7/30/2019 Modelacion Posicion Motor DC

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Physical Setup

El motor de CC es un actuador comn en controlsistemas. Provee movimiento rotatorio

directamente y, acoplado con ruedas dentadas o

poleas y cables, puede proveer movimientotransicional. El circuito elctrico de la armadura yel diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran

en la siguiente figura:

Para este ejemplo, asumimos los valores siguientes para los parmetros fsicos. Estos

valores se derivaron experimentalmente de un motor real del laboratorio de control para

alumnos de grado del Carnegie Mellon.

momento de inercia del rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2

coeficiente de amortiguamiento del sistema mecnico (b) = 0.1 Nms

constante de fuerza electromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp resistencia elctrica (R) = 1 ohm

inductancia elctrica (L) = 0.5 H

entrada (V): Fuente de Tensin

salida (theta): posicin del eje

el rotor y eje se consideran rgidos

Ecuaciones del Sistema

El torque del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por un factor constante

Kt. La fuerza contraelectromotriz (emf), e, se relaciona con la velocidad de rotacin

mediante las siguientes ecuaciones

En unidades del sistema internacional SI (las que usaremos), Kt (constante de armadura) es

igual a Ke (constante del motor).

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De la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de

Newton combinado con la ley de Kirchhoff:

1. Funcin de Transferencia

Usando Transformadas de Laplace las ecuaciones del modelo de arriba pueden expresarseen trminos de s.

Eliminando I(s) podemos obtener la siguiente funcin de transferencia, donde la velocidad

de rotacin es la salida y la tensin es una entrada.

Sin embargo como durante este ejemplo estamos mirando a la posicin, como que es lasalida. Podemos obtener la posicin integrando Theta Punto, por lo tanto solo necesitamos

dividir la funcin de transferencia por s.

2. Espacio de Estado

Estas ecuaciones pueden tambin representarse en la forma espacio de estado. Si elegimos

posicin del motor, velocidad del motor, y corriente de armadura como las variables de

estado, podemos escribir las ecuaciones como sigue:

Requerimientos de diseo

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Quisiramos poder posicionar muy precisamente al motor, entonces el error de estado

estacionario de la posicin del motor debera ser cero. Adems quisiramos que el error deestado estacionario debido a una perturbacin tambin sea nulo. El otro requerimiento a la

performance es que el motor alcance muy rpidamente su posicin final. En este caso,

queremos tener un tiempo de establecimiento de 40ms. y un sobrepico menor que 16%.

Si simulamos la entrada de referencia (R) por una entrada escaln unitario, entonces lasalida velocidad del motor debera tener:

Tiempo de establecimiento menor que 40 milisegundos

Sobrepico menor que 16%

Error de estado estacionario nulo

Sin error de estado estacionario debido a una perturbacin

Representacin en Matlab y respuesta a lazo abierto

1. Funcin de Transferencia

Podemos poner la funcin de transferencia en Matlab definiendo el numerador y el

denominador como vectores:

Cree un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos:

J=3.2284E-6;

b=3.5077E-6;

K=0.0274;

R=4;

L=2.75E-6;

num=K;den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) 0];

Ahora veamos qu hace el sistema original a lazo abierto. Copie el siguiente comando alfinal del archivo-m y ejectelo en la ventana de comandos del Matlab:

step(num,den,0:0.001:0.2)

Debera obtenerse la figura siguiente:

De la figura vemos que cuando se aplica 1 volt al sistema, la posicin del motor cambia en6 radianes, seis veces mayor que la posicin deseada. Para una entrada escaln de 1 volt, el

motor debe girar alrededor de 1 radian. Adems, el motor alcanza un estado estacionario

que no satisface los criterios de diseo

2. Espacio de Estado

Podemos poner las ecuaciones de espacio de estado en el Matlab definiendo las matricesdel sistema como sigue:

J=3.2284E-6;

b=3.5077E-6;

http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/mfile.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/mfile.html

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K=0.0274;

R=4;

L=2.75E-6;

A=[0 1 0

0 -b/J K/J

0 -K/L -R/L];

B=[0 ; 0 ; 1/L];C=[1 0 0];

D=[0];

La respuesta al escaln se obtiene mediante el comandostep(A,B,C,D)

Desgraciadamente, Matlab responde con

Warning: Divide by zero (divisin por cero)

??? Index exceeds matriz dimensions. (ndice excede dim de

matriz)

Error in ==> /usr/local/lib/matlab/toolbox/control/step.m

On line 84 ==> dt = t(2)-t(1);

Con esta representacin de las ecuaciones dinmicas estn habiendo problemas numricos

de escalamiento . Para solucionar el problema, escalamos el tiempo mediante tscale = 1000.

Ahora la salida tiempo estar en milisegundos en lugar de en segundos. Las ecuacionesestn dadas por

tscale = 1000;

J=3.2284E-6*tscale^2;

b=3.5077E-6*tscale;

K=0.0274*tscale;

R=4*tscale;

L=2.75E-6*tscale^2;

A=[0 1 0

0 -b/J K/J

0 -K/L -R/L];

B=[0 ; 0 ; 1/L];

C=[1 0 0];

D=[0];

La salida parece la misma que cuando se obtuvo atravs de la funcin de transferencia, pero

el vector tiempo debe ser dividido por tscale.[y,x,t]=step(A,B,C,D);

plot(t/tscale,y)

ylabel('Amplitud')

xlabel('Tiempo (seg)')

http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/motor-

1.html#ecuaciones

http://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~control2/Links/Tutorial_Matlab_esp/step.html