Modelacion Cinematica Directa de Robots
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ROBOTICA
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1. Descripción de un Robot Industrial
Articulaciones y links de un robot industrial - PUMA.
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2. Sistemas de Referencia
Un Sistema Articular puede ser representado matemáticamente a través de n cuerpos móviles Ci (i = 1, 2,..., n) y de un cuerpo C0 fijo, ínter ligados por n articulaciones, formando una estructura de cadena, siendo que estas articulaciones pueden ser rotacionales o prismáticas.
Movimientos de Roll, Pitch y Jaw
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2.2 Transformación de Coordenadas
Transformación Directa de Coordenadas
Cinemática directa e inversa, y naturaleza no biunívoca de su inter-relación
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2.3 Robot Elemental (1 GL) – péndulo simples
Modelo Matemático asociado
θsin L. X =Y L. ( 1 -cos )θ=
La figura presenta un robot elemental (péndulo simple) con 1 GL (grado de libertad) y de longitud L (perfectamente rígido), donde las coordenadas X y Y del elemento terminal son expresadas con relación al sistema de coordenadas presentado.
A partir de un dado valor θ queda determinado las coordenadas XT = (X, Y)T del elemento terminal del robot con relación a su sistema de coordenadas. Esta operación es llamada transformación directa de coordenadas.
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2.4 Robot con 2 GDL – Doble péndulo
La figura presenta un robot con dos grados de libertad, constituido de dos péndulos con longitudes L1, L2, donde las coordenadas absolutas X y Y de la extremidad de L2 son expresadas en relación al sistema de coordenadas presentado.
Modelo Matemático asociado
22.11. sin Lsin L X θθ +=
( ) ( )2211 cos-1 .L cos-1 .L Y θθ +=
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3. Modelo Geométrico
) f( X θ=
θ = (θ1, θ2,..., θn): Vector de posiciones angulares de las articulaciones y X = (X,Y,Z,ψ,θ,φ): Vector posición, donde los tres primeros términos denotan la posición cartesiana y los tres últimos la orientación del elemento terminal
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n 0,1 1,2 n-1,nT = A A ... A⋅ ⋅ ⋅
nT = [ n s a p ]donde p = [ px , py , pz ]: vector posición y n = [ nx ny nz ], s = [ sx sy sz ] y a = [ ax ay az ]: vector orto normal que describe la orientación.
3. Modelo Geométrico
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• Calcular una matriz de transformación homogenea que relaciona la i-ésima referencia con la referência i-1. Para esto hec uso de los parámetros de todas las uniones o junturas;
• Teniendo en cuenta todas las matrices Ti-1i , se
obtiene T0n a través de:
• Como T0n depende de las variables de las uniones o junturas,
el problema cinemático directo se resuelve con la obtención de la matriz de transformación homogénea que determina la posición y orientación de la punta del robot en relación a la base.
n1n
32
21
10
n0 T ... T.T.TT −=
4. Cinemática Directa del Robot
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Representación de Denavit-Hartemberg
Suponga dos sistemas de coordenadas coincidentes, X0Y0Z0 y X1Y1Z1.
Una transformación homogénea
que relaciona esos sistemas es la matriz identidad
=≡
1000010000100001
1T10
4. Cinemática Directa del Robot
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Si se realiza una rotación de θ° alrededor del eje Z0, se requiere de una matriz de transformación
Una nueva matriz esta ahora dada por
θθθθ
=θ
1000010000cossen00sen-cos
)z,ot(R 0
θθθθ
=θ=
1000010000cossen00sen-cos
)z,ot(R . IT 010
4. Cinemática Directa del Robot
Representación de Denavit-Hartemberg
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Si se translada ahora el sistema X1Y1Z1 por d unidades a lo largo de Z1. Una matriz nueva se obtiene como,
( )
θθθθ
=θ=
1000d10000cossen00sen-cos
d0,0,Trans ).z,ot(RT 010
4. Cinemática Directa del Robot
Representación de Denavit-Hartemberg
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Si se translada el sistema X1 Y1 Z1 de a unidades a lo largo del eje X1. una nueva matriz esta dada por
( ) ( )
θθθθ
=θ=
1000d10000cossena0sen-cos
00,a,Trans . d0,0,Trans ).z,ot(RT 010
4. Cinemática Directa del Robot
Representación de Denavit-Hartemberg
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Finalmente, si el sistema X1 Y1 Z1 sufre una rotación de α°, en torno al eje X1. Esta última transformación genera una matriz como
( ) ( )
ααθθαθαθθθαθαθ
=αθ=
1000dcossen0
a.sen.cossen-cos.cossena.cos.sensen.sencos-cos
)x,ot(R.00,a,.Transd0,0,Trans ).z,ot(RT 1010
4. Cinemática Directa del Robot
Representación de Denavit-Hartemberg
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Establece que una transformación homogénea Ai entre cualquier dos sistemas de coordenadas solidários y consecutivos, a través de una cadena cinemática de un manipulador, compuesto de ementos rígidos, separados por una unión, puede ser expresado por cuatro matrices de transformación homogéneas básicas.
Una rotación de θ en torno del eje zi
Un desplazamiento d a lo largo del eje zi
Una longuitud ao a lo largo del eje xi
Una rotación α en torno del eje xi.
