Modelado matemático de una membrana de...
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Modelado matemático de una membrana de diálisis
Aplicación de métodos de la Ingeniería Térmica a la Ingeniería Biomédica.
Manuel Prado Velasco
Grupo de Ingeniería Biomédica de la Universidad de Sevilla
Ciclo de conferencias 2000-2001.Grupo de estudiantes de Ingeniería Biomédica. EMBS-IEEE
Conferencias 2000-2001. Grupo de Estudiantes de Ingeniería Biomédica EMBS-IEEE
Objetivos
Desarrollo del modelo clásico de una membrana de diálisisRealización basada en analogía térmica
Diferencia de concentraciones logarítmica mediaEficienciaMétodo de la efectividad-NTUParámetros operativos y modo de funcionamiento
Comparación con resultados publicadosAplicación actual del modeloLimitaciones de la analogíaConclusiones y líneas de investigación actuales
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Escenario (I)
Pacientes con función renal muy disminuida o casi nula. Efectos:
Uremia y Acidosis. Acumulación de toxinas, o productos resultantes del metabolismo: Urea, Creatinina, ácidos, ...Acumulación de líquidos: edema.Efectos secundarios ligados a la incapacidad de los riñones para producir encimas: Osteomalacia, anemia, etc.Efectos secundarios ligados a los sistemas de control fisiológico: hipertensión secundaria
Terapias de substitución renal:
Hemodiálisis: eliminación de toxinas por medio de un dispositivo de separación externo.Diálisis Peritoneal: eliminación de toxinas por medio de una membrana corporal (membrana peritoneal).Transplante renal
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Escenario (II): Hemodiálisis
Mantener el equilibrio
homeostático
Esquema más usado en insuficiencia crónica:
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Riñón artificial (I)
Dispositivo de separación basado en membrana semipermeableClasificación procesos de separación
Presión -> Microfiltración, Ultrafiltración, Nanofiltración, Ósmosis InversaPotencial eléctrico -> ElectrodiálisisPresión parcial -> PervaporaciónGradiente de concentraciones -> Diálisis
Principios físicos de esos dos procesos de separaciónDiálisis: Difusión FisicoquímicaUltrafiltración: Convección Dinámica de fluidos
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Diametros característicos – Proceso separación controlado por TMP
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Apuntes históricos – previos al NCDS
Thomas Graham, fisicoquímico escocés estudia la difusión de solutos en membranas semipermeables y acuña el término “diálisis” – 1860.Kolff y colaboradores describen el primer tratamiento médico efectivo de la uremia por diálisis – 1944. Primera evidencia de la importancia de las moléculas de peso molecular bajo en la manifestación clínica de la uremia. (Tambor rotatorio de celofán grueso).Scribner y colaboradores aplican con éxito la primera terapia de diálisisintermitente – 1960 (una vez por semana).1966 Eschbach. Scribener y otros describen los primeros tratamiento de HD en el hogar.Decada de los 70 se implanta la prescripción 3 veces por semana, con membranas de aclaramiento ureico 50% superior.Estudios de la dializancia de moleculas medias (MM)- referencia la B12. Membranas sintéticas de flujo elevado (high flux) 1970 – 1985.
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Riñón artificial actual
Tipo más empleado en la actualidad: Dializador de fibras o tubos (hollow fiber).Proporciona una alta eficiencia y un volumen pequeño, con poca resistencia al flujo.
