores e inferiores, L = 2(5.234) = 10.468 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:Esquinas superiores (Elemento 6 y 7), y = (r c) + t/2 = (3.334 2.124) + 1.905/2 = 2.163 mmEsquinas superiores (Elemento 9), y = (R + t) + c + 17.78 = (2.381 + 1.905) + 2.124 + 17.78

= 24.190 mmEsquinas inferiores (Elemento 2 y 4), y = H 2.163 = 127 2.163 = 124.837 mm

D. Propiedades de los patines:

Patn de compresin (Elemento 5):

Como el patn de compresin es un elemento sujeto a compresin uniforme con un atiesadorintermedio, el ancho efectivo, b, se calcula de acuerdo con la Seccin B4.1 [Ecs. (4.52) a(4.58)]. Asuma que el patn est bajo fluencia, f = Fy= 2319 kg/cm

2.

bo = B 2(R + t) = 304.80 2(2.381 + 1.905) = 296.228 mmbo/t = 296.228/1.905 = 155.500 mmEc. (4.58): S = 1.28(2.073x10

6/2319)

1/2= 38.270

Como bo/t >3S = 3(38.270) = 114.810 aplica el Caso III [Ecs. (4.55) a (4.57)]:Ec. (4.55): Ia/t

4= [128(155.500)/38.270] 285 = 235.094

Ia= 235.094(1.905)4= 3096.147 mm4

Determinacin del momento de inercia del atiesador intermedio, Is.Isse calcula con respecto al eje centroidal paralelo al patn de compresin. Aunque la posicinexacta del eje centroide del atiesador intermedio puede ser calculada de manera explcita, pormera inspeccin se puede determinar que dicho eje pasa por el centroide del Elemento 8. Porlo tanto:

Elemento 8: Ixx= 1/12(17.78)3= 468.397 mm

3

Ixx= 2(468.397) = 936.794 mm3

Se asume que Ixx= 0para los elementos circulares, ya que su valor real es insignificante y su

contribucin a Ixxes despreciable. La distancia centroidal de los elementos circulares ser y =

17.78/2 + c = 17.78/2 + 2.124 = 11.014 mm, por lo tanto:Is= Ixx+ Ly

2= 936.794 + 4(5.234)(11.014)

2= 3476.502 mm

3

Is = Ist = 3476.502(1.905) = 6622.737 mm4

Clculos de anchos efectivos de diseo del Elemento 10 y 8:Elemento 10:w = bo/2 2r = 296.228/2 2(3.334) = 141.446 mmw/t = 141.446/1.905 = 74.250

Ec. (4.56): k = 3(6622.737/3096.147)1/3

+ 1 = 4.865 >4, por lo tanto usar k = 4.0


21/149

114

Fig. 5.13 Elementos lineales ydistribucin de esfuerzos en elalma (cotas en mm)

(1).

Ec. (4.36): 1.052/(4.0)1/2

(74.250)(2319/2.073x106)

1/2= 1.306


Ec. (4.37): = (1 0.22/1.306)/1.306 = 0.637

Ancho efectivo de diseo, b = w = 0.637(141.446) = 90.060 mm

Para dos elementos, L = 2b = 2(90.060) = 180.121 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = t/2 = 1.905/2 = 0.9525 mmElemento 8:Este elemento es atiesado, por lo que k = 4.0. Asumiendo que f = Fy= 2319 kg/cm

2:

w = 17.780 mmw/t = 17.780/1.905 = 9.333Ec. (4.36): 1.052/(4.0)

1/2(9.333)(2319/2.073x10

6)

1/2= 0.164

Como As, entonces As= 107.625 mm

2

Coordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = 17.78/2 + (R + t) = 17.780/2 + (2.381 + 1.905) = 13.176 mm


Ancho efectivo de diseo, b = w = 88.90 2(R + t) = 88.90 2(2.381 + 1.905) = 80.328 mm.

Para dos patines, L = 2b = 2(80.328) = 160.656 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = H t/2 = 127 1.905/2 = 126.048 mm

Labio atiesador del patn de tensin (Elemento 1):

Ancho efectivo de diseo, b = w = 19.05 (R + t) = 19.05 (2.381 + 1.905) = 14.764 mm

Para dos labios, L = 2b = 2(14.764) = 29.528 mmCoordenada centroidal ycon respecto a la fibra extrema superior:y = H [(R + t) + 14.764/2] = 127 [(2.381 + 1.905) + 14.764/2] = 115.332 mm


22/149

115

C. Propiedades de las Almas (Elemento 5):

Asumiendo que las almas son 100% efectivas:h = 127 2(R + t) = 127 2(2.381 + 1.905) = 118.428 mm

h/t = 118.428/1.905 = 62.167


23/149

116

Clculo de la posicin del eje neutro considerando al alma 100% efectiva:


L (mm)y (mm) Ly (mm

2) Ly

2(mm

3)

1 29.528 115.332 3405.523 392765.813

2 10.468 124.837 1306.794 163136.207

3 160.656 126.048 20250.367 2552518.321

4 10.468 124.837 1306.794 163136.2075 236.856 63.500 15040.356 955062.606

6 10.468 2.163 22.642 49.817

7 10.468 2.163 22.642 49.817

8 35.560 13.176 468.539 6173.464

9 10.468 24.190 253.221 6125.414

10 187.781 0.9525 178.861 170.365

Suma, 702.721 42255.739 4239188.031

ycg= Ly/L = 42255.739/702.721 = 60.132 mmf = Fy[ycg/(H ycg)] = 2319[60.132/(127 60.132)] = 2085.394 kg/cm

2

Como el valor calculado de f es muy similar al valor asumido de 2085.844 kg/cm2, no se

requieren iteraciones adicionales para definir el valor de f.

Revisin de la efectividad de las almas (ver Fig. 5.13):


Esfuerzos de compresin y tensin mximos, respectivamente:f1= Fy[d1/(H - ycg)] = 2319[55.846/(127 60.132)] = 1936.754 kg/cm

2(compresin)

f2= -Fy[d2/(H- ycg)] = -2319[62.582/(127 60.132)] = - 2170.360 kg/cm2(tensin)


Ec. (4.47): = -2170.360/1936.754 = -1.121Ec. (4.46): k = 4 + 2[1 (-1.121)]3+ 2[1 (-1.121)] = 27.325f = f1= 1936.754 kg/cm

2; h/t = 62.167

Ec. (4.36): = 1.052/(27.325)1/2

[(62.167)(1936.754/2.073x106)

1/2] = 0.382

Como


24/149

117

Ix= Ixx + Ly2 ycg

2L = 278357.604 + 4239188.031 (60.132)

2(702.721) = 1976606.69 mm

3

Nota: Se considera que Ixx = 0 para los Elementos 10 y 3, ya que sus valores reales son

insignificantes y su contribucin a Ixxser despreciable.


= 376.544 cm4

Mdulo de seccin enxcon respecto a la fibra extrema a tensin:

Sex= Ix/(H - ycg) = 3765435.745/(127 60.132) = 56311.476 mm3= 56.311 cm

3



Mtodo ASD: Max = Mnx/b, donde b = 1.67 para patines de tensin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Max= 130585.209/1.67 = 78194.736 kg-cm = 78.20 Ton-cm

Mtodo LRFD: Mux = bMnx, donde b = 0.95 para patines de tensin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Mux= 0.95(130585.209) = 124055.949 kg-cm = 124.06 Ton-cm

La resistencia a flexin de los perfiles laminados en fro calculada en los ejemplos anterioresesta basada en las propiedades mecnicas del acero vrgen. Los efectos del laminado en fro sontotalmente despreciados.

Si se desea considerar los efectos del laminado en fro en la resistencia a flexin y la seccincumple con las limitantes de la Seccin A7 del AISI 1996 (ver Art. 2.5), el clculo de la resistenciapuede realizarse mediante uno de los siguientes procedimientos de diseo:

1. Considerar el incremento en el esfuerzo de fluencia en las esquinas debido al laminado en froy despreciar los efectos del laminado en fro en todas las porciones planas del perfil. Como sediscuti en el Capitulo 2, el incremento en el esfuerzo de fluencia puede ser calculadomediante el uso de la Ec. (2.3) o mediante pruebas experimentales.

