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Modelamiento matemático de sistemas Capitulo 3

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modelamiento control 1

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Modelamiento matemáticode sistemas

Capitulo 3

Contenido

� Para realizar un sistema de control es necesario y convenientetener el modelo matemático de la planta que se desea controlar.

� Modelo matemático, es el conjunto de ecuaciones que intentanrepresentar el efecto que tienen las variables de entrada (u)sobre otras las variables de salida (y) en un sistema a lo largo deltiempo. Los modelos son una aproximación y se supone uncompromiso entre la exactitud y sencillez

� Los modelos matemáticos se pueden obtener en de varias formas:

� Analítica.- Se estudia la constitución de la planta y se aplican lasleyes físicas que caracterizan sus componentes y se formulanlas ecuaciones del modelo. Es necesario conocer loscomponentes que forman el sistema y el funcionamiento de losmismos. Los MM habitualmente se expresan mediante sistemasde ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias, o latransformada de Laplace o Z respectivamente.

� Experimental.- Se somete al sistema a pruebas en las variablesde entrada y se observa el comportamiento de las salidas,tratando de establecer las ecuaciones que determinan esemismo comportamiento. El sistema se observa como una cajanegra sometida a pruebas , sin conocer sus componentes.

G(s)

Función de transferencia

� Para comprender y controlar sistemas dinámicos hay que obtenermodelos matemáticos cuantitativos. Como los sistemasconsiderados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones quedescriben son ecuaciones diferenciales lineales o no lineales en lamayoría de los casos.

� Para sistemas no lineales es factible realizar linealización y de estamanera utilizar las técnicas de control lineal.

� En general se puede resumir el tratamiento de sistemas dinámicoscomo sigue:

� Definir el sistema y sus componentes

� Formular el modelo matemático y hacer suposiciones necesarias

� Determinar las ecuaciones diferenciales que describen el modelo

� Resolver las ecuaciones para las variables deseadas

� Examinar las soluciones y las hipótesis

Ecuaciones de estado

� Estado.- Conjunto más pequeño de variables tales que elconocimiento de estas variables en t=to, conjuntamente con elconocimiento de la entrada para t ≥ to, determinan completamenteel comportamiento del sistema en cualquier tiempo t > to.

� El estado global de un sistema dinámico se puede describirmediante los valores de un conjunto de variables de estado delmismo.

� Variables de estado.- Las variables de estado de un sistemadinámico son las variables que constituyen el conjunto máspequeño de variables que determinan el estado de un sistemadinámico.

� Si se requieren al menos n variables x1,x2,…,xn para describircompletamente el comportamiento de un sistema dinámico,entonces esas n variables son un conjunto de variables de estado.

� Ecuaciones de estado.- Un sistema MIMO :

� n integradores (variables de estado) vector x(n,1)

� r variables de entrada vector u(r,1)

� m variables de salida vector y(m,1)

� Un sistema se puede escribir mediante la expresión:

� Las salidas se obtienen de las ecuaciones

���(�) = ��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

��(�) = �(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

�� (�) = � (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

��(�) = ��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

�(�) = �(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

��(�) = � (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

� Si definimos matricialmente:

� � =

���⋮

� � =

���⋮

��

� � =

���⋮

��

� � =

��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

�(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

� (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

Variables

de estado

Entradas

Salidas

�� � =

��(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

�(��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

� (��, �, ��, … , � ; ��, �, ��, … , ��; �)

� Las ecuaciones que definen un sistema, así como sus salidas se convierten a las siguientes considerando las definiciones dadas anteriormente.

Ecuación de estado

Ecuación de salida

� f, g son funciones vectoriales que dependen del tiempo; es un sistemavariante en el tiempo

� Si se linealizan las ecuaciones de estado alrededor de un estado deoperación, se tiene las ecuaciones de estado y de salida linealizadas(Sistema lineal variante en el tiempo):

A(t) Matriz de estado

B(t) Matriz de entrada

C(t) Matriz de salida

D(t) Matriz de transmisión Directa

�� � = �(�, �, �)

� = �(�, �, �)

�� � = � � � � + �(�)�(�)

� � = � � � � + � � � �

� Si las funciones vectoriales f y g no involucran al tiempo, elsistema pasa a ser un sistema lineal invariante en el tiempo(LTI). Las ecuaciones de estado y de salida serán:

� El diagrama de bloques para estas ecuaciones de estado y de salida:

B

D

∫dt C

A

u(t) y(t)x(t)

�� � = �� � + ��(�)