4. Cinemática Directa del Robot
Representación de Denavit-Hartemberg
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La descripción de la matriz de transformación es normalmente realizada utilizando la notación de Denavit-Hartenberg, luego de la obtención de los cuatro parámetros θi, ai, di y αi
4.1 Descripción Cinemática del Robot
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iO
i iz x
iO ,i
i xP
( ),i
i i yx z∠
– Punto de origen del sistema de coordenadas i
– Ponto de intersección entre el eje zi y el eje xi
– Distancia del punto Oi al punto Pi medido a lo largo del eje xi
–Ángulo medido de la dirección de xi para la dirección de zi en torno del eje yi
4.1 Descripción Cinemática del Robot
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Longitud Del eje (ai) Distancia medida a lo largo de la normal común entre los ejes de las articulaciones. Traduce el concepto de separación lineal entre los ejes de las articulaciones. Formalmente: 1 ,
ii i i i x
a z x O−=
Distancia entre links o desplazamiento de articulaciones (di): El desplazamiento de articulaciones traduce, en general, la distancia entre links medida a lo largo del eje de la junta anterior. Definición formal ( )
11 1,
ii i i i z
d O z x−
− −=
4.1 Descripción Cinemática del Robot
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Ángulo de articulación (θi): Ángulo definido normalmente entre el eje de un link y el eje del link siguiente. Definición formal: ( )
11,
ii i i z
x xθ−
−= ∠
Ángulo de torsión del link (αi): Ángulo de torsión que el link impone desde el eje de la articulación anterior hasta el eje de la articulación siguiente. Definición formal: ( )1,
ii i i x
z zα −= ∠
4.1 Descripción Cinemática del Robot
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4.1 Descripción Cinemática del Robot
Articulación Rotacional
Articulación Prismática
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Ejemplo 1 de link – juntas rotacionales paralelas
ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn = 0
4.1 Descripción Cinemática del Robot
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 2 de link: juntas rotacionales paralelas con desalineamiento
ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn = 0
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 3 de link: juntas rotacionales ortogonales
ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 4 de link: juntas rotacionales ortogonales y con desalineamiento
ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 5 de link: juntas rotacionales ortogonales (2º tipo)
ln = 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (+90º)
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 6 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales
ln = 0 dn ≠ 0 (variable) θn ≠ 0 (+90º) αn ≠ 0 (+90º)
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Ejemplo 7 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales (2º tipo)
4.1 Descripción Cinemática del Robot
ln ≠ 0 dn = variable θn= 0 αn ≠ 0 (+90º)
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 8 de link. Geometría más elaborada con juntas prismáticas ortogonales
Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn = variable θn = 0 αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba
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4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 9 de link. Geometría mas elaborada con juntas rotacionales ortogonales
Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn= 90º + variable αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba.
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4.2 Obtención de la Matriz de Transformación Homogénea i-1Ai
i-1i z, z,d x,a x,A R T T R θ α=
−
−
=
10000cossin00sincos00001
100001000010
001
1000010000cossin00sincos
1000100
00100001
A1
i1-i
ii
iiii
ii ai
d ααααθθ
θθ
−
−
=
1000cossin0
sincossincoscossincossinsinsincoscos
Ai1-i
iii
iiiiiii
iiiiiii
daa
ααθθαθαθθθαθαθ
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4.3 Matriz Transformación T
Configuración del elemento terminal de un robot
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4.4 Ángulos de Euler y RPY
( ) ( ) ( ) ( )φ=φ z,ROT . θy,ROT . ψz,ROTθ,ψ,EULER
( )
φφ−φ+φ−φ−φφ−−φ−φ
=φθCθSSθCS
ψSθSψCCψCθSSψSCψSθCSθCψSψCSψCθSψCψSSψCθCC
θ,ψ,EULER
=
y
xATANa-a
2ψ
ψψ=θ
Z
yx2ATANa
aC-as
ψ+ψ
ψ−ψ=ψ
yx
yx
nSnCSS
2ATANaC-
Ángulos de Euler
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Función ATAN2 4.4 Ángulos de Euler y RPY
−+≤≤−−−−≤≤−+−≤≤++≤≤
=
=θ
yx,com ,0 θ90 yx,com ,90θ180yx,com ,180 θ90 yx,com ,90 θ0
yx
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4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY
( ) ( ) ( ) ( )ψφ=ψφ z,ROT . θy,ROT . z,ROTθ,,PYR
( )
ψθ−ψφψθφφ+ψφ−φψφ+ψθφφ−φ−φ
=ψφCCθSψCθS
SC-CSSψCCθSSSCθSSSCSCCψSθSψSCCθC
θ,,PYR
![Page 35: Modelacion Cinematica Directa de Robots](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052121/553f18de550346bb798b46cf/html5/thumbnails/35.jpg)
4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY
=φ
x
y2ATANnn
φ+φ−
=θyx
Z
nSnCn2ATAN
φ+φ−
φ−φ=ψ
yx
yx
sCsSC
2ATANaaS
Donde:
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4.4 Ángulos de Euler y RPY Cuaternions
121
1 +++= zyx asnq
121
2 +−−= zyx asnq
121
3 +−−= zxy ansq
121
4 +−−= yxz snaq
con señal de q2 = señal (sz – ay)
con señal de q3 = señal (ax – nz)
con señal de q4 = señal (ny – sx)
124
23
22
21 =+++ qqqq
orientación normalizada
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Robot Cartesiano (PPP)
![Page 38: Modelacion Cinematica Directa de Robots](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052121/553f18de550346bb798b46cf/html5/thumbnails/38.jpg)
Robot Cilíndrico (RPP)
![Page 39: Modelacion Cinematica Directa de Robots](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052121/553f18de550346bb798b46cf/html5/thumbnails/39.jpg)
Robot Esférico o Polar (RRP)
![Page 40: Modelacion Cinematica Directa de Robots](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052121/553f18de550346bb798b46cf/html5/thumbnails/40.jpg)
Robot SCARA (RRP)
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Robot antropomórfico o angular (RRR)