2. Considerar el incremento en el esfuerzo de fluencia en todo el perfil mediante el uso de la Ec.(2.6) para calcular el valor promedio en todo el perfil.

Para cualquier procedimiento de diseo, el siguiente algoritmo puede ser usado:

1. Subdividir a la seccin en un nmero de elementos. Asumir una posicin del eje neutro y ladeformacin unitaria de la fibra superior. Calcular la deformacin unitaria en varios elementosbasada en la posicin asumida del eje neutro y el valor asumido de la deformacin unitaria enla fibra superior.

2. Determinar el esfuerzo a partir de la relacin esfuerzo deformacin del material y del valorcalculado de la deformacin unitaria para varios elementos.

3. Calcular la posicin del eje neutro mediante iteraciones sucesivas hasta que se cumpla lasiguiente expresin:

0= A (5.3)


25/149

118

Posteriormente, el momento de flexin se puede aproximar mediante la siguiente expresin:

AyM = (5.4)

donde = esfuerzo

A= rea del elemento

y= distancia entre el centro de gravedad de cada elemento y el eje neutro.

Algunos resultados experimentales indican que para los aceros comunmente usados en perfileslaminados en fro, considerando los efectos del laminado en fro solo en las esquinas de losperfiles, la capacidad de momento se incrementa de 4 a 22% con respecto a las capacidadescalculadas despreciando dichos efectos. Si los efectos del laminado en fro se consideran en todoel perfil, incluyendo las partes planas, el incremento de momento es del orden de 17 al 41%.

Se observa claramente que representa una ventaja significativa el considerar el efecto dellaminado en fro en el clculo de la resistencia a flexin. La Fig. 5.14 muestra la resistencia aflexin para tres casos diferentes. Debe aclararse que los efectos del laminado en fro ilustrados enla Fig. 5.14 no pueden aplicarse directamente a otros perfiles debido a que la influencia relativa delas esquinas y las partes planas en el incremento de la resistencia a flexin depende

principalmente en la configuracin de la seccin y del rango de valores del esfuerzo ltimo y defluencia del material vrgen.

Fig. 5.14 Comparacin de momentos ltimos calculados para tresdiferentes condiciones

(1).

5.2.2.2 Capacidad Inelstica de Reserva.

Como se mencion en el Art. 1.6.9, la mayora de los perfiles laminados en fro tienen relacionesw/tque exceden considerablemente los lmites impuestos por el diseo plstico, por lo que carecende la capacidad para desarrollar articulaciones plsticas antes de que ocurra el pandeo local. Eldesarrollo de una articulacin plstica implica la plastificacin total de la seccin, es decir, quetodas las fibras de la seccin hayan alcanzado el esfuerzo de fluencia del material. Cuando sepresenta el pandeo local, las regiones donde ocurre ste se ven impedidas a alcanzar el esfuerzo


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119

de fluencia. Sin embargo, existen casos donde el perfil alcanza a plastificarse parcialmente antesde ocurrir el pandeo, por lo que existe la posibilidad de considerar la capacidad inelstica del perfil.

Varias investigaciones desarrolladas en la dcada de 1970 demostraron que la capacidadinlastica de reserva de vigas laminadas en fro, debida a la plastificacin parcial de la seccin y laredistribucin de momentos en vigas hiperestticas, puede ser significativa en algunas secciones. Ejerciendo un cuidado apropiado, esta resistencia de reserva puede ser utilizada para generardiseos econmicos de vigas.

Estas investigaciones motivaron al AISI a incluir por primera vez especificaciones paraaprovechar la capacidad inelstica de reserva en la edicin 1980. Las mismas especificacionesfueron retenidas en el AISI 1996 con algunos ajustes menores. De acuerdo al Procedimiento II dela Seccin C3.1.1 del AISI 1996, la resistencia nominal a flexin, Mn, de aquellas vigas quecumplen con las condiciones incluidas en dicha Seccin, puede ser determinada en base a lacapacidad inelstica de reserva con un valor lmite mximo de 1.25Myo 1.25SeFy. En la expresinanterior My es el momento de fluencia efectivo calculado de acuerdo al Art. 5.2.2.1. Se observaentonces que el AISI puede reconocer ahora hasta un 25% de incremento en la resistencia nominalpor concepto de capacidad inelstica de reserva.

Para poder calcular el momento nominal Mn considerando la resistencia inelstica de reserva

deben establecerse primero distribuciones inelsticas de esfuerzos que consideren la plastificacinparcial de la seccin. Estas distribuciones dependen de la deformacin unitaria mxima en el patn

de compresin, cu. En base a investigaciones sobre perfiles sombrero con patines de compresionatiesados, la Seccion C3.1.1 del AISI 1996, limita la deformacin unitaria mxima a:

yycu C = (5.5)

donde y= deformacin unitaria de fluencia = Fy/EE= mdulo de elasticidad del aceroFy= esfuerzo de fluencia del aceroCy= factor que se determina de la siguiente forma:

1. Elementos a compresin atiesados sin atiesadores intermedios:

a. Cuando w/t 1 0.3=yC (5.6)

b. Cuando 1w/t 2

=12

1/23

twCy (5.7)

c. Cuando w/t 2 0.1=yC (5.8)

donde EFy /

11.11 = ; EFy /

28.12 =

La relacin entre Cyy w/tdel patn de compresin se muestra en la Fig. 5.15.

2. Para elementos a compresin no atiesados:

0.1=yC (5.9)


27/149

120

3. Para elementos a compresin con atiesadores mltiples y elementos a compresin conatiesadores de borde:

0.1=yC (5.10)

No se especifica lmite en la deformacin unitaria mxima en el AISI 1996.

Fig. 5.15 Factor Cypara elementos a compresin atiesados sin atiesadores intermedios(1)

Para poder considerar la capacidad inelstica de reserva, la Seccin C3.1.1 del AISI 1996establece las siguientes condiciones:

1. El miembro no esta sujeto a pandeo lateral, torsional o flexotorsionante.

2. No se considera el efecto del laminado en fro en la determinacin de Fy.3. La relacin entre la porcin a compresin del peralte del alma y su espesor no excede a 1.4. La fuerza cortante no excede 0.35Fyht; donde htes el rea del alma.5. El ngulo entre cualquier alma del perfil y la vertical no excede a 30.

En base a la mxima deformacin unitaria a compresin dada por la Ec. (5.5), el eje neutropuede ser localizado mediante el uso de la Ec. (5.11) y el momento nominal puede serdeterminado por la Ec. (5.12) de la siguiente manera:

= 0dA (5.11) = nMydA (5.12)

Donde es el esfuerzo en la seccin.

A continuacin se presentan las ecuaciones para determinar Mnpara los casos donde el patnde tensin alcanza y no alcanza Fy. Aunque las ecuaciones fueron desarrolladas para perfilessombrero, pueden tambin aplicarse a otros perfiles.

Secciones con Patn de Tensin en Fluencia bajo Momento Nominal. Para la distribucin deesfuerzos mostrada en la Fig. 5.16, las Ecs. (5.13) a (5.18) pueden ser usadas para calcular los


28/149

121

valores de yc, yt, yp, ycp, ytp, y Mn. Para efectos de simplificar los clculos, se usarn losdimensiones de lnea central de los perfiles.

4

2dbby ctc

+= (5.13)

ct

ydy = (5.14)

=

cu

y

cp yy

(5.15)

pccp yyy = (5.16)

pttp yyy = (5.17)

+

+++

++= tt

tp

ptpp

cp

pcpccyn yby

yyyy

yyybtFM2

23

4

22

2 (5.18)

Fig. 5.16 Distribuciones de esfuerzos en secciones con el patn de tensin bajo fluencia cuando el momentonominal es aplicado

(1).