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Leyes fenomenológicas
Jn = −DdCdzLey de Fick
Jv = −Lpdpdz
Ley de Darcy
Jq = −αdTdz
Ley de Fourier
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Recuperador Calor– Régimen estacionario
PremisasRégimen estacionarioCoeficiente global de transferencia varia linealmente con la temperatura: U
Contracorriente
)ln(
)()(
etsTsteT
etsTsteTDTLM
DTLMAcUQ
−
−
−−−=
⋅=
Uc es U calculado para la temperatura “calorica”Las temperaturas calóricas para el fluido frío y caliente se calculan a partir de las temperaturas e y s, y el factor de “Colburn” FcFc se determina algebricamente con las temperaturas de entrada y salida y los valores de U de entrada y salida
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Modelo de membrana - diálisis
Bajo las mismas hipótesis
( ) ( )
ln( )
mU KA DCLM
DCLMC Cds Cs Cde
C CdsCs Cde
= ⋅
=− − −
−
−
00
Podemos extrapolar resultados y metodología para geometría a equicorriente o otras variantes: factores de corrección Q = KA F DCLMExtrapolación de conclusiones de operatividad como cruzamientos, ligados a diseños de membranas de varios pasos de tubos.Posibilidad de aplicar el método térmico: efectividad - NTU
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Método efectividad - NTU
Balance + Ecuación transporte + Definición eficiencia
Qb C Cs Qd Cds CdeQb C Cs KA DCLM
C CsC Cde
⋅ − = ⋅ −⋅ − = ⋅
=−
−
( ) ( )( )
000
0ε
Definiendo los términos siguientes
QdQbR
QbKANTU
=
=
)1(
)1(1RNTU
RNTU
eRe
−
−
−−
=ε
Contracorriente
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Modelo matemático - conclusiones
El modelo al que se ha llegado fue obtenido de forma directa en 1959 – 66La analogía presentada permite la extrapolación de resultados entre ambos dominios
Definiciones específicas en diálisis – Aclaramiento (dializancia)
mU = Qb (C0-Cs) = Qb ε (C0-Cde) = Kd (C0- Cde)
La expresión para el caudal de soluto filtrado se complica cuando se añade el mecanismo de ultrafiltrado.Para ese caso general no existen una solución exacta de parámetros concentrados (algébrica) y se acude a expresiones simplificadas:
mU = KdC0 = ε(QB - QUF)C0 + QUFC0 = KdεC0 + QUFC0
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Modelo matemático – Operación (I)
En HD suele trabajarse con eficiencias para la urea entre 60% y 85% es fuente de problemas.El parámetro controlante del aclaramiento es el caudal de sangre, sin embargo las condición anterior no permite una relación lineal entre Kd y QbEl funcionamiento es muy sensible a variaciones en el Area (NTU), producidas por ejemplo, por atascamiento de tubos.El funcionamiento a Qb no excesivo reduce la posibilidad de recirculación en el acceso vascularUna eficiencia estable, mejora la precisión en el tratamiento del ultrafiltrado, al desacoplar ambos procesos de separaciónSimplificación del computo de un aclaramiento equivalente en HD con Qb escalonada: Qb ti Tm∑ ( )
KdT
= ε
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Modelo matemático – Operación (II)
0
0.5
1
0 5 10
e ,NCUi Qr
NCUi
Eficiencia – NTU para R =1,2Tiende a 1/R. El “funcionamiento anómalo es debido a una definición de R no óptima (modelo directo)
0
2.5
5
7.5
10
0 0.25 0.5 0.75 1
8.61777
2.30259
l Qri
0.990 Qri
NTU – R para una eficiencia = 90%.La zona superior de la curva garantiza eficiencia > 90%.
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Aplicaciones: Cinética de la Urea – NCDS (1983-85)
BUNpreBUNpostTBWTUF
G
Kdt/V spUKM
Kd = aclaramiento de urea (dializancia de urea)V = Volumen de distribución de ureaT = tiempo de duración de la sesión
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Aplicaciones: Cinética de la Urea – Aportación GIB
Dialysis
[ ]
UFSP
RSP
SP
QTT
dtdVCKKG
TT
dtdCV
TTTt
−=+−=
−∈
,)(
,
ε
[ ]
UFR QTdtdVCKG
dtdCV
TTt
θ
θ
−= −=
+∈
,
,
Interdialysis
Model Dialysis interval
Aportación para compensar el rebote de urea asociado al efecto multicompartimentalSuministra un K más preciso
∫ −=∫T
SPTT
v T dttCdttC )()(0
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Aplicaciones: Modelo de 3 pools – GIB
Estructura teórica basada:Principio de conservación de la masa
UreaAgua
Relación constitutiva flujo de urea -concentración de ureaAlgoritmo de cálculo de la distribución de líquidos corporales
Conocimiento de concentración de proteinas en sangreConocimiento del HematocritoRelaciones empíricas ligadas a la situación de equilibrio homeostático
Diagrama de bloques:
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Aplicaciones: Prescripción de la dosis de Hemodiálisis
Prescripción
TAC
G
TBW
Diálisis aplicada
Kdt/V delivered
G measured
TAC measured
Muestras de BUN
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Problemática actual
Discrepancias aclaramiento fabricante – aclaramiento efectivo de casi un 20% de media.KA (permeabilidad x Area) aumenta una media de un 14% al incrementarse el flujo de dializado un 60%. Leupoldt y colaboradores 1997- Estudio HEMO sobre 22 tipos de dializadores.Influencia del ensuciamiento de los tubos por la absorción de proteinas plasmáticas: fundamentalmente en medias y grandes moléculasInterrelación biocompatibilidad – eficiencia separación: channeling, polarización de la concentración, distribución de solutos entre fases, etc.
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Limitaciones de la analogía térmica (I)
Asumiendo:Régimen estacionarioResistencia al transporte del soluto en los fluidos se encuentra localizada en una capa límite “estática” de espesor constante, gobernada por la difusiónEquilibrio del soluto en las tres fases
B
B
MM
M
D
D
DB
Dt
Dkt
Dt
CCJ++
−=D, M, B: 3 fasest = espesor faseD = coef. difusiónkM = coeficiente distribución soluto
entre la membrana y la solución
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Limitaciones de la analogía térmica (II)
Conclusiones en base al análisis diapositiva anterior :
La eficiencia de la membrana puede no estar controlada por su coeficiente de transferenciaPara un tipo de membrana, la eficiencia puede variar enormemente con la anchura del canal fluido y con las velocidades locales del fluidoMejoras substanciales en las propiedades de permeabilidad de la membrana obligan a optimizar mucho el diseño de los conductos de sangre y dializante
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Limitaciones de la analogía térmica (III)
Es suficiente el análisis anterior? NO
No es capaz de explicar la mayoría de los fenómenos nombrados en Problemática Actual.
laminar boundary layer
bulk solution
conc
entra
tion
Cw
Cb
pC
permea te
J v
J consJ
Jdiff
bZ
solute concentra tion profile in the in fee d solution at the membra ne surface
Cb
Cw
dista nce pe rpendicular to the membrane surface z
me mbrane
s
s
s
s
s
s
s
ks =DsZb
Ejemplo: el incremento de KA asociado al aumento de flujo dializante puede estar ligado a una reducción de la anchura de la capa límite asociada a la reducción en la polarización de la concentración, entre otros motivos.
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Limitaciones de la analogía térmica (IV)
El régimen laminar-turbulento afecta al tratamiento de la polarización.
f low veloc ity (u)
lam in ar b ou nd ary layertu rb u len t f low f low veloc ity p rofile
ch an n el len gth (x)x= 0 ch an n el len gth (x)x= 0
ch an n el len gth (x)x= 0
la m inar f low f low ve loc ity p rof ile "b oun d ary layer"
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Principio de generalización basado en la analogía
Matemático: Eliakim Hastings Moore We lay down a fundamental principle of
generalization by abstraction:The existence of analogies between centralfeatures of various theories implies the existence of a general theory which underlies the particular theories and unifies them withrespect to those central features...
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RESUMEN
La aplicación presentada muestra como la ingeniería biomédica no solo está asentada fuertemente en los conocimientos y métodos de la ingeniería “clásica”, sino que puede aprovechar resultados científicos por medio de las analogíasSe ha mostrado brevemente el estado actual y la importancia de las membranas como elemento de eliminación de toxinasSe han mostrado las limitaciones de la analogía y las limitaciones actuales en el entendimiento y modelización de estos dispositivos