Modelado y Simulación de un Proceso de Destilación usando...

Modelado y Simulación de un Proceso de Destilación usando Matlab y Simulink.

Aplicación a un Sistema con Doble Columna Splitter de Propileno/Propano.

AUTOR: Josep Barranco Arnau.

DIRECTOR: F. Javier Calvente Calvo.

Reus, Septiembre de 2002.

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Í N D I C E

Página

0. Objeto del proyecto. ...........................................................................................4

1. Objetivo del proceso. .........................................................................................4

2. Fundamentos del proceso. ................................................................................4

3. Descripción del proceso. ...................................................................................6

4. Diagrama del proceso e instrumentación. ....................................................8

5. Modelo del sistema. ...........................................................................................8

5.1. Modelo dinámico de una columna de destilación; modelo de C-1. .......................8 5.1.1. Ecuaciones de plato de C-1. ........................................................................13 5.1.2. Ecuaciones del plato de alimentación de C-1. .............................................19 5.1.3. Ecuaciones del plato inferior de C-1 y rehervidor, E-1. .............................20 5.1.4. Modelo del plato superior, condensador y depósito de cabeza de C-1. ......27

5.2. Modelo dinámico de C-2. ....................................................................................33

5.2.1. Modelo del fondo de C-2. ............................................................................34 5.2.2. Ecuaciones de plato de C-2. ........................................................................37 5.2.3. Ecuaciones del plato de alimentación de C-2. .............................................37 5.2.4. Modelo del plato superior, condensador y depósito de cabeza de C-2. ......38 5.2.5. Modelo del enfriador E-4. ............................................................................43

6. Simulación. .........................................................................................................44 6.1. Representación del sistema en Espacio de Estado. ..............................................44

6.1.1. Ecuaciones de la sección Platos. .................................................................44 6.1.2. Ecuaciones de la sección Fondo. .................................................................46 6.1.3. Ecuaciones de la sección Cabeza. ...............................................................47

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6.2. Desarrollo de la simulación en Matlab. ................................................................47

6.2.1. Rutina plat. ..................................................................................................54 6.2.2. Rutina reherv. ..............................................................................................56 6.2.3. Resultados obtenidos. ..................................................................................57 6.2.4. Conclusiones. ...............................................................................................59

6.3. Diseño del simulador con Simulink. .....................................................................60

6.3.1. Diseño del bloque Plats. ..............................................................................61 6.3.2. Diseño del bloque Fons. ..............................................................................66 6.3.3. Diseño del bloque Cap. ...............................................................................70

6.4. Desarrollo del simulador del sistema completo. ...................................................74

6.4.1. Control de fondo de C-1. .............................................................................76 6.4.2. Control de cabeza de C-1. ...........................................................................76 6.4.3. Control de fondo de C-2. .............................................................................77 6.4.4. Control de cabeza de C-2. ...........................................................................78 6.4.5. Funciones para cálculos específicos. ..........................................................78

6.5. Ejecución de la simulación y análisis de los resultados. ......................................80 6.5.1. Resultados obtenidos. ..................................................................................82

6.5.2. Conclusiones finales. ...................................................................................87 Agradecimientos. .........................................................................................................88

Referencias. .................................................................................................................88

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0. Objeto del proyecto. El objeto de este proyecto es obtener el modelo matemático de una Unidad de Purificación de Propileno y posteriormente utilizar este modelo para simular dicha unidad. La obtención del modelo matemático de este proceso industrial será muy útil tanto para el análisis de los sistemas de control como para el estudio e implementación de modificaciones en el diseño de la planta. En ambos casos el simulador constituirá una herramienta interesante, que de una forma rápida y económica emulará los fenómenos básicos del proceso. También puede utilizarse para fines didácticos en el adiestramiento de personal en el control y operación de la unidad.

1. Objetivo del proceso. La Unidad de Purificación de Propileno se encuentra integrada en la Zona de Fraccionamiento de una Planta de Olefinas, constituyendo un bloque dentro de la misma. El objetivo de este bloque es el fraccionamiento de la corriente procedente del sistema de hidrogenación de propino y propadieno, con el fin de separar las corrientes siguientes:

• Corriente de propileno grado polímero (99.5% vol.). • Corriente enriquecida de propano.

La mayor parte del propileno contenido en la alimentación a la columna C-1, y que proviene de la columna desgasificadora, se separa del resto por destilación en C-1 y C-2. El resto de componentes, propano y más pesados, se pueden enviar a la red de gas combustible o a reprocesar como alimentación a los hornos de “cracking”, en la Zona de Pirólisis de la Planta de Olefinas. 2. Fundamentos del proceso.

El proceso está básicamente ligado a la destilación. La destilación permite la separación o fraccionamiento de los componentes de una mezcla, en función de sus temperaturas de ebullición y aprovechando las diferentes volatilidades de los mismos. Una columna de destilación trabaja como una máquina térmica entre una fuente caliente (hervidor) y otra fría (condensador de cabeza). De esta manera se establece una contracorriente de líquido y de vapor, discontinua en el caso de las columnas de platos o continua en el caso de columnas de relleno. Las dos columnas de destilación que aparecen en este proceso son de platos.

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El contacto entre las dos fases da lugar a un intercambio de componentes, de manera que los más volátiles se acumulan en el vapor que sale por la parte superior de la columna y los más pesados pasan a la fase líquida, que se extrae por el fondo. Este reparto de componentes entre las dos fases se traduce en un gradiente de temperatura desde la cabeza al fondo de la columna y lleva por consiguiente a un gradiente de concentraciones. El estudio de la destilación debe de venir precedido de un análisis del fenómeno difusional fundamental, denominado equilibrio líquido-vapor. El cálculo del equilibrio líquido-vapor precisa del conocimiento de los coeficientes de equilibrio, que se definen por:

i

ii x

yK = ,

es decir, como el cociente entre las fracciones molares del componente i en las dos fases. El intercambio recíproco por difusión de los componentes de las dos fases, conduce a un equilibrio teórico. Tal sistema de equilibrio constituye un plato teórico que se caracteriza por la proporcionalidad entre las concentraciones de los constituyentes de cada fase, definiendo con ello, el concepto de selectividad elemental de fraccionamiento. Las variables operatorias de la destilación son:

• Diferencia de volatilidades entre las sustancias a separar. • Número de platos de la columna. • Eficiencia de cada plato. • Relación de reflujo. • Presión.

Del comportamiento de cada mezcla en cada una de las fases se obtienen los distintos casos de equilibrio líquido-vapor. Así, en fase líquida las mezclas pueden comportarse como:

• Soluciones ideales: cuando los componentes son de estructuras o pesos moleculares semejantes.

• Soluciones de no-idealidad poco pronunciada.

En fase gaseosa, las mezclas se comportan generalmente como ideales, excepto en las proximidades del punto crítico, para valores de la presión reducida superior a 0.8.

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3. Descripción del proceso.

La separación de C3 (propileno-propano) se realiza en dos columnas fraccionadoras C-1 y C-2. Cada una de las dos columnas produce propileno de alta pureza. La alimentación a la unidad se realiza a la altura de la fase gas del plato 30 de la columna C-1. La columna trabaja a una presión de unos 24.5 kg/cm2. A la entrada de la columna se dispone de indicación de tres variables: caudal (FI-1), temperatura (TI-1) y composición de la carga (AI-1). En cualquier caso los analizadores siempre medirán los siguientes componentes: A-Propileno y B-Propano. El gas de cabeza de C-1 se condensa en el rehervidor E-2 de la columna secundaria, C-2 y luego se acumula en el depósito de reflujo, C-3 de la columna C-1. El AI-2 analiza la composición del gas de cabeza de C-1. Además, de dicha corriente se conoce la temperatura mediante TI-2. Los vapores incondensables del depósito de reflujo C-3, se purgan por PIC-2 y se devuelven junto con el gas de purga del depósito de reflujo C-4 de la columna C-2, a la columna desgasificadora, perteneciente a otro bloque. El líquido de C-3 se bombea mediante G-1 como reflujo de C-1, controlado por FIC-2. El resto del producto de cabeza suministrado por G-1, se subenfría con agua de refrigeración en E-4, y se envía a la corriente de propileno producto, controlado por el controlador de nivel, LIC-2. Esta corriente se une con el producto de cabeza de C-2, midiendo la salida neta de propileno producto mediante el medidor de caudal FI-8. De la salida de propileno producto también se conoce la temperatura (TI-6) y su composición (AI-6).

El calor para la primera columna de separación de C3, lo proporciona un rehervidor vertical por termosifón, E-1, con vapor de muy baja presión.

El nivel de la columna se mantiene mediante el controlador de nivel LIC-1, en cascada con el de caudal, FIC-3. Situado por debajo del primer plato de C-1 se encuentra PIC-1, cuya misión es la de controlar la presión de la columna. La señal procedente de dicho controlador, se compara con la de FIC-1 en el selector S-1, el cual elegirá la mayor de las dos. Dicha señal será la que gobernará la válvula de control en la línea de vapor de muy baja presión. En operación normal de la unidad, el controlador que regula el caudal de vapor al rehervidor es el LIC-1.

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La implementación del control de presión responde a razones de seguridad, ya que si a la columna le llegara mucho caudal de líquido en un breve espacio de tiempo, el excesivo calentamiento de fondo podría presionar el sistema. El PIC-3 mantiene una presión de vapor constante aguas abajo de la válvula de control FCV-3, ajustando la válvula automática PCV-3, en la línea de salida del condensado de E-1. De esta forma, la presión de vapor a la entrada del rehervidor se controla por el nivel de condensado en el mismo. El producto de fondo de la columna C-1, es una mezcla de propileno y propano que se envía a la columna secundaria de separación de C3, C-2. Esta corriente se regula por FIC-4 y se alimenta por encima del plato 55. El controlador FCV-4, sólo se operará en automático en caso de querer mantener un caudal estable a C-2, en cualquier otro caso, este controlador trabajará manualmente. En la misma línea se tienen los medidores de temperatura y composición respectivamente: TI-3 y AI-3. La columna C-2 trabaja a una presión de unos 16.0 kg/cm2. El calor para el rehervidor de la columna C-2 se proporciona por condensación del gas de cabeza de la columna primaria C-1. El gas de cabeza de C-2 se condensa con agua de refrigeración en el condensador E-3 y se acumula en el depósito de reflujo C-4 de la columna C-2. Controlado por PIC-5, se purga el vapor incondensable de C-4. El analizador AI-4 indica la composición del gas de cabeza de la columna C-2, mientras que TI-4 indica su temperatura. El reflujo procedente de C-4, se bombea a C-2 por medio de la bomba G-2 y se controla por FIC-5. El producto de cabeza se suministra también por la bomba G-2 y se controla por el regulador de nivel LIC-4 del depósito de reflujo C-4. El producto de cabeza líquido luego se une con el producto de cabeza de la columna C-1. El medidor LI-3 indica el nivel de fondo de C-2. El producto de fondo de la columna secundaria C-2, en su mayoría propano (C3H8), puede reprocesarse como alimentación a los hornos de pirólisis o enviarse a la red de gas combustible. Ello se regulará mediante los controladores de caudal FIC-7 y FIC-6, respectivamente. En la corriente de salida de C-2 se dispone de indicación de temperatura mediante el TI-5 y composición (AI-5).

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4. Diagrama del proceso e instrumentación. El diagrama adjunto muestra los equipos y flujos del sistema, así como la instrumentación que interviene en el control de la unidad, cuyo funcionamiento se ha descrito en el apartado anterior.

Fig. 4.1.

5. Modelo del Sistema. 5.1. Modelo dinámico de una columna de destilación; modelo de C-1. El modelo dinámico de una columna de destilación supone uno de los modelos de control más complejos dentro de una unidad de operación.

C-2

C-1

FCV-2

FCV-3

FCV-5C-4C-3

LCV-3

FCV-7

FIC-2

LIC-2

PIC-2

FIC-3

PIC-3

PIC-1

LIC-1

FCV-4

FIC-4

FIC-5

PIC-4PIC-5

LIC-4

FIC-7

PCV-2

LCV-2

PCV-3

E-3

E-4

PCV-5PCV-4

E-1

E-2

>

ALIMENTACIÓN

PROPANO AREPROCESAR

PROPILENO

GASES INCONDENSABLES

VAPOR

CONDENS.

AGUA REFR.

AGUA REFR.

55

204188

30

FCV-6

FIC-6

PROPANO A RED DEGAS COMBUSTIBLE

G-2

G-1

1

1

AI-5

AI-2

TI-1

FI-8AI-6

TI-2

TI-3

TI-4

TI-5

TI-6

AI-1

AI-3

AI-4

LI-3S-1

FI-1

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La complejidad del modelo se debe al gran número de ecuaciones diferenciales no lineales que deben resolverse para estudiar la respuesta dinámica de la temperatura, de la composición en cada plato de la columna y de la composición de los productos. Por ejemplo, en el caso de la columna de 188 platos, tenemos una ecuación para el balance de cada componente en cada plato y una para el balance de entalpías para cada una de las 188 bandejas, es decir, un total de 564 ecuaciones diferenciales. Además, para componente de cada plato se deberá establecer una relación de equilibrio de fase, así como las correspondientes relaciones hidráulicas, de densidad y otras propiedades físicas. En la mayoría de los casos estas relaciones son funciones no lineales de la temperatura, la presión y la composición. La figura Fig 5.1. representa el esquema de una columna de destilación con un condensador total y un rehervidor de termosifón, en el que se muestran los caudales de alimentación, salida de cabeza, fondo y reflujo que son respectivamente: F, D, B y LO. También se muestran las composiciones de los productos a lo largo del tiempo y la fracción molar de los componentes de la alimentación: xD , xB y z . Otro parámetro imprescindible para modelar el sistema será la entalpía de la corriente de entrada: hF. La estrategia de control de dicho sistema se basa fundamentalmente en dos variables manipuladas que son, el caudal de vapor al rehervidor y el nivel del depósito de reflujo. En realidad el caudal de vapor, dependerá del nivel de la columna, mediante un control en cascada. El caudal de reflujo de la columna se mantiene constante, mediante un controlador FIC. La presión en la columna no se controla pues ésta dependerá de la presión de la planta donde esté ubicada la unidad. También se supone que la presión es constante desde el fondo a la cabeza de la columna, es decir, la caída de presión de un plato a otro es despreciable. A pesar de que únicamente se tiene interés en la composición y los caudales de las corrientes del producto, éstos dependen de las condiciones en los platos, el rehervidor y el condensador, lo cual provoca que se divida la columna en una cierta cantidad de volúmenes de control, uno para cada plato, además de los correspondientes al condensador y al rehervidor. Para cada uno de estos volúmenes de control deberán aparecer los N balances de materia y las N ecuaciones del balance de energía (entalpía), donde N es el número de componentes, que en nuestro caso son dos (propileno y propano). Todas estas ecuaciones deben resolverse simultáneamente, junto con las ecuaciones adicionales que describen el sistema de control. A continuación se realiza un análisis sistemático de cada una de las ecuaciones y las variables que intervienen en la obtención del modelo del sistema. Este análisis es meramente descriptivo, contribuyendo así a una mayor claridad y comprensión de su conjunto.