Secciones con Patn de Tensin sin Fluir bajo Momento Nominal. Para la distribucin de esfuerzos

mostrada en la Fig. 5.17, ycse calcula a partir de la siguiente ecuacin cuadrtica:

( ) ( ) 0212 22 =++++

dbCdCbCdCbyC

Cy tyytyyccy

y

c (5.19)

Una vez obtenido el valor de yc, los valores de yt, ypy ycppueden ser calculados a partir de las Ecs.(5.14) a (5.16). El momento nominal Mnse calcula mediante la siguiente expresin:


29/149

122

+

++

++=

y

t

tt

y

t

tp

cp

pcpccynF

ybF

yyy

yyybtFM 22

3

2

3

2

22 (5.20)

donde

c

tyy

t

y

yCF=

Debe mencionarse que cuando sea aplicable, se debern usar los anchos y peraltes efectivosde diseo en los clculos.

Fig. 5.17 Distribucin de esfuerzos para secciones donde el patn de tensin no fluye cuando el momentonominal es aplicado

(1).

Ejemplo 5.5 Determine el momento de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD de la seccinsombrero mostrada en la Fig. 5.18. Considere la capacidad inelstica de reserva de acuerdo a laSeccion C3.1.1 del AISI 1996. Use Fy = 2319 kg/cm

2 y asuma que existen apoyos laterales

adecuados.


1. Determinacin de las Dimensiones de la Seccin (ver Fig. 5.19a).

Determinacin de anchos de los patines de compresin y tensin, as como el peralte dealmas (usando las dimensiones de lnea central y considerando esquinas rectas):

Ancho del patn de compresin: bc= B t = 76.20 2.667 = 73.533 mmAncho del patn de tensin: bt = 2(D t/2) = 2(34.036 2.667/2) = 65.405 mmPeralte de almas: d = H t = 76.20 2.667 = 73.533 mm

Determinacin del ancho efectivo de diseo del patn de compresin, b.w = B 2(R + t) = 76.20 2(4.763 + 2.667) = 61.340 mmw/t = 61.340/2.667 = 23.000


30/149

123

Como el patn es un elemento atiesado sujeto a compresin uniforme, k = 4.0. Asumiendo quef = Fy= 2319 kg/cm

2:

Ec. (4.36): 1.052/(4.0)1/2

(23.000)(2319/2.073x106)

1/2= 0.405

Como


31/149

124

5. Determinacin de My

Basado en el mtodo ilustrado en el Ejemplo 4.3, el valor de Separa el perfil sombrero dado es16.256 cm

3.Por lo tanto,

My= SeFy= 16.256(2319) = 37697.587 kg-cm1.25My= 1.25(37697.587) = 47121.984 kg-cm

Como Mnx>1.25My, entonces Mnx= 1.25My

6. Determinacin del Momento de Diseo

Mtodo ASD: Max = Mnx/b, donde b = 1.67 para patines de compresin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Max= 47121.984/1.67 = 28216.757 kg-cm = 28.22 Ton-cm

Mtodo LRFD: Mux = bMnx, donde b = 0.95 para patines de compresin atiesados (ver Art.5.2.2.1). Por lo tanto:Mux= 0.95(47121.984) = 44765.885 kg-cm = 44.77 Ton-cm

Ejemplo 5.6Determine el momento de diseo segn el Mtodo ASD y LRFD de la seccin I conpatines desiguales mostrada en la Fig. 5.20. Considere la capacidad inelstica de reserva deacuerdo a la Seccin C3.1.1 del AISI 1996. Use Fy = 3514 kg/cm

2 y asuma que existen apoyos

laterales adecuados.


1. Determinacin de las Dimensiones de la Seccin (ver Fig. 5.21a).

Determinacin de anchos de los patines de compresin y tensin, as como el peralte dealmas (usando las dimensiones de lnea central y considerando esquinas rectas):

Ancho del patn de compresin: bc= Bc t = 127 3.429 = 123.571 mmAncho del patn de tensin: bt = Bt t = 50.8 3.429 = 47.371 mmPeralte de almas: d = H t = 203.2 3.429 = 199.771 mm


32/149

125

Donde Bc y Bt son la suma de los anchos de patines de compresin y tensin,respectivamente.

Determinacin del ancho efectivo de diseo del patn de compresin, b.w = Bc/2 (R + t) = 127/2 (4.763 + 3.429) = 55.308 mmw/t = 55.308/3.429 = 16.129Como el patn es un elemento no atiesado sujeto a compresin uniforme, k = 0.43. Asumiendoque f = Fy= 3514 kg/cm2:Ec. (4.36): 1.052/(0.43)

1/2(16.129)(3514/2.073x10

6)

1/2= 1.065

Como >0.673, entonces calcular el factor de reduccin

Ec. (4.37): = (1 0.22/1.065)/1.065 = 0.745

Ancho efectivo de diseo, b = w = 0.745(55.308) = 41.204 mmSe requiere modificar el valor de bc calculado anteriormente para reflejar el valor del anchoefectivo. El nuevo valor ser: bc= 2[b + (R + t/2)] = 2[41.204 + (4.763 + 3.429/2)] = 95.363 mm

2. Determinacin de la Deformacin Unitaria Mxima, cu

Para patines de compresin no atiesados usar Ec. (5.9): Cy= 1.0. Por lo tanto,

Ec. (5.5): cu= y(ver Fig. 5.19b).

3. Determinacin de la Distribucin Inelstica de Esfuerzos (ver Fig. 5.19c)

Ec. (5.13): yc= 1/4[47.371 95.363 + 2(199.771)] = 87.888 mmEc. (5.14): yt= 199.771 87.888 = 111.883 mmEc. (5.15): yp= 87.888/1.0 = 87.888 mmEc. (5.16): ycp= 87.888 87.888 = 0.0Ec. (5.17): ytp= 111.883 87.888 = 23.995 mm

Fig. 5.21 Distribucin de esfuerzos(1). (a) Elementos lineales; (b) Deformaciones unitarias; (c) Esfuerzos

4. Determinacin de Mn

Revisar si la seccin cumple con las condiciones de la Seccin C3.1.1 para poder utilizar lacapacidad inelstica de reserva:

1. El miembro no estar sujeto a torsin o a pandeo lateral, torsional o flexotorsionante yaque se consideran apoyos laterales adecuados. OK


33/149

126

2. No se consideran los efectos del laminado en fro en la determinacin de Fy. OK3. La relacin de la porcin de compresin del alma y el espesor es yc= 87.888/3.429 = 25.63

1= 1.11/(Fy/E)1/2

= 1.11/(3514/2.073x106)

1/2= 26.96. Por consiguiente yc


34/149

127

2. Para patines de compresin atiesados por un alma en cada borde longitudinal:

f

Etw 28.1= (5.22)

5.2.2.4 Deformaciones en Miembros a Flexin.

Para una condicin de carga dada, la deformacin de un miembro a flexin depende de lamagnitud, localizacin y tipo de carga aplicada, la magnitud del claro y de la rigidez de flexin EI,donde Ees el mdulo de elasticidad del material e Ies el momento de inercia de la seccin.

La determinacin del momento de inercia para calcular la deformacin de vigas de acero sebasa en las reas efectivas del patn de compresin y del alma. Si el patn de compresin y el almade la viga son 100% efectivos, entonces el momento de inercia se calcula en base a lasdimensiones de la seccin completa. En este caso, el valor del momento de inercia es constanteen todo el claro de la viga. Si por el contrario, el patn de compresin y/o el alma no son 100%efectivos, el clculo de los anchos y peraltes efectivos generar variaciones en el valor delmomento de inercia a lo largo del claro, ya que el valor del esfuerzo fes directamente proporcionalal momento flexionante, y dicho momento en general varia a lo largo del claro, como se muestra en

la Fig. 5.22.

Fig. 5.22 Momentos flexionantes y variacin del momento deinercia para vigas continuas de dos claros bajo cargauniforme

(1).

