SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL POR EL METODO GRAFICO.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditoras (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisin Nmero mximo de liquidaciones. Maximizar Sujeto a:

El mtodo grfico se emplea para resolver problemas que presentan slo 2 variables de decisin. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el rea de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices de esta rea de soluciones creada, por lo que se buscar en estos datos el valor mnimo o mximo del problema. EJEMPLO 1: Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditoras de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuantas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente p ara maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls. El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO: Maximizar el ingreso total.

lanzamiento de una lnea de T.V. a color tiene a consideracin 2 medios de difusin: La televisin y el peridico. La solucin ptima siempre se encuentra en uno de los vrtices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la funcin objetivo. El vrtice que representa el mejor valor de la funcin objetivo ser la solucin ptima Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. 2. La publicidad en el peridico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en peridico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentacin como mnimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingre sos medios minimizando los costos de publicidad.

EJEMPLO 2. Un departamento de publicidad tiene que planear para el prximo mes una estrategia de publicidad para el

OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad. VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1). Anuncios para las familias de ingreso medio (X2). RESTRICCIONES : Porcentaje de presentacin. Minimizar Sujeto a: SOLUCION OPTIMA:

EJEMPLO (Parte 2): Mtodo Grfico Resolver mediante el mtodo grfico el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 x0,y0

SOLUCION OPTIMA:

1. 2. EJEMPLO 3. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinacin de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. Qu cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %? Minimizar Sujeto a: 3.

Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura. Marcamos en ellos una escala numrica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relacin con las restricciones del problema. A continuacin dibujamos las restricciones. Comenzando con la primera, dibujamos la recta que se obtiene al considerar la restriccin como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la regin que delimita sta restriccin viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restriccin, y delimitan la regin de color AZUL y ROJO respectivamente. La regin factible es la interseccin de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la regin de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La regin factible est representada por el polgono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA. Ya que la regin factible es no vaca (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones ptimas, que son los puntos O-F-H-G-C de la figura. Finalmente, evaluamos la funcin objetivo (3x + 2y) en esos puntos, resultado que se recoge en la tabla siguiente. Como el punto G proporciona el mayor valor al objetivo Z, tal punto constituye

la solucin ptima, que indicaremos x = 3 y = 12, con valor ptimo Z = 33. Punto extremo Coordenadas (x,y) O C G H F (0,0) (0,14) (3,12) (6,6) (8,0)

Se Contina haciendo clculos a travs de la arista HG, hasta llegar al vrtice G. Los datos que se reflejan son los de la Tabla Valor bjetivo (Z) IV, concluyendo con la misma y advirtiendo que ha terminado (comprobando antes que la solucin no 0 mejora al desplazarse por la arista GC). 28 Tabla IV . Iteracin n 4 33 30 Base 24 P2 P5 P1 Z Cb 2 0 3 P0 12 3 3 33 3 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 -1/2 -7/4 -3/4 5/4 0 P4 0 0 0 0 0 P5 0 1 0 0

COMPARACION DEL MTODO GRFICO CON EL MTODO SIMPLEX Las sucesivas tablas que hemos construido durante el mtodo simplex van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice (0,0) que es el valor que contienen las variables bsicas, siendo el resultado 0. Tabla I . Iteracin n 1 3 Base P3 P4 P5 Z Cb 0 0 0 P0 18 42 24 0 P1 2 2 3 -3 2 P2 1 3 1 -2 0 P3 1 0 0 0 0 P4 0 1 0 0

El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice G). Adems, se puede comprobar que el valor de la funcin en el vrtice C (0,14), no supera el valor 33. Regin factible Cuando nos propongan un problema de programacin lineal, nos encontraremos unas inecuaciones, que debemos representar en unos ejes de coordenadas. Llamamos regin factible a la solucin comn a todas las inecuaciones planteadas. 0 P5 Cuando hayamos representado todas las inecuaciones, 0nos podemos encontrar que la solucin comn es un polgono cerrado, que llamaremos regin acotada o 0recinto cerrado. Puedes ver un ejemplo en el siguiente 1ejemplo: 0

A continuacin se desplaza por la arista (0,0) F, calculando el valor de la funcin Z, hasta llegar a F. ste paso se traduce como la segunda iteracin en el Mtodo Simplex, aportando la Tabla II, en la que se ha calculado el valor que corresponde al vrtice F(8,0): Z = f(8,0) = 24. Tabla II . Iteracin n 2 3 Base P3 P4 P1 Z Cb 0 0 3 P0 2 26 8 24 P1 0 0 1 0 2 P2 1/3 7/3 1/3 -1 0 P3 1 0 0 0 0 P4 0 1 0 0 0 P5 -2/3 -2/3 1/3 1 A veces, el regin factible no es un polgono cerrado, sino una regin abierta o no acotada. Observa la regin siguiente:

Sigue por la arista FH, hasta llegar a H, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En sta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice H(6,6): Z = f(6,6) = 30. Tabla III . Iteracin n 3 3 Base P2 P4 P1 Z Cb 2 0 3 P0 6 12 6 30 P1 0 0 1 0 2 P2 1 0 0 0 0 P3 3 -7 -1 3 0 P4 0 1 0 0

0 P5 -2 4 1 -1 En el siguiente grfico, puedes observar diferentes regiones, acotadas y no acotadas.

Los vrtices de nuestra regin factible son: A(0,1), B(1,0), C(3,0), F(3,2), D(0,2). Ejemplo 2.Una vez representada la regin factible, debemos calcular las coordenadas de los vrtices que lo delimitan. Advertencia: Es posible que en las condiciones del enunciado, se indique que los valores de las variable sean nmeros enteros. Tenemos un ejemplo en el recinto siguiente: Dibuja la regin factible que determinan las siguientes inecuaciones. Indicando si la solucin es un recinto acotado o no acotado. x+y2; xy; x0; y0. Solucin: Comenzamos representado la recta x+y=2, tomando dos puntos, A(0,2), B(2,0). Seleccionamos el semiplano solucin, que se comprueba teniendo en cuenta que el origen no est en el semiplano. Representamos a continuacin la recta y=x, pueden servirnos los puntosC(0,0), y D(3,3). y marcamos el semiplano que tiene de valor de x menor que l y. Terminamos marcando el primer cuadrante como recinto posible de solucin, pues las dos ltimas inecua ciones, nos obligan a considerar slo los puntos de coordenadas positivas. Debemos obtener una regin factible como la del dibujo. Ejemplo 1.Dibuja la regin inecuaciones: x+y-10; 0x3; 0y2. Solucin: Comenzamos representando la recta de ecuacin x+y 1=0, para lo que elegimos dos puntos cualesquiera, como lo son A(0,1), B(1,0). Una vez dibujada seleccionamos el semiplano solucin de la inecuacin situando un punto aleatorio. en nuestro inecuacin ser el semiplano que no contiene el origen de coordenadas. Representamos a continuacin las rectas paralelas al eje de ordenadas (OY) que marcan las coordenadas x=0, x=3 y seleccionamos el rea comprendida entre ellas. Para finalizar, representamos las rectas paralelas al eje de abscisas (OX) que nos marcasn la coordenadas y=0, y=2, y seleccionamos el rea comprendida entre ellas. Obtenemos as la regin factible como la de la figura. factible que delimitan las

Observamos como la regin factible, no est acotada, puesto que por la parte superior no se encuentra limitada. Los vrtices de la regin son; A(0,2), E(1,1). Regin factible El procedimiento para determinar la regin factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuacin por separado es , decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones.

xn yvq u xntlt ll l i

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q vq{ tnv q q tq qup nv q u xn t nu ow squ sn q tn { y xnt n u qr y n q tq vqv u nv ow sou q n | q| nu q {tus q xn nv y ouz ou t pn n nv q q t n n t on ow sq n t q n tsxnv } q{tu s qi l i . S t t l f i i , l i i ili l i tili . P i l i if i i ti i i t : t

t snv xn xn vqv u xn on tn v xq nv xn vq v qy tz xq{ snz xnt xq tyz y vq tn voyz y vn|y tz n xn q nutz q nv qvq tnzxn vq v u q n on sqz nv xq son tn n tz xq nv ow x snv q nv xq sonu sn xoy s xq nv tnvon znv nu y z|n n tn{ q ~ tyz xy|q on xn tzn} y vq q| tyo ty q{ ou xn i i i j l l utilidad f , l i l l l i t l t . tili i , li tili l l

58 @3 77 C 58C 5A A A 9A 73 5A 8 T 7A @F Q8 C A 534A 6T SV i j t l l i f j ti l l : i t l l ti fi i t

RA 8BCA 7 6 @8 3 7 H CQ 8 8P6C 5@3 7I 3 B48 8 @6 @3 7 3 534H8l i , l t . i t l j t

3@ 3 3 9A 3 7A C8 5 8986B @F 76 3 5 3 @6 @3 7 8 A 5 E8 86G 89 3 5A 7 8 @8 @F 76 3 5 C 5 E8 3 @ 8986B 58 @3 76 3 5 56 5 A 3 78B 58 C 58 @3 7B3 5A CAD CA @8 58 CB @8986B 58 A8@ 58 @3 7A678@ 89 5A48 5 5 53 58 A8@ 58@3 7A6 78 89 5A48 5 5 53 @3 7 8 98 765 3432l i i i ti l i i t i i i m . i l i t i t l li i l l i i : li l l t ,

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S i j l E t t i i i l t i l i i .

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= 4 ; s : y = 4 , t: y = x

x + y

E t l i el paciente t ti . El i f l

. El

y|y s t tsxn nvnuz n x nu

WVU

El primer miembro de la igualdad es la pendiente de la curva ROC. La ecuacin nos da un criterio para elegir el punto de corte: de tal modo que la pendiente en l sea la de la expresin. UVN-UFP es la diferencia en beneficio entre no tratar a VN y tratar FP. Habitualmente se denomina cost to (C) de tratar pacientes no enfermos. UVP-UFN es la diferencia en beneficio entre tratar a VP y no tratar FN. Habitualmente se denomina beneficio neto (B) de tratar sujetos enfermos. Con estas consideraciones la frmula anterior se puede escribir como

UVP: El paciente tiene la enfermedad y la prueba lo detecta. Asumiendo que la anemia ferropnica tenga un tratamiento eficaz y seguro le ponemos 1 (el mximo, si no hubiera tratamiento le pondramos 0, incluso negativo si al paciente le causara angustia un diagnstico fatal). UFN: El paciente tiene la enfermedad y la prueba no lo detecta. Las consecuencias seran otras pruebas, que implican gasto y retraso en el verdadero diagnstico (asumo que pasado un tiempo de no mejora se replanteara el problema) UFN=-0,3. Es decir el beneficio neto B=1-(-0,3)=1,3 UVN: El paciente no tiene la enfermedad y la prueba no la detecta. Asumiendo que la anemia no ferropnica tenga tratamiento menos eficaz y menos seguro le ponemos 0,7.

La pendiente de la curva en cada punto se puede estimar o ajustando los puntos a una curva y calculando la pendiente (mxima verosimilit d) o, cuando se analizan polgonos en lugar de curvas ROC (lo ms frecuente), del siguiente modo: la pendiente del primer tramo (marcado en verde en la grfica: recurdese que la pendiente es la tangente del ngulo, es decir el cateto opuesto ( Sen) dividido por el contiguo (1-Esp)) es el CP del primer punto de corte, para los dems tramos (marcado en rojo el segundo) el cociente entre el cambio de la sensibilidad y el cambio de la especificidad y finalmente a cada punto se le asigna como pendiente el promedio de los tramos respectivos.

Ejemplo: calcular las pendientes del polgono ROC del ejemplo del VCM. La pendiente en el primer tramo es 0,088/0,015=5,87; en el segundo tramo (0,206-0,088)/(0,061-0,015)=2,57; por tanto la pendiente para el primer punto es (5,87+2,57)/2=4,22. Repitiendo el mismo clculo para todos los puntos resulta: Punto Corte Pendiente 65 4,22 70 2,25 75 1,62 80 1,08 85 0,84 90 0,65 92 0,32 Ejemplo: Usando la tabla anterior, decidir el punto de corte ptimo para un paciente con probabilidad preprueba de 0,3 y otro de 0,6. Hay que establecer tambin las utilidades:

UFP: El paciente no tiene la enfermedad pero la prueba la detecta. Las consecuencias seran tratamiento inadecuado (anemia ferropnica) pero sin efectos adversos, que implica gasto y retraso en el verdadero diagnstico (asumo que pasado un tiempo de no mejora se replanteara el problema) UFN=-0,5. Si el tratamiento tuviera efectos adversos podra ser -0,8 o menos. El coste neto C=0,7-(-0,5)=1,2 para ppre =0,3 la pendiente ptima sera pend = (1,2/1,3) x (0,7/0,3) = 2,15 que segn la tabla anterior correspondera a un punto de corte un poco por encima de 70. para ppre =0,6 la pendiente ptima sera pend = (1,2/1,3) x (0,4/0,6) = 0,62 que segn la tabla anterior correspondera a un punto de corte un poco por encima de 90. Ejemplo: El estudio PIOPED (Prospective Investigation Of Pulmonar Embolism Diagnosis), evalu la gammagrafa V/Q para el diagnstico del EP usando la arteriografa como "gold standar". Los resultados para distintos puntos de corte fueron: Arterio gam. + Sen alta 102 14 0,41 inter 207 231 0,82 baja 246 430 0,98 norm 251 480 con un rea bajo la curva de 0,76 y un EE de 0,019. Con estos datos los puntos de corte para distintas situaciones clnicas son: P(E) 1/odds C/B Pendiente Nivel 0,34 1,92 0,5 0,96 inter 0,34 1,92 2 3,84 * 0,15 5,67 0,5 2,84 * 0,15 5,67 2 11,34 >alta * niveles intermedios entre alta e intermedia que habra que investigar.