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Será por tanto, durante la simulación de la planta que se especificará mediante índices al equipo o subsistema que pertenecen cada una de las variables de las ecuaciones de plato.

Fig. 5.1.

FCV-2

FCV-3

PCV-3

FIC-2

PIC-2

LIC-1

FIC-4

PCV-2

VAPOR

CONDENS.

n

nF

1

AI-2

FI-1

TI-2

TI-3

TI-1

AI-3

AI-1

LIC-2

LCV-2

PIC-1

FIC-2

FCV-4

Alimentación

Salida de fondo

Salida de cabeza

FzhF

BxB

DxD

LOxD

FS

Desgase deincondensables

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En la figura Fig. 5.2. se representa el diagrama de bloques del sistema. En él se observan los flujos de masa y energía (entalpías), mostrando las distintas etapas en las que se efectúa el proceso de destilación: agotamiento y rectificación, así como las fases que merecen un tratamiento especial en el planteamiento de las ecuaciones de los balances de materia y energía: alimentación, reflujo, condensador y rehervidor.

A continuación se analiza cada una de estas fases y las variables que en ellas intervienen.

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MF+1

Mj = MF+2-Mn-1

Mn

M2-MF-1

B

D

F

-Q

+Q

LO

MF

M1

Rehervidor

Agotamiento

Alimentación

Rectificación

Condensador

hF

hD

hB

VB, HByi ,B

L1, h1xi ,1

L2, h2

xi ,2

V1, H1

yi,1

VF

LF

Vj-1, Hj-1

yi,j-1

Lj, hj

xi,j

Vj, Hj

yi,j

Lj+1, hj+1

xi,j+1

LD Vn, Hn

yi,n

Extracción de fondo

Producción de cabeza

Fig. 5.2.

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5.1.1. Ecuaciones de plato de C-1. Las ecuaciones de plato son las que describen los balances de un plato típico, tanto de la zona de agotamiento como de rectificación. A continuación se muestra el esquema de un plato típico.

Fig. 5.1.1. La primera ecuación que se describe es el balance total de masa, el cual, cuando no hay reacciones químicas, puede expresarse en unidades molares. Si se supone que a causa de su baja densidad, la acumulación de masa de la fase vapor, en relación con la de la fase líquida es despreciable, el balance total de masa en el plato j es:

)()()()()( 11 tVtLtVtLtMdtd

jjjjj −−+= −+ (5-1)

donde:

Mj(t) es el líquido residual en la bandeja j en kmol. Lj(t) es el caudal de líquido que sale del plato j en kmol/s. Vj(t) es el caudal de vapor que sale del plato j en kmol/s. Lj+1(t) es el caudal de líquido procedente del plato superior en kmol/s. Vj-1(t) es el caudal de vapor procedente del plato inferior en kmol/s.

Vj-1yi,j-1Hj-1

Vjy i,jHj

Ljxi,jhj

Lj+1x i,j+1hj+1

M jTj

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Para calcular el balance de masa de cada componente en cada plato, será necesario considerar que el líquido en el mismo está perfectamente mezclado, de forma que las propiedades del líquido que sale del plato son iguales a las del líquido que permanece en el mismo. Sin esta aproximación de parámetro localizado, sería necesario escribir los balances en cada punto de cada plato, siendo las ecuaciones resultantes diferenciales parciales, lo cual incrementaría innecesariamente la dificultad del problema. Así pues, la ecuación (5-2), que representa el balance del componente i en el plato j es:

( ) )()()()()()()()()()( ,,1,11,1, tytVtxtLtytVtxtLtxtMdtd

jijjijjijjijjij ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅ −−++

(5-2)

donde: xi,j(t) es la fracción molar del componente i en el líquido que sale del plato j. yi,j(t) es la fracción molar del componente i en el vapor que sale del plato j. La ecuación (5-2) se aplica a N-1 componentes para cada plato, ya que la suma de las fracciones molares debe ser uno. En este caso N es igual a dos, pues tenemos dos componentes: propileno y propano; por tanto, la aplicaremos a un solo componente, obteniendo la fracción molar del otro mediante la ecuación (5-3).

∑=

=N

iji tx

1, 1)( (5-3)

Hasta ahora se tienen tres ecuaciones por plato (N+1): una equivalente a la ecuación (5-2) por cada componente y la ecuación (5-3), la cual no es una ecuación de balance. El número de variables por plato será de siete (2N+3): cuatro corresponderán a las composiciones de propileno y propano en fase vapor y líquido, dos a los caudales salientes de vapor y de líquido y la restante a los moles de líquido residual en el plato. Además hay que añadir la ecuación correspondiente al balance de energía de cada plato, con lo cual, de momento se dispone de cuatro ecuaciones por plato:

( ) )()()()()()()()()()( 1111 tHtVthtLtHtVthtLthtMdtd

jjjjjjjjjj ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅ −−++

(5-4)

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donde: hj(t) es la entalpía molar del líquido en el plato j en J/kmol.

Hj(t) es la entalpía molar del vapor que sale de la bandeja j en J/kmol. hj+1(t) es la entalpía molar de líquido procedente del plato superior en J/kmol. Hj-1(t) es la entalpía molar del gas procedente del plato inferior en J/kmol. Con esta ecuación se tienen cuatro (N+2) ecuaciones por plato y nueve (2N+5) variables, siendo las dos nuevas variables las entalpías del líquido (hj(t)) y del vapor (Hj(t)) que salen del plato. Para calcular las variables restantes se recurrirá a la termodinámica además de otras relaciones. La composición del vapor se puede obtener a partir de la relación de Murphree para la eficiencia de un plato. Dicho valor se supone constante e igual a 0.7 para todos los platos de la columna:

)()(

)()(

1,,

1,,

tyty

tyty

jiji

jijiM

−∗

−

−−

=η (5-5)

donde: ηM es la eficiencia de Murphree para el plato, cuyo valor es constante y es 0.7. y*

i,j(t) es la fracción molar del componente i en el vapor, en equilibrio con el líquido que sale del plato j. Al aplicar la ecuación (5-5) a cada componente de cada plato, se obtienen dos (N) ecuaciones más por plato, a la vez que se introducen dos variables nuevas; las fracciones molares en equilibrio. De las N relaciones de equilibrio líquido-vapor, se obtiene:

)()()( ,,

*, txtKty jijiji ⋅= (5-6)

donde: Ki,j(t) es el coeficiente de equilibrio para el componente i en el plato j. El valor del coeficiente de equilibrio será función de la presión y la temperatura de cada plato y su valor se obtendrá a partir del nomograma de Scheibel y Jenny. Para ello se fijará el valor de la presión de operación de la columna en 24.5 kg/cm2:

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580484.0)(001736.0)(,1 +⋅= tTtK jj (5-7)

597955.0)(001672.0)(,2 +⋅= tTtK jj (5-8)

donde:

Tj(t) es la temperatura del plato j en K.

Con éstas, se introducen dos ecuaciones más por plato, con lo cual se tendrá un total de diez ecuaciones y catorce variables, siendo la nueva variable Tj(t), la temperatura de plato. Dado que la suma de las fracciones molares de vapor debe ser igual a la unidad, se obtiene la ecuación adicional:

∑=

=N

iji ty

1, 1)( (5-9)

En este punto se tienen catorce variables y once ecuaciones por plato. A partir de la fluidodinámica del plato se puede obtener una relación entre los moles del líquido que permanecen en el plato y el caudal de líquido que sale del mismo. Una ecuación que relaciona ambas variables es la ecuación empírica de Francis, basada en experiencias sobre vertederos rectangulares. Ésta es aplicable en vertederos rectangulares de 1.067 m a 5.182 m de anchura, bajo cargas de 0.183 m a 0.488 m.

2

3

,0

)(

)()()()(

⋅−

⋅⋅=tA

tMtMtktL

j

jjjj ρ

ρ (5-10)

donde: ρj(t) es la densidad molar del líquido en kmol/m3. M0,j(t) es el líquido que se retiene con flujo cero en el plato j en kmol. A es el área transversal del plato en m2. k es el coeficiente del vertedero en m3/2/s.

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Sustituyendo:

)()(,0 tvtM jj ρ⋅= (5-11)

donde: v es la capacidad o volumen contenido en el plato con flujo cero en m3. Según los datos obtenidos a partir del diseño de la columna (C-1), el valor de los parámetros para esta ecuación son:

A = 6.988 m2 ; v = 1.0573 m3 ; k = 1.84 m3/2/s

Así pues, se ha añadido una nueva ecuación, con lo cual se tienen ya doce y una nueva variable: ρj(t). Para completar el sistema de quince ecuaciones con quince variables por plato, se recurrirá a las correlaciones correspondientes a las propiedades físicas de las sustancias que intervienen en el proceso. En primer lugar calcularemos las variaciones de entalpía que experimenta la fase líquida al ir fluyendo a través de los platos. Para valores próximos de temperatura puede considerarse lineal la relación existente entre la temperatura y la capacidad calorífica de un líquido. En este caso se tiene una diferencia máxima entre cabeza y fondo de unos 4 K, lo cual justifica la utilización de esta relación. Para obtener una mayor precisión en los datos, se considera un rango de temperaturas de 328.15 K a 348.15 K:

( )5270.1148637)(9221.3960)()( ,1,1, −⋅= tTtxtC jjjpl (5-12)

( )1634.788750)(2144.2876)()( ,2,2, −⋅= tTtxtC jjjpl (5-13)

Se calculará la entalpía a partir de la capacidad calorífica:

∫ ⋅⋅=jT

T

pljij dTCxh0

, (5-14)

18

Quedando definitivamente:

))(()( tThth jj = (5-15)

Considerando los dos componentes (propileno y propano), para la fase líquida se obtiene:

( )

( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(32

,2

32,1

tTtTtx

tTtTtxth

jjj

jjjj

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-16)

Las unidades vienen dadas en J/kmol· K. Procediendo del mismo modo para hallar las ecuaciones de la entalpía de los componentes en la fase vapor, en función de la temperatura:

∫ ⋅⋅=jT

pvjij dTCyH0

, (5-17)

( )( ))(109275.7)(1037.4)(95.112)(68032)(

)(1015.6)(1039.3)(55.88)(59580)()(46322

,2

46322,1

tTtTtTtTty

tTtTtTtTtytH

jjjjj

jjjjjj

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−

(5-18)

Siendo las unidades las mismas que en el caso anterior. Dadas las gráficas de la variación de la densidad de los hidrocarburos en estado líquido y considerando éstos prácticamente incompresibles, es razonable considerar que la relación temperatura/densidad para rangos de temperatura pequeños, es prácticamente lineal. Así pues puede escribirse:

( ) ( ))(002.00963.1)()(002.01363.1)()( ,2,1 tTtxtTtxt jjjjj ⋅−⋅+⋅−⋅=ρ

(5-19)

19

Estando las unidades expresadas en kmol/m3. Las ecuaciones correspondientes a los balances de materia y energía son válidas únicamente para las zonas de agotamiento y rectificación de la columna. Es decir, se aplicarán desde el plato 2 al 29 y desde el 31 al 187. El resto de ecuaciones son aplicables para todos los casos. Las modificaciones que sufrirán las ecuaciones de los platos de alimentación, superior e inferior de la columna se describen a continuación. 5.1.2. Ecuaciones del plato de alimentación de C-1. Para el plato 30 deberá tenerse en cuenta que se tiene un término adicional de entrada, la alimentación, lo cual significa que en el miembro derecho de las ecuaciones de balance de materia y energía deberán añadirse los siguientes términos:

Plato 30:

( ) )()()()()()()()()()()()( ,30,3030,3029,2931,3130,30 txtLtytVtxtLtytVtxtLtxtMdtd

FiFiiiii ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-20)

( ) )()()()()()()()()()()()( 30303030292931313030 thtLtHtVthtLtHtVthtLthtMdtd

FF ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-21)

donde: LF(t) es el caudal de alimentación en kmol/s. xi,F(t) es la fracción molar del componente i en el líquido de alimentación. hF(t) es la entalpía molar del líquido de alimentación en J/kmol.

Siendo:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(32

,2

32,1

tTtTtx

tTtTtxth

FFF

FFFF

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-22)

20

Se considerará un término VF(t) en aquellos sistemas donde exista una fracción de la alimentación parcialmente vaporizada, con lo cual también será necesario modificar las ecuaciones del balance de materia y energía para el plato 31. Puesto que la alimentación a estas columnas es totalmente líquida, no será necesario hacer esta consideración.

5.1.3. Ecuaciones del plato inferior de C-1 y rehervidor, E-1. En el plato inferior intervienen las variables correspondientes a las operaciones que se efectúan en el fondo de la columna. Es por ello que las ecuaciones del primer plato deberán ser modificadas: Plato 1:

( ) )()()()()()()()()()( 1,11,11,12,21,1 tytVtxtLtytVtxtLtxtMdtd

iiBiBii ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-23)


BB ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-24)

donde: yi,B1(t) es la fracción molar del componente i en la corriente de vapor que entra en el plato 1. VB1(t) es el caudal de vapor que entra en el plato 1, en kmol/s. HB1(t) es la entalpía molar del vapor que entra en el primer plato en J/kmol.

La ecuación que expresa la eficiencia de Murphree también sufrirá una modificación:

)()(

)()(

1,1,

1,1,

tyty

tyty

Bii

BiiM −

−= ∗η (5-25)

El resto de ecuaciones seguirán la forma genérica de las ecuaciones de plato.

21

Modelo del rehervidor, E-1: En la figura Fig. 5.1.3.1. se muestra el diagrama de un rehervidor.

Fig. 5.1.3.1.

Se supone que el líquido del fondo de la columna está bien mezclado y su composición es la misma que la de los tubos. Por lo tanto, el balance total de materia es:

)()()()( 1111 tVtBtLtMdtd

BB −−= (5-26)

donde: MB1(t) es el líquido que se retiene en el fondo de la torre, incluyendo el líquido en los tubos del rehervidor en kmol. B1(t) es el caudal de salida de fondo de la columna en kmol/s.

FCV-3

PCV-3

FIC-2

LIC-1

PIC-1

AI-3

TI-3

VAPOR

CONDENSADO

SALIDA DEFONDO

xi,B1

hB1

hS

FS

PSS

HSS

B1

MB1

x i,B1h

B1

L1x

i,1h

1

VB1y

i,B1HB1

lref1

E-1

C-1

22

El balance de materia considerando la composición de las corrientes es:

)()()()()()())()(( 1,11,11,11,1 tytVtxtBtxtLtxtMdtd

BiBBiiBiB ⋅−⋅−⋅=⋅ (5-27)

donde:

xi,B1(t) es la fracción molar del componente i en el fondo de la torre.

Para el segundo componente, se aprovecha el hecho de que la suma de las fracciones molares de los dos componentes debe ser igual a la unidad:

∑=

=N

iBi tx

11, 1)( (5-28)

En el balance de energía, se debe considerar la capacidad de transferencia de calor del rehervidor; para ello se expresa la transferencia de calor como una función de la diferencia de temperatura del vapor y del producto de salida de fondo:

))(()()()()()()())()(( 11111111111 tTTAUtHtVthtBthtLthtMdtd

BSRRBBBBB −⋅⋅+⋅−⋅−⋅=⋅

(5-29)

donde:

hB1(t) es la entalpía molar del líquido en el fondo de la torre en J/kmol.

UR1 es el coeficiente total de transferencia de calor del rehervidor en J/s· m2· K. AR1 es el área de transferencia de calor del rehervidor en m2. TS es la temperatura del vapor a la entrada del rehervidor en K. TB1(t) es la temperatura del fondo de la columna en K.

De los datos del proceso y los constructivos del rehervidor (E-1), se conocen: UR1 = 634 J/s· m2· K (limpio), 485 J/s· m2· K (sucio); AR1 = 950 m2; TS = 523.15 K.

23

Se supone que el líquido y el vapor del fondo de la torre están en equilibrio, por lo tanto, sus fracciones molares pueden expresarse según la relación:

( ) )(16703.3)(01089857.0)( 1,11,1 txtTty BjB ⋅−⋅= (5-30)

( ) )(90985.2)(01074624.0)( 1,21,2 txtTty BjB ⋅−⋅= (5-31)

Aplicando la relación existente entre las fracciones de mol de vapor.

∑=

=N

iBi ty

11, 1)( (5-32)

La entalpía correspondiente a cada una de las fases del fondo de la columna será:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

132

11,2

132

11,11

tTtTtx

tTtTtxth

BBB

BBBB

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-33)

( )( ))(109275.7)(1037.4)(95.112)(68032)(

)(1015.6)(1039.3)(55.88)(59580)()(41

631

22111,2

41

631

22111,11

tTtTtTtTty

tTtTtTtTtytH

BBBBB

BBBBBB

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−

(5-34) En este punto, además de las quince ecuaciones y quince variables correspondientes al primer plato se tienen nueve ecuaciones y diez variables más. Modelo del control de nivel de fondo: Para modelar el control de nivel de fondo de la columna deberá calcularse la velocidad a que se transferirá el calor al fondo de la misma, para vaporizar la cantidad necesaria de la mezcla de propileno/propano que mantenga el nivel del líquido constante. Para ello se calculará el calor de vaporización a la temperatura TB1, aplicando la correlación de Watson a los datos obtenidos en las tablas:

24

)()(82.138

)(9.3691077.18

)()(65.139

)(1.3651042.18)(

1,21

38.016

1,11

38.0

161

tytVtT

tytVtT

tQ

BBB

BBB

B

⋅⋅

−

⋅⋅+

+⋅⋅

−⋅⋅=

(5-35)

donde: QB1(t) es la cantidad de calor transferida por unidad de tiempo en J/s.

Por otra parte, el calor de condensación del vapor saturado a la presión de servicio de 4.5 kg/cm2 es:

)(107.653)( 31 tFtQ SB ⋅⋅= (5-36)

donde: FS(t) es el caudal másico de vapor en kg/s. De las dos ecuaciones anteriores se obtiene la relación:

[ ])())(9.369(405.4)())(1.365(137.1)()( 1,2

38.011,1

38.011 tytTtytTtVtF BBBBBS ⋅−⋅+⋅−⋅⋅=

(5-37)

A continuación se modelará el lazo de control. El diagrama de bloques es el siguiente:

lref1 e(t) m(t) FS(t) VB1(t) +

lB1(t)

Fig. 5.1.3.2.

gC(t)

gS(t)

KT

KV

KSP

KS

25

La variable de salida del sistema de control es:

)()(

12

1

11 tr

Mtl

B

BB ρπ ⋅⋅

= (5-38)

El valor de r1 es conocido y corresponde al radio de la columna (C-1), siendo:

r1 = 2.075 m.

La densidad del líquido será una función de la temperatura, siendo su expresión:

( ) ( ))(004803.06.7)()(013234.04.8)()( 11,211,11 tTtxtTtxt BBBBB −⋅+−⋅=ρ (5-39)

donde: lB1(t) es el nivel producido por la acumulación de líquido en el fondo de la columna en m. lref1 es el punto de consigna del controlador de nivel del fondo de C-1 en %. ρB1(t) es la densidad molar del líquido del fondo de la columna en kmol/m3. e(t) es la señal de error entre el valor medido y el deseado en mA. m(t) es la señal generada por el controlador en mA. A continuación se describe cada uno de los bloques que forman el sistema de control:

KT: es la función de transferencia del transmisor y su salida será una señal de 4 a 20mA. En este caso, el 100 % de la escala corresponde a una altura de la columna de 2.55 m y por lo tanto:

KT = 6.2745 mA/m.

KSP: realiza la conversión de la señal del punto de consigna a las mismas unidades que la señal procedente de la variable controlada. Puesto que su escala es porcentual se tendrá:

KSP = 0.16 mA/%.

26

gC(t): es la función de transferencia del controlador. Puesto que el control se realiza mediante un controlador PID genérico, la expresión de la señal de salida en función del error vendrá dada por:

dttde

KdtteK

teKtm DC

t

I

CC

)()()()(

0

⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∫ ττ

(5-40)

Los parámetros del controlador se ajustarán durante la simulación según las especificaciones del sistema de control y la respuesta dinámica de la planta.

KV: es la relación entre el caudal de vapor y la señal eléctrica que le llega a la válvula de control. Así pues, podrá expresarse:

FS(t) = KV · m(t) (5-41)

Donde KV es un parámetro específico de la válvula de control y sus unidades son: kmol/mA· s. gS(t): realiza la integración de la señal proporcionada por el bloque anterior. La función de transferencia vendrá dada por:

∫ ⋅⋅=t

SSB dttFKtV0

1 )()( (5-42)

Donde la constante de proporcionalidad KS será un coeficiente de ajuste.

Como resultado del análisis del control de nivel del fondo de la columna se obtendrá la última ecuación del sistema, que hará que éste sea determinado. Dicha ecuación relacionará la variable controlada (lB1(t)) y la manipulada (VB1(t)):

aSVCSPrefTBB KtgKtgKlKtltV ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= )()())(()( 111 (5-43)

27

5.1.4. Modelo del plato superior, condensador y depósito de cabeza de C-1. Para el plato 188, las ecuaciones son las mismas que para los demás platos, con la excepción de que el caudal de líquido que entra en el mismo es el caudal de reflujo. Así pues, las ecuaciones de los balances de materia y energía deberán ser modificadas. Plato 188:

( ) )()()()()()()()()( 188,188188,188187,1871,1188,188 tytVtxtLtytVtxLtxtMdtd

iiiOiOi ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-44)

( ) )()()()()()()()()( 18818818818818718711188188 tHtVthtLtHtVthLthtMdtd

OO ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-45)

donde: LO1 es el caudal de reflujo en kmol/s. xi,O1(t) es la fracción molar del componente i en el reflujo. hO1(t) es la entalpía molar del reflujo en J/kmol.

Modelo del condensador de cabeza, E-2: En la figura Fig. 5.1.5.1. puede observarse el diagrama correspondiente al lado de condensación de E-2. La corriente de vapor que entra en el condensador es el vapor que sale del plato superior de la columna (plato número 188) y el líquido que sale del depósito acumulador (C-3) se reparte entre el producto destilado (D1(t)) y el reflujo a la columna (LO1), el cual, como se había visto anteriormente, es la entrada de líquido al plato superior. El lazo que controla LO1 es lo suficientemente rápido como para considerar su valor constante. El caudal de producto destilado se controla mediante el controlador de nivel LIC-2 y el caudal de reflujo se controla mediante FIC-2.

28

Fig. 5.1.4.1.

En una columna con un condensador total, como es este caso, la presión se determina únicamente mediante el balance de calor; es decir, si el calor suministrado al rehervidor es mayor que el eliminado en el condensador, la presión en la columna aumentará a medida que transcurra el tiempo. Así pues, también aumentará la temperatura en todos los platos además del condensador, con lo cual se incrementará el calor eliminado en el condensador. Dicho incremento continuará hasta que se satisfaga nuevamente el balance de calor con la presión más alta y el sistema alcance el estado estacionario. Este mecanismo de autorregulación se presenta aún cuando se controle la presión; por lo tanto, el control de presión de la columna se realizará mediante la manipulación del calor suministrado en el rehervidor o el eliminado en el condensador. En este caso se supondrá que el condensador trabaja a su máxima capacidad, logrando así mantener la presión de la columna en el punto más bajo que permite la capacidad del condensador, favoreciendo además la separación de los componentes. El control de presión realizado mediante el controlador PCV-2, realiza un desgase de posibles gases incondensables que pudieran introducirse en el sistema. Su punto de consigna será superior a la presión normal de operación de la planta, con lo cual su caudal en condiciones normales será cero. Además, la composición de dicha corriente no se corresponderá con ninguna de las sustancias que intervienen en el proceso. Así pues, en el modelo de la planta no se tendrá en cuenta dicha corriente.

Al elaborar el modelo del condensador se ha considerado que no existe acumulación de masa en la fase vapor, lo cual significa que el líquido que entra en el depósito acumulador tiene el mismo caudal y composición que el flujo de vapor que entra en el condensador y, por tanto, no se requieren balances de materia alrededor del

LIC-2

V188

yi,188

H188

PIC-2

FIC-2

LCV-2

AI-2

TI-2

LO1

TO1

D1

TC1

hC1

P1

DESGASE

SALIDA DE CABEZA

PCV-2

G-1

C-3

C-1

E-2

lref2

FCV-2

xi,O1

hO1

MC1

29

condensador. Sin embargo, habrá una variación de entalpía y por lo tanto se requerirá replantear el balance de energía:

1121111188188 ))()(())()(()( CCBCCCC Tdtd

CtTtTAUthtHtV ⋅+−⋅⋅=−⋅ (5-46)

donde:

hC1(t) es la entalpía molar del líquido que sale del condensador en J/kmol. UC1 es el coeficiente de transferencia de calor del condensador en J/s· m2· K. AC1 es el área de transferencia de calor del condensador en m2. CC1 es la capacidad calorífica de los tubos del condensador en J/K. TC1(t) es la temperatura del líquido a la salida del condensador en K. TB2(t) es la temperatura en el fondo de la columna C-2 en K.

De esta ecuación se conocen:

UC1 = 964 J/s· m2· K (limpio), 737 J/s· m2· K (sucio); AC1 = 625 m2; CC1 = 1.24· 105 J/K.

Modelo del depósito acumulador, C-3: En el modelo del depósito acumulador C-3, intervendrán las ecuaciones de los balances de materia y energía. Para el balance de materia:

)())()(()()())()(( 1,11188,1881,1 txtDtLtytVtxtMdtd

OiOiOiC ⋅+−⋅=⋅ (5-47)

donde: MC1(t) es la masa del líquido que se retiene en el acumulador en kmol. D1(t) es el caudal de líquido destilado en kmol/s. Siendo la masa retenida en el acumulador en función de la altura del depósito, considerando éste cilíndrico:

)())(())(()(

2)( 11

211

2111

1

11211 tLrtlrrtl

rrtl

arcsinrtM CCCCCCCC

CCCC ρπ ⋅⋅

−−⋅−+

−+⋅=

(5-48)

30

y su densidad:

( ) ( ))(002.00963.1)()(002.01363.1)()( 11,211,11 tTtxtTtxt COCOC ⋅−⋅+⋅−⋅=ρ (5-49)

Además:

∑=

=N

iOix

11, 1 (5-50)

donde: rC1 es el radio del depósito en m. lC1(t) es el nivel acumulado en el depósito de cabeza en m. LC1 es la longitud del depósito en m. ρC1(t) es la densidad del líquido contenido en el depósito en kmol/m3.

De los datos del depósito se obtiene:

rC1 = 1.6 m; LC1 = 12.7 m.

Alrededor de C-3 deberá establecerse el siguiente balance de energía:

)())(()()())()(( 111118811 thtDLthtVthtMdtd

OOCOC ⋅+−⋅=⋅ (5-51)

Siendo:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

132

11,2

132

11,11

tTtTtx

tTtTtxth

OOO

OOOO

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-52)

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

132

1188,2

132

1188,11

tTtTtx

tTtTtxth

CC

CCC

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-53)

31

donde: TO1(t) es la temperatura de la corriente de reflujo en K. Modelo del control de nivel del condensador: Para obtener el modelo del control de nivel del depósito se ha elaborado el siguiente diagrama de bloques:

lref2 e(t) m(t) r(t) D1(t)

+

lC1(t)

Fig. 5.1.4.2. donde: lref2 es el punto de consigna del controlador de nivel de C-3.

A continuación se describe cada uno de los bloques que forman el sistema de control:

KT: es la función de transferencia del transmisor y su salida será una señal de 4 a 20 mA. En este caso, el 100 % de la escala corresponde al diámetro del depósito, por tanto:

KT = 16 mA/m. KSP: realiza la conversión de la señal del punto de consigna a las mismas unidades que la señal procedente de la variable controlada. Ya que su escala es porcentual se tendrá:

KSP = 0.16 mA/%.

gC(t)

KT

KV

gS(t)

KSP

KS

32


dt

tdeKdtte

KteKtm DC

t

I

CC

)()()()(

0

⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∫ ττ

(5-54)


KV: es la constante de la válvula de control:

r(t) = KV · m(t) (5-55)

Donde KV es un parámetro específico de la válvula de control y sus unidades vienen dadas en kmol/mA· s.

gS(t): corresponde al bloque integrador. La figura Fig. 1.5.4.3. muestra la relación existente entre el volumen extraído del depósito y su nivel. El depósito se considera cilíndrico y dispuesto horizontalmente. Puede observarse cómo entre el 25 y el 75% la relación

es prácticamente lineal. Así pues, es razonable considerar la función lineal, ya que normalmente el nivel del depósito se mantendrá entre estos dos valores.