En el diseo de perfiles laminados en fro, el mtodo a usarse en el clculo de deformacionesdepende de la precisin deseada. Si se requiere un valor de deformacin preciso, se puede usarun programa de computadora o un mtodo numrico donde la viga se subdivide en un numerorelativamente grande de elementos de acuerdo a la variabilidad del momento de inercia. Losclculos de deformaciones para dichas vigas son muy tediosos para hacerse a mano. Por otrolado, si se desea emplear un mtodo aproximado, la deformacin de una viga simplementeapoyada puede ser calculada basada en el momento mximo. El error de la aproximacin esusualmente pequeo y conservador. Para vigas continuas, las deformaciones pueden ser

calculadas a partir de un procedimiento analtico exacto o por un mtodo usando formulasconvencionales, donde un valor promedio del momento de inercia es derivado a partir de losvalores de los momentos de inercia en las regiones de momento positivo y negativo.

Una vez establecido el valor del momento de inercia a usarse, los procedimientos para elclculo de deformaciones para perfiles laminados en fro son esencialmente idnticos a los usadospara perfiles laminados en caliente. A continuacin se presentan algunos ejemplos numricos parael clculo del momento de inercia.


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128

Ejemplo 5.7Determine el momento de inercia Ixdel perfil I (ver Fig. 5.2) a ser usado en el clculode deformaciones de una viga sujeta al momento permisible Maxcalculado en el Ejemplo 5.1.

1. Esfuerzo en la Fibra Extrema a Compresin

Del Ejemplo 5.1 se obtiene Max= 216.57 Ton-cm ySex= 102.922 cm3.

El esfuerzo en la fibra extrema a compresin debido a Maxes:f = Max/Sex= 216.57(1000)/102.922 = 2104.215 kg/cm2

2. Determinacin de Ancho Efectivo del Patn de Compresin

Del Ejemplo 5.1 se obtiene w = 42.608 mm, w/t = 12.426 y k = 0.43Ec. (4.36): 1.052/(0.43)

1/2(12.426)(2104.215/2.073x10

6)

1/2= 0.635

Como


36/149

129

Elemento Area, A (mm2) y (mm) Ay

2(mm

4)

Patines 2(292.206) = 584.412 99.886 5830803.001

Esquinas 2(69.746) = 139.492 97.534 1326970.818

Almas 1281.184 0.000 0.000

Suma, 2005.088 7157773.819

Ix= Ixx+ Ay2 ycg

2A

Ix= 2(1863066.883) + 7157773.819 (0)2(2005.088) = 10883907.59 mm4= 1088.391 cm4

Nota: En este caso, ycg= 0para el clculo de Ix, ya que la distancia yse toma con respecto alcentroide del perfil.

Sex= Ix/ycg= 10883907.59/101.60 = 107125.075 mm3= 107.125 cm

3

Esfuerzo en la fibra extrema a compresin: f = 216.57(1000)/107.125 = 2021.66 kg/cm2. Como

el valor de f es menor al valor asumido inicial de 2104.215 kg/cm2, el valor de Ix calculado

puede ser usado para calcular las deformaciones.

Ejemplo 5.8Determine el momento de inercia Ixdel perfil sombrero (ver Fig. 5.9) a ser usado en el

clculo de deformaciones de una viga sujeta al momento permisible Maxcalculado en el Ejemplo5.3.

1. Esfuerzo en la Fibra Extrema a Compresin

Del Ejemplo 5.3 se obtiene Max= 222.95 Ton-cm, Ix= 1483.609 cm4, ycg= 11.398 cm.

El esfuerzo en la fibra extrema a compresin debido a Maxes:f = Maxycg/Ix= 222.95(1000)11.398/1483.609 = 1712.840 kg/cm

2

Nota: En este caso no se usa el valor de Sex calculado en el Ejemplo 5.3, ya que el perfilpresenta fluencia primero en el patn de tensin, por lo cual Sexfue determinado con respecto ala fibra extrema a tensin.

2. Determinacin de Ancho Efectivo del Patn de Compresin

Del Ejemplo 5.1 se obtiene w = 366.140 mm, w/t = 137.285 y k = 4.0Ec. (4.36): 1.052/(4.0)

1/2(137.285)(1712.840/2.073x10

6)

1/2= 2.076


Ec. (4.37): = (1 0.22/2.076)/2.076 = 0.431

Ancho efectivo de diseo, bd= w = 0.431(366.140) = 157.806 mm

Como bd


37/149

130

Momento de inercia de la seccin lineal:

Elemento 3: Ixx= 1/12(478.280/2)3 = 1139660.323 mm

3

Ixx = 2(1139660.323) = 2279320.646 mm3

Ix= Ixx + Ly2 ycg

2L = 2279320.646 + 12312626.540 (108.935)

2(727.586)

= 5957804.74 mm3


= 1588.947 cm4

Esfuerzo en la fibra extrema a compresin:f = Maxycg/Ix= 222.95(1000)10.894/1588.947 = 1528.570 kg/cm

2

Como el valor de fes menor que el valor inicial asumido de 1712.84 kg/cm2, debe realizarse

una segunda iteracin con un valor reducido de f.

Segunda Iteracin

Asuma f = 1475.00 kg/cm2. Considerando los valores antes expuestos de w/t, wy kse obtiene:

Ec. (4.36): 1.052/(4.0)1/2

(137.285)(1475.00/2.073x106)

1/2= 1.926


Ec. (4.37): = (1 0.22/1.926)/1.926 = 0.460

Ancho efectivo de diseo, bd= w = 0.460(366.140) = 168.424 mm

Como bd


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131

5.2.3 Resistencia al Pandeo Lateral.

Hasta este punto se han tratado miembros sujetos a flexin donde las fibras extremas decompresin y/o tensin de los perfiles alcanzan la fluencia antes de sufrir problemas deinestabilidad local o global. Sin embargo, si no se proveen apoyos laterales adecuados, losmiembros laminados en fro sujetos a flexin y cargados en el plano del alma pueden sufrir pandeolatero-torsional. El pandeo latero-torsional ocurre normalmente al presentarse inestabilidad en elpatn de compresin de la viga. Como el patn es relativamente estable en el plano del alma debidoal arriostramiento que le provee el alma, la cual a su vez cuenta con la unin a la estabilidad delpatn de tensin, el patn tiende a pandearse lateralmente en el plano perpendicular al alma.Cuando se presenta el pandeo lateral del patn, toda la viga acompaa al patn, ocurriendo elpandeo lateral global de la viga. Al mismo tiempo, la deformacin lateral de la viga generacomponentes del momento flexionante sobre el eje longitudinal de la viga (momentos torsionantes)que provocan que la seccin gire. El resultado es el pandeo latero-torsional.

Por otro lado, como ya se mencion con anterioridad, la gran esbeltez de los perfiles laminadosen fro los hace propensos al pandeo local. El pandeo local de alguno de los elementos del perfilsujetos a compresin puede impedir que las fibras extremas de compresin y/o tensin del perfilalcanzen la fluencia. De hecho, el pandeo local puede ocurrir antes o durante el pandeo latero-torsional.

Este artculo presenta los procedimientos de diseo para determinar la resistencia al pandeolatero-torsional de secciones con simetra doble, sencilla y con respecto a un punto, de acuerdo alnmero y localizacin de apoyos laterales, tomando en cuenta la propensidad al pandeo local delos perfiles. El diseo de los apoyos laterales se presenta en el Art. 5.4.

5.2.3.1 Secciones con Simetra Doble y Sencilla.

Las vigas I simplemente apoyadas, no sujetas a pandeo local y sometidas a momento puro (verFig. 5.23) pueden presentar pandeo latero-torsional. Las siguientes ecuaciones diferencialesdescriben su comportamiento bajo dicho pandeo:

0=+ MuEI ivy (5.23)

0=+ uMGJEC ivw (5.24)

donde M= momento de flexin puro.E= mdulo de elasticidad

G= mdulo de cortante = E/2(1 + )Iy= momento de inercia con respecto al eje yCw= constante de alabeo por torsin de la seccinJ= constante de torsin de St. Venant de la seccinu= deformacin del centro de cortante en la direccinx

= ngulo de giro por torsin

Las primas indican diferenciacin con respecto a z.

Fig. 5.23 Viga simplemente apoyada sujeta a momentosflexionantes en los extremos

(1).


39/149

132

Bajo la condicin de simple apoyo, los extremos no pueden deformarse o torcerse; poseenlibertad de alabeo y el momento de extremo con respecto a y es cero. Por consiguiente, lascondiciones de frontera son:

0)()0()()0( ==== LLuu (5.25)0)()0()()0( ==== LLuu (5.26)

La subsitucin de estas condiciones de frontera dadas en las Ecs. (5.25) y (5.26) en las solucionesgenerales de las ecuaciones diferenciales dadas por las Ecs. (5.23) y (5.24) resulta en la siguienteexpresin para el momento crtico de pandeo lateral:

+=

2

22

1GJL

ECnGJEIM wycr

(5.27)

donde L es la longitud del claro y n = 1, 2, 3, ....

El ngulo de giro debido a la torsin de la viga esta dado por:

=

L

znC

sen (5.28)

y la deformacin lateral de la viga, u, esta dada por:

yEIn

L

znCML

u22

2 sen

= (5.29)

El historial de deformacin de la viga esta representado en la Fig. 5.24. Cuando M


40/149

133

Resolviendo la Ec. (5.30) y usando las condiciones de frontera v(0) = v(L) = 0 se obtiene lasiguiente ecuacin de deformacin:

=

22

2 L

z

L

z

EI

MLv

x

(5.31)

Cuando la viga se pandea lateralmente, la seccin gira con respecto al centro de rotacin CLB. Estepunto esta localizado a una distancia yLBbajo el centro de cortante de la seccin, la cual est dadapor la siguiente expresin:

y

LBEIn

MLuy

22

2

== (5.32)

De la Ec. (5.27) para n = 1, se obtiene el valor mnimo del momento crtico para pandeo lateralpara una viga I:

+= 2

2

1GJLECGJEI

LM wycr (5.33)

Para vigas I la constante de alabeo Cwy el momento de inercia con respecto a al eje yestan dadaspor las siguiente expresiones:

24

23tdbCw = (5.34)

6

3tbIy = (5.35)

Los valores de d, by tse ilustran en la Fig. 5.25.

Fig. 5.25 Viga I a base de dos perfiles C espalda con espalda con patines no atiesados(1)

Substituyendo las Ecs. (5.34) y (5.35) en la Ec. (5.33) se obtiene:

2222

4 += L

dIE

GJEILM y

ycr

(5.36)

Por consiguiente, el esfuerzo crtico para pandeo lateral de una viga I sujeta a momento puroesta dado por:

( ) ( )

2

2

2

2

2

122/22

++

===

d

L

I

JI

I

I

dL

E

I

dM

S

M

x

y

x

y

x

cr

x

crcr

(5.37)


41/149

134

donde Sxes el mdulo de seccin y Ixel momento de inercia de la seccin completa con respectoal eje x. Se ha demostrado que la Ec. (5.37) tambin se puede aplicar a perfiles laminados en frocon una precision aceptable.

En la Ec. (5.37) el primer trmino bajo el radical representa la resistencia debida a la rigidezlateral de la viga y el segundo trmino representa la rigidez torsionante de St. Venant. Para losperfiles laminados en fro de pared delgada, el primer trmino usualmente excedeconsiderablemente en magnitud al segundo.

Para vigas I con patines desiguales, el esfuerzo crtico de pandeo lateral est dado por:

++=

22

2

2

2 41

2 EdI

GJLIII

SL

Ed

y

yytyc

xc

cr

(5.38)

donde Sxc es el mdulo de seccin con respecto a la fibra de compresin, Iyc y Iyt, son losmomentos de inercia de las porciones de compresin y tensin de la seccin completa,respectivamente, con respecto al eje paralelo al alma. Los otros smbolos ya fueron definidos

anteriormente. Para vigas con patines iguales, Iyc = Iyt = Iy/2, y al substituir dichos valores la Ec.(5.38) se obtiene la Ec. (5.37).

Como se mencion con anterioridad, el segundo trmino bajo el radical de la Ec. (5.38)representa la rigidez torsionante de St. Venant, el cual puede ser despreciado sin introducir unerror considerable. Por consiguiente, la Ec. (5.38) puede ser simplificada como se muestra en la

Ec. (5.39), considerando Iy= Iyc+ Iyty despreciando el trmino 4GJL2/

2IyEd

2:

xc

yc

crSL

EdI2

2 = (5.39)

La Ec. (5.39) fue derivada para una viga sujeta a momento uniforme. Esta ecuacin genera

resultados conservadores para vigas con momentos desiguales en los extremos. Para evitar esto,dicha ecuacin puede ser modificada incorporando el coeficiente de momento Cb resultando lasiguiente expresin:

xc

ycb

crSL

EdIC2

2 = (5.40)

donde Cbpuede ser tomado conservadoramente igual a uno, o puede ser calculado mediante lasiguiente expresin:

3.2)/(3.0)/(05.175.1 22121 ++= MMMMCb (5.41)

Donde M1es el menor y M2el mayor de los momentos en los extremos de la longitud entre apoyoslaterales, con respecto al eje fuerte de la seccion. La relacin M1/M2es positiva cuando M1 y M2tienen el mismo signo (flexin en curvatura doble) y negativa cuando tienen signos contrarios(flexin en curvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto dentro de la longitudentre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en los extremos de dicha longitud, Cbdeber tomarse igual a uno. La Ec. (5.41) se us en las Especificaciones del AISI Edicin 1968,1980, 1986 y 1991.


42/149

135

Debido a que la Ec. (5.41) solo es vlida para diagramas de momentos lineales, el AISI 1996substituy dicha ecuacin por la siguiente expresin:

CBAmax

maxb

MMMM

MC

3435.2

5.12

+++= (5.42)

donde Mmax= valor absoluto del momento mximo del segmento entre apoyos laterales.MA = valor absoluto del momento a un cuarto del segmento entre apoyos laterales.MB = valor absoluto del momento al centro del segmento entre apoyos laterales.MC = valor absoluto del momento a tres cuartos del segmento entre apoyos laterales.

La Ec. (5.42) puede ser usada para varias configuraciones del diagrama de momento dentro delsegmento entre apoyos laterales. Proporciona valores mas precisos para vigas con extremosempotrados y para diagramas de momento no lineales. Cabe mencionar que esta ecuacin es lamisma usada por la Especificacin LRFD del AISC 1993. La Fig. 5.26 muestra la diferencia entrelas Ecs. (5.41) y (5.42).

Fig. 5.26 Comparativo entre las Ecs.(5.41) y (5.42)

(4).

La Seccin C3.1.2 del AISI 1996 permite tomar Cb = 1 para vigas en voladizo cuyo extremovolado no tiene apoyo lateral y miembros sujetos a combinacin de flexin y carga axial.

Por consiguiente, el momento crtico simplificado para pandeo lateral de vigas con simetradoble puede ser calculado a partir del esfuerzo crtico de pandeo lateral dado por la Ec. (5.40) y elmdulo de seccin con respecto a la fibra de compresin de la siguiente manera:

2

2

)(L

EdICSM

ycb

xccrecr

== (5.43)

La Ec. (5.43) es la frmula de diseo usada en la Seccin C3.1.2(b) del AISI 1996. La Seccin

C3.1.2.1(b) del Suplemento 1999 reconoce a la Ec. (5.40) como la ecuacin de diseo, solo que cr= Fey Sxc= Sf, donde FeySfse definen mas adelante.