1-Esp 0,03 0,48 0,90

l j

l i ti l i i i t l i i , i l l t i t i t li . l l i i t i : l li j l t t ,

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El i i t : i i i l t t i l ti i i . f ti l l 1) Se resuel e cada inecuaci n or separado, t l i l l i l i i . i, l

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l t l t i i l i t , l i ti t regi n facti le, i l t t i l . E t li l, t i i . l

B i . i i l f l t .E. Nucl Med. 8: PI PE I til ti / f i lt f t li i i regi n facti le ti PI PE ti t i t l i ti ti . JAMA. 263: V l f i . Semin l f li . t

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Referenci

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2) a regi n facti le est formada por la intersecci n o regi n comn de las soluciones de todas las inecuaciones.

Regi n facti le acotada Regi n facti le no acotada

V

y

y

i

f ti l i l l i l ti ti t

l : l l ti l li ti ,

t . I t i l , l i i x + y 4, l ti f : 2: Este caso es el ms frecuente. A medida que j aumenta las distancias entre S1 y S2 aumentan. Ejemplo: Si j = 4 y S1 = 0'5 metros, el valor de S2 = 2 metros. Entre la cmara y el primer punto tendr una distancia de medio metro, y entre los dos puntos, o zona que deseamos ntida, metro y medio. En este caso el punto donde enfocamos aplicando S 2/3 est ms alejado que el Sopt (S2/3 > Sopt). El ltimo punto que queda ntido aplicando la frmula S2/3 es P1.D D

nmeros f

.

Este valor nos da la diferencia en valores de diafragma que pasaremos a diferencia en valores de paso de

diafragma (Dn)D D

.

Para 1 j 2 las frmulas sern diferentes pero el mtodo idntico. No se pueden calcular valores j = 1, o aproximados a 1. Existen problemas de indeterminacin por este mtodo. Las frmulas resultantes de este tremendo lo son las siguientes: 1) Si j > 2

Grupo 2: 1

j

2:

En este caso la distancia entre S1 y S2 es menor que la distancia entre S1 y la cmara. Con el ejemplo numrico anterior si j = 1'5 y S1 = 0'5 m, el valor de S2 =0'75 m. En este caso sucede al contrario, el valor S2/3 Sopt, por tanto: Al emplear la frmula S2/3 el ltimo punto que obtendremos a foco ser P2 . Tendremos que emplear frmulas diferentes para cada uno de los grupos. Mtodo operativo: Slo se explicar el mtodo, pero no lo desarrollar, al ser demasiado extenso y no aportar nuevos conceptos a la pregunta. Para j > 2 partimos de la frmula de la profundidad de campo que nos determina la distancia del objetivo al primer punto ntido. ( Si 1 j 2, la frmula es la que nos determina la distancia al ltimo punto ntido). Particularizamos el valor del punto de enfoque de esta frmula para Sopt y luego para S2/3. Tendremos dos frmulas. Despejamos de estas frmulas el valor de N ( valor numrico del nmero f), obtendremos un Nopt y N2/3 para cada grupo de valores j.D D D

6'64- Sale del valor Dn - "Ganancia" en pasos de diafragma. j- Coeficiente de relacin de las distancias extremas donde deseamos la nitidez S1 - Distancia al primer punto que deseamos ntido S2 - Distancia al ltimo punto que deseamos ntido. F - Distancia focal del objetivo Mediante estas frmulas obtendremos la tabla I.

Explicacin de la tabla I.

D D

2)

Si 1

j

2

En esta tabla estn los tres factores que modifican la ganancia en pasos de diafragma de la frmula Sopt respecto a la S2/3, (Dn). Estos factores son tres: 1er Factor: j (Relacin de distancias entre S1 y S2) Es el ms importante de los tres.E

El error mximo al emplear la frmula S2/3 en lugar de la frmula correcta se produce: 1) 2) 3) Para valores grandes de j. Para objetos lejanos. Elevado valor de S1. Con objetivos de distancia focal corta.

Los resultados son diferentes si j > 2 que si j - Si j > 2, al ir aumentando aumenta Dn.

2.

>En estas conclusiones hemos considerado j > 2 que es el caso ms frecuente.

Ejemplo: Vemos en la tabla que para j = 20, empleando un 25 mm y estando el primer punto ntido a 0'5m ( el ltimo estar a 10m), la ganancia Dn pasa de 1 2/3 pasos de diafragma.

- Si j 2. Sucede lo contrario. Es lgico, al aumentar j, se aproxima al valor 2, cuya ganancia es 0. 2 Factor: Si (Distancia al primer punto que deseamos ntido) Figura 4 Factor poco importante. Sucede lo mismo que el anterior. El resultado es diferente si j > 2 que si j 2. - Para j > 2. A medida que el punto que enfocamos est ms lejos, la ganancia en pasos de diafragma aumenta. Ejemplo: Si j = 20, con un 50 mm, enfocando a 10 cm, el valor Dn es de 1 paso de diafragma, a 1 metro es de 1 2/3 pasos de diafragma. Esta diferencia slo es notable para valores altos de j. - Si j 2. Lo contrario. La ganancia disminuye al alejarse el primer punto que deseamos a foco.E E E

Parte 5: Clculos numricos Veamos algn ejemplo numrico: Ejercicio 1: Deseamos realizar una foto. El primer punto que deseamos obtener a foco, est situado a 1 metro y el ltimo a 3 metros. A qu distancia tenemos que enfocar para obtener ntidos los dos puntos con el menor nmero f? Solucin: Aplicamos la frmula general con S1 = 1 m, S2 = 3m.

3er Factor: F (Distancia focal del objetivo) Es el menos importante de los tres. - Para j > 2 la ganancia disminuye al aumentar la distancia focal. Ejemplo: (ver tabla I). Para j = 20 y S i = 100 m, con un 25 mm, la ganancia es de 1'7 pasos de diafragma y con un 100 mm es de 1'59 pasos de diafragma. - Para j 2 , como en todos los otros casos, sucede lo contrario. Los resultados de la tabla I se pueden visualizar en la figura 4. Conclusin:E

Esta sera la distancia correcta. Aplicando la regla de los 2/3 tendremos:

Entre las dos frmulas, la diferencia de las distancias es de 16 cm. La ganancia en pasos de diafragma es de 0'52 para un 25 mm, 0'51 para un 50 mm y 0'5 para un 100 mm. Es decir medio diafragma. Necesitamos cerrar ms utilizando la frmula de los 2/3 en vez de la frmula correcta.

Ejercicio 2: Queremos fotografiar un paisaje. Deseamos nitidez desde el primer trmino (2 metros) hasta infinito. Dnde tengo que enfocar?. Solucin: Al estar situado el ltimo trmino en infinito, aplico la frmula S = 2S1 y tendr, para el valor dado de S1 (S1 = 2m) que

4) La regla de los 2/3 es bastante prctica y precisa en multitud de ocasiones. En la mayora de los casos podemos obtener nitidez en los puntos adecuados, "perdiendo" solamente medio diafragma (ver tabla I). 5) Si el segundo objeto que deseamos ntido est muy alejado del primero, debemos enfocar al doble de la distancia a la que est el primer punto, que deseamos ntido, respecto de la cmara.

Solucin = 4 metros Seguro que tiene la misma curiosidad que yo. Qu nmero f necesitamos para obtener semejante profundidad de campo?. Los clculos nos indican que con una distancia focal de 50mm y un dimetro mximo de crculo de confusin permisible de C = 0'03mm, tendramos con un nmero f de 22.Valores Sopt en funcin de diferentes valores S1 y SEn la tabla II colocamos en dos ejes perpendiculares, valores de S1 (eje vertical) y S2 (eje horizontal). Los valores Sopt se determinan por el mtodo clsico de encontrar el cuadro comn de ambas rectas. Lo vemos en la tabla II.[3]

Tabla II Todas las unidades estn dadas en centmetros. RESUMEN DE LOS CONCEPTOS MS IMPORTANTES 1) El enfocar al punto ptimo de enfoque NO nos garantiza nitidez en la zona elegida; pues la nitidez depende del nmero f. Nos garantiza la nitidez con el menor nmero f. 2) Si el nmero f elegido no nos da nitidez en la zona elegida, el enfocar al punto ptimo de enfoque puede presentar ms inconvenientes que ventajas. 3) El criterio para determinar el punto ptimo de enfoque se basa en colocar la pelcula donde los crculos de confusin de los puntos extremos de la zona q ue deseamos ntida son iguales.