21/04/23

Construcción y Diseño de Controladores

de un Péndulo Invertido Rotante

AutoresSebastian MalloVirginia Mazzone

DirectorRoberto Saco

Universidad Nacional de QuilmesIngeniería en Automatización y Control Industrial

Contenidos

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el sistema real7. Conclusiones

Problema interesante desde el punto de vista de control.

Ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real.

Introducción

Consiste en un brazo giratorio horizontal, con una barra vertical en su extremos, la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo.

Objetivo

Construir el prototipo utilizando un bajo presupuesto Diseñar estructuralmente el sistema Elegir los sensores y actuadores Elegir la forma de implementación de los

controladores

Controlar el sistema Diseñar distintos controladores lineales Implementar dichos controladores

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el sistema real 7. Conclusiones

Contenidos

Esquema Básico de Control

Controlador PC

Actuador Sistema de movimiento del Brazo

Sensores Posición del Brazo y péndulo

Actuador

Sistema Físico

Sensores

Controlador

Programa de Simulación y Control Matlab 5.3, Simulink, Watcom C/C++, Real Time Windows Target,

Real Time Workshop

Driver (S-Function)

Placa adquisidora de datos Slot ISA 8 entradas analógicas de 0-5V, conversor A/D de 8 bits 2 salidas analógicas de 0-5V, conversor D/A de 8 bits 8 entradas digitales 8 salidas digitales

Controlador

Controlador

Sensores ActuadorPlaca Aduisidora

de Datos

Driver

Programa de Simulación y Control

Puente H Amplificador de Potencia Inversor de Marcha

Actuador

Motor Características Eléctricas:

sin escobillas tensión nominal 24 VCC corriente nominal 2A

Características Mecánicas: Reducción: 1-130 a engranajes

Generador de Señal PWM Por medio de un canal analógico de la placa

adquisicón

GeneradorPWM

Salida Digital

Salida Analógica

Puente HOn/Off

Dirección

Placa Adquisidora de Datos

Actuador

M

Limitaciones Debidas al Motor

15 V

-15 V

SATURACIÓN

Tensión real

Tensión aplicada

CUANTIZACIÓN

0.15

FRICCIÓN ESTÁTICA

JUEGO EN EL EJE

Sensores

Posición del Péndulo

Sensor Magnéto-Resistivo

Caracteristicas generales: Precisión: 0.0024 radianes Rango: 18º

x y q y I

l Epot

mgl cos q

Energía Cinética: E cin

1 2 I ÿy2 debido al brazo 1 2 m

l 2 ÿq2 r 2 ÿy2 2rl ÿq ÿy cos q debida al péndulo

Fuerza Aplicada: f

t

f q t f y t

bs ÿq t K R v

t

K 2 R ÿy t v t es la tensión aplicada

al motor.

Entrada Analógica

Sensor Magnéto-Resistivo

Acondicionadorde Señal

Placa Adquisidora de Datos

60

Brazo

Sensor

Imán

Eje

Péndulo

Sensores

Posición del Brazo Encoder incremental

Características Generales: Precisión: 5150 pulso por vuelta 0.0012 rad Rango: ilimitado

Entradas Digitales

EncoderIncremental

Placa Adquisidora de Datos

ContadorDe Pulsos

Programa de Simulación y Control

ControladorSensor

Contenidos

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones

Modelización Matemática

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Variables del Sistema m: masa del péndulo g: gravedad l: longitud del péndulo r: radio de giro del brazo I: inercia del brazo

z

xy

r,Il

m,g

( ( ), ( ))

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

cin potq t q t E E

t tq t q t

t t

L

con y

Definamos

d d df

dt dq dq

L L

f

ff

con

2 2 2 2 21 12 cos

2 2cinE I m l r rl

cospotE mgl

Modelización Matemática

Energía

2

( )( )

( ) ( )

sb tf t K K

v t tR R

2

( ) ( )K K

v t tR R

Fuerza Aplicada

v

R

e=K+

_

, -Ki Ri v K y

Ecuaciones de Estado ( , )x f x u

2

2

3

4

2 21 13 4 1 3 1 3 1 42 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1

21 13 1 4 1 3 4 1 1 32 2

2 2 2

1

1

2

3

4

( )( sin ) cos ( sin )

( cos ) ( cos )

sin cos ( sin sin

( cos )

K Ks R R

K KsR R

x

x

I mr mrlx x x b x r x mrlx x u x

ml I mr mr x l I mr mr x

mrlx x u x r x x x x mgl x b x

I mr mr x

x

x

x

x

2 2 2

1

)

( cos )l I mr mr x

1 2 3 4, , ,x x x x u v y Tomando

2

2

2

cos 0 sin1

2cos sin 0

sin

0s

K KR R

ml mrl mrl

mrl I mr mrl

bmgl

v

Reemplazando

22 2

2

2

0 0 1 0 00 0 0 1 0

( )( )0

0

s

s

I mr b rKI mr g rK ulIRIl lIRml IKrbrmg KIRI Il IR

Ecuaciones de Estado

20 ( ,0) 0 0 0TT

eq eqf x x x Punto de equilibrio

x Ax Bu

2

2 2

00 0 1 0

00 0 0 1,

0 0

0 0 0

g rl l

rl

K Ku

Mr R Mr R

y

Modelo Simplificado Suponiendo bs 0 y M >>m

2

1( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )

rl

gl

s

s s sY s C sI A B U s U s

s

s s

Representación entrada-salida

Ajuste de Parámetros

Parámetros conocidos l =0.3 [m] r =0.3 [m] M = 0.5 [kg] m = 0.05 [kg] g = 9.8 [m/seg2]