43/149

136

Debe mencionarse que la Ec. (5.40) se aplica al pandeo elstico de perfiles laminados en frocuando el esfuerzo crtico terico de pandeo calculado es igual o menor que el lmite de

proporcionalidad pr. Cuando el esfuerzo calculado excede al lmite de proporcionalidad, elcomportamiento de la viga ser gobernado por pandeo inelstico. Para vigas de clarosextremadamente cortos, la capacidad mxima de momento puede llegar a alcanzar el momentoplstico Mp para secciones compactas. Se puede demostrar que para vigas de patn ancho lasiguiente expresin es aplicable:

xyyp SFMM 11.111.1 == (5.44)

donde Mp= momento plsticoMy= momento de fluencia = SxFy

Esto quiere decir que el esfuerzo en la fibra extrema puede alcanzar el valor hipottico de

1.11SxFycuando L2Sxc/dIyc0si se usa el mdulo de seccin elstico para calcular el momento.

Similar al enfoque de diseo usado en miembros sujetos a esfuerzos de compresin axial(Capitulo 6), el lmite de proporcionalidad efectivo (o el valor mximo del esfuerzo elstico depandeo) puede asumirse igual a la mitad del esfuerzo mximo. O sea:

( ) yypr FF 555.011.1

2

1== (5.45)

Como se muestra en la Fig. 5.27, la relacin L2Sxc/dIyccorrespondiente a cr= pres1.8

2ECb/Fy.

Si esfuerzo crtico terico crexcede a pr, el esfuerzo crtico ser gobernado por pandeo inelstico.La curva de pandeo inelstico puede ser representada por la siguiente ecuacin parablica:

( )

=

cr

y

yIcr

F

BAF

1 (5.46)

Fig. 5.27 Comportamiento de vigas I sujetas apandeo latero-torsional en funcin del esfuerzomximo

(1).

donde A y B son constantes que pueden ser determinadas considerando las siguientescondiciones:


44/149

137

1. Cuando L = 0, ( ) yIcr F11.1= (5.47)

2. Cuando ,8.1 22

y

b

yc

xc

F

EC

dI

SL = ( ) yIcr F555.0= (5.48)

Resolviendo la Ec. (5.46), se obtienen los siguientes valores paraAy B:A = 1.11; B = 3.24. Por lotanto, la Ec. (5.46) puede ser expresada de la siguiente manera:

( ) ( )

=

EC

dISLFF

b

ycxcy

yIcr 2

2 /

24.3

111.1

( ) ( )

=

EC

dISLFF

b

ycxcy

yIcr 2

2 /

36

101

9

10

(5.49)

La Ec. (5.49) representa el esfuerzo crtico de pandeo en el rango inelstico.

Aun cuando el esfuerzo mximo calculado a partir de la Ec. (5.49) excede a Fy(ver Fig. 5.27), elAISI ha asumido una posicion conservadora y limita el esfuerzo mximo un valor igual a Fy.

Mediante el uso del esfuerzo crtico de pandeo dado por la Ec. (5.49) y el mdulo de seccincon respecto a la fibra de compresin, el momento crtico para pandeo inelstico puede sercalculado mediante la siguiente expresin:

( ) ( )( )

==

ecr

y

yxcIcrIcrM

MMSM

36

101

9

10 (5.50a)

donde Myes el momento de fluencia y (Mcr)ees el momento crtico de pandeo elstico dado por laEc. (5.43). La Ec. (5.50a) es la ecuacin de diseo dada en la Seccin 3.1.2 del AISI 1996. Esta

ecuacin es usada solo si (Mcr)e>0.56Mycomo se muestra en la Fig. 5.28. Se ha demostrado quelas ecuaciones de diseo derivadas para perfiles I son igualmente aplicables a perfiles canal conun grado de precisin aceptable. La Seccin C3.2.1.1 del Suplemento 1999 cambia el formato dela Ec. (5.50a) y expresa la ecuacin en trminos de esfuerzo:

=

e

y

ycF

FFF

36

101

9

10 (5.50b)

Donde Fces el esfuerzo crtico elstico o inelstico de pandeo latero-torsional, el que sea aplicablesegn la Seccin C3.2.1.1 y Fe es el esfuerzo crtico elstico de pandeo latero-torsional. La Ec.

(5.50b) se obtiene directamente de la Ec. (5.50a) dividiendo todos los momentos flexionantes entreel mdulo de seccin Sxc.

Las Ecs. (5.40) y (5.49) fueron la base del diseo para el pandeo lateral de perfiles I y canal enlas especificaciones del AISI 1968 y 1980. A partir del AISI 1986, ademas del uso de las Ecs.(5.43) y (5.50a) para determinar el momento crtico de pandeo, se incluyeron nuevas frmulas dediseo para calcular la resistencia de pandeo lateral derivadas de aplicaciones recientes de lateoria de pandeo flexotorsionante de secciones de pared delgada. Especificamente, la SeccinC3.1.2 del AISI 1996 establece a la Ec. (5.51a) para calcular el momento crtico elstico de pandeo


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138

en base a dicha teora. Dicha ecuacin se estableci para perfiles con simetra doble, sencilla ycon respecto a un punto, flexionados con respecto al eje de simetra perpendicular al alma.

( ) teyobecr ArCM = (5.51a)

La Seccin C3.2.1.1 del Suplemento 1999 divide a la Ec. (5.51a) entre Sf para que la ecuacin

quede en trminos de esfuerzos:

tey

f

ob

eS

ArCF = (5.51b)

donde A = rea de la seccin completaSf =mdulo de seccin de la seccin no reducida con respecto a la fibra extrema a

compresin.

( )22

/ yyyey

rLK

E = (5.52)

( )

+=

2

21

tt

w

o

tLK

ECGJ

Ar

(5.53)

Ky, Kt= factores de longitud efectiva para flexin con respecto a yy para torsin.Ly, Lt = longitud entre apoyos laterales para flexin con respecto a yy para torsin.

222

oyxo xrrr ++= rx, ry= radios de giro de la seccin con respecto a los ejes principales.

xo = distancia enxdel centro de cortante al centroide, tomado como negativo.

Los otros trminos ya fueron definidos con anterioridad.

Fig. 5.28 Comportamiento de una viga I sujeta a pandeolatero-torsional en funcin del momento flexionante

(1).

Para perfiles con simetra simple, el eje x es el eje de simetra orientado de tal manera que elcentro de cortante tiene una coordenada en x negativa. Una comparacin de las Ecs. (5.43) y(5.51a) muestra que dichas ecuaciones dan resultados muy similares para perfiles canal cuando Ix

>Iy. Sin embargo, para perfiles canal con Ix


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139

Para secciones con simetra simple flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular aleje de simetra, el momento crtico elstico basado en la teora de pandeo flexotorsionante puedeser calculado usando la Ec. (5.54a):

( ) ( ) TFextosexsecr CrjCjACM //22 ++= (5.54a)

Expresando la Ec. (5.54a) en trminos de esfuerzo se obtiene:

( )[ ]extosfTF

exs

e rjCjSC

ACF

/

22 ++= (5.54b)

donde Cs= +1para cuando el momento genera compresin en la porcin del perfil del lado delcentro de cortante.

Cs= -1para cuando el momento genera tensin en la porcin del perfil del lado delcentro de cortante.

( )2

2

/ xxxex

rLKE = (5.55)

CTF= 0.60 0.40(M1/M2). donde M1es el menor y M2el mayor de los momentos en losextremos de la longitud entre apoyos laterales, con respecto al eje fuerte de laseccion. La relacin M1/M2 es positiva cuando M1 y M2 tienen el mismo signo(flexin en curvatura doble) y negativa cuando tienen signos contrarios (flexin encurvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto dentro de lalongitud entre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en los extremosde dicha longitud, CTF deber tomarse igual a uno. Para miembros sujetos acombinacin de flexin y carga axial, CTFdeber tomarse igual a uno.

Kx= factor de longitud efectiva para flexin con respecto al ejex.

Lx= longitud entre apoyos laterales para flexin con respecto al ejex.

22

1 23 yo

A Ay

xdAxydAxI

j

=

+= (5.56)

Ver Apendice A para el clculo de y.