� � = �� � + �� �

Representación en el espacio de estado de sistemas dinámicos

� Considere un sistema de n-esimo orden (entrada sin términos derivativos)

� Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferencialesde primer orden, para ello se tiene que elegir n variables deestado:

� �(�)

�� + ��

� ���(�)

�� ��+⋯+ � ��

�� �

��+ � � � = �(�)

�� = �

� = ��

�� = ��

� =� ���(�)

�� ��

��� = ��

�� = ��

��� = ��

�� =� �(�)

�� = −� � � − � ��

�� �

��− ⋯− ��

� ��� �

�� ��+ �(�)

Derivamos

� Derivando se obtiene��� = ��

�� = ��

��� = ��

�� =� �(�)

�� = −� � � − � ��

�� �

��− ⋯− ��

� ��� �

�� ��+ �(�)

��� = ��� = ����� = �!⋮

�� =� �(�)

�� = −� � � − � ��

�� �

��− ⋯− ��

� ��� �

�� ��+ �(�)

�� =� �(�)

�� = −� �� − � ��� −⋯− ��� + �(�)

�� = �

� = ��

�� = ��

� =� ���(�)

�� ��

Se definió

Cambio de variable

� Por lo tanto la representación a través de variables de estado, estará dado por:

� En forma matricial la ecuación de estado:

� donde:

��� = ��� = ����� = �!⋮

�� =� �(�)

�� = −� �� − � ��� −⋯− ��� + �(�)

�� � = �� � + ��(�)

� � =

�����⋮

� =

0 1 0 ⋯ 0

0 0 1 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 ⋯ 1

−� −� �� −� � ⋯ −��

� =

0

0

0

1

� La salida esta dada por:

� Donde:

∫ ∫ ∫ ∫u y

-

� � = �� � + �� �

� � =

�����⋮

$ � 1 0 0 ⋯ 0 � � 0

Diagrama de bloques

���� � ��

�� � � �� � ��� ⋯ ��� � ����

��� � ��� � ����� � �!

Ejemplo 3.1

� Para 03 variables de estado:

Derivamos

Cambio de variable

��������� � ��

������� � �

�� ��� � ��� � � ����

Definimos variables de estado

��� � ���� � ����� � ��

�� � �� � �� �

�� � ��

�� � ������� � ��

��� � �

�� � ��

��� � ���� �

�� ��� �

�� ��� � � ����

��� � ���� �� ���� � ����

Equivalentes

� Por lo tanto las EE:

� Matricialmente:

� Donde:

�� � � �� � � ������ � � �� � � �� �

�� � �0 1 00 0 1

�� � ��

�����

�001

����

� � � 1 0 0�����

� 0 � �

� � ������

� �0 1 00 0 1

�� � ��� �

001

� � 1 0 0

� � 0

��� � ��� � ��

��� � ���� �� ���� � ����

�� � �

� En diagrama de bloques:

∫ ∫ ∫u y

-

Diagrama de bloques

��� � ��� � ��

��� � ���� �� ���� � ������ � �

�������� ��

E Estado

�����

���

Función de transferencia

� Considerando que es la relación salida / entrada

� De las ecuaciones de estado

� Multiplicando por ambos términos de la ecuación

Laplace

CI=0

�� � � �� � � �����

� � � �� � � �� �

%& % � 0 � �& % � �'�%�

( % � �& % � �' %

%) � & % � �'�%�

%) � �� %) � & % � %) � ���'�%� & % � %) � ���'�%�

� Si remplazamos la ecuación

� en la ecuación de estado de la salida:

( % � �& % � �' %( % � � %) � ���'�%� � �'�%�

( % � � %) � ��� � � '�%�

* % � � %) � ��� � �

Función de

transferencia

& % � %) � ���'�%�

� � � �� � � �� �

%�+,��-.�/��� � (�%�

'�%� � �*�%�

Ejemplo 3.2

� Hallar el DB de la ecuación diferencial

� Asignando variables de estado

Derivando

Cambio a variables

de estado

��������� � 0 �����

�� � 1 ������� � 2� � � ���� �� � 0�� � 1�� � 2� � �

�� � �� � ���� � ��

��� � ���� � ��

��� � �� � 0�� 1�� 2� � �

��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �

� � ��

Ecuación de estado y salida

� A partir de las ecuaciones de estado construimos el Diagrama de bloques

∫ ∫u(t)y(t)

-∫

��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �

� � ��

�������������

� Hallar la función de transferencia

uy

1

1/s 1/s 1/s

∫ ∫u(t)y(t)