Fig. 1.5.4.3.

0 20 40 60 80 1 0 0 1 2 00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 0 0Nivel del condensador en función del volumen extra ido

Vo lumen [m3 ]

Niv

el [

%]

33

Así pues, puede considerarse constante la relación entre la variación del nivel y la variación temporal del volumen de líquido extraído del depósito (D1(t)) pudiéndose expresar:

∫ ⋅⋅=t

S dttrKtD0

1 )()( (5-56)

Donde KS es un parámetro que permitirá ajustar el balance de materia del sistema.

Como resultado del análisis del control de nivel del depósito acumulador de cabeza, se obtendrá la ecuación que relaciona la variable controlada (lC1(t)) y la manipulada (D1(t)):

SSVCSPrefTC KtgKtgKlKtltD ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= )()())(()( 211 (5-57)

Con ésta se completa el sistema de veinticinco ecuaciones y veintiséis variables para la salida de cabeza de C-1. Como puede comprobarse el sistema es indeterminado, siendo la variable independiente TB2(t). El sistema quedará determinado al incluir las ecuaciones correspondientes al fondo de C-2.

5.2. Modelo dinámico de C-2.

Para el análisis de este sistema será necesario realizar una serie de consideraciones previas: Para obtener el modelo dinámico de C-2 se seguirá el mismo procedimiento que en el caso de C-1. En general, a partir de este punto, las variables correspondientes a las ecuaciones de plato pertenecerán a la columna C-2, no incluyendo ningún subíndice que así lo indique a fin de mantener la claridad en la exposición. Se exceptúan las variables del plato 188 que aparecen en las ecuaciones del fondo de C-2. Cuando se haga mención al rehervidor de C-2, se estará considerando el equipo E-3, que en el sistema correspondiente a C-1 se trataba del condensador.

34

5.2.1. Modelo del fondo de C-2. En el estudio del fondo de C-2 será necesario incluir al mismo tiempo el primer plato de la columna, al igual que ocurría con C-1. Las variables de plato que en este apartado aparecen con el subíndice 188, corresponden al último plato (de cabeza) de C-1. Puesto que este sistema irá necesariamente ligado a la cabeza de C-1, el número de variables en este caso será inferior en una unidad al número de ecuaciones. En el plato inferior intervienen las variables correspondientes a los fenómenos que se llevan a cabo en el fondo de la columna. Es por ello que, al igual que ocurría con C-1, las ecuaciones del primer plato deberán ser modificadas:

Plato 1:

( ) )()()()()()()()()()( 1,11,12,22,21,1 tytVtxtLtytVtxtLtxtMdtd

iiBiBii ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-58)


BB ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-59) donde: yi,B2(t) es la fracción molar del componente i en la corriente de vapor que entra en el plato 1. VB2(t) es el caudal de vapor que entra en el plato 1, en kmol/s. HB2(t) es la entalpía molar del vapor que entra en el primer plato en J/kmol.

La ecuación que expresa la eficiencia de Murphree también sufrirá una modificación:

)()(

)()(

2,1,

2,1,

tyty

tyty

Bii

BiiM −

−= ∗η (5-60)

El resto de ecuaciones seguirán la forma genérica de las ecuaciones de plato.

35

Modelo del rehervidor, E-2: Se supone que el líquido del fondo de la columna está bien mezclado y su composición es la misma que la de los tubos. Por lo tanto, el balance total de materia es:

)()()( 2212 tVBtLtMdtd

BB −−= (5-61)

donde: MB2(t) es el líquido que se retiene en el fondo de la torre, incluyendo el líquido en los tubos del rehervidor en kmol. B2 es el caudal de salida de fondo de la columna en kmol/s. El balance de materia considerando la composición de las corrientes es:

)()()()()())()(( 2,22,21,12,2 tytVtxBtxtLtxtMdtd

BiBBiiBiB ⋅−⋅−⋅=⋅ (5-62)

donde:

xi,B2(t) es la fracción molar del componente i en el fondo de la torre.

Para el segundo componente, se aprovecha el hecho de que la suma de las fracciones molares de los dos componentes debe ser igual a la unidad:

∑=

=N

iBi tx

12, 1)( (5-63)

En el balance de energía, se debe considerar la capacidad de transferencia de calor del rehervidor; para ello se expresa la transferencia de calor como una función de la diferencia de temperatura del vapor y del producto de salida de fondo:

36

))()(()()()()()())()(( 21882222221122 tTtTAUtHtVthBthtLthtMdtd

BRRBBBBB −⋅+⋅−⋅−⋅=⋅

(5-64)

donde: hB2(t) es la entalpía molar del líquido en el fondo de la torre en J/kmol.

UR2 es el coeficiente total de transferencia de calor del rehervidor en J/s· m2· K. AR2 es el área de transferencia de calor del rehervidor en m2. TB2(t) es la temperatura del fondo de la columna en K.

De los datos del proceso y los constructivos del rehervidor (E-2), se conocen:

UR2 = 964 J/s· m2· K (limpio), 737 J/s· m2· K (sucio); AR2 = 625 m2. Se supone que el líquido y el vapor del fondo de la torre están en equilibrio, por lo tanto, sus fracciones molares pueden expresarse según la relación de equilibrio:

( ) )(16703.3)(01089857.0)( 2,12,1 txtTty BjB ⋅−⋅= (5-65)

( ) )(90985.2)(01074624.0)( 2,22,2 txtTty BjB ⋅−⋅= (5-66)

Aplicando la relación existente entre las fracciones de mol de vapor.

∑=

=N

iBi ty

12, 1)( (5-67)

La entalpía correspondiente a cada una de las fases del fondo de la columna será:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

232

22,2

232

22,12

tTtTtx

tTtTtxth

BBB

BBBB

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-68)

37

( )( ))(109275.7)(1037.4)(95.112)(68032)(

)(1015.6)(1039.3)(55.88)(59580)()(42

632

22222,2

42

632

22222,12

tTtTtTtTty

tTtTtTtTtytH

BBBBB

BBBBBB

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−

(5-69)

En este punto, además de las quince ecuaciones y quince variables correspondientes al primer plato se tienen nueve ecuaciones y nueve variables más. Para completar el sistema haciendo que éste, junto con las ecuaciones de cabeza de C-1 sea determinado, deberá añadirse una ecuación más. Esta ecuación se obtendrá al igualar el calor extraído para condensar el gas de cabeza de C-1, con el de calentamiento de fondo de C-2.

⋅⋅

−−⋅⋅

−⋅=

=

⋅⋅

−

−⋅⋅

−

⋅

)()(82.138

)(9.369)()(

82.138)(9.369

77.18

)()(65.139

)(1.365)()(

65.139)(1.365

42.18

188,2188

38.0

12,22

38.0

2

2,12

38.0

2188,1188

38.0

1

tytVtT

tytVtT

tytVtT

tytVtT

CBB

B

BBBC

(5-70)

5.2.2. Ecuaciones de plato de C-2. Las ecuaciones de plato son las que describen el funcionamiento de éste. Para el caso de C-2 dicho análisis se obviará, ya que es el mismo que para C-1, aplicado a los platos: desde el 2 al 54 y del 56 al 203. 5.2.3. Ecuaciones del plato de alimentación de C-2. Para el plato 55 deberá considerarse que se tiene un término adicional de entrada, la alimentación, lo cual significa que en el miembro derecho de las ecuaciones del balance de materia y energía deberán añadirse los siguientes términos:

Plato 55:

( ))()()()()()(

)()()()()()(

1,155,5555,55

54,5456,5655,55

txtBtytVtxtL

tytVtxtLtxtMdtd

Biii

iii

⋅+⋅−⋅−

−⋅+⋅=⋅

(5-71)

38

( ) )()()()()()()()()()()()( 1155555555545456565555 thtBtHtVthtLtHtVthtLthtMdtd

B⋅+⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-72) 5.2.4. Modelo del plato superior, condensador y depósito de cabeza de C-2. Para el plato 204, las ecuaciones son las mismas que para los demás platos, con la excepción de que el caudal de líquido que entra en el mismo es el caudal de reflujo. Así pues, las ecuaciones de los balances de materia y energía deberán ser modificadas.

Plato 204:

( ) )()()()()()()()()( 204,204204,204203,2032,2204,204 tytVtxtLtytVtxLtxtMdtd

iiiOiOi ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-73)

( ) )()()()()()()()()( 20420420420420320322204204 tHtVthtLtHtVthLthtMdtd

OO ⋅−⋅−⋅+⋅=⋅

(5-74)

donde: LO2 es el caudal de reflujo en kmol/s. xi,O2(t) es la fracción molar del componente i en el reflujo. hO2(t) es la entalpía molar del reflujo en J/kmol.

Modelo del condensador de cabeza, E-3: La corriente de vapor que entra en el condensador es el vapor que sale del plato superior de la columna (plato número 204) y el líquido que sale del depósito acumulador (C-4) se reparte entre el producto destilado (D2) y el reflujo a la columna (LO2), el cual, como se había visto anteriormente, es la entrada de líquido al plato superior. Debido a la dinámica del lazo que controla dicho caudal en relación con la del sistema, se considerará su valor constante. La estrategia de control de la condensación de cabeza de C-2 será idéntica que la de C-1.

39

Al plantear el modelo del condensador se ha considerado que no existe acumulación de masa en la fase vapor, lo cual significa que el líquido que entra en el depósito acumulador tiene el mismo caudal y composición que el flujo de vapor que entra en el condensador y, por tanto, no se requieren balances de materia alrededor del condensador. Sin embargo, habrá una variación de entalpía y por lo tanto se requerirá replantear el balance de energía:

222222204204 ))(())()(()( CCWCCCC Tdtd

CTtTAUthtHtV ⋅+−⋅⋅=−⋅ (5-75)

donde:

hC2(t) es la entalpía molar del líquido que sale del condensador en J/kmol. UC2 es el coeficiente de transferencia de calor del condensador en J/s· m2· K. AC2 es el área de transferencia de calor del condensador en m2. CC2 es la capacidad calorífica de los tubos del condensador en J/K. TC2(t) es la temperatura del líquido a la salida del condensador en K. TW es la temperatura de servicio del agua de refrigeración en K.

De esta ecuación se conocen:

UC2 = 1184 J/s· m2· K (limpio), 752 J/s· m2· K (sucio);

AC2 = 3750 m2; CC2 = 1.68· 105 J/K; TW = 303.15 K.

Modelo del depósito acumulador, C-4: En el modelo del depósito acumulador C-4, intervendrán las ecuaciones de los balances de materia y energía. Para el balance de materia:

)())(()()())()(( 2,22204,2042,2 txtDLtytVtxtMdtd

OiOiOiC ⋅+−⋅=⋅ (5-76)

donde: MC2(t) es la masa del líquido que se retiene en el acumulador en kmol. D2(t) es el caudal de líquido destilado en kmol/s.

40

Siendo la masa retenida en el acumulador en función de la altura del depósito, considerando éste cilíndrico:

)())(())(()(

2)( 22

222

2222

2

22222 tLrtlrrtl

rrtl

arcsinrtM CCCCCCCC

CCCC ρπ ⋅⋅

−−⋅−+

−+⋅=

(5-77)

y su densidad:

( ) ( ))(002.00963.1)()(002.01363.1)()( 22,222,12 tTtxtTtxt COCOC ⋅−⋅+⋅−⋅=ρ (5-78)

Además:

∑=

=N

iOix

12, 1 (5-79)

donde: rC2 es el radio del depósito en m. lC2(t) es el nivel acumulado en el depósito de cabeza en m. LC2 es la longitud del depósito en m. ρC2(t) es la densidad del líquido contenido en el depósito en kmol/m3.

De los datos de diseño del depósito se obtiene:

rC2 = 1.6 m; LC2 = 12.7 m.

Alrededor de C-4 deberá establecerse el siguiente balance de energía:

)())()(()()())()(( 222220422 thtDtLthtVthtMdtd

OOCOC ⋅+−⋅=⋅ (5-80)

41

Siendo:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

232

22,2

232

22,12

tTtTtx

tTtTtxth

OOO

OOOO

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-81)

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(

232

2204,2

232

2204,12

tTtTtx

tTtTtxth

CC

CCC

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-82)

donde: TO2(t) es la temperatura de la corriente de reflujo en K. Con ésta se han obtenido veinticuatro ecuaciones y veinticinco variables. Para que el sistema sea determinado se modelará el sistema de control Modelo del control de nivel del depósito acumulador: Para obtener el modelo del control de nivel del depósito se ha elaborado el siguiente diagrama de bloques:

lref3 e(t) m(t) r(t) D2(t) +

lC2(t)

Fig. 5.1.4.2.

donde: lref3 es el punto de consigna del controlador de nivel de C-4.

gC(t)

KT

KV

gS(t)

KSP

KS

42

A continuación se describe cada uno de los bloques que forman el sistema de control:

KT: es la función de transferencia del transmisor y su salida será una señal de 4 a 20 mA. En este caso, el 100 % de la escala corresponde al diámetro del depósito, por tanto:

KT = 16 mA/m. KSP: realiza la conversión de la señal del punto de consigna a las mismas unidades que la señal procedente de la variable controlada. Puesto que su escala es porcentual se tendrá:

KSP = 0.16 mA/%.


dt

tdeKdtte

KteKtm DC

t

I

CC

)()()()(

0

⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∫ ττ

(5-83)


KV: es la constante de la válvula de control:

r(t) = KV · m(t) (5-84) Donde KV es un parámetro específico de la válvula de control y sus unidades vienen dadas en kmol/mA· s.

gS(t): corresponde a la función de transferencia que relaciona la variación de nivel del depósito con el caudal de condensado extraído del mismo. La figura Fig. 1.5.4.3. muestra la relación existente entre el volumen extraído del depósito y su nivel. El depósito se considera cilíndrico y dispuesto horizontalmente. Puede observarse cómo entre el 25 y el 75% la relación

es prácticamente lineal. Así pues, es razonable considerar dicha relación lineal entre el 25 y el 75% del nivel, ya que en operación normal éste será el margen

de variación. Así pues, puede considerarse constante la relación entre la variación del nivel y la variación temporal del volumen de líquido extraído del depósito (D2(t))

43

pudiéndose expresar:

∫ ⋅⋅=t

S dttrKtD0

2 )()( (5-85)

Donde KS es un parámetro de ajuste de los balances de materia del sistema.

Como resultado del análisis del control de nivel del depósito acumulador de cabeza, se obtendrá la ecuación que relaciona la variable controlada (lC2(t)) y la manipulada (D2(t)):

SSVCSPrefTC KtgKtgKlKtltD ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= )()())(()( 322 (5-86) 5.2.5. Modelo del enfriador E-4.

Para desarrollar el modelo del enfriador E-4, se ha considerado que el intercambio se realiza en fase líquida. Así mismo, el flujo de producto que entra en E-4, tiene la misma composición y caudal que el que sale del mismo, así pues no se requerirán balances de materia alrededor del enfriador. Sin embargo si se deberá plantear la ecuación del balance de energía, ya que habrá una variación del entalpía.

OEEWOEEEOEO Tdtd

CTtTAUththtD ⋅+−⋅⋅=−⋅ ))(())()(()( 11 (5-87)

donde:

hOE(t) es la entalpía molar del líquido que sale del enfriador en J/kmol. TOE(t) es la temperatura del líquido a la salida del enfriador en K. UE es el coeficiente de transferencia de calor del enfriador en J/s· m2· K. AE es el área de transferencia de calor del condensador en m2. CE es la capacidad calorífica de los tubos del condensador en J/K.

En este caso, los parámetros de diseño son:

UE = 3851 J/s· m2· K (limpio), 3080 J/s· m2· K (sucio); AE = 132 m2; CE =3.55· 105 J/K.

Siendo:

( )( ))(107501.788)(6730.1439)(

)(106373.1148)(4611.1980)()(32

1,2

321,1

tTtTtx

tTtTtxth

OEOEO

OEOEOOE

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅= (5-88)

Como puede observarse, este sistema se reduce a dos ecuaciones y dos variables.

44

6. Simulación.

Una vez analizadas y relacionadas cada una de las variables que determinan la dinámica del sistema se procederá a su simulación. Para ello se ha utilizado Matlab Versión 6.0, Release R12 y su correspondiente programa Simulink. Este paquete específico para la simulación de sistemas dinámicos es óptimo ya que permite el tratamiento matricial de los sistemas de ecuaciones, así como dispone de herramientas para la implementación y resolución de las ecuaciones diferenciales que constituyen el núcleo de la simulación. Además cuenta con la posibilidad de crear fácilmente bloques que pueden ser reutilizados y realizar así un diseño modular de todo el sistema, pudiendo además crear librerías de elementos genéricos para la simulación de procesos. En este proyecto se pretende ofrecer las bases para la creación de dichos elementos y más concretamente los que hacen referencia a los procesos en los que se producen fenómenos de destilación, que son la mayoría de los que se llevan a cabo en las industrias químicas de nuestro entorno. El trabajo se ha realizado en dos fases. En primer lugar se ha creado un programa Matlab (M-File), mediante el cual se han ensayado las librerías de funciones específicas para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (funciones ODE), aplicándose a este caso concreto. Posteriormente se ha procedido al diseño de funciones para ser utilizadas en Simulink, mediante la programación de S-Functions. Más adelante se analizarán cada una de las fases:

6.1. Representación del sistema en Espacio de Estado. Previamente se deberá hallar la expresión en Espacio de Estado de las ecuaciones del sistema. Para ello se ha dividido la columna de destilación en tres partes:

• Platos: Hace referencia a la zona ocupada por los platos, desde el plato nº 1 al plato de alimentación y desde el plato de alimentación más uno al

n-ésimo plato. Así pues, una columna de destilación estará formada por dos secciones denominadas Platos, la correspondiente a la zona de agotamiento y la de rectificación.

• Fondo: Correspondiente a las ecuaciones que representan el comportamiento

del fondo de la columna. • Cabeza: Corresponderá a las ecuaciones de la parte alta de la columna.

6.1.1. Ecuaciones de la sección ‘Platos’. El sistema que inicialmente era de quince ecuaciones y quince variables por plato, se ha simplificado considerablemente agrupando ecuaciones y eliminando variables, consiguiendo reducir el sistema a un total de nueve ecuaciones y nueve variables por plato. A continuación se escriben las ecuaciones:

45

( )0

)(=

dt

tMd j (6-1)

( ) ( )[ ] 2/3)()()()()( tAttMtktL jjjjj ρρνρ ⋅⋅−⋅⋅= (6-2)

( ) )()()()()()()( ,1,111,11 tytxtLtVtxtLtV jjjjjjj ⋅−+⋅= −++ (6-3)

( ) ( ) )()()()()()()()()()(

,1111,11,1 tMtytVtxtLtytVtxtL

dt

txdjjjjjjjjj

j ⋅−⋅−⋅+⋅= −−++

(6-4)

( ) )(3.0580484.0)(001736.0)(7.0)( 1,1,1,1 tytTtxty jjjj −⋅++⋅⋅⋅= (6-5)

( )( ) )(

)()()()()()()(

)()()()()(

11

1111tM

tHtVthtVtLtVtL

tHtVthtL

dt

thdj

jjjjjjj

jjjjj

⋅−⋅−++−

−⋅+⋅=

−+

−−++

(6-6)

( )( ) ( )46322

,1

46322,1

)(109275.7)(1037.4)(95.112)(68032)(1

)(1015.6)(1039.3)(55.88)(59580)()(

tTtTtTtTty

tTtTtTtTtytH

jjjjj

jjjjjj

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−+

+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−

(6-7)

( ) ( ))(104.610672.1)(107471.11097955.5)( ,153

,121 txtxtT jjj ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= −−−− (6-8)

( ) ( ) ( ))(002.00963.1)(1)(002.01363.1)()( ,1,1 tTtxtTtxt jjjjj ⋅−⋅−+⋅−⋅=ρ (6-9)

46

6.1.2. Ecuaciones de la sección ‘Fondo’. Esta sección consta de siete ecuaciones y siete variables. Mediante estas ecuaciones se enlazan las variables procedentes del primer plato con las correspondientes al fondo y rehervidor de la columna, siendo:

)()()()( 11 tVtBtLtMdtd

BB −−= (6-10)

( )[ ] )()()()()()()()()( ,1,111,11,1 tMtytVtxtLtVtxtLtxdtd

BBBBBB ⋅−⋅−+⋅=

(6-11)

( ) )(3.0580754.0)(001736.0)(7.0)( 1,1,1,1 tytTtxty BBB ⋅+−⋅⋅⋅= (6-12)

( ) ( ) ( ) )()()()()()()()()(

111 tMtTTAUHtVthtLtVthtLdt

thdBBSRRBBBB

B −⋅⋅+⋅−⋅−+⋅=

(6-13)

( )( ) ( )46322

,1

46322,1

)(109275.7)(1037.4)(95.112)(68032)(1

)(1015.6)(1039.3)(55.88)(59580)()(

tTtTtTtTty

tTtTtTtTtytH

BBBBB

BBBBBB

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−+

+⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−

(6-14)

( ) ( ))(104.610672.1)(107471.11097955.5)( ,1

53,1

21 txtxtT BBB ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= −−−− (6-15)

( ) ( ) ( ))(002.00963.1)(1)(002.01363.1)()( ,1,1 tTtxtTtxt BBBBB ⋅−⋅−+⋅−⋅=ρ

(6-16)

47

6.1.3. Ecuaciones de la sección ‘Cabeza’. En esta sección quedarán determinadas mediante sus ecuaciones de Estado, las variables correspondientes a la zona de condensación así como el reflujo y las variables que enlazan dicha sección con el último plato de la zona de rectificación. Su representación en Espacio de Estado consta de cinco ecuaciones y cinco variables:

)()()()( tLtDtVtMdtd

OnC −−= (6-17)

( ) ( )[ ] CCWBCCCnnC CtTtTAUthtHtVtTdtd

)()()()()()( / −⋅⋅−−⋅= (6-18)

( ) )()()()()( tMtxtytVtxdtd

COnnO −⋅= (6-19)

( ) )()()()()( tMththtVthdtd

COCnO −⋅= (6-20)

( )( ) ( ))(107501.788)(6730.1439)(1

)(106373.1148)(4611.198)()(32

32

tTtTtx

tTtTtxth

CCO

CCOC

⋅⋅−⋅⋅−+

+⋅⋅−⋅⋅= (6-21)

6.2. Desarrollo de la simulación en Matlab. A fin de comprobar la respuesta del sistema con la programación de las ecuaciones diferenciales anteriores y como paso previo a la simulación del sistema completo, se ha desarrollado el M-File llamado platMain, que se analiza a continuación: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %SIMULACION DEL PAQUETE DE PLATOS Y REHERVIDOR,ZONA DE AGOTAMIENTO% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Para que el programa introduzca los datos correspondientes a las condiciones iniciales del sistema, se ha creado un flag de puesta en marcha denominado pm.

48

Éste estará a "1" cuando se inicie la secuencia de arranque de la columna. También se crea un bucle mediante la instrucción for para introducir el programa dentro de éste y hacer así que éste se ejecute secuencialmente.

% Flag de puesta en marcha a 1. % Se inicializara esta variable desde el % Command Window de Matlab previamente a ejecutar el programa % principal. % La secuencia de inicio sera: % >> clear all; >> close all; >> pm=1; >> platMain.

Ts=1; for Ks=1:Ts:2e2

%INICIALIZACION DE VARIABLES%

El sistema se inicializa creando un vector de tiempo que luego utilizará la función ODE correspondiente. Más adelante se determina el formato de datos y tipo de variables utilizadas. %Vector de tiempo. t0=0; tf=1e-4; npoints=10; tspan=[t0:(tf-t0)/(npoints):tf]; %Definicion del formato de datos. format short g %Declaracion de variables globales. global Zsup Zinf ZT N r %Declaracion de los parametros como datos globales. global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod k A nu esc

%INTRODUCCION DE DATOS AL SISTEMA% Una vez determinados el formato y el tipo de las variables, se introducirá el valor de los parámetros correspondientes al modelo de la columna de Propileno/Propano. Es importante señalar que las unidades empleadas son las que se utilizan normalmente en este tipo de instalaciones, aunque luego se procederá a realizar un cambio de unidades a fin de unificarlas en un mismo sistema (S.I.). En la salida de datos se realizará una nueva conversión. Finalmente se generan dos vectores de entrada al sistema: Zsup y Zinf, los cuales contienen las variables entrantes al primer y último plato. %Parametros para el modelo Propileno/Propano. ha=198.4611; hb=1148.6373e3; hc=1439.6730; hd=788.7501e3; Ha=59580; Hb=88.55; Hc=3.39e-2; Hd=6.15e-6; He=68032; Hf=112.95; Hg=4.37e-2; Hh=7.9275e-6; Ka=0.001736; Kb=0.580484; Kc=0.001672; Kd=0.597955; roa=0.191; rob=3.151e-4; roc=0.173; rod=1.092e-4; kl=1.84; A=6.988; nu=1.0573;

49

%Composicion (en %), caudal (en Tm/h) y temperatura (en ºC) de %entrada al plato superior (fase liquida). xsup=85.00; Lsup=40; Tsup=36.4; %Escalado entalpias. esc=1e9; %Cambio de unidades. xsup=xsup/100; Tsup=Tsup+273.15; Lsup=Lsup/(3.6*(44-2*xsup)); hsup=(xsup*(ha*Tsup^2-hb*Tsup)+(1-xsup)*(hc*Tsup^2-hd*Tsup))/esc; %Composicion (en %), caudal (en Tm/h) y entalpia de entrada al %plato inferior (fase gaseosa). yinf=12.00; Vinf=12; Hinf=2.5e6/esc; %Cambio de unidades. yinf=yinf/100; Vinf=Vinf/(3.6*(44-2*yinf)); %Generacion de los vectores de entrada. Zsup=[xsup Lsup hsup]'; Zinf=[yinf Vinf Hinf]';

%CONSTRUCCION Y RESOLUCION DEL PAQUETE DE PLATOS% A continuación se generan los vectores de condiciones iniciales, así como se determina el número de platos que tendrá la zona correspondiente (agotamiento o rectificación). Para ello se introducen los datos en la variable correspondiente como se muestra a continuación. Es importante tener en cuenta que el vector de condiciones iniciales debe ser un vector columna n * r, para lo que será necesario generar éste de forma dinámica, en función de n (r = 9). Una vez inicializados todos los valores de la columna, se modificará el flag pm con el valor "0" para indicar que la columna ya está en marcha e irá actualizando el vector de condiciones iniciales a cada muestra con el último valor obtenido en la resolución de las ecuaciones diferenciales. En esta misma sección se ejecuta el comando que resuelve el sistema de ecuaciones diferneciales, ODE45 basado en el método de Runge-Kutta. A su vez, esta función llamará al programa plat que será el encargado de crear de forma dinámica el sistema de ecuaciones, constituyendo una estructura matemática de n * r ecuaciones difernciales. Por otra parte, la función plat nos devolverá una matriz de resultados (Z) n * r. Dicha matriz estará formada por los valores correspondientes a tf en la hipermatriz 3D devuelta por la función ODE45, puesto que al ser éste el último valor obtenido en cada iteración, se considerará el más óptimo. %Numero de platos. n=20; %Composiciones (en %), caudal medio de la fase vapor (en Tm/h) y %masa de liquido retenido en cada plato (en Tm). xp=50.00; yp=50.00; Mp=2e-2; Vp=8;

50

%Cambio de unidades. xp=xp/100; yp=yp/100; Mp=Mp*1e3/(44-2*xp); Vp=Vp/(3.6*(44-2*yp)); %Temperatura media de plato. Tp=(xp*(Kb-Kd)+Kd)/(xp*(Ka-Kc)+Kc); %Entalpias medias hp=(xp*(ha*Tp^2-hb*Tp)+(1-xp)*(hc*Tp^2-hd*Tp))/esc; Hp=(yp*(Ha*Tp+Hb*Tp^2-Hc*Tp^3+Hd*Tp^4)+(1-yp)*(He*Tp+Hf*Tp^2- Hg*Tp^3+Hh*Tp^4))/esc; %Caudal medio de liquido. rop=xp*(roa-rob*Tp)+(1-xp)*(roc-rod*Tp); Lp=kl*rop*((Mp-(nu*rop))/(A*rop))^1.5; %Generacion del vector de condiciones iniciales para %el paquete de platos. ZP=[Mp Lp Vp xp yp hp Hp Tp rop]'; r=length(ZP); for i=1:n P(1:r,i)=ZP; end ZP=reshape(P,r*n,1); %Inicializacion del paquete de platos. N=n*r; if pm==1 ZT(1:N,1)=ZP; end %Actualizacion del vector de condiciones iniciales. if pm==0 ZT(1:N,1)=reshape(Z(:,1:n),N,1); end %Estructura de opciones ODE. options=odeset('RelTol',1e-12,'AbsTol',1e-12,'Stats','off'); %Resolucion del Sistema de Ecuaciones Diferenciales. [t,Z]=ode45('plat',tspan,ZT,options); %Obtencion de la matriz de resultados. Z=reshape(Z(end,:),r,n) Ysup=Z(5,1); Xinf=Z(4,n);

51

%OBTENCION DE LOS DATOS DEL FONDO DE LA COLUMNA% Una vez obtenido y resuelto el sistema correspondiente a la sección de rectificación y/o agotamiento, se procederá a diseñar la sección de Fondo de la columna, con su correspondiente sistema de control de nivel. Puede observarse como en este caso la rutina que se llama desde la función ODE45 es la función reherv que será la responsable de generar el sistema de ecuaciones correspondiente a esta sección. %Declaracion de variables globales. global L1 x1 y1 h1 B1 VB1 UR1 AR1 TS %Declaracion de los parametros como datos globales. global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod %Introduccion de datos (TS en ºC). UR1=575; AR1=950; TS=250; r1=2.075; lmax=2.55; %Inicializacion de variables. xq=xp; yq=yp; hq=hp; Hq=Hp; Tq=Tp; roq=rop; L1=Z(2,1); x1=Z(4,1); y1=Z(5,1); h1=Z(6,1); %Altura inicial de liquido en el fondo (en %). lq=55; %Extraccion de liquido del fondo (en Tm/h). B1=2; %Calculo de la masa inicial de liquido en el fondo (en kmol). Mq=lq*2.55/100*pi*r1^2*roq; %Generacion del vector de condiciones iniciales para el rehervidor. ZQ=[Mq xq yq hq Hq Tq roq]; if pm==1 ZR =ZQ; VB1=Vinf; xB1=xq; yB1=yq; end %Actualizacion del vector de condiciones iniciales. if pm==0 ZR =R; VB1=VB; xB1=R(2); yB1=R(3); HB1=R(5); end %Conversion de unidades. TS=TS+273.15; B1=B1/(3.6*(44-2*xB1)); %Resolucion del Sistema de Ecuaciones Diferenciales.

52

[t,R]=ode45('reherv',tspan,ZR,options); %Obtencion del vector de resultados. lB1=R(end,1)/(pi*r1^2*(R(end,7))); TB1=R(end,6); R=[R(end,:)]'; Nivel=lB1*100/lmax %IMPLEMENTACION DEL CONTROLADOR DE NIVEL%

Se introducen los parámetros del control y se diseña un controlador PID digital: %Punto de consigna del controlador de nivel (en %). lref=50; %Introduccion de los parametros. KSP=0.16; KT=6.2745; KV=0.5; VCa=1.137; VCb=4.405; %Constantes del controlador PID. KP=50; KI=4; KD=1; if pm==1 e1=0; end if pm==0 e1=e; end

%Obtencion de la señal de entrada al controlador PID.

e=lB1*KT-lref*KSP; %Discretizacion accion diferencial. difr=e-e1; %Discretizacion accion integral. I(Ks,1)=e; intg=sum(I); %Limitador de intg, if intg>1e2 intg=1e2; end if intg<-1e2 intg=-1e2; end %Algoritmo del controlador PID. m=KP*e+KI*intg+KD*difr;

53

%Vaporizacion del fondo de la columna. VB=KV*m;

%Calculo del consumo de vapor (en T/h). FS=abs(VB*3.6*(VCa*(365.1-TB1)^0.38*yB1+VCb*(369.9-TB1)^0.83*(1- yB1)+10)) %Flag de puesta en marcha a 0. pm=0;

%Generacion de los vectores de resultados. L(Ks,1)=Nivel; C(Ks,1)=lref; F(Ks,1)=FS; V(Ks,1)=VB; Y(Ks,1)=Ysup*100; X(Ks,1)=Xinf*100; tsim(Ks,1)=Ks; Ks=Ks+1 end

%Obtención de los perfiles de composicion y temperatura. Xperf=reshape(Z(4,:),n,1)*100; Tperf=reshape(Z(8,:),n,1)-273.15;

tperf=[1:n]';

%REPRESENTACION GRAFICA DE LOS RESULTADOS% A continuación se representan los resultados obtenidos: %Representacion grafica de las variables más representativas del %sistema. plot(tsim,L) hold on plot(tsim,C,'r') hold off axis([0,Ks,40,60]) grid title('CONTROL DE NIVEL DE FONDO') legend('Nivel de la columna [%]','Set Point de nivel [%]') xlabel('Numero de muestras (Ks)') figure plot(tsim,Y) hold on plot(tsim,X,'r') hold off axis([0,Ks,30,70]) grid title('COMPOSICIONES') legend('Composicion de fondo [%]','Composicion de cabeza [%]') xlabel('Numero de muestras (Ks)')

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figure plot(tperf,Xperf) hold on plot(tperf,Tperf,'r') hold off axis([0,Ks,40,80]) grid title('PERFILES') legend('Perfil de composiciones [%]','Perfil de temperaturas [%]') xlabel('Plato nº (n)') 6.2.1. Rutina ‘plat’. Como se ha expuesto anteriormente, esta rutina será la responsable de generar el sistema de ecuaciones difernciales correspondiente a la zona de rectificación y/o agotamiento de la columna. Este programa está diseñado de tal modo que creará un sistema de ecuaciones de dimensión n * r, de forma automática, con sólo indicarle el número de platos. Para resolver el sistema, el programa principal (platMain) habrá tenido que generar el correspondiente vector de condiciones iniciales, actualizándolo para cada secuencia. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %GENERACION DEL SISTEMA DE E. D. PARA EL PAQUETE DE PLATOS% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%INICIALIZACION DEL SISTEMA% El sistema se inicializa declarando la función plat que será la utilizada por ODE45 e introduciendo las variables, que antes se habían declarado como globales. %Declaracion de la funcion dz, variables y datos globales. function dz=plat(t,z) global Zsup Zinf ZT N r global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod k A nu esc

%CONSTRUCCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES% A continuación se construye el sistema de ecuaciones. Para ello será necesario partir de una situación de equilibrio, es decir, haciendo que las derivadas de todas las variables sean cero. Así pues será necesario generar un vector columna de dimensión n * r. Otro detalle importante es la conexión existente entre los platos adyacentes. Dicha conexión se realiza mediante compartición de variables entre ellos: las correspondientes al líquido que fluye desde los platos superiores a los vapores que asciende hacia los superiores. Ello se ha resuelto creando y almacenando dichas variables e introduciéndolas en el sistema de ecuaciones.

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j=0; while j<N; %Generacion del vector de ceros. for k=1:r; dz(j+k,1)=0; end %Introduccion de las variables de entrada al plato inferior. if j==0; y=Zinf(1); V=Zinf(2); H=Zinf(3); x=z((j+4)+r); L=z((j+2)+r); h=z((j+6)+r); %Introduccion de las variables de entrada al plato superior. elseif j==N-r; x=Zsup(1); L=Zsup(2); h=Zsup(3); y=z((j+5)-r); V=z((j+3)-r); H=z((j+7)-r); else y=z((j+5)-r); V=z((j+3)-r); H=z((j+7)-r); x=z((j+4)+r); L=z((j+2)+r); h=z((j+6)+r); end %Construccion de las ecuaciones. dz(j+1)=0; dz(j+2)=k*z(j+9)*((z(j+1)-(nu*z(j+9)))/(A*z(j+9)))^1.5-z(j+2); dz(j+3)=(L*x+V*y-z(j+2)*z(j+4))/z(j+5)-z(j+3); dz(j+4)=(L*x+V*y-z(j+2)*z(j+4)-z(j+3)*z(j+5))/z(j+1); dz(j+5)=0.7*z(j+4)*(Ka*z(j+8)+Kb)+0.3*y-z(j+5);

dz(j+6)=(L*h+V*H-(L+V+z(j+2)-z(j+3))*z(j+6)- z(j+3)*z(j+7))/z(j+1);

dz(j+7)=(z(j+5)*(Ha*z(j+8)+Hb*z(j+8)^2-Hc*z(j+8)^3+ Hd*z(j+8)^4)+(1-z(j+5))*(He*z(j+8)+Hf*z(j+8)^2- Hg*z(j+8)^3+Hh*z(j+8)^4))/esc-z(j+7); dz(j+8)=(z(j+4)*(Kb-Kd)+Kd)/(z(j+4)*(Ka-Kc)+Kc)-z(j+8); dz(j+9)=z(j+4)*(roa-rob*z(j+8))+(1-z(j+4))*(roc-rod*z(j+8))- z(j+9); j=j+r; end

56

6.2.2. Rutina ‘reherv’. La rutina reherv proporciona el sistema de ecuaciones diferenciales que debe resolver la función ODE45 correspondiente a la sección de fondo de la columna. A continuación se expone el programa. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %GENERACION DEL SISTEMA DE E. D. PARA EL FONDO DE LA COLUMNA% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %INICIALIZACION DEL SISTEMA% %Declaracion de la funcion dr, variables y datos globales. function dr=plat(t,r) global L1 x1 y1 h1 B1 VB1 UR1 AR1 TS global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod esc %Generacion del vector de ceros. dr=zeros(7,1); %Construccion de las ecuaciones. dr(1)=L1-B1-VB1; dr(2)=(L1*x1+(VB1-L1)*r(2)-VB1*r(3))/r(1); dr(3)=0.7*r(2)*(Ka*r(6)+Kb)+0.3*y1-r(3); dr(4)=(L1*h1+(VB1-L1)*r(4)-VB1*r(5)+UR1*AR1*(TS-r(6)))/r(1); dr(5)=(r(3)*(Ha*r(6)+Hb*r(6)^2-Hc*r(6)^3+Hd*r(6)^4)+(1- r(3))*(He*r(6)+Hf*r(6)^2- -Hg*r(6)^3+ Hh*r(6)^4))/esc-r(5); dr(6)=(r(2)*(Kb-Kd)+Kd)/(r(2)*(Ka-Kc)+Kc)-r(6); dr(7)=r(2)*(roa-rob*r(6))+(1-r(2))*(roc-rod*r(6))-r(7);

Como puede observarse este programa es mucho más sencillo que los anteriores, ya que el número de ecuaciones no depende del número de platos, siendo fijo e igual a siete.

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6.2.3. Resultados obtenidos. Se ejecuta el programa bajo las condiciones que pueden consultarse en el listado del mismo. Es importante señalar que tanto en cabeza como en fondo se parte de una composición del 50% de propileno. Además, el nivel inicial de la columna es del 55%, siendo el punto de consigna del 50%. El resto de valores introducidos en el programa para construir los vectores de condiciones iniciales, son datos operativamente razonables y técnicamente consistentes. En primer lugar se observa cómo el nivel de la columna sigue el punto de consigna:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 0 0 04 0

4 2

4 4

4 6

4 8

5 0

5 2

5 4

5 6

5 8

6 0C O N T R O L D E N I V E L D E F O N D O

N u m e r o d e m u e s t r a s ( K s )

N i v e l d e l a c o l u m n a [ % ]

Se t Po in t de n i ve l [% ]

Fig. 6.2.3.1.

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A continuación puede comprobarse la evolución experimentada en las composiciones de fondo y cabeza. Así pues, en el fondo de la columna se observa una disminución y una posterior estabilización de la riqueza en propileno, mientras que en la cabeza se produce la situación opuesta: la riqueza en propileno aumenta. Puede observarse cómo existe una diferencia acusada entre las dos dinámicas: el aumento de riqueza de cabeza es más rápido que la del fondo.

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 100003 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0C O M P O S I C I O N E S

N u m e r o d e m u e s t r a s ( K s )

C o m p o s i c i o n d e f o n d o [ % ]

C o m p o s i c i o n d e c a b e z a [ % ]

Fig.6.2.3.2.

59

Finalmente, tal y como era de esperar, se comprueba cómo se establece un perfil de composiciones así como de temperaturas a lo largo de la columna. La riqueza aumenta a medida que se asciende a través de los platos, mientras que la temperatura disminuye. Esta es una característica esencial en una instalación de este tipo.

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 04 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0P E R F I L E S

P l a t o n º ( n )

P e r f i l d e c o m p o s i c i o n e s [ % ]

Per f i l de tempera tu ras [ ºC ]

Fig. 6.2.3.3.

6.2.4. Conclusiones. Si bien los resultados son cuantitativamente aceptables, es el aspecto cualitativo de los mismos el más interesante en esta fase de la simulación. Mediante el programa Matlab se han perseguido fundamentalmente dos objetivos:

• Ensayar la función ODE45 en la simulación de procesos. • Probar la representatividad de las funciones propuestas en Espacio de

Estado. Puesto que ambos objetivos han sido satisfechos, se proseguirá con el diseño del simulador del sistema completo con Simulink.

60

6.3. Diseño del simulador con Simulink. Para desarrollar el simulador del sistema completo, ha sido necesario realizar un análisis previo del flujo de las variables entre las distintas secciones del sistema. A continuación se muestra el gráfico desarrollado:

Agot. C-2(P2-P54)

EnfriadorE-4

Rectif. C-1(P31-P187)

Alim. C-1(P30)

Agot. C-1(P2-P29)

Cond. C-2+ P204,C-2

Rectif. C-2(P56-P203)

Alim. C-2(P55)

Cond. C-1+ P188,C-1//Reher. C-2

+ P1,C-2

Reher. C-1+ P1,C-1

ΣLO2

lref3

LO1lref2

lref1L

Fxi,FT

F

C-1

C-2

T1-T188

xi,1-xi,188

T1-T204

xi,1-xi,204

DO

xi,OT

O

D2x i,O2TO2

D1xi,O1TOE

TC2lC2

TB1lB1FS

xi,B2

TB2TC1lC1

D1xi,O1hO1

B1x i,B1hB1

L2xi,2h2

L55xi,55h55

V1yi,1H1

V54yi,54H54

V187yi,187H187

V30y i,30H30

L188xi,188h188

L31xi,31h31

L30x i,30h30

L2xi,2h2

V29yi,29H29

V1yi,1H1

L56xi,56h56

L204xi,204h204

V55y i,55H55

V203yi,203H203

Cabeza C-2

Fondo C-1

Cabeza C-1//Fondo C-2

B2

Fig. 6.3.1.

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Mediante el simulador desarrollado con Simulink se persiguen los siguientes objetivos:

• Obtener un sistema modular, cuyos elementos puedan ser reutilizados en una misma simulación.

• Crear un sistema de programación abierto, es decir, que mediante los mínimos cambios pueda modificarse la naturaleza de los productos en la destilación.

• Disponer en tiempo de simulación de información de todas las variables que intervienen en el proceso.

• Obtener unos resultados de la simulación consistentes, tanto cuantitativa como cualitativamente.

• Aprovechar todos los recursos y las herramientas de control que pueden encontrarse en Simulink.

Para ello se programarán las distintas secciones en las que se ha dividido la columna (Platos, Fondo y Cabeza) mediante S-Functions.

6.3.1. Diseño del bloque ‘Plats’. El bloque está formado por seis entradas y nueve salidas. Es el responsable de simular las zonas de agotamiento y rectificación de la columna.

Fig. 6.3.1.1.

Los parámetros que se introducen al bloque son:

• n: número de platos. • P: vector de condiciones iniciales (xp[%], yp[%], Mp[T], Vp[T/h]).

62

La S-Function programada es: function [sys,x0,str,ts] = Plats(t,x,u,flag,n,P) % %================================================================= % Introduccion de los parametros correspondientes a las ecuaciones % del modelo Propileno/Propano. %================================================================= % global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod k A nu esc %Parametros para el modelo Propileno/Propano. ha = 198.4611; hb = 1148.6373e3; hc = 1439.6730; hd = 788.7501e3; Ha = 59580; Hb = 88.55; Hc = 3.39e-2; Hd = 6.15e-6; He = 68032; Hf = 112.95; Hg = 4.37e-2; Hh = 7.9275e-6; Ka = 0.001736; Kb = 0.580484; Kc = 0.001672; Kd = 0.597955; roa = 0.191; rob = 3.151e-4; roc = 0.173; rod = 1.092e-4; k = 1.84; A = 6.988; nu = 1.0573; r1 = 2.075; esc = 1e9; switch flag, %%%%%%%%%%%%%%%%%% % Initialization % %%%%%%%%%%%%%%%%%% case 0, [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(n,P); %%%%%%%%%%%%%%% % Derivatives % %%%%%%%%%%%%%%% case 1, sys=mdlDerivatives(t,x,u,n); %%%%%%%%%%% % Outputs % %%%%%%%%%%% case 3, sys=mdlOutputs(t,x,u,n); %%%%%%%%%%%%% % Terminate % %%%%%%%%%%%%% case { 2, 4, 9 } sys=[]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Unexpected flags % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% otherwise

63

error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]); end % end sfuntmpl % %================================================================== % mdlInitializeSizes % Return the sizes, initial conditions, and sample times for the S- % function. %================================================================== % function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(n,P) global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod k A nu esc % % call simsizes for a sizes structure, fill it in and convert it to % a sizes array. % % Note that in this example, the values are hard coded. % This is not a recommended practice as the characteristics % of the block are typically defined by the S-function parameters. %

sizes = simsizes; sizes.NumContStates = n*9; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 9; sizes.NumInputs = 6; sizes.DirFeedthrough = 0; sizes.NumSampleTimes = 1; % at least one sample time is needed sys = simsizes(sizes); % % initialize the initial conditions % %Cambio de unidades. xp = P(1)/100; yp = P(2)/100; Mp = P(3)*1e3/(44-2*xp); Vp = P(4)/(3.6*(44-2*yp)); %Temperatura media de plato. Tp = (xp*(Kb-Kd)+Kd)/(xp*(Ka-Kc)+Kc); %Entalpias medias hp = (xp*(ha*Tp^2-hb*Tp)+(1-xp)*(hc*Tp^2-hd*Tp))/esc; Hp = (yp*(Ha*Tp+Hb*Tp^2-Hc*Tp^3+Hd*Tp^4)+(1-yp)*(He*Tp+Hf*Tp^2- Hg*Tp^3+Hh*Tp^4))/esc; %Caudal medio de liquido. rop = xp*(roa-rob*Tp)+(1-xp)*(roc-rod*Tp); Lp = k*rop*((Mp-(nu*rop))/(A*rop))^1.5; %Generacion del vector de condiciones iniciales para el paquete de

64

%platos. ZP = [Mp Lp Vp xp yp hp Hp Tp rop]'; for i=1:n Z(1:9,i)=ZP; end x0=reshape(Z,n*9,1); % % str is always an empty matrix % str = []; % % initialize the array of sample times % ts = [0 0]; % end mdlInitializeSizes % %========================================================== % mdlDerivatives % Return the derivatives for the continuous states. %========================================================== % function sys=mdlDerivatives(t,x,u,n) global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod k A nu esc %Cambio de unidades. Xsup = u(1)/100; Tf = u(2)+273.15; Lsup = u(3)/(3.6*(44-2*Xsup)); hsup = (Xsup*(ha*Tf^2-hb*Tf)+(1-Xsup)*(hc*Tf^2-hd*Tf))/esc; %Cambio de unidades. Yinf = u(4)/100; Tb = u(5)+273.15; Vinf = u(6)/(3.6*(44-2*Yinf)); Hinf = (Yinf*(Ha*Tb+Hb*Tb^2-Hc*Tb^3+Hd*Tb^4)+(1- Yinf)*(He*Tb+Hf*Tb^2-Hg*Tb^3+Hh*Tb^4))/esc; j=0; while j<n*9; %Introduccion de las variables de entrada al plato inferior. if j==0; Y = Yinf; V = Vinf; H = Hinf; X = x((j+4)+9); L = x((j+2)+9); h = x((j+6)+9); %Introduccion de las variables de entrada al plato superior. elseif j==(n-1)*9;

65

X = Xsup; L = Lsup; h = hsup; Y = x((j+5)-9); V = x((j+3)-9); H = x((j+7)-9); else X = x((j+4)+9); L = x((j+2)+9); h = x((j+6)+9); Y = x((j+5)-9); V = x((j+3)-9); H = x((j+7)-9); end %Construccion de las ecuaciones. sys(j+1) = 0; sys(j+2) = k*x(j+9)*((x(j+1)-(nu*x(j+9)))/(A*x(j+9)))^1.5- x(j+2); sys(j+3) = (L*X+V*Y-x(j+2)*x(j+4))/x(j+5)-x(j+3); sys(j+4) = (L*X+V*Y-x(j+2)*x(j+4)-x(j+3)*x(j+5))/x(j+1); sys(j+5) = 0.7*x(j+4)*(Ka*x(j+8)+Kb)+0.3*Y-x(j+5); sys(j+6) = (L*h+V*H-(L+V+x(j+2)-x(j+3))*x(j+6)- x(j+3)*x(j+7))/x(j+1);

sys(j+7) = (x(j+5)*(Ha*x(j+8)+Hb*x(j+8)^2-Hc*x(j+8)^3+ Hd*x(j+8)^4)+(1-x(j+5))*(He*x(j+8)+Hf*x(j+8)^2- Hg*x(j+8)^3+Hh*x(j+8)^4))/esc-x(j+7);

sys(j+8) = (x(j+4)*(Kb-Kd)+Kd)/(x(j+4)*(Ka-Kc)+Kc)-x(j+8); sys(j+9) = x(j+4)*(roa-rob*x(j+8))+(1-x(j+4))*(roc-rod*x(j+8))- x(j+9); j=j+9; end % end mdlDerivatives % %========================================================== % mdlOutputs % Return the block outputs. %========================================================== % function sys=mdlOutputs(t,x,u,n) %Obtencion de la matriz de resultados. y=reshape(x,9,n); sys(1) = y(3,n); sys(2) = y(7,n); sys(3) = y(8,n)-273.15; sys(4) = y(5,n)*100; sys(5) = y(8,1)-273.15; sys(6) = y(4,1)*100; sys(7) = y(5,1)*100; sys(8) = y(6,1)*100; sys(9) = y(2,1);

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%Cambio de unidades. sys(1) = sys(1)*3.6*(44-2*sys(4)/100); sys(9) = sys(9)*3.6*(44-2*sys(6)/100); % end mdlOutputs 6.3.2. Diseño del bloque ‘Fons’. El bloque Fons es el que responde al comportamiento del fondo de la columna y consta de siete entradas y cuatro salidas.

Fig. 6.3.2.1.

Los parámetros que se introducen son:

• P: Vector de condiciones iniciales, composiciones y nivel de fondo (xp[%], yp[%], lp[%]). • UR: Coeficiente de transferencia de calor del rehervidor [J/s· m2· K]. • TS: Temperatura del vapor [ºC].

Y la correspondiente S-Function es: function [sys,x0,str,ts] = Fons(t,x,u,flag,P,UR,AR) % %================================================================= % Introduccion de los parametros correspondientes a las ecuaciones % del modelo Propileno/Propano. %================================================================= % global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod r1 esc

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%Parametros para el modelo Propileno/Propano. ha = 198.4611; hb = 1148.6373e3; hc = 1439.6730; hd = 788.7501e3; Ha = 59580; Hb = 88.55; Hc = 3.39e-2;

Hd = 6.15e-6; He = 68032; Hf = 112.95; Hg = 4.37e-2; Hh = 7.9275e-6; Ka = 0.001736; Kb = 0.580754; Kc = 0.001672;

Kd = 0.597955; roa = 0.191; rob = 3.151e-4; roc = 0.173; rod = 1.092e-4; k = 1.84; A = 6.988; nu = 1.0573;

r1 = 2.075; esc = 1e9;

switch flag, %%%%%%%%%%%%%%%%%% % Initialization % %%%%%%%%%%%%%%%%%% case 0, [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(P); %%%%%%%%%%%%%%% % Derivatives % %%%%%%%%%%%%%%% case 1, sys=mdlDerivatives(t,x,u,P,UR,AR); %%%%%%%%%%% % Outputs % %%%%%%%%%%% case 3, sys=mdlOutputs(t,x,u); %%%%%%%%%%%%% % Terminate % %%%%%%%%%%%%% case { 2, 4, 9 } sys=[]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Unexpected flags % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% otherwise error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]); end % end sfuntmpl % %================================================================== % mdlInitializeSizes % Return the sizes, initial conditions, and sample times for the S- % function. %================================================================== % function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(P)

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global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod r1 esc

% % call simsizes for a sizes structure, fill it in and convert it to % a sizes array. % % Note that in this example, the values are hard coded. % This is not a recommended practice as the characteristics % of the block are typically defined by the S-function parameters. % sizes = simsizes; sizes.NumContStates = 7; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 4; sizes.NumInputs = 7; sizes.DirFeedthrough = 0; sizes.NumSampleTimes = 1; % at least one sample time is needed sys = simsizes(sizes); % % initialize the initial conditions % %Cambio de unidades y obtencion del vector de condiciones %iniciales. xp = P(1)/100; yp = P(2)/100; Tp = (xp*(Kb-Kd)+Kd)/(xp*(Ka-Kc)+Kc); rop = xp*(roa-rob*Tp)+(1-xp)*(roc-rod*Tp); Mp = P(3)*2.55/100*pi*r1^2*rop; hp = (xp*(ha*Tp^2-hb*Tp)+(1-xp)*(hc*Tp^2-hd*Tp))/esc; Hp = (yp*(Ha*Tp+Hb*Tp^2-Hc*Tp^3+Hd*Tp^4)+(1-yp)*(He*Tp+Hf*Tp^2- Hg*Tp^3+Hh*Tp^4))/esc; rop = xp*(roa-rob*Tp)+(1-xp)*(roc-rod*Tp); %Generacion del vector de condiciones iniciales. x0 = [Mp xp yp hp Hp Tp rop]'; % % str is always an empty matrix % str = []; % % initialize the array of sample times % ts = [0 0]; % end mdlInitializeSizes % %================================================================== % mdlDerivatives % Return the derivatives for the continuous states. %================================================================== %

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function sys=mdlDerivatives(t,x,u,P,UR,AR) global Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod esc %Cambio de unidades. u(4) = u(4)/100; u(5) = u(5)/100; u(7) = u(7)/(3.6*(44-2*u(4))); sys(1) = u(7)-u(1)-u(3); sys(2) = (u(7)*u(4)+(u(3)-u(7))*x(2)-u(3)*x(3))/x(1); sys(3) = 0.7*x(2)*(Ka*x(6)+Kb)+0.3*u(5)-x(3); sys(4) = (u(7)*u(6)+(u(3)-u(7))*x(4)- u(3)*x(5)+UR*AR*((u(2)+273.15)-x(6)))/x(1); sys(5) = (x(3)*(Ha*x(6)+Hb*x(6)^2-Hc*x(6)^3+Hd*x(6)^4)+(1- x(3))*(He*x(6)+Hf*x(6)^2-Hg*x(6)^3+Hh*x(6)^4))/esc-x(5); sys(6) = (x(2)*(Kb-Kd)+Kd)/(x(2)*(Ka-Kc)+Kc)-x(6); sys(7) = x(2)*(roa-rob*x(6))+(1-x(2))*(roc-rod*x(6))-x(7); % end mdlDerivatives % %================================================================== % mdlOutputs % Return the block outputs. %================================================================== % function sys=mdlOutputs(t,x,u) global r1 %Obtencion de la matriz de resultados. y = x; %Calculo del nivel de fondo. lB = y(1)/(pi*r1^2*y(7)); %Truncamiento inferior del nivel. if lB<0 lB=0; end sys(1) = lB; sys(2) = y(2)*100; sys(3) = y(3)*100; sys(4) = y(6)-273.15; % end mdlOutputs

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6.3.3. Diseño del bloque ‘Cap’. Este bloque será el que simulará la sección de cabeza de la columna de destilación. Consta de seis entradas y cinco salidas.

Fig. 6.3.3.1.

Los parámetros que deben introducirse en el bloque son:

• P: Vector de condiciones inciales, composición y nivel inicial del depósito acumulador (xp[%], lp[%]). • UC: Coeficiente de transferencia de calor del condesador [J/s· m2· K]. • AC: Área de transferencia de calor del condensador [m2]. • CC: Capacidad calorífica de los tubos del condensador [J/K].

La S-Function desarrollada es:

function [sys,x0,str,ts] = Cap(t,x,u,flag,P,UC,AC,CC) % %================================================================== % Introduccion de los parametros correspondientes a las ecuaciones % del modelo Propileno/Propano. %================================================================== % global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod rC LC Qa Qb Qc Qd Qe Qf esc %Parametros para el modelo Propileno/Propano. ha = 198.4611; hb = 1148.6373e3; hc = 1439.6730; hd = 788.7501e3;

71

Ha = 59580; Hb = 88.55; Hc = 3.39e-2; Hd = 6.15e-6; He = 68032; Hf = 112.95; Hg = 4.37e-2; Hh = 7.9275e-6; Ka = 0.001736; Kb = 0.580484; Kc = 0.001672; Kd = 0.597955; roa = 0.191; rob = 3.151e-4; roc = 0.173; rod = 1.092e-4; rC = 1.6; LC = 12.7; Qa = 18.42e6; Qb = 365.1; Qc = 139.65; Qd = 18.77e6; Qe = 369.9; Qf = 138.82; esc = 1e9; switch flag, %%%%%%%%%%%%%%%%%% % Initialization % %%%%%%%%%%%%%%%%%% case 0, [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(P); %%%%%%%%%%%%%%% % Derivatives % %%%%%%%%%%%%%%% case 1, sys=mdlDerivatives(t,x,u,P,UC,AC,CC); %%%%%%%%%%% % Outputs % %%%%%%%%%%% case 3, sys=mdlOutputs(t,x,u); %%%%%%%%%%%%% % Terminate % %%%%%%%%%%%%% case { 2, 4, 9 } sys=[]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Unexpected flags % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% otherwise error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]); end % end sfuntmpl % %================================================================== % mdlInitializeSizes % Return the sizes, initial conditions, and sample times for the S-% function. %================================================================== % function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(P)

72

global ha hb hc hd Ha Hb Hc Hd He Hf Hg Hh Hp Ka Kb Kc Kd roa rob roc rod rC LC esc

% % call simsizes for a sizes structure, fill it in and convert it to % a sizes array. % % Note that in this example, the values are hard coded. % This is not a recommended practice as the characteristics % of the block are typically defined by the S-function parameters. % sizes = simsizes; sizes.NumContStates = 5; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 5; sizes.NumInputs = 6; sizes.DirFeedthrough = 0; sizes.NumSampleTimes = 1; % at least one sample time is needed sys = simsizes(sizes); % % initialize the initial conditions % %Cambio de unidades y obtencion del vector de condiciones %iniciales. xp = P(1)/100; Tp = (xp*(Kb-Kd)+Kd)/(xp*(Ka-Kc)+Kc); rop = xp*(roa-rob*Tp)+(1-xp)*(roc-rod*Tp); lp = P(2)*2*rC/100; Vp = lp*pi*rC*LC/2; Mp = Vp*rop; hop = (xp*(ha*Tp^2-hb*Tp)+(1-xp)*(hc*Tp^2-hd*Tp))/esc; hcp = hop; Hp = ((xp*(Ha*Tp+Hb*Tp^2-Hc*Tp^3+Hd*Tp^4)+(1-xp)*(He*Tp+Hf*Tp^2- Hg*Tp^3+Hh*Tp^4)))/esc; %Generacion del vector de condiciones iniciales. x0 = [Mp Tp xp hop hcp]'; % % str is always an empty matrix % str = []; % % initialize the array of sample times % ts = [0 0]; % end mdlInitializeSizes % %================================================================== % mdlDerivatives % Return the derivatives for the continuous states. %================================================================= %

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function sys=mdlDerivatives(t,x,u,P,UC,AC,CC) global ha hb hc hd Hp roa rob roc rod rC LC esc %Camio de unidades. u(3) = u(3)+273.15; u(4) = u(4)/100; u(6) = u(6)/(3.6*(44-2*u(4))); sys(1) = u(6)-u(1)-u(2); sys(2) = (u(6)*(u(5)-x(5)+UC*AC*(u(3)-x(2))))/CC; sys(3) = u(6)*(u(4)-x(3))/x(1); sys(4) = (u(6)*(x(5)/esc-x(4))/x(1))/esc; sys(5) = ((x(3)*(ha*x(2)^2-hb*x(2))+(1-x(3))*(hc*x(2)^2- hd*x(2))))/esc-x(5); % end mdlDerivatives % %================================================================== % mdlOutputs % Return the block outputs. %================================================================== % function sys=mdlOutputs(t,x,u) global roa rob roc rod rC LC Qa Qb Qc Qd Qe Qf %Cambio de unidades. u(4) = u(4)/100; u(6) = u(6)/(3.6*(44-2*u(4))); %Obtencion de la matriz de resultados. y = x; %Truncamiento inferior del nivel. if y(1)<0 y(1)=0; end %Composicion del producto. Xo = y(3)*100; %Densidad del producto. ro = y(3)*(roa-rob*y(2))+(1-y(3))*(roc-rod*y(2)); %Volumen almacenado. VC = y(1)/ro; %Nivel acumulado. lC = VC/(pi*rC^2*LC); %Truncamiento inferior del nivel. if lC<0 lC=0; end

74

%Temperatura de salida. TC = y(2)-273.15; %Calor extraido en la condensacion. QC = Qa*((Qb-y(2))/Qc)*u(6)*u(4)+Qd*((Qe-y(2))/Qf)*u(6)*(1-u(4)); sys(1) = Xo; sys(2) = ro; sys(3) = lC; sys(4) = TC; sys(5) = QC; % end mdlOutputs

6.4. Desarrollo del simulador del sistema completo. A fin de completar el simulador de las dos columnas de destilación, se han conectado los bloques diseñados anteriormente . El bloque Plats se ha utilizado cuatro veces y los bloques Fons y Cap dos veces cada uno. A continuación se muestra el diagrama de bloques de Simulink de los dos subsistemas (C-1 y C-2).

Fig. 6.4.1.

75

Desde este diagrama se definen los parámetros externos que determinarán el comportamiento del sistema: caudal, composición y temperatura de la alimentación a C-1 (F, xF y TF, respectivamente), así como la extracción de fondo de C-1 a C-2. También se introducen los puntos de consigna de los niveles de fondo y depósito de cabeza de C-2, la temperatura de servicio del agua de refrigeración (TCW) y el caudal de reflujo de C-2.

Desplegando el subsistema C-1 puede observarse el diseño del simulador para esta columna:

Fig. 6.4.2. En este otro diagrama se definen los parámetros que determinarán el funcionamiento de C-1. Así pues, se introducirán los puntos de consigna de los niveles de fondo y depósito de cabeza de C-1, la temperatura de servicio del vapor y el caudal de reflujo de C-1.

76

6.4.1. Control de fondo de C-1.

Fig. 6.4.1.1.

Cabe destacar que en este bloque se han introducido las funciones correspondientes al cálculo del caudal de vapor empleado en la vaporización así como la función que realiza la conversión de unidades de T/h a kmol/s de la extracción de fondo de C-1.

6.4.2. Control de cabeza de C-1.

Fig. 6.4.2.1.

77

En este caso también se observa cómo se efectúan los cambios de unidades en aquellas variables que van a ser utilizadas por bloques basados en S-Functions. Por otra parte, se efectuarán los cambios correspondientes en sentido inverso, es decir, en las variables procedentes de S-Functions que van a ser consultadas por el operador del simulador debiendo estar presentadas en T/h (cuando se trate de caudal). Si se pretende visualizar variables de nivel, éstas se presentarán en valores porcentuales. Además, se ha introducido el cambio de unidades del reflujo, aunque ésta sea una variable que no influirá directamente en el control de cabeza.

6.4.3. Control de fondo de C-2.

Fig. 6.4.3.1. A diferencia del sistema de control de nivel de fondo de C-1, en este caso no se realiza con calentamiento de vapor, si no que se absorbe el calor desprendido en la condensación de cabeza de C-1. Así pues, este bloque será similar al anterior, exceptuando las funciones correspondientes al consumo de vapor.

78

6.4.4. Control de cabeza de C-2.

Fig. 6.4.4.1.

El criterio seguido para diseñar la simulación del control de cabeza de C-2 es el mismo que el seguido para C-1.

6.4.5. Funciones para cálculos específicos. En este apartado se incluyen dos bloques; el primero de ellos es el denominado Entrada y responde al cálculo de la mezcla de dos componentes, obteniéndose el caudal, composición y temperatura resultantes. Este bloque ha sido utilizado dos veces.

79

Fig. 6.4.5.1.

Puede observarse que además de realizar el cálculo, dicho bloque permite visualizar las variables de salida en tiempo de simulación. El segundo que realiza un cálculo específico es el correspondiente a VB/QC. En esta operación se convierte el calor desprendido en la condensación de cabeza de C-1 en vapor al calentar el fondo de C-2.

Fig. 6.4.5.2

80

6.5. Ejecución de la simulación y análisis de los resultados. Con el fin de analizar los resultados, se han desacoplado las dos columnas desarrollándose un simulador que permite considerar estacionarias las variables que dependen simultáneamente de la dinámica de las dos columnas y obtener así los resultados de la simulación de cada una de las dos columnas del sistema. En dicho simulador se han añadido indicadores gráficos de nivel y caudal, cuyo objetivo es el de ofrecer al usuario una información más intuitiva sobre la magnitud de las variables así como de la variación y dinámica de éstas además de un entorno más agradable. El sistema que se va a simular es el correspondiente a la columna de destilación C-1. Para simular C-2 sólo será necesario introducir los datos correspondientes a esta columna. A continuación se muestra el simulador.

Fig. 6.5.1.

81

Puede observarse cómo el caudal de reflujo depende de la alimentación a la columna. En este caso se ha introducido un bloque multiplicador, ya que entre estas dos magnitudes existe una relación de proporcionalidad. Nótese además que el gráfico muestra algunos datos de partida de la simulación:

Descripción Magnitud

Caudal de alimentación (F): 60.00 T/h.

Composición de la alimentación (XF): 50.00 % en propileno.

Temperatura de la alimentación (TF): 72.00 ºC.

Temperatura de salida de E-2 (TB): 60.00 ºC.

Extracción de fondo (B): 37.20 T/h.

Set point de nivel del depósito de cabeza (lrefC): 45.00 %.

Set point de nivel de fondo (lrefB): 55.00 %.

Tabla 1.

Otros datos de interés son:

Descripción Magnitud

Número de platos de agotamiento (na): 158.

Número de platos de rectificación (nr): 30.

Composición inicial del depósito de cabeza (xC): 90.00 % en propileno.

Nivel inicial del depósito de cabeza (lC): 50.00 %.

Composición inicial del líquido de fondo (xB): 20.00 % en propileno.

Nivel inicial del fondo de la columna (lB): 50.00 %.

Masa media de líquido retenido por plato (Mj): 4.7· 10-2 T.

Caudal medio de líquido circulante (Lj): 120.00 T/h.

Tabla 2.

82

6.5.1. Resultados obtenidos Se ejecuta el programa con un tiempo total de simulación de 80 horas. Cuando el sistema alcanza el equilibrio, es decir, cuando todas las derivadas son igual a cero se obtienen los siguientes datos:

Composiciones

Composición del producto de cabeza: Obsérvese cómo inicialmente se produce una disminución de la concentración de propileno en cabeza de C-1. Ello es debido a que se mezcla el producto rico en propileno almacenado en el depósito acumulador de cabeza, con la alimentación fresca, cuya concentración es del 50 %. Este fenómeno puede apreciarse hasta que la columna empieza a destilar, alcanzando el régimen estacionario con el 99.56 % en propileno. Este valor era de esperar, ya que el sistema está diseñado para obtener una producción de propileno con una riqueza no inferior del 99.50 %.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 08 0

8 2

8 4

8 6

8 8

9 0

9 2

9 4

9 6

9 8

1 0 0P R O P I L E N O E N C A B E Z A

t i e m p o ( h o r a s )

Xo

(%

)

Fig. 6.5.1.1.

83

Composición de la extracción de fondo: En este caso ocurre el fenómeno opuesto al anterior, inicialmente hay un aumento de la riqueza en propileno en el fondo. El motivo es el mismo que el anterior, ello se produce al mezclarse el contenido inicial del fondo de la columna con la alimentación fresca. Finalmente se obtiene una producto de fondo cuya composición es rica en propano, siendo su concentración de propileno del 19.66 %.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 019 .5

2 0

20 .5

2 1

21 .5

2 2

22 .5

2 3P R O P I L E N O E N F O N D O


Xb

(%

)

Fig. 6.5.1.2.

Obsérvese cómo la composición de cabeza alcanza el régimen estacionario antes que el fondo. Mientras que la cabeza alcanza su valor en cuarenta horas, el fondo invierte sesenta. Este fenómeno ya se había observado cuando se realizó la simulación con Matlab. En la práctica, durante la puesta en marcha de la planta, se comprueba que el comportamiento es idéntico, verificando así la fiabilidad de la respuesta dinámica del modelo.

84

Niveles

Los niveles, tanto del depósito de cabeza, como del fondo de la columna, responden al sistema de control diseñado. Nivel del depósito acumulador de cabeza:

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 04 2

4 3

4 4

4 5

4 6

4 7

4 8

4 9

5 0N I V E L D E L D E P O S I T O D E C A B E Z A

lc (

%)


Fig. 6.5.1.3.

85

Nivel de fondo de la columna:

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 05 0

5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

5 6N I V E L D E F O N D O D E L A C O L U M N A


lb (

%)

Fig. 6.5.1.4.

86

Caudales Caudal de producto de cabeza: Estacionariamente se obtiene una producción de cabeza de 22.81 T/h. Este dato es consistente con la extracción que se había fijado en el fondo de 37.20 T/h, ya que la alimentación al sistema es de 60.00 T/h.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 00

5 0

1 0 0

1 5 0C A U D A L D E P R O D U C T O D E C A B E Z A

D (

T/h

)


Fig. 6.5.1.5.

87

Caudal de vapor: En las condiciones indicadas se produce un consumo de vapor de 50.55 T/h.

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0


Fs

(%

)

C A U D A L D E V A P O R

Fig. 6.5.1.6.

6.5.2. Conclusiones finales. Tanto desde el punto de vista dinámico como a la vista de los datos obtenidos en régimen estacionario, el simulador diseñado responde razonablemente a la realidad y constituye un herramienta verdaderamente útil, tanto para profesionales de la industria petroquímica como para estudiantes de ingeniería química. Las características principales del simulador son:

• Constituye un sistema modular, claro y de fácil manejo. • Se pueden variar fácilmente las características de los componentes de la

destilación, pudiendo simular un número indeterminado de procesos distintos.

• Acceso a todas las variables del sistema. • Respuesta fiable en régimen dinámico. • Buena respuesta de la simulación en régimen estacionario.

88

Agradecimientos: A D. Francisco Javier Calvente Calvo por su orientación y sus oportunas indicaciones durante el desarrollo del trabajo. A D. José Manuel Merinero Cerro por su colaboración en la supervisión del modelo matemático. Referencias: [1] Claudio Mataix Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas Ediciones del Castillo, 1986.

[2] David M. Himmelblau Balances de Materia y Energía Prentice Hall, 1988. [3] James R. Welty, Charles E. Wicks & Robert E. Wilson Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer Wiley, 1983. [4] Richard M. Felder & Ronald W. Rousseau Principios Elementales de los Procesos Químicos Addison-Wesley Iberoamericana, 1986.

[5] Smith & Corripio

Control Automático de Procesos Noriega Editores, 2000.

[6] Warren L. McCabe

Operaciones Básicas de Ingeniería Química Reverté, 1980. [7] Varios autores Manual de Procesos de los Hidrocarburos y Refino del Petróleo, tomos I al III

Rio-Gulf, 1975. [8] The World-Wide Web Virtual Library Chemical Engineering Process Modeling.url http://www.che.ufl.edu/www-che/topics/modeling.html

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