Los otros trminos fueron definidos con anterioridad.

La derivacin de la Ec. (5.54a) se presenta en el Capitulo 7 para vigas-columnas. Ver Ecs.(7.41) y (7.45).

Las Ecs. (5.51a) y (5.54a) estn dadas en la Seccin C3.1.2(a) del AISI 1996 como ecuacionesgenerales para calcular el momento crtico elstico de diseo para perfiles con simetra doble,sencilla y con respecto a un punto. La Seccin C3.1.2.1(a) del Suplemento 1999 reconoce a lasecuaciones (5.51b) y (5.54b) como las ecuaciones generales.

Con respecto al momento crtico inelstico, la siguiente expresin fue usada en la SeccinC3.1.2 (a) del AISI 1986 y del Addendum 1989 para secciones con simetra doble, simple y conrespecto a un punto:


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140

( )( )

=

ecr

y

yIcrM

MMM

41 (5.57)

La diferencia entre las Ecs. (5.50a) y (5.57) se muestra en la Fig. 5.29. Se puede observar que ladiferencia mayor se da en la vecindad de My/(Mcr)e= 0.36o (Mcr)e= 2.78My. En el AISI 1996 la Ec.

(5.57) a sido eliminada y la Ec. (5.50a) a sido adoptada tanto para la Seccion 3.1.2(a) como para la3.1.2(b). O sea, la curva bsica de pandeo lateral inelstico dada por la Fig. 5.29(b) se redefinipara que sea consistente con la curva de pandeo lateral inelstico de secciones I y Z dada por laFig. 5.29(a). Este mismo criterio se conserva en el Suplemento 1999, solo que las Ec. (5.50a) secambi por la Ec. (5.50b).

Fig. 5.29 Momentos crticos elsticos e inelsticospara la resistencia al pandeo latero-torsional

(1).

Como se especifica en la Seccion C3.1.2 y se observa en la Fig. 5.29(a), el pandeo seconsidera elstico hasta un momento igual a 0.56My. La regin inelstica es definida por una curva

parablica desde 0.56My hasta (10/9)My para una longitud no apoyada igual a cero. Estasconsideraciones aplican tambin a la Seccin C3.1.2.1 del Suplemento 1999, excepto que Myessubstituida por Fy.Como se mencion anteriormente, el factor (10/9)se basa en la plastificacinparcial de la seccin bajo flexin. Se puede observar en la Fig. 5.29(a) que se genera un corte enla parbola al limitar al maximo momento al valor de My [Mcr/My = 1.0en la Fig. 5.29(a)], lo cualpermite el clculo de la distancia no apoyada mxima para la cual no existe reduccin del momentodebida a la inestabilidad lateral. La distancia no apoyada mxima puede calcularse igualando laparbola a My.


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141

Esta liberalizacin de la curva de pandeo lateral inelstico para secciones con simetra doble,simple y con respecto a un punto ha sido confirmada por investigaciones recientes en vigas-columnas (Pekoz y Sumer en 1992) y en puntales de muro (Pekoz y Kian en 1994).

La discusin previa se centr en el tratamiento de la resistencia de pandeo lateral de vigas nosujetas a pandeo local. Para vigas sujetas a pandeo local, la interaccin del pandeo local de loselementos a compresin con el pandeo lateral de toda la viga puede resultar en la reduccin de laresistencia de pandeo lateral de la viga. El efecto del pandeo local sobre el momento crtico seconsidera en la Seccion C3.1.2 del AISI 1996, donde la resistencia nominal al pandeo se determinade la siguiente manera:

=

f

c

crnS

SMM (5.58a)

La Seccin C3.1.2.1 del Suplemento 1999 usa el siguiente formato simplificado para expresar a laEc. (5.58a):

ccn SFM = (5.58b)

donde Mcr= momento crtico elstico o inelstico, segn el que sea aplicable.Sc = mdulo de seccin elstico de la seccin efectiva calculada a un esfuerzo de Mcr/Sf

en la fibra extrema a compresin.Sf = mdulo de seccin elstico de la seccin completa, no reducida, con respecto a la

fibra extrema de compresin.Fc = esfuerzo crtico elstico o inelstico de pandeo latero-torsional.

En la Ec. (5.58a) la relacin Sc/Sfse usa para tomar en cuenta el efecto del pandeo local sobre laresistencia al padeo lateral de vigas.

Para el Mtodo LRFD, la resistencia nominal al pandeo dada por las Ecs. (5.58a) y (5.58b) se

usa con factor de resistencia b= 0.90, lo que provee valores del ndice de confiabilidad de 2.4 a3.8.

Investigaciones realizadas en 1992 por Ellifritt, Sputo y Haynes han indicado que cuando ladistancia entre apoyos laterales es definida como la separacin entre apoyos laterales intermedios,las ecuaciones de diseo dadas en la Seccion C3.1.2 del AISI 1996 pueden arrojar resultadosconservadores para casos donde se usa solo un apoyo lateral al centro del claro, pero puedenarrojar resultados no conservadores cuando mas de un apoyo lateral intermedio es usado. Dichasinvestigaciones y las investigaciones realizadas en 1993 y 1994 por Kavanagh y Ellifritt hanindicado que una viga con apoyos laterales no unida a una lamina de cubierta o muro, puede fallarpor pandeo laterotorsional en la longitud no apoyada lateralmente, o por pandeo distorsional en, ocerca del punto de apoyo lateral.

La falla por pandeo distorsional se caracteriza por la distorsin de la seccin mediante larotacin del patn de compresin con respecto a la unin con el alma. La rotacin del patn

normalmente ocurre en direccin de las manecillas del reloj mientras que el resto de los elementosde la seccin se mantienen en su posicin original. Aunque el pandeo distorsional de perfileslamiandos en fro ha sido investigado extensivamente desde 1962, el AISI aun no ha desarrolladoecuaciones de diseo para prevenir dicho pandeo. Sin embargo, la Seccin B4.2 (ver Art. 4.3.3.2)toma en cuenta implcitamente la incapacidad del labio atiesador para prevenir el pandeodistorsional del patn de compresin mediante la reduccin del coeficiente de pandeo ka valoresmenores que 4.0 para patines parcialmente atiesados.

Las ecuaciones de diseo desarrolladas anteriormente para distribucin uniforme de momentospueden ser usadas para otras condiciones de carga con una precisin aceptable.


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142

5.2.3.2 Secciones con Simetra con Respecto a un Punto.

Las secciones simtricas con respecto a un punto, como las secciones Z con patines iguales,tienen menor resistencia al pandeo que las secciones con simetra doble y sencilla. El AISI haadoptado un criterio de diseo conservador para estas secciones y establece que el momentocrtico elstico sea la mitad del momento crtico elstico de las secciones con simetra doble osencilla. Por consiguiente, en lugar de usar la Ec. (5.51a), la siguiente ecuacin se usa paradeterminar el momento crtico elstico de secciones Z con simetra con respecto a un punto yflexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al alma:

( )2

teyob

ecr

ArCM

= (5.59a)

Expresando la Ec. (5.59a) en trminos de esfuerzos se obtiene:

f

teyob

eS

ArCF

2

= (5.59b)

En lugar de las Ecs. (5.59a) y (5.59b), las siguientes ecuaciones simplificadas pueden serusadas para calcular el momento y esfuerzo crtico elstico de secciones Z:

( )L

EdICM

ycb

ecr2

2= (5.60a)

LS

EdICF

f

ycb

e2

2= (5.60b)

Todos los trminos usados en las Ecs. (5.59) y (5.60) se definen en el Art. 5.2.3.1.

5.2.3.3 Criterios de Diseo del AISI 1996 para Establecer la Resistencia por Pandeo Lateral deSecciones con Simetra Doble, Simple y con Respecto a un Punto.