Parámetros desconocidos K: constante de fuerza electromotriz R: resistencia eléctrica

Ajuste de los Parámetros Excitamos al sistema con un escalón de 1.5V. Dimos valores a y en Tomamos = 11.8 y = 9.8

( ) ( )( )

s U ss s

Contenidos

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones

Control en Cascada Diagrama del Lazo de Control

Y(s)R(s)G2(s) G1(s)K2(s)K1(s)

--

Lazo Secundario

Lazo Primario

Sistema a lazo abierto

2

8.82

( 11.8)( 32.66)

s

s s

2

2

( 32.66)

0.9

s

s

U(s)

(s)

(s)

Lazo Abierto

Diseño de K1(s) y K2(s)

Lazo Secundario

Diseño de K2(s) por asignación de polos

2

2

129.67( 11.8)( 5.715)( )

( 52)( 7.341)

1143.7( )

( 14)( 13)( 12)

s sK s

s s

sT s

s s s

y

12 13 14p

2

8.82

( 11.8)( 32.66)

s

s s

2

2

( 32.66)

0.9

s

s

(s)

(s)K2(s)

-

T2(s)

K1(s)-

R(s)

-20 -10 0 10-10

-5

0

5

10

Real Axis

Ima

g A

xis

Diseño de K1(s) y K2(s)

Lazo PrimarioDiseño de K1(s) por lugar de raíces

2

1 2

1270.7( 32.66)( ) ( )

( 14)( 13)( 12)

sG s T s

s s s s

K1(s)=0.2

0 2 4 6 8 10-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tiempo[seg]

Pos

ició

n [ra

d]

0 2 4 6 8 10

-0.05

0

0.05

0.1

Tiempo [seg]

Pos

ició

n [ra

d]

Simulación Función Transferencia a Lazo Cerrado

2

1 2

25.41( 32.66)( )

( 20)( 0.35)( 17.7 95.05)

sT s

s s s s

Posición del Péndulo Posición del Brazo

Control por Realimentación de Estado

Diagrama del Lazo de Controly

B-

Lazo abierto

C

A

K

x xur

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

32.66 0 0 10.62 8.82

0 0 0 11.8 9.8

u

Ecuaciones de Estado

+

u r Kx

x A BK x Br

Control por Realimentación de Estado Análisis de la Existencia de K

Matriz de Controlabilidad 2 3[ ]B AB A B A B C

rango() = 4 el sistema es controlable

Diseño de la Matriz K Control Optimo LQR

0

( ) ( ) ( ) ( )t

T TJ x t Qx t u t Ru t dt

100 0 0 0

0 1 0 0 100 0 1 00 0 0 1

Q R

con y

Minimizando el Funcional

24 0.3 3.8 2.4K obtenemos

Control por Realimentaciónde Estado Seguimiento Robusto: Acción Integral

0 1 0 0ax r C Tomando y

0 0

0 0 1a a

x xA Bu r

x xC

Proponiendo

yrB

---

C

A

K

Kax xuax ax

aa

xu K K

x

Control por Realimentaciónde Estado

0

( ) ( ) ( ) ( )t

T TJ x t Qx t u t Ru t dt

100 0 0 0 00 1 0 0 0

100 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

Q R

con y

Diseño de la Matriz K y Ka (LQR)

[ 27 1.06 4.29 2.85] 0.316aK K obtenemos y

Minimizando

lim 0 lim( ) 0 limat t t

x r r

Estabilizando xa

Estimación de las variables de Estado y

Aproximación de la Derivada

( 1) ( )

( 1) ( )

: 0.01

k k

Tk k

TT seg

Periodo de muestreo

Observador de las Variables Estado

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t L y t Cx t

x t A LC x t Bu t Ly t

Estimación de las variables de Estado y

ˆ( ) ( ) ( )x t x t x t ( ) ( )x t A LC x t Error de Estimación

Observador de las Variables Estado (cont.)

Análisis de la Existencia de L Matriz de Observabilidad 2 3[ ]TC CACA CA O

rango() = 4 el sistema es controlable

0.5335 0.13120.0177 0..35337.6284 4.37910.2567 1.4825

L

Diseño de L por asignando autovalores a (A-LC)

Simulación

Posición del Péndulo Posición del Brazo

Aproximación de la derivada vs. Observador

4.157.34

21.7179.48

5771678

Obs.Aprox.

ˆ

ˆ ˆ

u

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Ensayos en el Sistema Real6. Análisis del Efecto de Perturbaciones7. Conclusiones

Contenidos

Análisis del Efecto de Perturbaciones

Efecto de las Cuantizaciones

Posición del PénduloPosición del Brazo

Real Mejorado Unidad

0.0024 0.0012 rad

0.0012 0.0003 rad

u 0.05859 0.0036 grados

Análisis del Efecto de Perturbaciones

Fricción Estática20 veces menor

Posición del PénduloPosición del Brazo

Análisis del Efecto de Perturbaciones

Juego en el Eje

Posición del Péndulo Posición del Brazo

Real Mejorado Unidad

1 0.1 grados

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real7. Conclusiones

Contenidos

Ensayos sobre el sistema real Seguimiento a Referencias Constantes

Acción IntegralControl en Cascada

1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real7. Conclusiones

Contenidos

Conclusiones

Ventajas en la utilización de un Software

de Tiempo Real

Simplicidad de diseño del Control en

Cascada

Desempeño del Observador

Robustez del Agregado de Acción Integral

Sensibilidad frente a Perturbaciones en el

Actuador