Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales.

Mini-video 1 de 3

Materia: Concepto. Teorema de Rouché

Sistemas de ecuaciones lineales


Se definen:

mnmn11m

1nn1111

bxaxa

bxaxa


Se definen:

Ejemplos:

mnmn11m

1nn1111

bxaxa

bxaxa

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2

ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî


Forma vectorial de un sistema:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

1 2 3

3 2 1 2

1 x 7 x 9 x 14

1 0 1 2

æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç


Forma vectorial de un sistema:

Forma matricial:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


1 2 3

3 2 1 2

1 x 7 x 9 x 14

1 0 1 2

æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç

1

2

3

3 2 1 2 x

Ax b con: A 1 7 9 , b 14 , x x

1 0 1 2 x

æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = - = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -÷ ÷ ÷è ø è ø è øç ç ç


Concepto de solución.



Ejemplo:

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3

x x 2

ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî



Ejemplo:

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3

x x 2

ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî

3 1 2 2 3 3 4 3 2

1 7 2 9 3 1 14 27 14

1 3 2

ì ´ - ´ + = - + =ïïïï - ´ + ´ = - + =íïïï - = -ïî


Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles



Ejemplos:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2




Ejemplos:

Soluciones:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2


1 2 3x 1, x 2, x 3= = =1 1

x ( 7z 23k 16), y (z 2k 5)3 3

= - + + = - +


Sistemas homogéneos


Sistemas homogéneos

Ejemplo:

x 2y 3z 9k 0

3y z 2k 0

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 1x ( 7z 23k), y (z 2k)

3 3= - + = -


Teorema de Rouché-Frobenius

Para Ax b Sea: A* (A b)

Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible

Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible

Si rango(A) nº incognitas determinado

Si rango(A) nº incognitas indeterminado

= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ



Ejemplo 1:






= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2




Ejemplo 1:






= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


3 2 1

rango(A) rango 1 7 9 3

1 0 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷è øç3 2 1 2

rango(A*) rango 1 7 9 14 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - - ÷è øç


Ejemplo 2:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî


Ejemplo 2:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 2 3 9rango(A) rango 2

0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

1 2 3 9 2rango(A*) rango 2

0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø


Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî


0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø


0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

a b 1

2a 3b 0

2a 2b 0

ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî


Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî


0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø


0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

a b 1

2a 3b 0

2a 2b 0

ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî

1 1

rango(A) rango 2 3 2

2 2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç

1 1 1

rango(A*) rango 2 3 0 3

2 2 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç


Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:

:

1azyx

1zayx

1zyax



Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +




Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +




Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +

3a 3a 2 0 a 1,a 2- + = Þ = =-


Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado



Veamos que pasa si a=1:

ax y z 1

x ay z 1

x y az 1

x y z 1

Si a 1 x y z 1

x y z 1

ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ



Veamos que pasa si a=1:

Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1 Compatible e indeterminado

ax y z 1

x ay z 1

x y az 1

x y z 1

Si a 1 x y z 1

x y z 1

ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ


Veamos que pasa si a=-2:

ax y z 1 2x y z 1

x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1

x y az 1 x y 2z 1

ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ



Calculamos:

ax y z 1 2x y z 1


x y az 1 x y 2z 1


2 1 1


1 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

2 1 1 1


1 1 2 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø



Calculamos:

Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3 Incompatible

ax y z 1 2x y z 1


x y az 1 x y 2z 1


2 1 1


1 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

2 1 1 1


1 1 2 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

Mini-video 2 de 3

Materia: Resolución de Sistemas Lineales



Sistemas equivalentes



Ejemplos:

4x

2x

4x3

2x

3

1x

2xx

0xx2

6xx

0xx2

6xx

2

1

2

21

21

21

21

21

21



Ejemplos:

Se obtienen:- Intercambiando entre sí dos ecuaciones- Multiplicando una ecuación por un número 0- Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

4x

2x

4x3

2x

3

1x

2xx

0xx2

6xx

0xx2

6xx

2

1

2

21

21

21

21

21

21


Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.



Ejemplo:1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1



Ejemplo:

Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1



Ejemplo:

Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2

Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1


Tenemos que: 1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

1 2 41 3 4

1 2 3 4 1 3 4

1 2 4 1 2 3 4

1 3 4

4x x 4x 3x 7

x 2x x 3

4x x 4x 3x 7

3x x 2x 2x 4

4x x 4x 3x 74x x 4x 3x 72x x x 1x 2x x 3

3x x 2x 2x 4 x 2x x 32x x x 1 3x x 2x 2x 4

x 2x x 3

2x

1 2 4

1 2 3 4

1 2 4

x x 1

3x x 2x 2x 4

2x x x 1


Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:

1 2 3 4

1 2 3 41 3 4

1 3 41 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7

4x x 4x 3x 7x 2x x 3

x 2x x 33x x 2x 2x 4

2x x x 1


Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:

A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

1 2 3 4

1 2 3 41 3 4

1 3 41 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7

4x x 4x 3x 7x 2x x 3

x 2x x 33x x 2x 2x 4

2x x x 1


Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0



Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado




Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación




Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b




Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b- Regla de Cramer (Ejemplo)

Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2



Tenemos:

1 2

3

2 2 1 3 2 1

14 7 9 1 14 9

2 0 1 1 2 18 16x 1; x 2;

3 2 1 3 2 18 81 7 9 1 7 9

1 0 1 1 0 1

3 2 2

1 7 14

1 0 2 24x 3

3 2 1 81 7 9

1 0 1

-

-

- - - -= = = = = =

- -

- -

- -

-

-

-= = =

-

-

-


Sistemas Indeterminados


Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundarias


Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer

Ejemplo: Resolver

1xxx2

3xx2x

421

431


Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer

Ejemplo: Resolver

Solución:

1xxx2

3xx2x

421

431

1 3 4

1 2 4

x 3 2x x1 0 2 1 1 0Rango 2, 0

2x x 1 x2 1 0 1 2 1


OjO con los sistemas mal condicionados



1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1

æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø



1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1


1

2

3

4191 0.5 0.33 x 1.83

18850.5 0.33 0.25 x Sol:

630.33 0.25 0.2 x 0.78

1637

1.

3

1

6

æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷



1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1


1

2

3

4191 0.5 0.33 x 1.83

18850.5 0.33 0.25 x Sol:

630.33 0.25 0.2 x 0.78

1637

1.

3

1

6

æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷Det(A) 0@


Método de Gauss

Sea Ax=b y A*=(A|b)

El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:

De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.

sIbA


Método de Gauss

Sea Ax=b y A*=(A|b)

El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:

De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.

Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.

sIbA


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2


2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2


2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2


2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2


3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3


2 1 21

3 3 326 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷


1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2


Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2


2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2


3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3


2 1 21

3 3 326 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷


11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19



11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19


11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷


11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19


11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3


11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷


11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19


11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3


11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3


1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø


11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19


11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3


11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3


1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.

Mini-video 3 de 3

Materia: Prácticas con



La función RowReduce[ ] de Mathematica:


La función Solve[ ] de Mathematica:


OJO con los sistemas indeterminados:

Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales.

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Transcript of Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales.