Modelado MatemÆtico de un Convertidor de Tensión BOOST con ...

Modelado Matemático de un Convertidor deTensión BOOST con Control por Modos

Deslizantes (SMC): Análisis de Estabilidad yBifurcaciones.

Francisco Jesús Bernal Angulo

Mayo 2009

Índice general

1. Introducción 51.1. Convertidores electrónicos de potencia conmutados . . . . . . 51.2. Nociones de estabilidad de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Modelado de sistemas conmutados . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Dinámica de deslizamiento. Clasi�cación de las bifurcaciones . 121.5. La Bifurcación de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Ejemplo canónico de la bifurcación de Hopf . . . . . . 161.5.2. La forma normal de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3. Caracterización de la bifurcación en sistemas bidimen-

sionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Modelado del convertidor 372.1. Descripción del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3. Control del convertidor por modos de deslizamiento . . . . . . 45

2.3.1. Estrategias posibles de control . . . . . . . . . . . . . . 462.4. Análisis de los equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5. Dominio de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Análisis de la bifurcación para la dinámica sliding 553.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Caracterización de la bifurcación . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Análisis del funcionamiento del convertidor Boost con con-trol SMC 654.1. Transiciones posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Casos bidimensionales para la dinámica del convertidor Boost 69

5. Simulaciones y conclusiones 735.1. Casos en que se supone bobina no ideal, rL 6= 0 (b 6= 0) . . . . 73

5.1.1. Primer escenario, con ganancia yd = 1;33 . . . . . . . . 73

3

5.1.2. Segundo escenario, con ganancia yd = 2 . . . . . . . . . 945.2. Casos con bobina ideal rL = 0 (b = 0) . . . . . . . . . . . . . . 99

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Capítulo 1

Introducción

En este proyecto pretendemos poner de mani�esto la riqueza dinámicay la complejidad de comportamientos que pueden aparecer en un dispositi-vo aparentemente elemental como es un sencillo convertidor electrónico detensión.En este primer capítulo se introducen, por un lado, el modelado y control

de convertidores electrónicos de potencia y, por otro lado, se repasan losconceptos relativos a la bifurcación de Hopf que necesitaremos en nuestroanálisis posterior. También se hace hincapié en el repaso y asentamiento dealgunos conceptos relativos a la estabilidad de sistemas, que son necesariospara la comprensión del estudio que realizaremos del convetidor Boost a lolargo del presente proyecto.

1.1. Convertidores electrónicos de potenciaconmutados

La alimentación de los equipos electrónicos, que en su mayoría requierende una tensión continua, es un problema aún no resuelto satisfactoriamenteen todas las situaciones por lo que se sigue investigando en nuevas fuentes dealimentación y en el control de las mismas. Cuando la tensión que nos llegaes alterna, como es el caso de la red eléctrica, lo que se suele hacer es utilizarun recti�cador que nos convierta dicha tensión en continua, pero cuyo valor�nal no suele coincidir con las necesidades del circuito a alimentar. Lo mismopuede ocurrir cuando disponemos de una fuente de tensión continua.Ante esta situación se hace necesario incluir una etapa intermedia entre

la tensión de entrada que tenemos y el equipo electrónico al que queremossuministrar la energía. Una de las posibles soluciones a este problema es re-currir a los llamados convertidores electrónicos de potencia conmutados, más

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concretamente a aquellos que trabajan únicamente con corriente continua.Los hay de tres tipologías distintas: convertidores buck, que reducen el va-lor de la tensión, convertidores boost, que la elevan y en el cual centraremosnuestro objeto de estudio, y convertidores buck-boost.La ventaja que tiene el utilizar uno de estos convertidores frente a otras

alternativas, como puede ser el emplear directamente un transformador detensión, es que estos tipos de circuitos consiguen el objetivo que buscamos conuna gran e�ciencia y con un número reducido de componentes electrónicos,que resultan en un equipo de pequeño tamaño y reducido peso. Sin embargo,al ser, como su propio nombre indica, un circuito constituido por elementosque conmutan durante su funcionamiento, la dinámica resultante del circuitoes no lineal y el control de la misma presenta una serie de problemas quenecesitan ser estudiados.Una de las estrategias típicas de control empleadas en este tipo de cir-

cuitos es la modulación del ancho de pulso (Pulse Width Modulation, PWM ).Otra posibilidad, introducida en los últimos años, es el uso de técnicas decontrol basadas en el control por modos deslizantes (Sliding Mode Control,SMC ), que es la que en este proyecto se desarrollará y estudiará. Esta téc-nica se basa en introducir un plano u otra super�cie de conmutación en elespacio de estados de manera que éste queda dividido en dos subespacios.En cada uno de ellos el sistema controlado presentará una dinámica distinta,por lo que cada vez que la trayectoria del sistema atraviese el plano de con-mutación, las soluciones presentarán una discontinuidad como consecuenciade la existente en el modelo global del sistema.

1.2. Nociones de estabilidad de sistemas

Para el estudio de la estabilidad del modelo de un sistema, el primer pasoes el cálculo del punto de equilibrio del mismo.A continuación, pasamos a dar algunas de�niciones de gran importancia

para la lectura y compresión del presente trabajo.Punto de equilibrio: Dado el sitema _x = f(x), diremos que xeq es un

punto de equilibrio, si corresponde a una solución constante, es decir,

f(xeq) = 0; (1.1)

pues entonces, x(t) = xeq para todo t satisface la ecuación diferencial delsistema.Cabe preguntarse qué sucede si el valor inicial del estado del sistema es

cercano a xeq, pues podría suceder que el modelo sufra una pequeña alteraciónen un cierto momento, y se quiere saber si después de esa perturbación la

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Figura 1.1: Ejemplo de punto de equilibrio estable.

dinámica del sistema volverá a estabilizarse al valor xeq o si en cambio, tomaráotro rumbo completamente distinto. Planteamos así la siguiente de�nición.Punto de equilibrio estable: Un punto de equilibrio xeq es estable si

existe un entorno de xeq tal que toda solución que en algún instante t caigaen ese entorno, permanecerá dentro de él en el futuro. En caso contrario, elpunto de equilibrio se llamará inestable. Si además de ser estable, las solu-ciones tienden a xeq cuando el tiempo t tiende a +1,se dice que el punto esasintóticamente estable.Analizamos ahora cómo saber si el punto de equilibrio es estable o no.

Para esto, consideramos el caso unidimensional. Si f(x) > 0, toda soluciónque en un cierto t sea igual a x será creciente en dicho instante. Por lo tanto,si f(xeq) = 0 y f(x) es positiva en un semientorno izquierdo de xeq, entoncespara cualquier x en ese entorno, se tiene que la solución que pasa por x crece ypor lo tanto tenderá a xeq. Si, en cambio, f(x) es negativa en un semientornoizquierdo de xeq, entonces la solución x decrecerá, alejándose así de xeq. Elmismo tipo de consideraciones sirve para un entorno derecho de xeq.Debemos notar que, en particular, si en un entorno reducido de xeq el

signo de f(x) es constante, entonces xeq es inestable.Concluimos por tanto, los siguientes resultados:

Proposición 1 (Criterio de estabilidad). Un punto de equilibrio xeq esestable si f(x) es positiva en un semientorno izquierdo de xeq y negativaen uno derecho.

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Figura 1.2: Ejemplo de punto de equilibrio inestable.

Figura 1.3: Otros ejemplos de puntos de equilibrio inestables.

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Proposición 2 (Criterio de inestabilidad). Un punto de equilibrio xeqes inestable si f(x) es negativa en un semientorno izquierdo de xeq opositiva en uno derecho.

Por otro lado, la equivalencia local entre un sistema no lineal y su lineal-ización alrededor del punto de equilibrio es una propiedad importante de lossistemas no lineales que nos permite analizar la estabilidad en estos puntos.En el caso multidimensional, la matriz constante del sistema lineal equiva-lente _x = Ax se llama matriz jacobiana y sus coe�cientes son las derivadasparciales de la función respecto a las variables de estado.Así, en el caso bidimensional, si tenemos el sistema�

_x = f(x; y)_y = g(x; y)

�;

la matriz jacobiana resulta ser

J(x; y) =

"@f(x;y)@x

@f(x;y)@y

@g(x;y)@x

@g(x;y)@y

#; (1.2)

que particularizaremos en el punto de equilibrio, para caracterizar su esta-bilidad.En general, las soluciones de un sistema lineal son de tal forma que apare-

cen exponenciales cuyo argumento depende de la parte real de los autovaloresde la matriz Jacobiana, que por tanto van a determinar la estabilidad del mis-mo. Para que la dinámica sea estable (y así, las soluciones que dependen dela parte real de los autovalores, puedan converger a un valor determinadocuando t ! 1), los autovalores de esta matriz deberán tener la parte realnegativa.Como ya es conocido, los autovalores de una matriz, son las soluciones del

polinomio característico de dicha matriz. Por tanto, si se supone la matrizjacobiana de la siguiente forma,

J(xeq; yeq) =

�a bc d

�;

y escribimos la matriz, �a� � bc d� �

�;

imponiendo la anulación del determinante de dicha matriz, se obtiene el poli-nomio característico, de manera que

P (�) = �2 � (a+ d)�+ ad� bc: (1.3)

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Si identi�camos los términos del polinomio, éste se puede expresar como,

P (�) = �2 � Traza(J)�+Det(J) = 0; (1.4)

por tanto, el valor de los autovalores depende de la traza y del determinantede la matriz jacobiana, ya que estos se pueden de�nir como,

�1;2 =Traza(J)�

pTraza(J)2 � 4Det(J)2

: (1.5)

Comprobamos que,

Traza(J) = �1 + �2; Det(J) = �1 � �2; (1.6)

de manera que la estabilidad del sistema exigirá

Traza(J) < 0;

Det(J) > 0:

Es fácil ver ahora que tendremos dos posibles fronteras de inestabilidad. Laprovocada cuando la traza de la matriz jacobiana pasa por 0 con Det(J) > 0,y cuando el determinante de la misma pasa por 0 con Traza(J) < 0. Enconcreto,

1. cuando la traza es 0, el polinomio tiene la siguiente forma,

P (�) = �2 +Det(J) = 0; (1.7)

y los autovalores correspondientes serán imaginarios puros,

� = �ipDet(J): (1.8)

En este tipo de inestabilidad, se puede dar el caso que se produzcala llamada bifurcación de Hopf. Cuando el sistema ha atravesado es-ta frontera de inestabilidad, las soluciones tienen un comportamientooscilatorio inestable, actuando en una zona generalmente no deseada.

2. En el caso en que el determinante de la matriz jacobiana se hace 0, elpolinomio característico tiene la siguiente forma,

P (�) = �2 � Tra(J)� = 0; (1.9)

y los autovalores veri�can

�1 = 0; �2 = Traza(J); (1.10)

lo que provoca que la dinámica del sistema se encuentre en la fronterade funcionamiento estable y que cualquier cambio en esta dinámicaproduzca una inestabilidad. Este tipo de bifurcación es conocida comobifurcación silla-nodo y típicamente involucra la aparición o desapari-ción de dos equilibrios.

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1.3. Modelado de sistemas conmutados

Las fuentes electrónicas de potencia conmutadas son en esencia sistemasque presentan una dinámica no lineal. Para analizar y diseñar un sistemade control apropiado se necesita un modelo preciso que de�na correctamentedicha dinámica. Existen diversos enfoques a la hora de de�nir dicho modelocomo puede ser el empleo de modelos linealizados alrededor del punto defuncionamiento, de modelos no lineales promedio o los denominados modeloshíbridos.Los primeros solo son válidos para pequeñas perturbaciones de la señal

alrededor del punto de funcionamiento, mientras que los segundos prome-dian los efectos de la conmutación con respecto al periodo de conmutacióny el conocimiento del comportamiento del circuito durante ese instante enel que el circuito conmuta se pierde. Además, en ninguno de estos dos tiposde modelos es posible recoger todos los posibles modos de conducción o defuncionamiento que va a presentar nuestro sistema. Por estas razones, eneste proyecto la opción elegida es la de los modelos híbridos, que nos permi-tirán recoger en un solo sistema de ecuaciones diferenciales toda la dinámicadel sistema. Éstos modelos se caracterizan por la presencia simultánea devariables continuas y discretas.El modelo de nuestro sistema dinámico puede representarse mediante una

función f : Rn � R! Rn describiéndolo en la forma

_x = f(x; u);

donde

u(x) = u+(x); si h(x) > 0;

u(x) = u�(x); si h(x) < 0:

y donde la función escalar h : Rn ! R determina una super�cie (n � 1)-dimensional

S = fx 2 Rn : h(x) = 0g:Dicha super�cie representa el lugar geométrico donde se produce la con-

mutación, también denominada super�cie de deslizamiento, que divide alespacio de estado es dos regiones diferentes

�+ = fx 2 Rn : h > 0g;�� = fx 2 Rn : h < 0g;

por lo que el sistema puede ser reescrito en la forma

_x = f+(x; u+(x)); si x 2 �+; (1.11)

_x = f�(x; u�(x)); si x 2 ��:

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En las ecuaciones (1.11) queda patente que el comportamiento dinámicodel sistema está dictado por dos campos vectoriales distintos según la regióndel espacio de estados en la que nos encontremos. Como resultado, el sistemacambiará de estructura dependiendo del estado de las variables del sistema.Dicho cambio se producirá en los puntos de la super�cie S donde el sistemase vuelve no derivable.Sobre la super�cie S existe una región, denominada dominio de desliza-

miento, que se denotará por que tiene la particularidad de que sobre ellaambos campos vectoriales están dirigidos hacia la super�cie de deslizamientoempujando ambos en sentidos opuestos. Como consecuencia el sistema nopodrá abandonar el plano y se queda deslizando sobre el mismo. En dicharegión, se cumplirá que los productos escalares

hrh(x); f+(x; u+(x)i < 0;

hrh(x); f�(x; u�(x)i > 0;

tendrán un signo opuesto, indicando que el campo apunta hacia el plano dedeslizamiento por ambos lados.

1.4. Dinámica de deslizamiento. Clasi�caciónde las bifurcaciones

En el dominio de deslizamiento , al pertenecer a la super�cie S, el campovectorial f está inde�nido, por lo que las ecuaciones (1.11) no describen ladinámica del sistema cuando se encuentra en modo de deslizamiento. Paradeterminar dicha dinámica existen varios procedimientos, como pueden ser elmétodo de Continuación de Filippov, o el del Control Equivalente de Utkin,que es el que se va a seguir en este proyecto. Consiste en reemplazar lavariable discontinua u del sistema híbrido que de�ne nuestro sistema, por uncontrol equivalente ueq de manera que, para el campo resultante, se satisfagala condición

d

dt[h(x(t))] = 0;

denominada condición de invarianza, cuando suponemos que la solución ver-i�ca la condición

h(x) = 0;

es decir, que nos encontramos en la super�cie de deslizamiento.La dinámica del modo de deslizamiento viene dada entonces por el sistema

equivalente_x = f(x; ueq(x)) = feq(x):

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Una vez obtenida esta dinámica, contamos con una de�nición del campovectorial para todos los puntos del espacio de estados.

Podemos ahora de�nir distintos tipos de puntos de equilibrio en funciónde que éstos se encuentren dentro de la super�cie de deslizamiento o no. Alos primeros se les llamará puntos de equilibrio de deslizamiento o puntos depseudo-equilibrio y, a los segundos, puntos de equilibrio naturales o propia-mente dichos. Para obtenerlos hay que resolver los sistemas de ecuaciones

feq(x) = 0; (1.12)

h(x) = 0;

para el caso del equilibrio de deslizamiento, y

f+(x) = 0;

f�(x) = 0;

para los posibles equilibrios naturales.A su vez, para cada tipo de equilibrio podemos distinguir entre puntos

reales y puntos virtuales de equilibrio. Aquí el adjetivo virtual indica que, ensu caso, el punto puede organizar la dinámica de una determinada región delespacio de estados, sin ser un auténtico valor de equilibrio, por encontrarsefuera de dicha región. Así, para los equilibrios naturales tenemos que lospuntos reales de equilibrio son los que cumplen

f+(x) = 0, con x 2 �+;f�(x) = 0; con x 2 ��;

mientras que los puntos de equilibrio virtual son aquellos en que

f+(x) = 0, con x 2 ��;f�(x) = 0; con x 2 �+:

Por su parte, para los puntos de equilibrio de deslizamiento, los puntos realesson aquellos que cumpliendo (1.12) pertenecen al dominio de deslizamiento, y los virtuales son aquellos que no pertenecen a .Con todas estas de�niciones, podemos hacer una clasi�cación del tipo de

bifurcaciones que pueden presentarse en este tipo de sistemas. Así podemosdistinguir tres tipos diferentes:

Tipo I. Bifurcaciones que implican el colapso o cambio de la estabilidad delos puntos de equilibrio (punto de silla, Hopf, etc.)

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Tipo II. Bifurcaciones relacionadas con el cambio de carácter real/virtualde los puntos de equilibrio.

Tipo III. Desaparición o aparición de un dominio de deslizamiento.

El objetivo de este proyecto será llevar a cabo el análisis de la bifurcaciónde Hopf que se produce en el convertidor boost como consecuencia de variarla ganancia de control cuando se utiliza una estrategia de modos deslizantes,obteniendo su caracterización y las implicaciones que tiene desde el punto devista del diseño y del comportamiento que presentará el circuito.Hemos deindicar, tal y como se hace referencia en (bibliografía) los otros dos tipos debifurcaciones también pueden presentarse en este tipo de circuitos.

1.5. La Bifurcación de Hopf

El comportamiento dinámico de muchos procesos físicos o de la inge-niería de sistemas viene modelado por un sistema de ecuaciones diferenciales.En general estas ecuaciones son no lineales y, además, dependen de ciertosparámetros que representan los posibles valores de las magnitudes que �janel caso concreto de proceso o el control del sistema. La elección de los val-ores concretos de los parámetros del sistema determina los posibles estadosde equilibrio del mismo y su modo de respuesta dinámica ante las pequeñasperturbaciones de cada estado de equilibrio. Al evolucionar con continuidadlos valores de los parámetros, los posibles estados de equilibrio van cambian-do, de manera que pueden surgir algunos nuevos equilibrios o desaparecerotros o simplemente cambiar sus propiedades.En términos generales, el análisis del carácter de un punto de equilibrio

de un sistema dinámico �es decir la discusión de si es o no estable�se re-mite a la investigación de la estabilidad del origen como punto de equilibriodel sistema linealizado. Básicamente el signo de la parte real de los valorespropios de la matriz de coe�cientes del sistema linealizado es quien �ja laestabilidad, que se garantiza cuando todos los valores propios tienen partereal negativa. En sistemas dinámicos dependientes de parámetros, el modelolinealizado también cambiará al modi�carse los valores de dichos parámetros,de manera que el cáracter de los correspondientes puntos de equilibrio puederesultar alterado. Los cambios cualitativos del carácter de un determinadopunto de equilibrio son el resultado de lo que se denomina una bifurcación.Las posibilidades de bifurcación son muy variadas, y aquí nos limitaremos aapuntar las dos que se producen genéricamente en sistemas dependientes deun sólo parámetro.

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En sistemas con un sólo parámetro la pérdida de estabilidad se producegenéricamente mediante dos posibles mecanismos netamente diferenciados.En el primero de ellos, un valor propio real inicialmente negativo evolucionacon el cambio de los valores del parámetro hacia el semiplano real positivo.Puede demostrarse que, también genéricamente, en este caso se pierde laestabilidad por la con�uencia del punto de equilibrio estable (nodo) con otroinestable (silla). Este fenómeno se denomina por esta razón bifucación silla-nodo, y no será aquí objeto de más comentarios. La segunda posibilidadaparece cuando la estabilidad se pierde como consecuencia de que un parde valores propios complejos conjugados atraviesan el eje imaginario con loque el punto de equilibrio se vuelve inestable. En este caso, genéricamente seproduce lo que se denomina una bifurcación de Hopf, que constituye el temacentral de este trabajo.La característica esencial de la bifurcación de Hopf es que, para valores

del parámetro cercanos al valor de bifurcación, se produce la aparición deun ciclo límite del sistema en las cercanías del estado de equilibrio. Existendos posibilidades diferentes, de propiedades y consecuencias prácticas muydistintas. En primer lugar el ciclo límite (que será inestable y por tanto,las trayectorias se desprenden de una órbita cerrada) puede coexistir con elpunto de equilibrio estable, antes de que el parámetro alcance el valor debifurcación. En este caso la bifurcación de Hopf de denomina subcrítica, ysupone en la práctica una limitación del dominio de atracción del punto deequilibrio. Como segunda posibilidad, el ciclo límite puede surgir una vezque se ha traspasado el valor de bifurcación. En este caso se habla de unabifucación supercrítica, en la que el ciclo límite es estable (las trayectoriasdel sitema tienden a formar una órbita cerrada). En este supuesto el cicloconstituye un atractor que mitiga la inestabilidad del punto de equilibrio.La teoría de la bifurcación de Hopf es relativamente complicada. Vamos

a intentar presentar, de manera simpli�cada pero completa, una derivaciónfundamentalmente heurística de las ideas y fórmulas esenciales que surgenen esta teoría.La siguiente sección presenta en detalle un ejemplo elemental de sistema

bidimensional en el que aparece una bifurcación de Hopf. El objetivo es fa-miliarizar al lector con las ideas fundamentales y las diferentes propiedadesde los dos tipos de bifurcación. Este ejemplo es importante porque el estu-dio del caso general se reduce en cierto modo a él, que actúa así de modelocanónico o paradigmático de la bifurcación de Hopf. Se desarrolla la reduc-ción de un sistema plano a la denominada forma normal de Poincaré, conla que se puede tratar el caso de un sistema plano general, que se remite enesencia al ejemplo introductorio estudiado. Seguimos en estas secciones lasideas que ya fueron presentadas en el proyecto �n de carrera de P. Noguerol

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[1]

1.5.1. Ejemplo canónico de la bifurcación de Hopf

Vamos a estudiar en detalle un ejemplo de sistema diferencial plano de-pendiente de un parámetro que presenta una bifurcación de Hopf. Consider-emos el sistema dinámico bidimensional

_x = f(x; y) = �x� !0y + (ax� by)(x2 + y2); (1.13)

_y = g(x; y) = !0x+ �y + (bx+ ay)(x2 + y2);

donde la prima indica derivada respecto al tiempo, se supone que a, b y !0son tres valores reales �jos y que � es un parámetro real. Se supone ademásque !0 > 0:Para buscar los puntos de equilibrio que presenta este sistema, igualamos

a cero las ecuaciones de nuestro sistema bidimensional (1.13), obteniendo unpunto de equilibrio en el origen del plano. Para estudiar la estabilidad de estepunto de equilibrio, debemos hallar los autovalores de este sistema. Por lotanto, calculamos la matriz jacobiana de nuestro sistema.

J(x; y) =

"@f(x;y)@x

@f(x;y)@y

@g(x;y)@y

@g(x;y)@x

#=

=

��+ 3ax2 + ay2 � 2byx �!0 + 2axy � bx2 � 3by2!0 + 3bx

2 + by2 + 2ayx �+ abxy + ax2 + 3ay2

�:

Si particularizamos esta matriz para el punto de equilibrio, se obtiene

J(0; 0) =

�� !0!0 �

�;

y ahora ya podemos calcular los autovalores, resolviendo la ecuación�� !0!0 ��

�� = 0:Enseguida vemos que los valores propios son el par de números complejosconjugados � � i!0, de manera que puede asegurarse que el origen es unpunto de equilibrio estable si el parámetro � es negativo, e inestable si elparámetro � es positivo. Obviamente, el valor � = 0 corresponde a unasituación de bifurcación. La estabilidad del origen en este caso se estudiaráposteriormente.

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Vamos a comprobar que además de este punto de equilibrio el sistemapresenta, para determinados valores del parámetro �, un ciclo límite, que dehecho es un círculo centrado en el origen. Introduciendo la función compleja

z(t) = x(t) + iy(t); (1.14)

es inmediato escribir que

z = x� iy;jzj2 = z � z = x2 + y2:

Esta variable satisface la ecuación diferencial

_z = _x+ i _y =

= �x� !0y + (ax� by)(x2 + y2) + i�!0x+ �y + (bx+ ay)(x

2 + y2)�=

= �(x+ ib) + i!0(x+ iy) + (x2 + y2) [(ax� by) + i(bx+ ay)] ;

y por lo tanto podemos reescribir el sistema (1.13) en la forma

_z = �z + i!0z + (a+ bi)z jzj2 :

Hemos comprobado así que el sistema se puede escribir, fácilmente, en laforma

z0(t) = (�+ i!0) z + (a+ ib) z jzj2 : (1.15)

Si usamos la forma polar

z(t) = �(t)ei�(t); (1.16)

se tiene que

z0(t) = �0(t)ei�(t) + �(t)ei�(t)i�0(t): (1.17)

Sustituyendo la ecuación (1.16) en la ecuación (1.15) obtenemos:

z0(t) = (�+ i!0)�(t)ei�(t) + (a+ ib)�(t)3ei�(t); (1.18)

e igualando las ecuaciones (1.17) y la (1.18) llegamos a que:

�0(t)ei�(t) + �(t)ei�(t)i�0(t) = (�+ i!0)�(t)ei�(t) + (a+ ib)�(t)3ei�(t);

�0(t) + �(t)i�0(t) = (�+ i!0)�(t) + (a+ ib)�(t)3:

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Si identi�camos por separado la parte real y la imaginaria, resultan las ecua-ciones

d�

dt= ��+ a�3 (evolución del radio polar),

d�

dt= !0 + b�

2 (evolución del ángulo polar).

La primera ecuación (que evidentemente sólo tendrá sentido para � > 0) nodepende del ángulo polar, por lo tanto está desacoplada y puede estudiarsepor separado

Para encontrar los puntos de equilibrio de la ecuación diferencial delradio polar, debemos igualar dicha ecuación a cero. De esta manera llegamos

��+ a�3 = 0 () �(�+ a�2) = 0,

y obtenemos claramente un punto de equilibrio en � = 0 para cualquier valorde �, que se corresponde con el punto de equilibrio existente en el origen delsistema original. Además, la ecuación presenta en ciertos casos un segundopunto de equilibrio, que viene dado por la solución positiva de la ecuación

�+ a�2 = 0 ;

en el supuesto de que esta ecuación tenga raices positivas. Despejando, estasolución viene dada por

�(�) =

r��a;

y existe como solución real cuando el radicando es positivo, es decir, cuandoel producto a� es negativo.La existencia de este punto de equilibrio �(�) para el radio polar supone

que en el sistema original existe un círculo estacionario centrado en el origen,cuyo radio es este valor de equilibrio �(�). Esta órbita del sistema plano seráestable o inestable según que el punto de equilibrio de la ecuación diferencialdel radio polar sea estable o inestable. Para analizar la estabilidad del ciclolímite de radio �(�), bastará analizar el signo de la derivada, que viene dadapor

d

d�(��+ a�3)

��=p��a

= �+ 3a(��a) = �2�.

Se obtiene así que el punto de equilibrio, y por tanto el ciclo límite asociado,es estable cuando � > 0 e inestable cuando � < 0.

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Las �guras 1.1 a 1.4 representan los diagramas de bifurcación en funcióndel signo de la constante a. El caso a > 0 corresponde a una bifurcaciónsubcrítica (el ciclo límite existe sólo si � < 0 y es inestable) y el caso a < 0a una supercrítica (ahora el ciclo límite existe cuando � > 0 y es estable).Si representamos el ciclo límite en el espacio (x; y; �) para cada valor delparámetro �, obtenemos la familia de ciclos límite que forman una super�cieparabólica, como podemos apreciar en las �guras 1.1 y 1.3 de la siguientepágina.Esta misma representación la podemos hacer sobre el plano (�; �),obteniendo para valores de a > 0 la �gura 1.2, donde la linea de círculos enblanco representa la variación con � del radio de la órbita inestable en labifurcación subcrítica, y para valores de a < 0 la �gura 1.4, donde la linea decírculos negros representa la variación con � del radio del ciclo límite estableen la bifurcación supercrítica.Las ecuaciones diferenciales del sistema en coordenadas polares se pueden

integrar con relativa facilidad, obteniéndose con ello las soluciones del sistemaexplícitamente. Para simpli�car la exposición supondremos que b = 0 y !0 =1, lo que supone prácticamente que � = t. El caso general se trata de modoidéntico.Si la condición inicial es �(0) = �0 > 0, separando variables e integrando

se tiene Z �

�0

d�

��+ a�3=

Z t

0

dt:

Para realizar el cálculo, obtenemos la descomposición del integrando delprimer miembro en fracciones simples, lo que conduce a la igualdad

1

��+ a�3=1

�

�1

�� a�

�+ a�2

�.

Utilizando esta expresión, se tiene

Z �

�0

d�

��+ a�3=1

�

�log �� 1

2log

��+ a�2��0

=1

�

"log

�

j�+ a�2j12

#��0

y obtenemos entonces

1

�

"log

�

j�+ a�2j12

#��0

= t,

de donde se deduce que la dependencia de � y t viene establecida por laecuación

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Figura 1.4: Bifurcación de Hopf subcrítica en el espacio (x, y, �).

Figura 1.5: Diagrama de una bifurcación de Hopf subcrítica

20

Figura 1.6: Bifurcación de Hopf supercrítica en el espacio (x, y, �)

Figura 1.7: Diagrama de una bifurcación supercrítica de Hopf

21

�2

j�+ a�2j =�20

j�+ a�20je2�t.

Para analizar las soluciones, es conveniente distinguir dos casos, determinadospor el signo del producto a�:

Caso 1 a� > 0

En este caso el signo de � coincide con el de a y, como ya hemos comentadoanteriormente, no existe ciclo límite. Haciendo �

a= r2, la relacion entre � y

t se puede escribir claramente como

�2

�+ a�2=

�20�+ a�20

e2�t;

despejando � se deduce la expresión de su dependencia explícita de t, que escomo sigue

� =�0e

�tq1 +

�20r2(1� e2�t)

.

Las soluciones presentan entonces un comportamiento radicalmente diferentesegún que el parámetro � sea negativo o positivo.En el primer caso, es decir, si � < 0, es claro que el radicando del de-

nominador es siempre positivo, por lo que la solución está de�nida en todoel intervalo [0;+1) : Además, se cumple que

l��mt�!1

� = 0,

es decir, el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable cuyodominio de atracción es todo el plano. La �gura 1.5 presenta el aspecto deuna trayectoria en este caso.En cambio, cuando � > 0 el radicando sólo tiene sentido en el intervalo

[0; t1], siendo

t1 =1

2�log

�1 +

r2

�20

�,

y además se tiene

l��mt�!t1

� =1,

por lo tanto la solución se hace no acotada en un tiempo �nito. Esta situaciónindica que el origen es un punto de equilibrio inestable. La �gura 1.6 repre-senta una trayectoria típica del sistema en este supuesto.

22

Figura 1.8: Origen estable. No hay ciclo límite

Figura 1.9: Origen inestable. No existe ciclo límite

23

Caso 2 a� < 0

En este supuesto, los signos de � y a son diferentes y, como antes apun-tamos, existe un ciclo límite. Poniendo �

a= � r2, el ciclo límite es un círculo

centrado en el origen de radio r. La relación entre � y t se escribe en la forma

�2

j�2 � r2j =�20

j�20 � r2je2�t:

Dado que la ecuación presenta un punto de equilibrio en � = r, es claroque si �0 > r se cumplirá que � > r para todo t > 0. Alternativamente, si�0 < r también será � < r para todo t > 0. Con esta observación, se deduceque la anterior relación entre � y t se puede escribir en la forma

�2

�2 � r2 =�20

�20 � r2e2�t,

puesto que las diferencias �2 � r2, y �20 � r2 tienen en todo caso el mismosigno. Despejando en esa ecuación el valor de �, se obtiene la fórmula

� =�0e

�tq1 +

�20r2(e2�t � 1)

.

De nuevo, el comportamiento de la solución es diferente según que el valordel parámetro � sea positivo o negativo.Si � > 0; es claro que el radicando del denominador es siempre positivo,

cualquiera que sea el valor de � 6= r; además, es fácil comprobar que

l��mt�!1

� = r.

En el sistema original, esto viene a decir que el origen del sistema es unpunto de equilibrio inestable, el cual se encuentra rodeado por una órbitacerrada aislada (ciclo límite), que es única y estable. El ciclo límite es uncírculo de radio �(�) = r cuyo dominio de atracción es todo el plano, salvo elorigen que es un punto de equilibrio inestable. Todas las órbitas que empiezanfuera o dentro del ciclo límite, excluyendo el origen, tienden a este ciclocuando t 7�! 1: Este cambio de comportamiento al inestabilizarse el origeny llegar a una oscilación autosostenida es el típico en una biurcación de Hopfsupercrítica. La �gura 1.7 presenta un par de trayectorias del sistema, unaque comienza dentro del círculo límite y la otra en su exterior.En el supuesto de que � < 0 es necesario distinguir los dos casos �0 < r

y �0 > r, es decir, que el punto inicial esté situado dentro o fuera del ciclolímite. Si �0 < r, es claro que el radicando del denominador siempre toma

24

Figura 1.10: Origen inestable. Existe ciclo límite estable.

valores positivos, con lo que la solución existe para todo t > 0 y además secumple que

l��mt�!1

� = 0:

En cambio si �0 > r la solución sólo existe mientras

t < t1 =1

2�log

�1� r

2

�2o

�:

Además se cumple que

l��mt�!t1

� = +1:

Esta situación se corresponde con el hecho de que el origen es un puntode equilibrio estable cuyo dominio de atracción es el círculo centrado en élmismo de radio r, y que este círculo es un ciclo límite inestable. La �gura 1.8adjunta representa dos soluciones de este caso.

25

Figura 1.11: Origen estable. Existe ciclo límite inestable

1.5.2. La forma normal de Poincaré.

Para esta sección seguiremos el desarrollo que aparece en el Capítulo 3de [3]. Consideremos el sistema dinámico bidimensional

_x = ef(x; y; �); (1.19)

_y = eg(x; y; �);del que suponemos que el origen del plano es un punto de equilibrio para todo�. En el caso de que no fuese así, sino que nuestro punto de equilibrio fueseun punto genérico P � (x0(�); y0(�)), trasladaríamos dicho punto al origendel plano para hacer más sencillos los cálculos posteriores. Para realizar estatraslación realizaríamos el siguiente cambio de variable:

bx = x� x0(�) �! x = bx+ x0(�) �! _x = bx0;by = y � y0(�) �! y = by + y0(�) �! _y = by0:Si sustituimos este cambio en el sistema original, obtendríamos

bx0 = ef�(bx; by; �)by0 = eg�(bx; by; �);26

cumpliéndose que en este sistema el origen del plano es un punto de equilibrio.Volvamos a nuestro sistema (1.19) del que suponemos que el origen del

plano es un punto de equilibrio, aceptemos además que la matriz jacobianadel sistema en el origen, es decir la matriz

J(0; 0; �) :=

� efx(0; 0; �) efy(0; 0; �)egx(0; 0; �) egy(0; 0; �)�;

admite como valores propios un par de números complejos conjugados �(�)�i!(�), con

�(0) = 0;

�0(0) 6= 0;

!(0) = !0 > 0:

En este caso, mediante un simple cambio lineal de variables, la parte linealdel sistema se puede reducir a la forma canónica real de Jordan, es decir,

_x = �(�)x� !(�)y + f1(x; y; �); (1.20)

_y = !(�)x+ �(�)y + f2(x; y; �);

donde las funciones f1 y f2 recogen los términos de orden superior al primero.Podemos reescribir dicho sistema en la forma

_x = A(�)x+ F (x; �); (1.21)

con A(�)x la parte lineal del sistema y F (x; �) la parte no lineal.Introduciendo la variable compleja

z = x+ iy,

podemos expresar dicho sistema como una única ecuación diferencial en elcampo complejo, a saber,

_z = _x+ i _y = (�x� y!) + i(!x+ �y) + f(x; y) + ig(x; y) == (�+ i!)x+ (�i� !)y + f(x; y) + ig(x; y) == (�+ i!)x+ i(�+ !i)y + f(x; y) + ig(x; y) =

= (�+ i!)(x+ iy) + f(x; y) + ig(x; y) = �z + f(x; y) + ig(x; y),

donde � = �+ i!:Teniendo en cuenta que

x =z + z

2;

y =z � z2i

;

27

y sustituyendo esto en la expresión de _z, queda

_z = �z + f

�z + z

2;z � z2i

�+ ig

�z + z

2;z � z2i

�.

Si introducimos la función auxiliar

h(z; z) = f

�z + z

2;z � z2i

�+ ig

�z + z

2;z � z2i

�;

Utilizando un desarrollo de Taylor, expresemos la función h en la forma

g(z;_z; �) =

1Xn=2

" Xk+l=n

ckl zkzl

#= c20z

2 + c11zz + c02z2

+c30z3 + c21z

2z + c12zz2 + c03z

3

+ � � �

Una vez introducida la variable compleja z, vemos ahora que el sistema puedeser expresado para valores de j�j su�cientemente pequeños como

_z = �(�)z + g(z; �z; �); (1.22)

donde g = O(jzj2) es una función suave de (z; �z; �). Así, llamemos q(�) 2 C2a un autovector de A(�) correspondiente al autovalor �(�)

A(�)q(�) = �(�)q(�);

y p(�) 2 C2 a un autovector de la matriz traspuesta AT (�) correspondienteal autovalor ��(�)

AT (�)p(�) = ��(�)p(�):

Dichos autovectores siempre se pueden escoger tal que queden normaliza-dos, es decir, que

hp(�); q(�)i = 1;donde h�; �i representa el producto escalar estandar en C2

hp; qi = p1q1 + p2q2:

Entonces, cualquier vector x 2 R2puede ser representado de maneraunívoca para valores pequeños de � como

x = zq(�) + �z�q(�);

28

donde z viene dado por la expresión

z = hp(�); xi: (1.23)

En efecto, para veri�car la expresión (1.23) nos basta con demostrar que elproducto escalar hp(�); �q(�)i = 0.

hp; �qi = hp; 1��A�qi = 1

��hATp; �qi = �

��hp; �qi;

y, por lo tanto,

(1� ��)hp; �qi = 0:

Ahora bien, como � 6= ��, ya que para todo valor su�cientemente pe-queño de j�j tenemos que !(�) > 0, entonces la única posibilidad es quehp(�); �q(�)i = 0.La variable z, usando (1.21) y (1.23), cumplirá la ecuación

_z = �(�)z + hp(�); F (zq(�) + �z�q(�); �i;

de manera que, si de�nimos

g(z; �z; �) = hp(�); F (zq(�) + �z�q(�); �i;

llegamos a (1.22) como se a�rmó anteriormente.El desarrollo en serie de Taylor de la función g(z; �z; �) puede escribirse

en la formag(z; �z; �) =

Xk+l�2

1

k!l!gkl(�)z

kz�l;

donde

gkl(�) =@k+l

@zk@�zlhp(�); F (zq(�) + �z�q(�); �i

��z=0

;

para k + l � 2, donde k; l = 0;1; :::Supuesto que � = 0, la función F (x; �) de (1.21) está representada por

F (x; 0) =1

2B(x; x) +

1

6C(x; x; x) +O(kxk4);

donde B(x; y) y C(x; y; u) representan funciones vectoriales multilinealessimétricas de x; y; u 2 R2. Dichas funciones vienen dadas por las expresiones

B(x; y) =

2Xj;k=1

�@2Fi(�; 0)

@�j@�k

��=0

xjyk; i = 1; 2;

C(x; y; u) =

2Xj;k:l=1

�@3Fi(�; 0)

@�j@�k@�l

��=0

xjykul; i = 1; 2:

29

Entonces,

B(zq + �z�q; zq + �z�q) = z2B(q; q) + 2z�zB(q; �q) + �z2B(�q; �q);

donde q = q(0), p = p(0), por lo que los coe�cientes del desarrollo en seriede Taylor gkl; con k + l = 2;de los términos cuadráticos de g(z; �z; 0) puedenser expresados por

g20 = hp;B(q; q)i;g11 = hp;B(q; �q)i;g02 = hp;B(q; �q)i:

De manera similar podemos obtener que

g21 = hp; C(q; q; �q)i:

La ecuación (1.22) se puede escribir entonces

_z = �z +X

2�k+l�3

1

k!l!gklz

kz�l +O(jzj4);

donde � = �(�) = �(�) + i!(�), �(0) = 0, !(0) = !0 > 0, y gij = gij(�).Ahora, es posible probar la existencia de un cambio no lineal de variable dela forma

z = w +1Xn=2

" Xk+l=n

dklwwl

#= w + T:O:S:

que reduce la ecuación anterior a la expresión

_w = �w + c1 jwj2w +O�jwj4

�:

Para comprender la mecánica de esta transformación, consideremos elcambio de variable inverso, que se puede escribir también en la forma

w = z +1Xn=2

" Xk+l=n

�kl zk zl

#;

sin más que invertir el desarrollo anterior. Derivando en ambos miembros deesta expresión, se tiene

dw

dt=dz

dt+

1Xn=2

" Xk+l=n

�kl

�k zk�1 zl

dz

dt+ l zk zl�1

dz

dt

�#:

30

Utilizando ahora la ecuación diferencial, se puede escribir que

_w = �z + g(z; z) +

+1Xn=2

" Xk+l=n

�kl

��nzkz�l + k zk�1 zl g(z; z) + l zk zl�1 g(z; z)

�#;

y si sustituimos g(z; z; �) por su desarrollo en serie y ordenamos en potenciascrecientes de z y z, se deduce que

_w = �z +1Xn=2

�0kl zk zl.

Cambiemos ahora z y z por su expresión en términos de w y w y reordenemosde nuevo. De esta forma se consigue expresar la derivada de w en términosde las potencias de la propia w y su conjugada mediante un desarrollo de laforma

_w = �w +1Xn=2

" Xk+l=n

klwkwl

#.

Si desarrollamos ahora los cálculos pertinentes, y elegimos convenientementelos coe�cientes dij que actúan a modo de parámetros del cambio de variables,se puede comprobar que se consigue que se anulen varios de los primeroscoe�cientes kl; concretamente, se puede obtener que

20 = 0; 11 = 0; 02 = 0;

30 = 0; 12 = 0; 03 = 0.

De este modo, poniendo c1 = 21, la ecuación se puede reducir a

_w = �w + c1w2w +

1Xn=4

" Xk+l=n

kl wk wl

#;

que es de la forma antes indicada.Si aceptamos la existencia de ese cambio de variable, es posible deducir

con relativa facilidad la expresión del coe�ciente c1 en términos de los coe-�cientes gkl del desarrollo de la función g(z; z; �): Para simpli�car, si repre-sentamos el cambio de variable en la forma

z = w + �(w;w),

y derivamos ambos miembros de esta expresión, resulta la igualdad

dz

dt=dw

dt+@�

@w

dw

dt+@�

@w

dw

dt.

31

Al sustituir las derivadas de z y w por sus expresiones y emplear el cambiode variable realizado, la última ecuación se escribe en la forma

� [w + �(w;w)] + g�w + �(w;w); w + �(w;w)

�= �w + c1w

2w +O�jwj4

�+ �w(w;w)

��w + c1w

2w +O��w4��+

+�w(w;w)��w + c1w

2w +O��w4�� =

= �w + �w�w(w;w) + �w�w(w;w) + c1w2w +O

�jwj4

�.

La identi�cación de los términos de primer grado de ambos miembros con-duce a la igualdad trivial �w = �w. Igualando las respectivas sumas de lostérminos de segundo grado, se obtiene la igualdad

�(d20w2 + d11ww + d02w2) + (g20w

2 + g11ww + g02w2) =

= �w(2d20w + d11w) + �w(d11w + 2d02w).

Identi�cando coe�cientes de monomios del mismo grado resultan las expre-siones

d20 =g20�; d11 =

g11

�; d02 =

g02

2�� :

Procediendo de un modo semejante con los términos de tercer grado, seobtiene la identidad

�(d30w3 + d21w

2w + d12ww2 + d30w

3) + 2g20w(d20w2 + d11ww + d02w

2)

+g11�w(d20w

2 + d11ww + d02w2) + w(d20w

2 + d11ww + d02w2)�+

+2g20w(d20w2 + d11ww + d02w

2) + g30w3 + g21w

2w + g12ww2 + g03w

3

= c1w2w + �w(3d30w

2 + 2d21ww + d12w2) +

+�w(d21w2 + 2d12ww + 3d03w

2):

Identi�cando los terminos de w2w en los dos miembros de esta igualdad, seobtiene que

= 2g20d11 + g11(d11 + d20) + 2g20d02 + g21 � (�+ �)d21:

Obsérvese que en la expresión de este coe�ciente c1 interviene el coe�ciented21 del cambio de variable, que �no estando sometido a restricción alguna porel resto de las identi�caciones de coe�cientes�se puede elegir arbitrariamente.La elección más sencilla es d21 = 0, con la que se obtiene

c1 = 2g20d11 + g11(d11 + d20) + 2g02d02 + g21:

32

Sustituyendo las expresiones de los coe�cientes d20 , d11 y d02, antes obtenidas,resulta

c1 =2�+ �

j�j2g20g11 +

1

�jg11j2 +

2

2�� jg02j2 + g21

En particular, que es el caso de interés para la bifurcación de Hopf, si� = i!0 resulta la expresión

c1 =1

i!0

�jg11j2 +

2

3jg02j2 � g20g11

�+ g21:

1.5.3. Caracterización de la bifurcación en sistemas bidi-mensionales

Veremos ahora que con la información anterior ya tenemos todos los ele-mentos para saber si la bifurcación es subcrítica o supercrítica, es decir, paracaracterizar el tipo de bifurcación.Consideremos la ecuación

dw

dt= (�(�) + i!(�))w + c1(�)w jwj2 +O(jwj4);

donde �(0) = 0, y !(0) = !0 > 0.Supongamos que �0(0) 6= 0 y Re(c1(0)) 6= 0, entonces la ecuación puede

ser transformada en la forma

du

d�= (� + i)u+ su juj2 +O(juj4);

donde u es una nueva coordenada compleja, y �, � son el nuevo tiempo y elnuevo parámetro respectivamente, y s = sign(Re(c1(0)) = �1.Para conseguir dicha transforamción, en primer lugar se realiza un escal-

ado lineal de tiempo� = !(�)t:

Al ser !(�) > 0 para j�j su�cientemente pequeño la dirección del tiempose conserva. Entonces, nos queda

dw

d�= (� + i)w + k1(�)w jwj2 +O(jwj4);

donde

� = �(�) =�(�)

!(�);

k1(�) =c1(�(�))

!(�(�)):

33

La segunda transformación consiste en una cambio de variable temporalno lineal en la forma � = �(� ; �), de manera que

d� = (1 + e1(�) j!j2)d� ;

con e1(�) = Im(d1(�)). El resultado de aplicar dicho cambio de variabletemporal es

dw

d�= (� + i)w + l1(�)w jwj2 +O(jwj4);

donde l1(�) = Re(k1(�))� �e1(�) es real, y

l1(0) =Re(c1(0))

!(0): (1.24)

Por último,se realiza el cambio lineal de variable compleja

w =upjl1(�)j

;

que es posible dado que Re(c1(0)) 6= 0 y, por lo tanto, l1(0) 6= 0. La ecuaciónqueda entonces

du

d�= (� + i)u+

l1(�)

jl1(�)ju juj2 +O(juj4) = (� + i)u+ su juj2 +O(juj4);

con s = sign(l1(0)) = sign(Re(c1(0)), y donde a la función escalar l1(0) sela denomina primer coe�ciente de Lyapunov. Este coe�ciente, a la vista delsiguiente resultado, permite completar el análisis.Teorema (Cfr. Theorem 3.3, p. 98 de [3]). Supongamos que el sis-

tema de ecuaciones diferenciales bi-dimensional

dx

dt= f(x; �); x 2 R2; � 2 R;

tiene, para el punto de equilibrio en x = 0 y para valores de j�j su�ciente-mente pequeños, los autovalores

�1;2 = �(�)� i!(�);

donde �(0) = 0, !(0) = !0 > 0. Si se cumple que

l1(0) 6= 0, donde l1 es el primer coe�ciente de Liapunov,

�0(0) 6= 0; (condición de transversalidad),

34

entonces el sistema puede ser expresado, mediante un cambio de variables,como

d

d�

�y1y2

�=

�� 11 �

��y1y2

�� (y21 + y22)

�y1y2

�+O(kyk4): (1.25)

donde el signo + ó -. coincide con el signo de l1(0).Además, en la expresión (1.25) los términos de orden 4 pueden despre-

ciarse cuando nos movemos cerca del origen.Llegados a este punto ya poseemos todas las herramientas para caracteri-

zar una bifurcación de Hopf, puesto que (1.25) es ya equivalente a la formacanónica (1.13), donde � = �, !0 = 1; a = �1 (dependiendo del signo del1(0)) y b = 0 . En primer lugar se calcularía la forma normal de Poincaré,para luego, una vez comprobado que se cumple la condición de transversal-idad, calcular los coe�cientes del desarrollo en serie de Taylor de la funcióng(z; �z; �) necesarios para obtener el coe�ciente c1(0). Éste nos servira paradeterminar el signo del primer coe�ciente de Lyapunov l1(0) empleando laexpresión (1.24), el cual nos determinara el carácter de la bifurcación.En de�nitiva, si l1(0) es positivo, nos encontraremos con una bifurcación

de Hopf subcrítica, apariciendo un ciclo límite inestable para valores delparámetro en los que el punto de equilibrio es estable. Si es negativo, labifurcación de Hopf es supercrítica, presentando un ciclo límite estable paravalores del parámetro que inestabilizan el punto de equilibrio.

35

Capítulo 2

Modelado del convertidor

2.1. Descripción del circuito

El circuito a estudiar se trata de un convertidor boost cuya función es lade conseguir que la tensión continua media a la salida Vout, sea mayor quela de entrada E, es decir, se trata de un elevador de tensión de continua.Este convertidor deberá mantener una tensión de salida regulada frente avariaciones de la tensión de entrada o de la carga.

L

E q1

q2

C R VoutVc

++

Circuito básico de un convertidor boost.

Entre los elementos que conforman el circuito tenemos un transistor MOS-FET que actúa como un conmutador controlado, siendo éste un elementoactivo cuyo estado está representado por la variable q1; y un diodo, que rep-resenta un elemento de conmutación pasivo dado que no se puede actuarsobre él de forma directa, y cuyo estado está de�nido por la variable q2. Adichas variables les asignamos un valor cero si los elementos a los que repre-sentan están en un estado de no conducción, y un valor unidad si están enestado de conducción. Son pues, a priori, cuatro las combinaciones distintasposibles.En este convertidor, la energía que procede de la entrada E es conduci-

da por el elemento de conmutación para ser almacenada en la bobina. Este

37

almacenamiento de energía se efectúa durante el tiempo de conducción delelemento de conmutación activo, es decir, del transistor MOSFET, no ex-istiendo durante este intervalo ningún tipo de transferencia de energía a lacarga.Una vez que la dinámica del convertidor se encuentre en el dominio de

deslizamiento, cuando el conmutador se abre, la tensión que se produce enbornes de la bobina se suma a la tensión de la fuente obteniéndose una tensiónde salida superior a esta última y con idéntica polaridad. Al mismo tiempo,la energía almacenada previamente por la bobina es transferida a la carga.Cuando tanto el transistor como el diodo están cortados la estructura

correspondiente la denominamos estado de no conducción (NC) dado queen dicha situación la intensidad que circula por la bobina es nula. Por suparte, la carga R se encuentra alimentada por el condensador C el cual seestá descargando sobre la misma. Esta topología se debe a que la bobinatiene tiempo su�ciente para descargar la energía almacenada.

L

ER

rL

rC

C

Vout

Vc ++

Estructura NC.

En el caso de que el transistor esté cerrado y el diodo abierto damosel nombre a la estructura de estado de carga (C) debido a que la bobinase encuentra almacenando energía de la fuente. Al igual que en el estadoanterior el condensador se encuentra descargándose a través de la resistenciade carga.

L

ER

rL

rC

C

rDS Vout

Vc ++

Estructura C.

38

Si el transistor se encuentra abierto y el diodo conduce decimos que elconvertidor se encuentra en el estado de descarga (D) al estar cediendo labobina su carga almacenada tanto al condensador como a la resistencia R.

L

ER

rL

rC

CVD0

Vout

Vc ++

Estructura D.

Ahora la bobina actúa como generador, sumándose su tensión a la tensiónexistente a la entrada del convertidor. Gracias a esta inversión de polaridad,la bobina actúa como receptor en el estado (C) y como generador en el estado(D).La última de las combinaciones que en teoría podría darse, que es aquella

en la que tanto el diodo como el transistor están conduciendo, no es viable.Esto es así porque cuando el transistor conduce, si despreciamos la resistenciaparásita del transistor rDS, la tensión en el anodo del diodo será nula y,por tanto, menor que en el cátodo si el condensador se encuentra con unatensión positiva, cosa que ocurrirá siempre, quedando de esta forma el diodopolarizado inversamente.

q1(MOSFET) q2(diodo) Estructura0 0 NC0 1 D1 0 C1 1 No viable

Durante su funcionamiento el convertidor boost, bajo un control adecuadodel transistor, cambiará de estado continuamente, de manera que toda laenergía que el condensador cede a la carga en la estructura C (y en su casoen la NC) la recupere en la estructura D. A su vez, el tiempo de descargadel condensador debe ser pequeño para que no haya un cambio signi�cativoen la tensión, pues el objetivo del circuito es mantener constante la tensiónde salida. Por su parte, con la bobina debe suceder lo mismo, es decir, todala energía que pierde en la estructura D, debe recuperarla en el C.Podemos concluir por tanto que, mientras el convertidor boost esté en este

estado la intensidad que circula por la bobina aumentará al estar almacenan-do energía de la fuente. Por el contrario, cuando el convertidor se encuentre

39

en la estructura D la intensidad por la bobina disminuirá al ceder energíaal condensador y a la carga, siendo su caída de tensión negativa. Por tanto,el condensador quedará cargado a una tensión mayor que la de entrada. Seconsigue entonces que la tensión a la salida del convertidor sea mayor queésta.El valor medio de la intensidad que circula por la bobina dependerá de la

carga conectada, de tal manera que a mayor carga menor será la intensidad.Durante el tiempo que el convertidor permanece en la estructura D puedesuceder que, para un determinado valor de la carga, dicha intensidad llegue aanularse, con lo que el diodo quedará cortado si el convertidor boost funcionacomo debe, es decir, si la tensión a la salida es mayor que a la entrada.Se alcanza entonces la estructura NC, de manera que iL no puede llegarnunca a ser negativa. Cuando esto puede suceder, el convertidor trabaja enel llamado modo de conducción discontinua (discontinuous conduction mode,que se suele abreviar por DCM), mientras que si la intensidad de la bobinano se anula nunca, el convertidor se encuentra funcionando en el modo deconducción continua (continuous conduction mode, que se suele abreviar porCCM) y, en este caso, no se alcanza la estructura NC en ningún momento. Eladjetivo discontinuo se usa aquí no en el sentido de función continua propio delas matemáticas, sino indicando solamente que la intensidad puede anularse.Tenemos pues que en el modo CCM las únicas transiciones posibles son

pasar de la estructura D a la C y viceversa, dado que son las únicas es-tructuras que se alcanzan. En el modo DCM la estructura NC se alcanzasolamente si la bobina se descarga hasta alcanzar su intensidad un valor nu-lo, por lo que la única transición posible que permite llegar a dicha estructuraes hacerlo desde la D, no habiendo otra posibilidad de cambio con la que al-canzar la estructura NC. En el momento en que desde D no se alcance laestructura NC sino la C el modo de conducción sería el CCM y no el DCM.Una vez alcanzada la estrutura NC hay dos posibilidades de cambio. Si eltransistor se cierra de nuevo antes de que el condensador se descargue hastauna tensión igual a la de entrada, llegaríamos a la estructura C. Si esto noocurre, llegaríamos a la estructura D.

2.2. Ecuaciones de estado

Nuestro objetivo ahora es obtener un modelo matemático único que recojatodos los aspectos que hemos descrito hasta este momento. El resultado esun sistema de ecuaciones diferenciales cuyas incógnitas son las variables deestado que se asumen continuas y que denotamos como iL (corriente de labobina) y vC (tensión del condensador) y en el que aparecerá además la

40

variable discreta q1 correspondiente al estado del transistor, y la otra variablediscreta q2 que necesitaremos para poder incluir el modo DCM como yaveremos más adelante. A este tipo de modelos matemáticos, en el que secombinan variables continuas y discretas, se les conoce con el nombre desistemas híbridos o sistemas de estructura variable (VSS, en inglés).Vamos a comenzar obteniendo el modelo para el modo CCM, dado que

a partir de él podemos obtener fácilmente el que recoja ambos modos deconducción. En este caso nunca pasamos por la estructura NC por lo quecomenzamos trabajando por separado con las estructuras D (q1 = 0; q2 =1) y C (q1 = 1; q2 = 0) aplicando las Leyes de Kircho¤ para calcular lasexpresiones de las ecuaciones diferenciales de iL y vC . Luego veremos comopodemos recoger los dos sistemas de ecuaciones en uno solo en función de lavariable discreta q1.Para la estructura D; si aplicamos las Leyes de Kircho¤ sobre la malla de

la izquierda y sobre el nodo donde se conecta el condensador, tenemos que

�E + vrL + vL + VD0 + vout = 0;

iC = iL � iout:

donde E es la tensión de entrada, vrL la caída de tensión de la resistenciaparásita de la bobina, vL la caída de tensión en la bobina, VD0 la tensión um-bral del diodo, vout la tensión de salida, iC la intensidad por el condensador,iL la intensidad por la bobina e iout la intensidad a la salida.Si tenemos en cuenta las siguientes relaciones

vL = LdiLdt;

vrL = rLiL;

iC = CdvCdt;

iout =voutR;

podemos llegar a las ecuaciones

LdiLdt

= E � rLiL � VD0 � vout;

CdvCdt

= iL �voutR:

Como el valor de VD0 es constante, sólo necesitamos obtener la tensión desalida vout en función de iL y vC que son nuestras variables de estado. Para

41

conseguirlo volvemos a aplicar las Leyes de Kircho¤, esta vez en la malla dela derecha. Así obtenemos

iC =vout � vCrC

;

vout = R(iL � iC);

expresiones con las que operando podemos despejar la tensión de salida,

vout =rCR

rC +RiL +

R

rC +RvC : (2.1)

El sistema de ecuaciones diferenciales que modela a la estructura D re-sulta, pues, ser el siguiente.

LdiLdt

= E � rLiL � VD0 �rCR

rC +RiL �

R

rC +RvC ; (2.2)

CdvCdt

=R

rC +RiL �

1

rC +RvC :

Para la estructura C, siguiendo un procedimiento análogo, partimos deestas ecuaciones.

LdiLdt

= E � rLiL � rDSiL;

CdvCdt

= �iout:

La primera de ellas ya se encuentra escrita completamente en funciónde nuestras variables de estado. La segunda necesita que calculemos iout enfunción de la tensión del condensador y la intensidad de la bobina. Para ellopodemos usar las siguientes relaciones

iout =voutR

= �vrcrC;

vout = vC + vrc

Combinando ambas expresiones y operando obtenemos el valor buscado:

iout =1

R + rCvC :

La estructura C tiene entonces como modelo el sistema de ecuacionesdiferenciales mostrado a continuación.

42

LdiLdt

= E � rLiL � rDSiL;

CdvCdt

= � 1

R + rCvC :

Ahora es cuando debemos obtener un sistema de ecuaciones diferencialesúnico que recoja a los dos anteriores introduciendo las variables discretas q1 yq2: Sabiendo que dicha la primera de las variable es nula para la estructura Dy la unidad para la estructura C, y que con q2 ocurre justamente lo contrario,se puede comprobar facilmente que el siguiente modelo híbrido cumple conlos requisitos que estamos buscando.

LdiLdt

= E ��rL + q1rDS + q2

rCR

rC +R

�iL

�q2�VD0 +

R

rC +RvC

�; (2.3)

CdvCdt

= q2R

rc +RiL �

1

rC +RvC :

A su vez, teniendo en cuenta el valor calculado (2.1) de vout para laestructura D, y que para C

vout =R

rC +RvC ;

se llega también a una única expresión para la tensión de salida

vout =rCR

rC +Rq2iL +

R

rC +RvC :

Con el �n de simpli�car el modelo, es usual considerar que VD0 = 0 y quela única resistencia parásita que no es despreciable es la de la inductancia rL.De esta manera, la tensión de salida sería igual a la tensión del condensador,y el modelo queda

LdiLdt

= E � rLiL � q2vC ; (2.4)

CdvCdt

= �vCR+ q2iL:

43

Para facilitar el análisis del sistema obtenido lo mejor es proceder a suadimensionalización, lo cual se consigue introduciendo en (2.3) los parámetros

a =1

R

rL

C; (2.5)

b =rLqLC

:

y realizando el cambio de variables

x =1

E

rL

CiL; (2.6)

y =vCE;

t =1pLC

�:

El sistema adimensionalizado viene dado por estas ecuaciones

_x = 1� bx� yq2; (2.7)

_y = xq2 � ay:En este modelo se tiene que q1; q2 2 f0; 1g y que x � 0 e y � 0 al ser la

intensidad de la bobina y la tensión en el condensador mayores que cero.Ahora, para que el modelo pueda representar tanto el modo de conducción

CCM como el DCM hay que tener en cuenta las ecuaciones correspondientesal estructura NC. En dicho estado, la intensidad de la bobina es siempre nulay además el condensador estará descargándose a través de la resistencia decarga R, por lo que la ecuación en y es la de una exponencial con una con-stante de tiempo igual a �1=RC. Teniendo en cuenta el cambio de variablesanterior las ecuaciones correspondientes a esta estructura quedan

_x = 0;

_y = �ay:Para incluir esta dinámica en el modelo obtenido para el modo CCM ten-

emos que recurrir a la introducción de la posibilidad de que ambas variablesdiscretas se anulen, y que, por tanto, estemos en el estado (NC), de estaforma se anulan los dos primeros términos de la primera de las ecuacionesdel modo CCM, debido a que en el modo DCM dependen ambos de que nose anulen las dos variables discretas a la vez:

LdiLdt

= (E � rLiL)(q1 + q2)� q2vC ; (2.8)

CdvCdt

= �vCR+ q2iL:

44

La variable discreta q2 depende de q1 y del estado del sistema (x; y). Suvalor es nulo cuando q1 = 1, ya que solo se da en el estado de carga (C),debido a que la situación en la que teóricamente ambas variables son iguales ala unidad (q1 = q2 = 1), no es viable por las razones expuestas anteriormente.También se tiene q2 = 0, en el estado de no conducción (NC), es decir, siy > 1 con x = 0,

q2 = 0; si (q2 = 1) o bien cuando (y > 1 con x = 0); (2.9)

q2 = 1; en cualquier otro caso.

De esta forma el modelo que recoge tanto al modo de funcionamientoCCM como el DCM resulta ser

_x = (1� bx)(q1 + q2)� yq2; (2.10)

_y = xq2 � ay:

En efecto, cuando q1 = q2 = 0, el sistema se reduce al correspondiente almodo de no conducción y para (q1 = 1 y q2 = 0) o bien (q1 = 0 y q2 = 1);las ecuaciones que quedan son las obtenidas en primer lugar, cuando sólo setuvieron en cuenta las estructuras de carga (C) y descarga (D) respectiva-mente.

2.3. Control del convertidor por modos dedeslizamiento

Una vez obtenido el modelo del sistema queremos diseñar una ley de con-trol en modo de deslizamiento (Sliding Mode Control, abreviado en ingléscomo SMC) que cumpla con los objetivos de regular la tensión de salida aun valor y = yd (donde yd es el valor deseado para la tensión de salida) y queel sistema sea robusto frente a cambios en el parámetro a producidos prin-cipalmente por variaciones en la carga, manteniéndose el valor de la tensiónde salida constante. Además deberemos minimizar la respuesta transitoriafrente a variaciones del parámetro a.De�nimos la ley de control por modos de deslizamiento (SMC) como:

u = 1� q1 =�0; si h(x; y; z) < 0;1; si h(x; y; z) > 0;

�; (2.11)

conh(x) = s0 + s1x+ s2y + s3z;

45

donde x =(x; y; z), h(x) = s0 + s1x + s2y + s3z, y los si, i = f0; 1; 2; 3g sonlos parámetros de control.El modelo del sistema con esta ley de control por modos de deslizamiento

es:

_x = (1� bx)(1� u) + (1� bx� y)uq2; (2.12)

_y = xuq2 � ay:

2.3.1. Estrategias posibles de control

A primera vista parecería que un control de la tensión de salida es eladecuado para este tipo de circuitos, en el que el objetivo es obtener un de-terminado valor de la misma. En este caso, la función que de�ne la super�ciede deslizamiento a considerar es h(y) = y � yd:Como ya explicamos en el apartado 1.4, reemplazamos la variable discon-

tinua u de nuestro sistema híbrido, por un control equivalente ueq de maneraque, para el campo resultante, satisfaga la condición de invarianza:

d

dt[h(y(t)] = 0;

suponiendo que la solución veri�ca la ecuación:

h(y) = y � yd = 0;

es decir, que nos encontramos en la super�cie de deslizamiento.Tomando las ecuaciones (2.12) y resolviendo la condición de invarianza,

teniendo en cuenta que ueq solo se puede obtener cuando q2 = 1,

_y = xueq � ay = 0

la expresión del control equivalente que obtenemos es:

ueq =aydx: (2.13)

Sustituyendo esta expresión junto con y = yd en el modelo del circuitodado por (2.12), nuevamente con q2 = 1, vemos que,

_x = (1� bx)(1� ueq) + (1� bx� y)ueq;

lo que se reduce a_x = 1� bx� yueq: (2.14)

46

Si suponemos además que b = 0, tenemos resultado la siguiente dinámicade deslizamiento

_x = 1� ay2d

x; (2.15)

que resulta tener un único punto de equilibrio en x = ayd2. Aplicando lo

ya explicado en el punto 1.2, podemos determinar el carácter de este puntode equilibrio, que resulta ser inestable puesto que en él se cumple que ladesigualdad �

d

dx

�1� ay

2d

x

��x=ay2d

=1

ay2d> 0: (2.16)

La consecuencia inmediata es que adoptar esta estrategia de control provo-caría la destrucción del circuito.Para evitar este inconveniente se puede recurrir a una estrategia de control

de la corriente del circuito. Siguiendo un proceso análogo al anterior de�nimoscomo función que determina la super�cie de deslizamiento h(x) = x � x�,donde x� es un valor de referencia para la corriente. Si imponemos ahora lacondición

d

dt[h(x(t)] = 0;

conh(x) = x� x� = 0;

llegamos a que

_x = 0 = (1� bx)� (1� bx)ueq + (1� bx)ueq � yueq;

que conduce a

ueq =1� b�xy

: (2.17)

A partir de_x = 1� bx� ueqy;

si multiplicamos por x la ecuación anterior y anulamos el valor del parámetrob, podemos escribir

_xx = x� bx2 � ueqyx = x� ueqyx:

Como sabemos que_y = ueqx� ay; (2.18)

si multiplicamos por y la ecuación anterior tenemos

_yy = ueqxy � ay2:

47

Concluimos que_xx+ _yy = x� ay2:

Si inponemos ahora que el punto (�x; yd) sea un punto de equilibrio estable,la anulación de la expresión anterior nos lleva a

�x� ay2d = 0

con lo que�x = ay2d: (2.19)

Si inponemos x� = �x, la dinámica de deslizamiento en este caso es pues

_y =�x

y� ay = ayd

2

y� ay; (2.20)

que tiene un punto de equilibrio en y = yd. Ahora este equilibrio ya resultaestable puesto que en él se cumple la sesigualdad�

d

dy

�ayd

2

y� ay

��y=yd

= �2a < 0: (2.21)

El problema de esta estrategia de control es que necesitamos conocer apriori el valor de la carga que vamos a alimentar con el convertidor para poderde�nir apropiadamente la super�cie de deslizamiento, así como el valor de �x,cosa que no siempre ocurrirá. Además, posibles perturbaciones en la cargaharían variar nuestro punto de equilibrio. Por ejemplo, si hemos diseñado elcontrol para un valor determinado de a y la carga cambia de manera que elverdadero valor de dicho parámetro pasa a ser a, la ecuación diferencial de ysería

_y =ayd

2

y� ay; (2.22)

por lo que el punto de equilibrio quedaría desplazado,en particular su ver-dadero valor sería

y =

ra

ayd: (2.23)

Concluimos entonces que el sistema no tiene entonces la robustez requeri-da frente a perturbaciones en la resistencia de carga.Para resolver este problema de falta de robustez y siguiendo las ideas del

libro de Sira et al. [7] sobre diseño de técnicas de control de convertidoreselectrónicos de potencia, añadimos un término integral a la función que de�nela super�cie de deslizamiento. Así, de�niendo la nueva variable

z =

Z t

0

(y � yd)d� ; (2.24)

48

emplearemos la función

h(x) = x� x� +Kz; (2.25)

con lo que �nalmente, s1 = 1, s2 = 0, s3 = K, y s0 = �x�.El valor de referencia x� quedará determinado una vez obtengamos los

puntos de equilibrio de nuestro sistema.Introducimos la ley de control por modos deslizantes (SMC), que de�ni-

mos mediante

u = 1� q1 =�0; si h(x) < 0;1; si h(x) > 0;

�:

Al introducir la nueva variable z debemos ampliar el modelo del sistema conuna nueva ecuación, con lo que nos queda el modelo tridimensional

_x = (1� bx)(1� u) + (1� bx� y)uq2;_y = xuq2 � ay; (2.26)

_z = y � yd:

Este sistema dinámino tridimensional de estructura variable constituyeel objeto de estudio de este proyecto. Debemos hacer notar que pertenece ala clase de los llamados sistemas lineales a trozos (piecewise linear systems,o PWL), que forman parte de la clase más amplia de sistemas no suaves(non-smooth), que están siendo estudiados intensamente en la actualidad.No especi�caremos aquí la implementación física de este control, pero

damos como referencia las ideas expuestas en la tesis doctoral de María IsabelArteaga Orozco [2].

2.4. Análisis de los equilibrios

Vamos a buscar ahora los posibles puntos de equilibrio de deslizamientoo naturales de nuestro sistema. Dependiendo del estado en el que esté fun-cionando el convertidor, nos podemos encontrar conque u = 1 y q2 = 0, porlo que estaremos en el modo de no conducción (NC), cuyas ecuaciones son

_x = 0; (2.27)

_y = �ay;_z = y � yd;

y no hay ningún punto de equilibrio, pues yd 6= 0.

49

Si asumimos que h(x) > 0, tenemos q2 = 1 cuando u = 1, y el vector decampo viene determinado por las ecuaciones, correspondientes el estado dedescarga (D):

f+(x) =

8<:_x = 1� y � bx;_y = x� ay;_z = y � yd:

9=; :Igualando a cero las tres expresiones y despejando, se obtiene el siguiente

posible punto de equilibrio

�x =a

1 + ab;

�y =1

1 + ab;

�z = �z;

donde �z es cualquier valor arbitrario y además se debe tener �y = yd. Es claroque �y < 1 al ser a y b valores positivos y debido a que para el convertidor boostsiempre se tiene que yd > 1;las condiciones anteriores no son compatibles yno aparece ningún equilibrio cuando h(x) > 0.Nos queda entonces el caso h(x) < 0, en el que u = 0 (y por tanto q2 = 0),

y resulta el sistema

f�(x) =

8<:_x = 1� bx;_y = �ay;_z = y � yd:

9=; ;que es claramente incompatible, pues en el posible punto de equilibrio setiene que �y = 0, por lo que tampoco hay equilibrio real ni virtual.Concluimos entonces que los únicos comportamientos en régimen perma-

nente o estacionario serán debidos a la existencia de pseudo-equilibrios enla super�cie de deslizamiento. Para comprobarlo hay que obtener primero laexpresión de ueq que sustituida en las ecuaciones de nuestro sistema determi-na la dinámica de deslizamiento del mismo. Para ello en primer lugar debeocurrir que en los puntos con

h(x) = 0;

se satisfaga la condición de invarianza

d

dt[h(x(t))] = 0;

o lo que es lo mismo

x� x� +Kz = 0;

1� ueqy � bx+K(y � yd) = 0:

50

Operamos con dichas expresiones y se despeja el valor de ueq, que resultaser

ueq =1� bx+K(y � yd)

y=1� bx� +K(y + bz � yd)

y:

Sustituyendo este valor en (2.26) con q2 = 1, el vector que determina ladinámica de deslizamiento queda, entonces, como sigue:

Fs(x) =

8<:_x = �K(y � yd);

_y = �ay + xy� bx2

y+K(y � yd)xy ;

_z = y � yd:

9=; : (2.28)

Si igualamos a cero los miembros de la derecha obtenemos que en losposibles valores de equilibrio xeq = (�x; �y; �z), se debe cumplir

�y = yd;

y para x llegamos a que se debe veri�car la condición

b�x2 � �x+ ay2 = 0: (2.29)

Una vez obtenido el valor de �x, determinamos el valor de �z usando que lavariable z ha de pertenecer a la super�cie de deslizamiento, es decir, se debecumplir que h(x) = 0.Si b = 0, el término cuadrático desaparece, y

�x = ay2:

y si elegimos x� = �x entonces �z será nulo.En el caso de que b 6= 0

�x� =1

2b�p1� 4aby2d2b

; (2.30)

debiéndose cumplir que el radicando sea positivo, es decir, que

1� 4aby2d > 0; (2.31)

El valor deseado para la tensión está entonces acotado superiormente,quedando restringido al intervalo

1 < yd <

r1

4ab:

con lo que se ha de veri�car

ab =rLR<1

4: (2.32)

51

De nuevo, si elegimos x� = �x� se obtiene tras imponer h(x) = 0 que�z = 0.Se puede ver, pues, que cuando b no se anula existen dos puntos de equi-

librio, mientras que cuando sí lo hace sólo existe uno. Para determinar suestabilidad proyectamos el sistema (2.28) sobre el plano (x; y) y calculamosla matriz jacobiana

J(x; y) =

�0 �K

1y[1� 2bx+K(y � yd)] �a+ 1

y2(�x+ bx2 +Kxyd)

�;

que para los puntos de equilibrio queda

J(�x; �y) =

�0 �K

1�y[1� 2b�x] �a+ 1

�y2(��x+ b�x2 +K�x�y)

�:

Las condiciones de estabilidad se traducen en que el determinante de lamatriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio debe ser positivo, y latraza debe ser negativa. Ambos están expresados por

d(J) =K

�y(1� 2b�x);

t(J) = �a+ 1

�y2(��x+ b�x2 +K�x�y):

De la condición para el determinante tenemos que sólo se tiene estabilidadsi

K1� 2b�x�y

> 0:

que se satisface trivialmente cuando b = 0 si K > 0.Cuando b > 0, como �x e �y son cantidades positivas, la condición se cumple

si

K > 0;

�x <1

2b:

La segunda expresión pone de mani�esto que el punto de equilibrio cor-respondiente a la solución con signo menos de (2.30) puede ser estable, yaque p

1� 4ab(yd)2 < 1;al ser a y b cantidades positivas. Por esta misma razón, la solución con signomás siempre es inestable. La condición para la traza, por su parte, exige que

K <a�y2 � b�x2 + �x

�x�y=2a�y

�x;

52

donde hemos usado (2.29).Uniendo todas las condiciones, y particularizandola solución para �x� la estabilidad de este punto de equilibrio cuando b 6= 0exige las desigualdades

0 < K < kc =a�y2 � b�x2� + �x�

�x��y=2a�y

�x�= 2

1� b�x��y

: (2.33)

Si sustituimos en cada caso los posibles valores de equilibrio, llegamos alas siguientes condiciones. Para el caso b = 0 nos queda

0 < K < kc =2

�y;

donde hemos tenido en cuenta que �x = a�y2. Para el caso b 6= 0, ya hemosindicado que sólo puede ser estable el equilibrio �x�, y se obtiene

0 < K < kc =2a�y

�x�=1 +

p1� 4ab�y2�y

;

tras unas sencillas manipulaciones algebraicas.Es importante hacer notar que si se violan estas condiciones, bien por

cuestiones de diseño, bien por variaciones en la carga, hemos de esperarcomportamientos indeseados. En particular, las condiciones K�y = 2 (cuandob = 0) y

K�y = 1 +p1� 4ab�y2; (2.34)

cuando b 6= 0 deben estar asociadas a la aparición de bifurcaciones. Dejaremosconstancia para futuras referencias que en el caso b 6= 0, la condición debifurcación está asociada al valor

�y =2K

K2 + 4ab; (2.35)

que se obtiene sin más que resolver la ecuación (2.34).

2.5. Dominio de deslizamiento

Para obtener su descripción geométrica, en esta sección haremos explícitoslos conceptos introducidos anteriormente relativos al dominio de deslizamien-to. Dadas las ecuaciones del sistema, de�nimos los campos vectoriales

f (+)(x) =

241� bx� yx� ayy � yd

35 ;f (�)(x) =

241� bx�ayy � yd

35 ;53

donde f (+)(x) se corresponde con las ecuaciones para u = 1 (h(x) > 0),y f (�)(x) para u = 0 (h(x) < 0). En ambos casos hablamos del modo deconducción continua (CCM),pues asumimos para este razonamiento que unavez que la dinámica de nuestro sistema alcanza el dominio de deslizamiento,solo alterna los modos de carga (C) y descarga (D) en busca del punto deequilibrio estable.De la expresión del plano de deslizamiento se tiene

rh(x) = (1; 0; K)T ;

de manera que el dominio de deslizamiento será la región del plano h = 0donde se cumplen las restricciones

hrh; f (+)(x)i < 0;

hrh; f (�)(x)i > 0;

es decir, cuando ambos campos vectoriales empujen hacia el plano. Entonces,las órbitas del sistema no abandonan el plano de deslizamiento permanecien-do en él deslizándose sobre el mismo.En nuestro caso, las restricciones a las que se llegan son

1� bx� y +K(y � yd) < 0;

1� bx+K(y � yd) > 0;

la primera de ellas es equivalente a considerar

y > 1� bx+K(y � yd):

Las dos desigualdades anteriores se pueden resumir en la expresión

y > 1� bx+K(y � yd) > 0;

que nos dice que, genéricamente, el dominio de deslizamiento será un sectordel plano de conmutación.

54

Capítulo 3

Análisis de la bifurcación parala dinámica sliding

3.1. Introducción

Una vez que hemos establecido cual es la estrategia de control a seguir,obtenido las ecuaciones matemáticas que modelan el circuito controlado yextraído de ellas toda la información correspondiente en cuanto a las condi-ciones que se deben cumplir para que se pueda alcanzar un equilibrio estable,es el momento de comenzar a analizar cuál va ser el comportamiento del cir-cuito frente a variaciones del parámetro K.En concreto, hemos hecho notar que cuando se cumpla la relación (2.35)

se producirá un fenómeno bifurcativo cuya primera consecuencia es la per-dida de estabilidad del pseudo-equilibrio para valores de K mayores al valorcrítico. Comenzaremos pues caracterizando el tipo de bifurcación que nosencontramos para dicho valor de K.En primer lugar, teniendo en cuenta que dicha bifurcación se producirá

cuando el sistema se encuentre en modo deslizante, es decir, sobre la super�-cie del plano de deslizamiento, para llevar a cabo el estudio de la bifurcaciónpodemos considerar las ecuaciones obtenidas para la dinámica de desliza-miento (2.28). Además, podemos proyectar las ecuaciones sobre el plano(x; y), lo que en la práctica nos lleva a tomar únicamente las ecuacionessiguientes

_x = �K(y � yd);

_y = �ay + xy� bx

2

y+K(y � yd)

x

y:

En la segunda de las ecuaciones anteriores vemos que hay términos quetienen el denominador igual a la variable y. Para simpli�car y obtener un

55

sistema polinomial, podemos trabajar con el sistema equivalente que resultade multiplicar el segundo miembro de ambas ecuaciones por dicha variable,lo cual es admisible siempre que y > 0, que es nuestro caso además es equiv-alente a a la de�nición implícita de una nueva variable de tiempo � para lassoluciones.El resultado es

_x = �Ky(y � yd); (3.1)

_y = �ay2 + x� bx2 +K(y � yd)x:

El comportamiento de estas dos ecuaciones es el mismo que el de lasanteriores con la salvedad de que hemos incluido un equilibrio arti�cial enel origen como consecuencia del cambio de variable realizado. En cualquiercaso insistimos en que nos interesa sólo la región con y > 0. El siguientepaso es precisamente hacer una traslación para llevar nuestro equilibrio realal origen, lo cual se consigue realizando el cambio de variable

~x = x� �x�;~y = y � yd:

y nuestras ecuaciones serán de interés para ~y > �yd.Si tenemos en cuenta que en el equilibrio se cumple (2.29), el sistema de

ecuaciones, tras una serie de sencillas manipulaciones, �nalmente queda

_x = �Ky(y + yd); (3.2)

_y = (1� 2b�x)x+ (K�x� 2ayd)y +Kxy � bx2 � ay2;

donde se ha obviado el símbolo de las variables ~x e ~y, así como el subíndice de�x�; dado que a partir de ahora consideraremos siempre únicamente el puntode pseudo-equilibrio de los dos existentes con posibilidades de ser estable.

3.2. Caracterización de la bifurcación

Estamos ya en condiciones de poder aplicar el procedimiento detalladoen el primer capítulo de este proyecto para caracterizar el tipo de bifurcaciónasociado al valor crítico kc del parámetro K. En primer lugar, calculamos lamatriz jacobiana en el punto de equilibrio y comprobaremos que los autoval-ores de la misma son un par de complejos conjugados, lo que nos indicaraque posiblemente nos encontramos ante una bifurcación de Hopf.El jacobiano del sistema diferencial (3.2) es

J(x; y) =

�0 �K(2y + yd)

�2bx+Ky + 1� 2b�x K�x� 2ayd +Kx� 2ay

�;

56

que en el origen (punto de equilibrio) queda

J(0; 0) =

�0 �Kyd

1� 2b�x K�x� 2ayd

�=

�0 �Kyd

1� 2b�x �x(K � kc)

�:

Dicha matriz tiene como ecuación característica�� Kyd1� 2b�x K�x� 2ayd � �

�� = ��(�x(K � kc)� �) +Kyd(1� 2b�x) =

= �2 + �x(kc �K)�+Kyd(1� 2b�x) = 0;

cuyas soluciones son

� =�x(K � kc)�

p�x(K � kc)2 � 4Kyd(1� 2b�x)

2=

=�x(K � kc)

2�r(�x(K � kc)

2)2 �Kyd(1� 2b�x):

Si para simpli�car introducimos la notación

� =�x(K � kc)

2;

� =pKyd(1� 2b�x);

resulta

� = ��q�2 � �2:

Si damos a K el valor crítico donde se produce la bifurcación, es evidenteque el valor de � se anula, mientras que el valor de �2 obviamente es positivo.Se tiene entonces que

� = �(�)� i!(�) = �� iq�2 � �2;

y nos encontramos con una posible bifurcación de Hopf cuyo carácter debe-mos determinar ahora.La posibilidad de una bifurcación de Hopf para K = Kc, esto es, para

� = 0, es ahora evidente.Si tomamos la solución con signo menos (que era el punto de equilibrio

estable) de 2.30 y forzamos el límite de la condición ?? para el valor delparámetro K, en el cual se produce la bifurcación de Hopf.(

�x� =12b�p1�4aby2d2b

;kc =

2ayd�x�

); (3.3)

57

introduciendo en la ecuación de Kc el valor de �x�

kc�x� = 2ayd; (3.4)

que nos lleva a1�

p1� 4aby2d2b

kc = 2ayd;

supuesto

1� 4abydkc

> 0; (3.5)

tenemos

4ab = kc

�2

yd� kc

�;

con lo que

a =kc4b

�2

yd� kc

�; (3.6)

donde sólo la mitad derecha de la correspondiente parábola en el plano (kc; a),es la que debemos tener en cuenta, por ser la zona donde se produce labifurcación de Hopf. La línea a = 1=(4by2d) corresponde a la bifurcación detipo silla-nodo (SN).Si representamos la relación entre los parámetros kc y a resulta la �gura

3.1.Volvemos a la matriz jacobiana en el punto de equilibrio de inicio de la

sección y procederemos a pasar el sistema a la forma canónica de Jordan.Para ello, primero calculamos el autovector de uno de los autovalores de lamatriz jacobiana, por ejemplo el de �1 = �+ i!(�), para lo cual resolvemosel sistema de ecuaciones siguiente:�

�� i!(�) ��1� 2b�x �� i!(�)

� �v1v2

�=

�00

�;

donde � = Kyd.Quedándonos con la primera ecuación y haciendo v1 = 1 nos queda

v =

�1

��i!(�)�

�:

A partir de dicho autovector se obtiene la matriz de cambio de base quenos transforma el sistema a su forma canónica como sigue

v = p1 � ip2 =�1��

�� i

�0!(�)�

�;

P =�p1 p2

�=

�1 0

��

!(�)�

�:

58

Figura 3.1: Plano (kc; a) de bifurcaciones donde la línea superior correspondea la bifurcación silla-nodo (SN) y la semi-parábola a la bifurcación de Hopfsubcrítica (HB).

59

La matriz inversa de P es

P�1 =

�1 0�

!(�)�

!(�)

�:

Realizando entonces el cambio de variable�xy

�= P

�XY

�=

�X

��X + !(�)

�Y

�; (3.7)

las ecuaciones del sistema quedan�_X_Y

�= P�1

�_x_y

�= P�1

�J(0; 0)

�xy

�+ T:O:S:

�;

si empleamos (3.7)�_X_Y

�= P�1

�J(0; 0)P

�XY

�+ T:O:S:

�;

e introducimos las funciones correpondientes a los términos de orden superior�_X_Y

�= P�1J(0; 0)P

�XY

�+ P�1

�f(X; Y )g(X; Y )

�que es lo mismo que �

_X_Y

�= A�

�XY

�+

�F (X; Y )G(X;Y )

�;

donde A(�) es la matriz de la parte lineal y las funciones f(X; Y ) y g(X; Y )recogen la parte no lineal de las ecuaciones (3.2) una vez que hemos sustituidoen las originales los siguientes valores:

x2 =�x y

� � 1 00 0

� �xy

�;

hacemos el cambio de variables

x2 =�X Y

� � 1 ��

0 !�

� �1 00 0

� �1 0��

!�

� �XY

�;

nos lleva ax2 = X2: (3.8)

60

Actuamos de igual forma con el término cruzado

xy =�x y

� � 0 10 0

� �xy

�;

cambiamos de variable

xy =�X Y

� � 1 ��

0 !�

� �0 10 0

� �1 0��

!�

� �XY

�;

con lo que

xy = ��X2 +

!(�)

�XY: (3.9)

Ahora hacemos los mismo cálculos con la variable y

y2 =�x y

� � 0 00 1

� �xy

�realizamos el cambio de variables una vez más

y2 =�X Y

� � 1 ��

0 !�

� �0 00 1

� �1 0��

!�

� �XY

�y tenemos �nalmente

y2 =�2

�2X2 +

!(�)2

�2Y 2 � 2�!(�)

�2XY: (3.10)

Resultantes de aplicar el cambio de variables anterior a los términoscuadráticos. Se obtiene además, que

f(X; Y ) = � �2

�ydX2 � !(�)

2

�ydY 2 +

2�!(�)

�ydXY; (3.11)

g(X; Y ) =

��a�

2

�2� �

yd� b�X2 � a!(�)

2

�2Y 2 +

�2a�!(�)

�2+!(�)

yd

�XY:

Las funciones F (X; Y ) y G(X; Y ) recogen los términos no lineales que �nal-mente resultan de multiplicar por la izquierda por la matriz P�1.

F (X; Y ) = f(X; Y ) = � �2

�ydX2 � !(�)

2

�ydY 2 +

2�!(�)

�ydXY; (3.12)

G(X; Y ) =�

!(�)f(X; Y ) +

�

!(�)g(X; Y ) =

= (� �3

�yd!(�)f � a�2

�!(�)� ��

!(�)yd� b�

!(�))X2 + (3.13)

+(�!(�)��yd

� a!(�)�

)Y 2 + (2�2

�yd+2a�

�+�

yd)XY:

61

Por su parte, la parte lineal del sistema queda

A(�)

�XY

�= P�1J(0; 0)P

�XY

�=

��X � !(�)Y!(�)X + �Y

�; (3.14)

y el sistema en su forma canónica toma la forma

_X = �X � !(�)Y � �2

�ydX2 � !(�)

2

�ydY 2 +

2�!(�)

�ydXY; (3.15)

_Y = !(�)X + �Y + (� �3

�yd!(�)f � a�2

�!(�)� ��

!(�)yd� b�

!(�))X2 +

+(�!(�)��yd

� a!(�)�

)Y 2 + (2�2

�yd+2a�

�+�

yd)XY:

Para proseguir con la caracterización de la bifurcación de Hopf nos intere-sa sustituir el valor crítico del parámetro en las ecuaciones anteriores, que secorresponde con � = 0, con lo que obtenemos como resultado

_X = ��Y � �2

Ky2dY 2; (3.16)

_Y = �X � b��X2 � a�

�Y 2 +

�

ydXY;

donde los parámetros �; � deben evaluarse para el valor crítico de K = Kc.La condición de transversalidad se cumple al ser �(0) = � y, por lo tanto

�0(0) = 1 6= 0 para todo �.

Podemos continuar pues calculando los autovectores por la derecha y porla izquierda de la matriz

A(�) =

��(�) �!(�)!(�) �(�)

�;

para � = 0

A0 = A(0) =

�0 �� 0

�;

donde se ha tenido en cuenta que

�(0) = i!(0) = i�:

Los autovalores vendrán dados respectivamente por

A0q = �(0)q;

AT0 p = ��(0)p:

62

De la primera expresión se obtiene

�q2 = iq1;

q1 = iq2;

de donde se llega a que

q =1

2

�1�i

�:

Si operamos análogamente con la segunda expresión el autovector p queda

p =

�1�i

�:

El motivo por el cual se ha introducido el factor de 1=2 en el vector q esconseguir que el problema quede normalizado, es decir

hp; qi = 1:Procedemos ahora a calcular el coe�ciente c1(0) cuyo signo de la parte

real determinara el carácter de la bifurcación de Hopf que presenta el sistema.Dicho coe�ciente, como ya hemos visto, viene expresado por

c1(0) =i

2!0

�g20g11 � 2 jg11j2 �

1

3jg02j2

�+g212:

En nuestro caso no tenemos términos cúbicos, por lo que g21 = 0. Además,solo nos interesa la parte real del coe�ciente:

Re(c1(0)) = Re

�i

2!0g20g11

�= � 1

2�(Re(g20) Im(g11) + Im(g20) Re(g11)) :

(3.17)Pasamos entonces a calcular los coe�cientes

g20 = hp;B(q; q)i = B1(q; q) + iB2(q; q);g11 = hp;B(q; �q)i = B1(q; �q) + iB2(q; �q);

donde

B1(q; q) =1

4[1;�i]

"0 0

0 �2�2�yd

# �1�i

�=

�2

2�yd;

B2(q; q) =1

4[1;�i]

"�2b��

�yd

�yd

�2a��

# �1�i

�=1

2(a�

�� b�� i �yd);

B1(q; �q) =1

4[1;�i]

"0 0

0 �2�2�yd

# �1i

�= � �2

2�yd;

B2(q; �q) =1

4[1;�i]

"�2b��

�yd

�yd

�2a��

# �1i

�= � b�

2�� a�2�:

63

Con esto se tiene que

g20 =

��2

2�yd+

�

2yd

�+i

2

�a�

�� b��

�;

g11 = � �2

2�yd+i

2

��a�� b��

�:

Si sustituimos en (3.17) el resultado es

Re(c1(0)) =1

8�2�2yd(2a�4 + b�4 + a�2�2): (3.18)

Al ser todos los coe�cientes positivos resulta claro que

Re(c1(0)) > 0;

por lo que el tipo de bifurcación de Hopf que presenta el sistema es subcrítica,apareciendo un ciclo inestable que delimita la región de atracción del puntode equilibrio antes de alcanzar el valor de la bifurcación.

64

Capítulo 4

Análisis del funcionamiento delconvertidor Boost con controlSMC

Antes de empezar a comprobar en la práctica los resultados que hemosido obteniendo y de sacar conclusiones acerca del funcionamiento de nuestrodispositivo, haremos un análisis del funcionamiento que, a priori, debemosesperar de la dinámica del convertidor Boost en las distintas zonas de trabajorespecto del plano de deslizamiento.Haremos referencia al grá�co que aparece en la �gura 4.1 para explicar

y comprender el comportamiento de la dinámica del convertidor.En dichográ�co se ilustran todos los estados en los que se puede encontrar el modeloy sus ecuaciones correspondientes.

4.1. Transiciones posibles

Para todas las transiciones que detallaremos a continuación, asumimosque �nalmente llegaremos al plano de sliding buscando el punto de equilibrioestable, para lo cual suponemos unas condiciones iniciales adecuadas. Primerode�nimos los puntos R y Q de la �gura 4.1 que usaremos a lo largo de laexposición. Hacemos constar que la coordenada y del punto Q es yd, dadoque _z = y�yd, y es en ese punto donde la derivada de z, es decir, la tangenteen ese punto, es cero.

Q =�0; yd;

�x�k

�;

R =�0; 1;

�x�k

�:

65

Figura 4.1: Estados que se pueden dar en la dinámica del convertidor Boostrespecto del plano de deslizamiento.

66

A partir de ahora detallamos el funcionamiento.

1. Inicialmente, suponiendo condiciones iniciales nulas (que será lo normalsi no actuamos previamente sobre el circuito, cargando por ejemplo,el condensador o haciendo lo propio con la bobina), es evidente queel convertidor Boost se encontrará en el estado de carga (C), dadoque el punto (0; 0; 0) pertenece a esa zona que se encuentra justo pordebajo del plano de deslizamiento. Sólo ahí tendremos u = 0, pues losotros estados exigen que u = 1, es decir, requieren que la dinámica seencuentre por encima del plano.

2. Posteriormente, llegaremos al plano de sliding y se alternarán los es-tados de carga y descarga por la actuación del control por modosdeslizantes (SMC). Esta actividad continuará hasta llegar al punto deequilibrio o lo que es peor, hasta llegar al plano x = 0 con y > yd. Eneste último caso, pasaremos al estado de no conducción (NC).

3. Una vez llegados a este último estado (si se da ese caso), si tropezamoscon el plano y = 1, pasaremos al estado de descarga (D), con lo querealizaremos una excursión justo por encima de dicho plano en la zonax > 0, hasta llegar a la zona de sliding o dominio de deslizamiento,momento a partir del cual se empezarán a alternar de nuevo los estadosde carga (C) y descarga (D).

4. Otra opción distinta de la anterior y a su vez, algo más compleja, esque la dinámica pase directamente al plano de deslizamiento desde elmodo de no conducción (NC) del plano x = 0, es decir, sin tropezarcon el plano y = 1, con lo cual se pasaría al estado de carga (C) ya quenuestro control por modos deslizantes cambia continuamente el valorde la variable u entre 0 y 1. Un instante después la dinámica empezará,como ocurre siempre en el plano de deslizamiento, la alternancia entrelos estados de descarga (D) y carga (C). Esta situación se correspon-dería con el caso en que la trayectoria en el modo de no conduccióntoca el segmento comprendido entre los puntos R y Q.

Es importante entonces analizar qué ocurre con los puntos del segmentoque va de R a Q, es decir, si esos puntos pertenecen o no, al dominiode deslizamiento y están por tanto, en la zona atractiva de sliding. Sino lo están, la dinámica realiza una excursión por encima del plano dedeslizamiento y posteriormente, aterriza en el plano y entra en la regiónatractiva. Pasamos ahora, por tanto, a comprobarlo.

67

Hacemos el producto escalar de los campos correspondientes a los estadosde carga (C) y descarga (D) que se alternan en la región atractiva, con elgradiente de h(x)

f (+)(R) =

24 1� 0� 10� a1� yd

35 =24 0

�a1� yd

35 ; f (�)(R) =24 1� 00� a1� yd

35 =24 1

�a1� yd

35 ;

f (+)(Q) =

24 1� 0� yd�ayd � 0yd � yd

35 =24 1� yd�ayd

0

35 ; f (�)(Q) =24 1� 0�aydyd � yd

35 =24 1�ayd0

35 ;rh(x) = (1; 0; k)T :

Comprobaremos ahora si pertenecen o no, a la zona de atracción delplano:

hrh(x); f (+)(Q)i = (1� yd) < 0; hrh(x); f (�)(Q)i = 1 > 0; (4.1)

el punto Q está por tanto, en la región atractiva.A continuación, probamos con el punto R analizando si es cierto que

hrh(x); f (+)(R)i = k(1� yd) < 0; (4.2)

y concluimos que cumple la desigualdad, ya que nuestro parámetro k espositivo y yd > 1. Ahora tenemos que veri�car si se cumple

hrh(x); f (�)(R)i = 1 + k(1� yd) > 0; (4.3)

para lo que hace falta que

yd < 1 +1

k; (4.4)

condición necesaria para que el punto R esté dentro de la región atractiva desliding. Analizamos ahora si (4.4) es válida en la hipótesis de que k < kc.De�nimos previamente un parámetro auxiliar

= 1� 4aby2d; (4.5)

con lo que

kc =4aby2d1� : (4.6)

Vemos que

kc =1 +

yd; (4.7)

68

con lo que si k < kc se veri�ca que

0 < kyd < 1 + ; (4.8)

pero antes vimos que (4.4) equivale a

kyd < 1 + k: (4.9)

Pues bien, siempre que < k, la desigualdad (4.3) se cumple y el puntoR pertenece a la zona de atracción del plano de deslizamiento.La condición anterior es equivalente a

2 < k2;

o lo que es lo mismo, se cumple

k2 +y2d14ab

> 1: (4.10)

De la consiguiente representación grá�ca del trozo de elipse, solo nosquedamos con la intersección entre la parte exterior de la misma, con la zonaa partir de la cual y > 1 y con los valores de k que cumplen (??). Esto lovemos en la �gura 4.2.

4.2. Casos bidimensionales para la dinámicadel convertidor Boost

En este apartado vamos a explicar cómo bajo ciertas condiciones se puedevisualizar la dinámica del convertidor en un plano y así nos facilitaremos enalgunas ocasiones la búsqueda de ciclos límite, ya que podemos resolver lasecuaciones del sistema integrando hacia atrás, algo que solo es posible haceren sistemas de dimensión dos. Para que esto sea posible, hay dos opciones:

1. La primera y más obvia, es que toda la dinámica esté contenida en elplano de deslizamiento, con el modo de conducción continua (CCM) enel que se alternan los estados de carga (C) y descarga(D).

2. La segunda opción es que estemos en el modo de conducción discontinua(DCM) y que una vez alcanzemos el modo de no conducción (NC),sigamos la opción cuarta de las transiciones explicadas en la secciónanterior, es decir, que salgamos del plano x = 0, región propia del estadode no conducción, a través del segmento QR, pero solo con la opción

69

Figura 4.2: Representación de lo valores de k adecuados para que el punto Rpertenezca a la zona atractiva del plano de deslizamiento.

70

de que ambos puntos pertenezcan a la zona atractiva del plano. Deno ser así, no tendremos certeza de que todos esos puntos intermediosse encuentran en la zona atractiva, y si no lo están, el funcionamientodel convertidor no sigue las ecuaciones del vector de sliding mientrasque no alcance dicha zona. Hay que dejar claro que la opción 3 de lastransiciones no es posible para representar la dinámica en un planoporque hay excursiones por encima del plano de deslizamiento que nopodemos representar en dos dimensiones y no sabemos a priori, en quépunto del plano aterriza posteriormente esa dinámica.

Bien, una vez expuestas las condiciones, veamos cómo realizar esta rep-resentación. Para combinar las dos dinámicas, es decir, la del modo de noconducción (NC) y la del plano de sliding como si estuviéramos en un planotenemos lo siguiente, las ecuaciones de la zona de sliding son estas:

_x = �Ky(y � yd); (4.11)

_y = �ay2 + x� bx2 +K(y � yd)x:

Ahora, para la zona de no conducción (NC) del modo (DCM), lo quevamos a hacer es un abatimiento del plano x = 0, propio de este estado, en elplano xy teniendo en cuenta que la variable y se sigue rigiendo con la mismaecuación y la ecuación de la variable z pasa a de�nir a la variable x. Ponemoscomo quedan las ecuaciones.Antes del cambio de variables, eran estas

_x = 0; (4.12)

_y = �ay;_z = y � yd:

Después del cambio, pasan a ser las siguientes

_x = y � yd; (4.13)

_y = �ay:

En la �gura 4.3 vemos como queda el plano xy.

71

Figura 4.3: Combinación de las dinámicas para simular la dinámica como siestuviéramos en un plano.

72

Capítulo 5

Simulaciones y conclusiones

5.1. Casos en que se supone bobina no ideal,rL 6= 0 (b 6= 0)

5.1.1. Primer escenario, con ganancia yd = 1;33

Para corroborar los resultados obtenidos y obtener sus implicaciones prác-ticas vamos a realizar varias simulaciones para ciertos valores de los parámet-ros del circuito. Comprobaremos, en primer lugar, la existencia del ciclo límiteinestable para valores de k inferiores al valor crítico y como el punto de equi-librio se vuelve inestable cuando superamos dicho valor.Si consideramos los siguentes valores típicos para los elementos que com-

ponen el circuito

L = 2000 �H;

C = 100 �F:;

rL = 0;25 ;

R = 20 :

los parámetros adimensionalizados resultan

a = 0;22;

b = 0;06:

La intensidad en el punto de equilibrio y el valor de bifurcación delparámetro K serán en este caso

�x� = 0;40;

k = 1;46:

73

Por su parte, las condiciones iniciales del circuito son

x = 0; (5.1)

y = 0;

z = 0:

Además, vamos a considerar que la tensión de entrada es de 9V y a lasalida de 12V , por lo que yd = 1;33. Para poder comprobar la existenciadel ciclo límite inestable, y ver que efectivamente estamos ante la presenciade una bifurcación de Hopf subcrítica, simulamos realizando una integraciónhacia atrás partiendo de las condiciones iniciales dadas anteriormente. Em-pezaremos tomando un valor del parámetro K ligeramente menor al crítico,por ejemplo K = 1;45. Las condiciones iniciales se encuentran dentro del ci-clo límite inestable y vemos como la dinámica, al ir hacia atrás en el tiempo,tiende a una especie de elipse que conforma el dicho ciclo límite en vez dealcanzar el punto de equilibrio.Recordemos que la zona donde x < 0 para los ejes originales no es al-

canzable dado que la intensidad por la bobina nunca llega a ser negativa.Ahora vamos reduciendo el valor del parámetro K y vemos qué es lo quepasa. Probamos con K = 1;43 y vemos que el tamaño del ciclo límite crecea medida que reducimos el valor del parámetro K. Dado que el tamaño delciclo límite será mayor cuanto menor sea el valor del parámetro K, debemostener cuidado y no reducir más de lo debido. Esto es así porque estamos cercade x = 0 y justo ahí, la dinámica del vector de sliding deja de ser válida yaque no estamos por tanto en condiciones, aún, de asegurar que el ciclo límiteno desaparece al sobrepasar la zona x = 0.Si reducimos más aún el valor del parámetro K y lo igualamos a 1.42,

llegamos a la conclusión de que el valor mínimo permitido para que el ciclolímite esté en la zona regida por la dinámica de sliding es algo mayor a éste yaque sobrepasa la zona x = 0, alcanzando valores de x negativos. En realidad,ese ciclo límite que obtenemos no es válido, porque tal y como explicamosanteriormente, la dinámica para valores negativos de x no existe. Ya veremosmás adelante si el ciclo límite se mantiene, cuando representemos la dinámicacompleta en dos dimensiones, abatiendo el plano x = 0.Podemos considerar aproximadamente que el valor mínimo para que el

ciclo límite completo esté dentro de la región permitida es el que hemostomado para la simulación con K = 1;42247. En este caso el ciclo límiteinestable propio de la bifurcación de Hopf subcrítica, es tangente al planox = 0 justo donde y = yd; tal y como ya comentamos en el capítulo anterior.Como ya hemos visto, si probamos cualquier otro valor del parámetro máspequeño, parte del ciclo estaría en la región donde x < 0, y no sería correcto.

74

Figura 5.1: Ciclo límite para K = 1;45. Se encuentra completamente dentrode la región permitida. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0: En esta �gura el ciclolímite es la zona más interior.

75

Figura 5.2: Ciclo límite para K = 1;43. Se encuentra completamente dentrode la región permitida. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0: En esta �gura el ciclolímite es la zona más interior.

76

Figura 5.3: Ciclo límite no válido con K = 1;42. Entra en la región prohibidax < 0. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0: En esta �gura el ciclo límite es la zonamás interior.

77

Figura 5.4: Ciclo límite con K = 1;42247, tangente al plano x = 0, dentro dela región permitida para la dinámica de sliding, este valor de K es el mínimopara que esto ocurra. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

78

Siempre que aparece un cilo límite inestable, éste representa la fronterade la cuenca de atracción del punto de operación deseado. Es por tanto laregión de seguridad donde desearíamos llegarán las demás órbitas que noestán en el plano de deslizamiento. Surgen entonces de forma natural variascuestiones que deberían ser resueltas para garantizar la robustez del diseño.En primer lugar habría que analizar si, partiendo de las condiciones inicialesde reposo, a saber (x0; y0; z0) = (0; 0; 0), la evolución natural del sistema noslleva a un punto interior del ciclo límite. Por otro lado, también es de interésestudiar qué ocurre en el caso de que ante perturbaciones en las condicionesde funcionamiento que saquen al sistema de la posición de equilibrio, si sevolvería a caer en la región segura del plano de deslizamiento o si, por elcontrario, pueden coexistir dinámicas estables aparte de la del equilibrio delpunto de operación.El hecho de que el sistema realmente pueda presentar varias dinámicas

distintas aparte de la que se da en el plano de deslizamiento dependiendodel valor de los parámetros del circuito y de lo próximo que estemos delvalor crítico de bifurcación es pues una cuestión muy relevante. Así , paralos valores de los parámetros dados al inicio de esta sección, simularemos elsistema completo para distintos valores de K y observaremos como varía elcomportamiento conforme nos vamos acercando a kc.De las simulaciones realizadas, hemos concluido que para valores de k muy

pequeños el sistema alcanza el equilibrio sin entrar en ningún momento en elmodo de conducción discontinua, dando lugar a unos valores de tensión y deintensidad con un rizado pequeño (natural, si se tiene en cuenta el efecto de"chattering"propio de cualquier sistema controlado mediante técnicas SMC).En las dos primeras �guras observamos como el equilibrio se alcanza ráp-

idamente sin producirse grandes oscilaciones durante el transitorio. Al au-mentar el valor de K, el transitorio será mayor, y por tanto se producen másoscilaciones antes de alcanzar el equilibrio.Ya hemos victo que si el valor de K sigue creciendo llega un momento

en que la intensidad de la bobina, antes de alcanzar el punto de equilibrio,se anula, es decir, se alcanza el plano x = 0 donde la dinámica del sistemapasa a ser la propia del estado de no conducción (NC) propio del modo deconducción discontinuo (DCM). Esto último lo vemos en la simulación deK = 0;5.A partir de un valor concreto de K se puede dar el caso de que no al-

cancemos el punto de equilibrio, esto es debido a que la cuenca de atracciónde dicho equilibrio, se ha reducido. Esto último ocurre en la simulación conK = 1, que no se adjunta debido a que no obtenemos dinámica alguna. Co-mo primera conclusión importante, podemos indicar que además de tenerque usar un valor del parámetro K apropiado para que el sistema tienda al

79

Figura 5.5: Dinámica para K = 0;2. Se alcanza el punto de pseudo-equilibriosin apenas transitorio. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

80

Figura 5.6: Respuesta de la variable de salida y frente al tiempo paraK = 0;2:Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

81

Figura 5.7: Dinámica para K = 0;5. se alcanza de nuevo el punto de pseudo-equilibrio pero con un transitorio mayor y por tanto, con más oscilaciones.Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

82

Figura 5.8: Proyección del plano xy para K = 0;5. Se puede observar como sealcanza el punto de pseudo-equilibrio deseado y como entramos en el modode no conducción al llegar la dinámica al plano x = 0. Tenemos, yd = 1;33 yb 6= 0:

83

Figura 5.9: Respuesta de la variable de salida y frente al tiempo paraK = 0;5:Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

84

Figura 5.10: Dinámica para K = 1. Se llega al punto de pseudo-equilibriopasando previamente por el plano x = 0. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

equilibrio, hay que introducir unas condiciones iniciales adecuadas, a partirde las cuales la dinámica se vea atraida por la cuenca de atracción de dichoequilibrio cuya frontera será el ciclo límite inestable, propio de la bifurcaciónde Hopf subcrítica. Vamos a cambiar las condiciones iniciales del caso K = 1por (x0; y0; z0) = (0; 1; 0) que serán las que usemos a partir de ahora, asívemos como alcanzamos de nuevo el punto de pseudo-equilibrio aunque conun transitorio mayor que en los casos anteriores en que el valor de K era máspequeño. Esto supone que hemos cargado el condensador previamente, antesde conectarlo al circuito.

Si aumentamos un poco más el valor, hasta K = 1;35 observamos unfenómeno de gran importancia, ya que se produce la aparición de un ciclolímite estable, por lo que la dinámica queda describiendo una misma órbitaque se repite con el paso del tiempo. En este caso, no llegamos al punto de

85

Figura 5.11: Respuesta temporal de la señal de salida y frente al tiempo paraK = 1. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

86

Figura 5.12: Dinámica para K = 1;35. El sistema, en regimen permanente,describe una órbita periódica estable. Solo aparece en la dinámica en tresdimensiones, no se puede representar en un plano porque toca el plano y = 1dentro del plano y = 0. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

pseudo-equilibrio, para poder alcanzarlo tendríamos que cambiar las condi-ciones iniciales por otras más cercanas a dicho punto.Este ciclo, sólo apareceal simular la dinámica completa del sistema, por tanto, no se puede visu-alizar en un plano porque toca el plano y = 1 dentro del plano y = 0. En lasimulación hemos de anotar que hemos borrado la dinámica previa, anterioral ciclo límite estable, para poder observar su presencia con mayor nitidez.

Si seguimos aumentando el valor de la ganancia alcanzamos un tipo decomportamiento complejo, como por ejemplo sucede si a nuestro sistema leasignamos un valor de K = 1;4. Vemos entonces como la dinámica presentaun comportamiento caótico. Este comprtamiento es debido (ver [6]) a lacon�uencia de distintos ciclos límite estables que coexisten con el punto depseudo-equilibrio.

87

Figura 5.13: Dinámica de la señal de salida frente al tiempo para K = 1;35.El sistema, en regimen permanente, describe una órbita periódica estable.Igual que antes se dibuja la dinámica una vez llegados al instante de tiempoen que se alcanza el ciclo límite estable. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

88

Figura 5.14: Dinámica paraK = 1;4. El sistema presenta un comportamientocaótico, describiendo de manera aleatoria, distintas órbitas en una regiónacotada del espacio de estados. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

89

Figura 5.15: Respuesta de la senañ de salida frente al tiempo para K = 1;4.Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

90

Figura 5.16: Dinámica para K = 1;5. El sistema no llega a conmutar cuandose parten de las condiciones de reposo. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

La tensión de salida oscilará alrededor del valor deseado con una amplitudque no es constante, sino que variará de un ciclo a otro.Por último, si tomamos K = 1;5, con un valor superior al crítico, el

resultado es el mostrado en la �gura 5.16.Nos encontramos con el problema de que el circuito no llegue a comenzar

a conmutar, lo cual no tiene nada que ver con que se haya alcanzado el valorcrítico.El motivo por el que ocurre esto es que al variar el valor de K, estamos

cambiando también la pendiente del plano de deslizamiento, de forma quea mayor K menos pendiente y, por tanto, más horizontal es el plano. Porsu parte, el circuito parte de las condiciones iniciales (x0; y0; z0) = (0; 1; 0)en el semiespacio inferior al plano de deslizamiento, y con _z < 0, al sery0 < yd. Entonces, para que la trayectoria que sigue el circuito al arrancarllegue a caer sobre el plano de deslizamiento es necesario que éste tenga una

91

Figura 5.17: Dinámica para K = 1;5 y condiciones iniciales (x0; y0; z0) =(0;3; 1;2; 0). La dinámica es inestable. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

pendiente mínima. Habrá que tener especial cuidado al elegir los valores delos componentes del circuito, para que este fenómeno no se produzca paravalores de K demasiado pequeños. Cambiando las condiciones iniciales deforma que las acercamos al punto de equilibrio, por ejemplo (x0; y0; z0) =(0;3; 1;2; 0), tenemos tal y como esperábamos en un principio, que el sistemase vuelve inestable. La dinámica se va alejando del punto de psedo-equilibriocon amplitud onda de la señal de salida cada vez mayor.

Ahora combinaremos las dinámicas de la zona de sliding con la dinámi-ca del estado de no conducción (NC) del modo de conducción discontinua(DCM), para representarlas en un plano. Esto será posible siempre y cuandose cumplan las premisas que se expusieron en el capítulo anterior en cuantoa que el segmento QR pertenezca a la región atractiva del plano de desliza-miento y que la dinámica en el plano x = 0 no colisione con el plano y = 1.Viendo la grá�ca de la simulación con K = 1;4, en la que se ha integrando

92

Figura 5.18: Dinámica de la señal de salida frente al tiempo paraK = 1;5 concondiciones iniciales (x0; y0; z0) = (0;3; 1;2; 0). Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

93

hacia atrás partiendo de condiciones iniciales (x0; y0) = (0;3; 1;2), obtenemosun resultado de gran importancia, y es que ya estamos en disposición de ase-gurar que el ciclo límite inestable se mantiene vigente aún cuando tocamosel plano x = 0. La dinámica inicial está borrada para poder observar el ciclolímite con mayor claridad.

Se adjuntan dos simulaciones más, con k = 1;33, en las que se ha inte-grando hacia atrás partiendo de condiciones iniciales (x0; y0) = (0; 1). En lasegunda representación se ha borrado la dinámica inicial para poder observarcon mayor claridad el ciclo límite inestable. Una vez más, estos resultadosdejan constancia de que el ciclo límite inestable propio de la bifurcacltadode Hopf, sigue vigente al llegar la dinámica al plano x = 0 del estado de noconducción (NC) en el modo DCM. Tamibén vemos que comparada con lasimulación anterior, el tamaño del ciclo límite es mayor siendo el valor delparámetro k, con lo que su tamaño crece conforme disminuye el valor de k yviceversa.

Por último mostramos un caso no se puede representar como un sistemabidimensional en un plano dado que la dinámica de nuestro sistema tocael plano y = 1 cuando se encuentra en el plano x = 0 del estado de noconducción (NC). Es impotante ver que tal y como ya comentamos en elcapítulo anterior, hay excursiones de la dinámica justo por encima del planode deslizamiento, hasta que la misma vuelve a entrar en el zona atractiva desliding. Primero se alcanza el plano de deslizamiento desde las condicionesiniciales dadas (en este caso (x0; y0; z0) = (0; 1; 0)), se entra en el estado deno conducción (NC, plano x = 0) y al dar con el plano y = 1, se entra en elestado de descarga (D) con excursión por encima del plano de deslizamitnohasta que alcanza la zona atractiva en alguno de sus puntos. Se muestra laproyección del plano xz para que se pueda inspeccionar todo esto con mayorclaridad.

5.1.2. Segundo escenario, con ganancia yd = 2

Si consideramos los siguentes valores para los elementos que componen elcircuito

L = 1;4 mH;

C = 10 �F:;

rL = 0;25 ;

R = 40 :

94

Figura 5.19: Ciclo límite inestable con K = 1;4, con condiciones iniciales(x0; y0) = (0;3; 1;2) en que la zona y < 0 es el plano x = 0 abatido. Tenemos,yd = 1;33 y b 6= 0:

95

Figura 5.20: Ciclo límite inestable con K = 1;3, con condiciones iniciales(x0; y0) = (0; 1) en que la zona y < 0 es el plano x = 0; abatido. Tenemos,yd = 1;33 y b 6= 0:

96

Figura 5.21: Al igual que la �gura anterior, es el ciclo límite inestable conK = 1;3, con condiciones iniciales (x0; y0) = (0; 1) en que la zona y < 0 esel plano x = 0; abatido. Se ha borrado la dinámica inicial para ver mejor elciclo límite inestable. Tenemos, yd = 1;33 y b 6= 0:

97

Figura 5.22: Proyección en el plano xz de la dinámica con K = 1;33; quetiene excursiones por encima del plano de deslizamiento. Tenemos, yd = 1;33y b 6= 0:

98


a = 0;2958;

b = 0;06:


�x� = 1;21;

K = 0;98:

Por su parte, las condiciones iniciales del circuito son

x = 0; (5.2)

y = 0;

z = 0:

Además, vamos a considerar que la tensión de entrada es de 48V y a lasalida de 96V , por lo que yd = 2.Los resultados obtenidos para estos valores de los parámetros no di�eren

mucho de los anteriores (con yd = 1;33); salvo por la salvedad de que ahorael tamaño de las oscilaciones de la señal de salida y de los ciclos límite esmucho mayor, algo lógico debido a la mayor exigencia que ahora imponemosal circuito en cuanto a su ganancia. También se observa que el ciclo límitede la bifurcación, se mantienen al llegar al plano x = 0 y que su tamaño serámayor cuanto menor sea el valor del parámetro K. Otro asunto importantea tener en cuenta es que solo para valores de K muy pequeños el sistema escapaz de entrar en la zona atractiva del plano de deslizamiento. Por eso, amedida que aumentemos el valor deK deberemos ir ajustando las condicionesiniciales. Debemos tener en cuenta que, tanto el valor nominal de la corriente(�x� = 1;21) como el de la señal de salida yd = 2, están más alejados de lascondiciones de reposo. También constatamos que es difícil que se pueda darel modo de conducción discontinua (DCM) ya que solo se alcanza el planox = 0, propio del estado de no conducción (NC), de forma esporádica. Acontinuación mostramos algunas �guras (5.23 a 5.29) que muestran lo quehemos explicado.

5.2. Casos con bobina ideal rL = 0 (b = 0)

Comenzamos reescribiendo el sistema 3.1 particularizado para b = 0 que-da lo siguiente

_x = �Ky(y � yd); (5.3)

_y = �ay2 + x+K(y � yd)x;

99

Figura 5.23: Dinámica de la proyección del plano xy, uno de los pocos casosen que se alcanza el plano x = 0, y por tanto, el estado de no conducción(NC) del modo DCM. K = 0;69; yd = 2 y (x0; y0; z0) = (0; 2;3; 2;5):

100

Figura 5.24: Dinámica de la señal de salida con respecto al tiempo con K =0;69; yd = 2 y (x0; y0; z0) = (0; 2;3; 2;5):

101

Figura 5.25: Dinámica del sistema en la proyección del plano xy, con K =0;73; yd = 2 y (x0; y0; z0) = (0; 2;3; 0).

102

Figura 5.26: Dinámica del sistema en la proyección del plano xz, con K =0;73; yd = 2 y (x0; y0; z0) = (0; 2;3; 0). Se ve como la dinámica no alcanza elplano x = 0.

103

Figura 5.27: Dinámica de la señal de salida frente al tiempo, con K = 0;73;yd = 2 y (x0; y0; z0) = (0; 2;3; 0).

104

Figura 5.28: Ciclo límite inestable, con K = 0;85; yd = 2 y (x0; y0; z0) =(1; 1;5; 0). Aunque toque el plano x = 0, se puede dibujar porque cumple conla ecuación 4.3, es decir, yd < 1 + 1

K.

105

Figura 5.29: Ciclo límite inestable, con K = 0;7; yd = 2 y (x0; y0; z0) =(1; 1;5; 0). Aunque toque el plano x = 0, se puede dibujar porque cumple conla ecuación 4.3, es decir, yd < 1+ 1

K. El tamaño del ciclo límite es mayor que

antes, dado que el valor de K es menor que el anterior.

106

en el que tenemos los siguientes equilibrios

0 = �Ky(y � yd); (5.4)

0 = �ay2 + x+K(y � yd)x:

La primera se anula para y = 0, pero la obviamos porque proviene de lamultiplicación de las ecuaciones por y en la de�nición implícita de la nuevavariable de tiempo � .También se anula para y = yd, y esta solución será la que nos interese. Si

sustituimos en la segunda ecuación tenemos

�ay2 + x = 0;

con lo que el equilibrio esxeq = (ay

2d; yd): (5.5)

Sustituyendo en la matriz jacobiana el valor del punto de equilibrio queda

J(ay2d; yd) =

�0 �Kyd1 ayd(Kyd � 2)

�; (5.6)

y los valores del determinante y de la traza son

Det = Kyd > 0; (5.7)

Traza = ayd(Kyd � 2)

8<:> 0; si K > 2

yd;

= 0; si K = 2yd;

< 0; si K < 2yd;

9=; ;por tanto, el equilibrio es estable para K < 2

ydy sufre una bifurcación de

Hopf para K = 2yd.

Si consideramos los siguentes valores para los elementos que componen elcircuito

L = 2000 �H;

C = 100 �F:;

rL = 0 ;

R = 20 :


a = 0;22;

b = 0:

107


�x = 0;39;

K =2

yd= 1;5:

Por su parte, las condiciones iniciales del circuito serán

x = 0; (5.8)

y = 1;

z = 0:

Además, vamos a considerar que la tensión de entrada es de 9V y a lasalida de 12V , por lo que yd = 1;33.Lo primero a reseñar es que, según vemos en la �gura 5.30, la dinámica

caótica se sigue manteniendo para algunos valores del parámetro K.Incluimos dos simulaciones más, una con comportamiento de foco estable,

con K = 1 y otra una vez que K sobrepasa el valor para el cual se presentala bifurcación de Hopf volviéndose inestable la dinámica.Con un valor del parámetro K = 1;4 y condiciones iniciales (x0; y0; z0) =

(0; 1; 0) nos encontramos con un ciclo límite estable del que solo representa-mos dicho ciclo y no la dinámica anterior. Este ciclo, sólo aparece al simularla dinámica completa del sistema, por tanto, no se puede visualizar en unplano porque toca el plano y = 1 dentro del plano y = 0.Por último reseñamos brevemente, que una posibilidad de ampliación del

estudio de este tipo de sistemas se puede conseguir mediante el empleo deun �ltro paso de alta "washout" conjuntamente con el control por modosdeslizantes, con el que se consigue robustez frente a variaciones en la carga.Dichos �ltros se usan frecuentemente para controlar sistemas de dinámicacaótica por medio de técnicas basadas en la teoría sobre bifurcaciones.

108

Figura 5.30: Simulación que deja constancia de que también hay dinámicacaótica con b = 0. El valor de K es 1;47.

109

Figura 5.31: Proyección del plano de fases xy con b = 0 y K = 1;47.

110

Figura 5.32: Dinámica de foco estable con K = 1 y b = 0.

111

Figura 5.33: Proyección del plano xz con K = 1 y b = 0.

112

Figura 5.34: Dinámica de la señal de salida con respecto al tiempo, conK = 1y b = 0.

113

Figura 5.35: Dinámica de foco inestable, con K = 1;6, b = 0 y condicionesiniciales (x0; y0; z0) = (0;5; 1; 0).

114

Figura 5.36: Dinámica de ciclo estable en la proyección del plano xy paraK = 1;4, b = 0 y condiciones iniciales (x0; y0; z0) = (0; 1; 0). Solo aparece enla dinámica en tres dimensiones, no se puede representar en un plano porquetoca el plano y = 1 dentro del plano y = 0.

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Modelado MatemÆtico de un Convertidor de Tensión BOOST con ...

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