La Seccin C3.1.2.1 del Suplemento 1999 contiene los procedimientos de diseo para obtener elmomento nominal Mn a ser usado en las ecuaciones generales de diseo para vigas sujetas apandeo lateral. En el Suplemento 1999 se modific la Seccin C3.1.2 del AISI 1996 para incluir dossubsecciones: la Seccin C3.2.1.1 y la Seccin C3.2.1.2 para determinar la resistencia al pandeolatero-torsional de secciones abiertas y en cajn, respectivamente. La Seccin C3.2.1.1 contienelas especificaciones de diseo dadas en la Seccin C3.2.1 del AISI 1996 con las modificaciones enel formato de las ecuaciones de diseo discutidas anteriormente. La Seccin C3.2.1.2 es unaseccin nueva (ver Art. 5.2.3.4).

Algunas de las definiciones de parmetros y ecuaciones incluidas en las especificaciones yafueron presentadas previamente, pero se repiten aqu para efectos de no perder la secuencia de latranscripcin de la Seccin C3.1.2.1. Estas especificaciones aplican a secciones I, Z, C y otrassecciones con simetra simple (excepto decks con mltiples almas, secciones U y cajn, asi comosecciones curvas y de arco). Estas especificaciones no aplican a secciones con patines decompresin sin apoyo lateral u otras secciones con estabilidad lateral. Estas especificacionestampoco consideran efectos torsionantes como los que resultan de cargas cuya resultante no pasapor el centro de cortante de la seccin. Consultar la Seccin D3 del AISI 1996 (ver Art. 5.4) para eldiseo de los apoyos laterales requeridos para restringir la torsin y/o la flexin lateral. Para


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143

secciones C y Z con el patn de tensin unido a lmina, consultar la Seccin C3.1.3 del AISI 1996(ver Art. 5.2.4). A continuacin se presenta la Seccin C3.2.1.1.

C3.1.2.1 Resistencia al Pandeo Latero-Torsional para Secciones Abiertas

La resistencia nominal, Mn, para los segmentos entre apoyos laterales de secciones con simetradoble, simple y con respecto a un punto, sujetas a pandeo lateral deber calcularse con la

siguiente expresin:

ccn FSM = (5.61)

b= 1.67 (ASD)

b = 0.90 (LRFD)

donde:

Sc= Mdulo de seccin elstico para la seccin efectiva calculada para un esfuerzo f = Fcen lafibra extrema a compresin.

Fc= Esfuerzo crtico elstico o inelstico de pandeo latero-torsional calculado de la siguiente

manera:

Para Fe2.78Fy: yc FF = (5.62)

Para 2.78Fy>Fe>0.56Fy:

=

e

y

ycF

FFF

36

101

9

10 (5.63)

Para Fe 0.56Fy: ec FF = (5.64)

donde:

Fe= Esfuerzo crtico elstico de pandeo latero-torsional calculado de acuerdo a los casos (a) o(b) de la siguiente manera:

Caso (a) Secciones con simetria doble, simple y con respecto a un punto:Para flexin con respecto al eje de simetra:

tey

f

ob

eS

ArCF = (5.65)

donde:

Sf= Mdulo de seccin elstico para la seccin completa no reducida con respecto a la fibraextrema a compresin.

Para secciones con simetra simple, el eje xes el eje de simetra orientado de tal manera que elcentro de cortante tenga una coordenada en xnegativa. Para secciones con simetra con respectoa un punto, multiplicar la Ec. (5.65) por 0.50. El eje xde las secciones Z es el eje perpendicular alalma. De manera alternativa, Fepuede ser calculada usando las ecuaciones para secciones consimetra doble y con respecto a un punto dadas en el Caso (b).

Para secciones con simetra simple flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al ejede simetra:


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144

( )[ ]extosfTF

exs

e rjCjSC

ACF

/

22 ++= (5.66)

donde:

Cs= +1 para momento causando compresin del lado del eje centroidal coincidente con elcentro de cortante.

Cs= -1para momento causando tensin del lado del eje centroidal coincidente con el centro decortante.

( )2

2

/ xxxex

rLK

E = (5.67)

( )22

/ yyyey

rLK

E = (5.68)

( )

+= 2

2

2

1

tt

w

o

tLK

ECGJAr

(5.69)

A= Area de la seccin completa

CBAmax

max

bMMMM

MC

3435.2

5.12

+++= (5.70)

donde:

Mmax= valor absoluto del mximo momento en el segmento entre apoyos laterales.MA= valor absoluto del momento a un cuarto del claro del segmento entre apoyos laterales.

MB= valor absoluto del momento al centro del segmento entre apoyos laterales.MC= valor absoluto del momento a tres cuartos del claro del segmento entre apoyos laterales.

Cb puede ser tomado conservadoramente como igual a uno para todos los casos. Cbdeber ser tomado como igual a uno para segmentos en voladizo cuando el extremo libreno tiene apoyo lateral y para miembros sujetos a combinacin de carga axial y flexin(Seccin C5).

E= Mdulo de elasticidad.CTF= 0.60 0.40(M1/M2) (5.71)

Donde M1es el menor y M2es el mayor de los momentos en los extremos de la longitudentre apoyos laterales en el plano de flexin, y donde M1/M2es positivo cuando M1 y M2tienen el mismo signo (flexin en curvatura doble) y negativo cuando tienen signo contrario(flexin en curvatura simple). Cuando el valor del momento en cualquier punto de lalongitud entre apoyos laterales es mayor que el valor del momento en ambos extremos de

dicha longitud, y para miembros sujetos a combinacin de carga axial y flexin (SeccinC5), CTFdeber ser igual a uno.

222

oyxo xrrr ++= (5.72)ro= Radio de giro polar de la seccin completa con respecto al centro de cortante.rx, ry= Radios de giro de la seccin completa con respecto a sus ejes centroidales.G= Mdulo de cortante.Kx, Ky, Kt= Factores de longitud efectiva para flexin con respecto al ejex, eje yy para torsin.Lx, Ly, Lt = Longitud entre apoyos laterales para flexin con respecto al ejex, eje yy para torsin.xo= Distancia en dir.xdesde el centro de cortante al centroide, tomada con signo negativo.


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145

J= Constante torsionante de St. Venant para la seccin completa.Cw= Constante torsionante de alabeo para la seccin completa.

o

A Ay

xdAxydAxI

j

+= 232

1 (5.73)

El Apndice A contiene expresiones algebricas del parmetrojpara los perfiles mas comunes.

Caso (b) Para secciones I y Z flexionadas con respecto al eje centroidal perpendicular al alma (ejex):

En lugar del Caso (a), las siguientes ecuaciones pueden ser usadas para calcular Fe:Para secciones I con simetra doble:

2

2

LS

dIECF

f

ycb

e

= (5.74)

Para secciones Z con simetra con respecto a un punto:

2

2

2 LS

dIECF

f

ycb

e

= (5.75)

donde:

d= Peralte de la seccin.L= Longitud entre apoyos laterales.Iyc= Momento de inercia de la porcin de la seccion sujeta a compresin con respecto al eje

centroidal paralelo al alma, usando la seccin completa no reducida.

Los otros trminos se definen en el Caso (a).

Ejemplo 5.9Determinar la mxima distancia entre apoyos laterales para la viga I del Ejemplo 5.1para poder usar el momento nominal, Mnx= 361.668 Ton-cm. Asuma que la viga esta simplementeapoyada, con tiene un claro de 3 metros y que soporta una carga uniformemente distribuida.

Fig. 5.30 Ejemplo 5.9 (cotas del perfil en mm)(1)

.

La solucin del problema consiste en determinar la mxima distancia entre apoyos lateralesrequerida para que la resistencia de la seccin sea alcanzada antes de alcanzar la resistencia depandeo lateral. Por consiguiente, deben igualarse las ecuaciones del momento nominal, Mn, dadaspor las Ecs. (5.2) y (5.61) y despejar el valor requerido de L. Cabe mencionar que a dicho valor deLse le conoce como Luen el Manual de Diseo del AISI 1996.

7/22/2019 Miembros a F

Miembros a Flexion y Cortante

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