-∫

0 1

2

3� � 1%�

4� � 0%

4 � 1%

4� � 2%� ∆� 1 �4� � 4 � 4��

∆�� 1

3 % � 3�∆�∆

Masson

� Hallar las ecuaciones de estado

� Ecuaciones del diagrama de bloques

� Ecuaciones de estado y de salida

∫ ∫u(t)y(t)

-∫

�� �0 1 00 0 1

2 1 0� �

001

� � � 1 0 0 � � 0 �

��� � ��� � ��

��� � 2�� 1� 0�� � � � � ��

��������

Ejemplo 3.3

� Ecuaciones de estado

� Asignando variables de estado

Cambio a variables

de estado

Ecuaciones de estado y salida

��������� � 0 �����

�� � 1 ������� � 2� � � ���� �� � 0�� � 1�� � 2� � �

�� � �� � ���� � ��

��� � ���� � ��

��� � �� � 0�� 1�� 2� � �

��� � ��� � ����� � 2�� 1� 0�� � �

�� �0 1 00 0 1

2 1 0

�����

�001

� � 1 0 0�����

� Hallar la función de transferencia

� De la ecuación de FT:

� Remplazamos las matrices respectivas y determinamos:

� …

�� �0 1 00 0 1

2 1 0

�����

�001

� � � 1 0 0�����

* % � 1 0 0 %1 0 00 1 00 0 1

0 1 00 0 1

2 1 0

�� 001

* % � � %) � ��� � �

Modelos matemáticos de sistemas

� Sistemas mecánicos

� Movimiento de traslación.- movimiento que se realiza a lo largo de un línea recta

� Masa.- almacena energía cinética del movimiento de traslación

� Resorte lineal.- elemento que almacena energía potencial

M f(t)

y(t)

k

f(t)

y(t)K: constante de rigidez del resorte

6 ��-/7�% � 8 �

� � � 8��

� � � : �

� Fricción viscosa.- representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad

� Movimiento de rotación.- movimiento de un cuerpo alrededor de un eje

B

f(t)

y(t)B: coeficiente de fricción viscosa

J: momento de inercia

� � � � ��

6 ; � < 0 � � < �=����� � < �>���

��

Tren de engranajes

� (trabajo)

N1

N2

1T

2T

- Paso del engranaje igual

- Distancia que recorren

- Trabajo que desarrollan

- Velocidad angular

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

ϖ

ϖ

θ

θ====

T

T

r

r

N

N

Ejemplo 3.4

N1

N2

1T

2T

b1

b2

J2J1

T

; � <��>��� � ?�

�>��� � ;�

; � <�>�� � ?

�>��

Pero hay relación de T1 y T2

@�@

� ;�;

;� � @�@

;

N1

N2

1T

2T

b1

b2

J2J1

T

; � <��>��� � ?�

�>��� � ;�

;� � @�@

;

; � <��>��� � ?�

�>��� � @�

@ ;

; � <��>��� � ?�

�>��� � @�

@ <

�>�� � ?

�>��

; � <�>�� � ?

�>��

� Utilizando la relación entre los desplazamientos

N1

N2

1T

2T

b1

b2

J2J1

T

@�@

� >>�

>� � @@�

>

; � <��>��� � ?�

�>��� � @�

@ <

�>�� � ?

�>��

; � @@�

<��>�� � @

@�?�

�>�� � @�

@ <

�>�� � @�

@?

�>��

Si tenemos

Remplazando AB

� A partir de la ecuación anterior:

; � �>��

@@�

<� � @�@

< � �>��

@@�

?� � @�@

?

; � >�@@�

<� � @�@

< � >�@@�

?� � @�@

?

>� � ; 1� >�

��

; � @@�

<��>�� � @

@�?�

�>�� � @�

@ <

�>�� � @�

@?

�>��

; � >�� � >��

� La ecuación diferencial para el tren de engranajes es:

>� � ; 1� >�

��

1/s1/s

T(s)

1/A

B/A

-

Diagrama de bloques

>>�>�

Ejemplo 3.5

� Considérese el sistema LTI, constituido por una masa, un resorte yuna fricción viscosa, como se muestra en la figura

� La ecuación diferencial del sistema:

� Podemos afirmar que es de segundo orden, grado 2, integradores2, variables de estado 2

m

f(t)k

b

C �7�� � ? �7

�� � :7 � � � � � C7� � ?7� � :7

z

Ecuación diferencial

� Hallar EE

� Matricialmente

� Que corresponde a las ecuaciones de estado y de salida

7 � 1 0 ��� � 0 f

derivando

Ecuación salidaEcuación estado

� � � C7� � ?7� � :7

�� � 7� � 7� �� � 7�

��� � 7��� � :

