Investigación de Operaciones UNIDAD II: PROGRAMACIÓN LINEAL

PROBLEMAS

I PARTE

Investigación de Operaciones UNIDAD II: PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMA ESTANDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El modelo básico de PL consiste en dos partes principales: la función objetivo y un conjunto de restricciones. Para un problema de maximización (asignar recursos a actividades) el modelo consiste en elegir valores de X1, X2, ….., Xn

para una función objetivo expresada como:

Donde:Cj= pago por cada unidad de la j-ésima actividad que se lleva a cabo.Xj= magnitud de la j-ésima actividad.Z= pago total debido al número total de actividades (n).

Las restricciones se pueden representar como sigue:

Y ; ; ….

Donde:Aij= cantidad i-ésima recurso que se consume por cada unidad j-ésima actividad.bi= cantidad del i-ésimo recurso que está disponible.

NOTA: “Los recursos son limitados”

TERMINOLOGÍA PARA LAS SOLUCIONES DEL MODELO

Solución en PL es cualquier conjunto de valores específicos para las variables de decisión (X1, X2, …, Xn). Los tipos de soluciones se identifican usando un adjetivo apropiado:

1. Solución Factible: es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen.

2. Solución No-Factible: es una solución para la que al menos una restricción se viola.

3. Región Factible: es la colección de todas las soluciones factibles.4. Solución Óptima: es una solución factible que proporciona el valor más

favorable de la función objetivo (el valor más favorable significa el valor más grande si la función objetivo debe maximizarse, mientras que es el valor más pequeño si la función objetivo ha de ser un mínimo).

Restricciones Funcionales

Restricciones de No-negatividad

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PROBLEMAS

1.- Suponga que una planta procesadora de gasolina recibe cada semana una cantidad fija de materia prima para gasolina. Esta última se procesa en dos tipos de gasolina: de calidad regular y Premium. Estas clases de gasolina son de alta demanda; es decir, se tiene garantizada su venta y se obtiene diferentes utilidades para la compañía. Sin embargo, su producción involucra ambas restricciones: tiempo y almacenaje en sitio. Por ejemplo, solo una de las clases se puede producir a la vez, y las instalaciones están abiertas solamente 80 horas por semana. Además existe un límite de almacenamiento para cada uno de los productos.Tabla de datos:

RecursoProducto Disponibilidad del

recursoRegular PremiumMateria Prima 7 m3/ton 11 m3/ton 77 m3/tonTiempo de Producción 10 hr/ton 8 hr/ton 80 hr/semAlmacenamiento 9 ton 6 tonAprovechamiento 150 $/ton 175 $/ton

“Desarrolle una formulación de programación lineal, para maximizar las utilidades de esta operación.”

2.- La compañía XYW, produce artículos de vidrio de alta calidad, que incluyen ventanas y puertas de vidrio. Tiene 3 plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensamblado de los productos. Debido a una reducción en las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales:Producto 1: Una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.Producto 2: Una ventana con marco de madera de 4x6 pies.El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. Como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro qué mezcla de productos sería la más rentable.La función objetivo para el problema sería: “Determinar qué tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas”.NOTA: Cada producto se fabricará por lotes de 20.

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Tabla de datos:

Recursos

Tiempo de producción por lote (horas)Producto

Tiempo de producción disponible a la semana

(horas)#1 #2

Planta 1 1 0 4Planta 2 0 2 12Planta 3 3 2 18Ganancia por lote 3000$ 5000$

3.- Dibuje las siguientes restricciones en una sola gráfica para mostrar la región factible del conjunto completo de restricciones funcionales, más las de no negatividad:

4.- Utilice el método gráfico para resolver el problema:

Maximizar

Sujeta a las siguientes restricciones:

Y

5.- Una compañía de seguros está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial, e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

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Tabla de datos:

DepartamentoHoras hombre por unidad

Horas hombre disponiblesRiesgo

EspHipoteca

Suscripciones 3 2 2400Administración 0 1 800Reclamaciones 2 0 1200

a) Formule un modelo de programación lineal.b) Use el método gráfico para resolver el modelo.

6.- La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B, y los recursos Q, R, S, requeridos para producirlos. Se desea maximizar ganancias.

Tabla de datos:

Recurso

Recursos utilizados por unidad deProducto

Cantidad de recursos disponibles

A BQ 2 1 2R 1 2 2S 3 3 4Ganancia/unidad 3 2

a) Formule un modelo de programación lineal.b) Use el método gráfico para resolver el modelo.c) Verifique el valor exacto de la solución óptima en b.

7.- Utilice el método gráfico para demostrar que el siguiente modelo no tiene soluciones factibles.

Maximizar

Sujeta a las siguientes restricciones:

Y