C �� ?C � � 1

C ������� � �

����� �

0 1 :

C ?C

��� �

01C

�� � � �� � � ����� � � � �� � � �� �

ED

� Construir diagrama de bloques del sistema

∫ ∫1/mf(t)

b/m

k/m

z(t)

-

� � � C �7�� � ? �7

�� � :7

7� � ?C 7� :

C 7 � 1C ����

77�7�

� Diagrama de bloques del sistema

∫ ∫1/m

f(t)

b

k

z(t)

-

� � � C �7�� � ? �7

�� � :7

7� � ?C 7� :

C 7 � 1C ����

77�7�

7� � 1C ?7� :7 � ����

� Hallar la función de transferencia

� La FT a partir de la ecuación diferencial. Tomamos la T Laplace(ci=0)

Función de transferencia

� � � C �7�� � ? �7

�� � :7

D % � C %E % %E 0 E 0 � ? %E 0 E 0 � :E�%�C%E % � ?%E % � :E % � D %E % C% � ?% � : � D %

E %D % � 1

C% � ?% � :

Ecuación diferencial

� Hallar la función de transferencia

� Aplicando la ecuación para hallar la FT

����� �

0 1 :

C ?C

��� �

01C

7 � 1 0 ��� � 0 �

* % � � %) � ��� � �

* % � 1 0 % 00 %

0 1 :

C ?C

�� 01C

� 0

* % � 1 0 1% % � ?

C � :C

% � ?C 1

:C %

01C

F. Transferencia

* % � 1C% � ?% � :

Ecuaciones de estado

Ejemplo 3.6

� Hallar las ecuaciones diferenciales

m2f

k2

m2

B2

m1k1

m1

k2

y2y1

C���� � :��� � :�� ��� C�� � ��� � : � �� � �

� Construir el diagrama de bloques C���� � :��� � :�� ���C�� � ��� � : � �� � �

∫ ∫y1

-∫∫

-

y2

�� � �C

�� :C

� � :C

�� � 1C

�� �� � ���

��� � :�C�

�� � :C�

� :C�

��

� :�C�

� :C�

�� � :C�

�C

:C

:C

:C�

:�C�

� :C�

���1C

ED

� Hallar las ecuaciones de estado

� Definimos variables de estado

derivamos

Remplazando Cambio de variables

�� � ��� � ����� � ��! � ��

��� � ����� � ������ � ����! � ��

��� � ��� � ��� � :�

C�� :

C��� � :

C���

��� � �!

��! � :C

�� :C

�� �C

�! � 1C

��� � ����� � ��� � :�

C�� :

C��� � :

C��

��� � ����! � �

C�� :

C� � :

C�� � 1

C�

��� � :�C�

� :C�

�� � :C�

�� � �C

�� :C

� � :C

�� � 1C

ED

� A partir de estas ecuaciones obtenemos la EE

��� � ��� � :�

C�� :

C��� � :

C���

��� � �!

��! � :C

�� :C

�� �C

�! � 1C

� Ecuaciones de estado

����������!

0 1 0 0 :�

C�� :

C�0 :

C�0

0 0 0 1:C

0 :C

�C

������!

0001

C

�� � ��� � ����� � ��! � ��

��� � 1 0 0 0

0 0 1 0

������!

� Construir el diagrama de bloques

∫ ∫f

y1

-∫∫

-

y2

��!

��� � �

���

�� � :�C�

� :C�

�� � :C�

����� � �!��! � :

C�� :

C�� �

C�! � 1

C�

�� � �� �� � �

������

:�C�

� :C�

:C��!

:C

��

:C

�C

1C

��

Ejemplo 3.7

� sistema control de marcha

� Definiendo las variables de estado

� Ecuaciones de estado y de salida

ecuaciones

DerivamosCambio de variables

CF� � ?F � �� � F

u(t)b

FC

�� � F��� � F���� � ?

C F � 1C � � ?

C �� � 1C �

� � ����� � ?C �� � 1

C �

� Construir el diagrama de bloques y determinar la función de transferencia

∫u

-

y=v

��� � ?C �� � 1

C �� � ��

�����

?C

1C

* % � ��%) ����� � �

* % � % � ?C

�� 1C

* % � C%C � ?

1C

* % � 1%C � ?

Diagrama de bloques

Función de transferencia

E.E.