MODELO DINÁMICO DE LA MÁQUINA ASINCRÓNICA TRIFÁSICA

Norberto A Lemozy, Mario S. F. Brugnoni Departamento de Electrotecnia. Facultad de Ingeniería.

Universidad de Buenos Aires. (1063) Avda. Paseo Colón 850. Buenos Aires. Argentina

e-mail: nlemozy@fi.uba.ar e-mail: mbrugno@fi.uba.ar

Palabras claves: Máquina Asincrónica, Teoría Circuital, Transitorios. Resumen. En la presente ponencia se analizan los modelos aplicables para el estudio de transitorios en una máquina asincrónica trifásica y se muestran los resultados obtenidos y verificaciones experimentales.

1 INTRODUCCION La teoría clásica, basada en la fenomenología es ampliamente empleada para interpretar el funcionamiento de las máquinas eléctricas rotativas y resulta muy apropiada para su estudio en régimen permanente de las mismas; pero no es adecuada para el análisis de transitorios. Es así que los fenómenos que ocurren, por ejemplo, durante el arranque o frente a variaciones bruscas de carga deben ser analizados apelando a herramientas matemáticamente mucho más complejas. Por el contrario en la denominada “teoría circuital” se representa la máquina por medio de sus circuitos eléctricos, con sus resistencias e inductancias propias y mutuas; y las ecuaciones diferenciales que los vinculan. Como en general dichas ecuaciones son no lineales y con coeficientes variables, su solución resulta considerablemente compleja. El planteo anterior es conocido desde hace muchos años, pero, salvo algunos casos muy particulares, resultaba prácticamente inaplicable. Recién con el advenimiento de las computadoras digitales se pudieron aplicar eficazmente métodos numéricos para manejar esos sistemas de ecuaciones diferenciales y solamente en los últimos años se disponen programas matemáticos, para

computadoras personales, que permiten encarar el estudio de transitorios en las máquinas rotativas, sin tener que utilizar programas específicos para grandes computadoras, de baja disponibilidad y de difícil aplicación.

2 FUNDAMENTOS Esquemáticamente una máquina asincrónica trifásica se la puede representar por:

Fig. 1: Esquema de máquina trifásica.

Como la máquina anterior posee seis circuitos, conduce a un sistema de seis ecuaciones diferenciales de la forma:

[ ] [ ] [ ]ABCabcABCabcABCabc iZu ⋅= donde uABCabc e iABCabc son vectores columna de seis elementos que representan a las tensiones y a las corrientes de cada circuito. La matriz impedancia ZABCabc , que por razones de espacio

A

B

C

a

b

c

no se escribe, no posee ceros y sus términos son de las formas:

θcos ; ; ; 12111 Mdtd

dtdM

dtdLR

Resolver un sistema de este tipo resulta “pesado” aún para los computadores actuales. Afortunadamente se lo puede simplificar. La primera transformación que se puede realizar es convertir la máquina de trifásica a bifásica.

Fig. 2: Esquema de máquina bifásica.

Esta máquina equivalente posee solamente cuatro circuitos, lo que reduce a cuatro el número de ecuaciones y como las fases del estator están a 90 grados, la inductancia mutua entre las mismas es mula, y otro tanto ocurre en el estator. La matriz de transformación de fases es la siguiente:

[ ]

−−−⋅=

2123212123212101

32

1C

que es ortogonal a fin de mantener constantes las potencias. La nueva matriz impedancia se obtiene haciendo:

[ ] [ ] [ ] [ ]11' CZCZ t ⋅⋅= Pero aún el sistema resulta no lineal y con coeficientes variables. A fin de evitar que las inductancias mutuas sean función de la posición del rotor, se hace una nueva transformación, de este último, a uno con ejes magnéticos fijos en el espacio, es decir a colector. Esta última transformación se hace con la matriz [C2] de rotación de ejes:

[ ]

−

=θθθθ

cossensencos

2C

Donde 0θωθ +⋅= tr , siendo ωr la velocidad de rotación. La nueva impedancia resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ]22 ''' CZCZ t ⋅⋅= Luego de estas transformaciones las ecuaciones originales resultan:

⋅

+−−

+

+

+

=

q

d

Q

D

rr

rrq

d

Q

D

iiii

dtdLRL

dtdMM

Ldtd

LRMdtd

MdtdM

dtdLR

dtdM

dtdLR

uuuu

222

222

11

11

00

00

ωω

ωω

Donde los subíndices D, Q, d y q identifican a las nuevas tensiones y corrientes. En condiciones normales de funcionamiento de una máquina asincrónica trifásica tiene su rotor cortocircuitado, por lo tanto las tensiones ud = uq = 0 , además llamando:

( )( ) rdDrq

rqQrd

iLiMe

iLiMe

ω

ω

⋅+−=

⋅+=

2

2

El sistema se puede desdoblar en:

⋅

+

+=

−

⋅

+

+=

−

q

Q

rq

Q

d

D

rd

D

ii

dtdLR

dtdM

dtdM

dtdLR

eu

ii

dtdLR

dtdM

dtdM

dtdLR

eu

22

11

22

11

Ecuaciones que corresponden a los siguientes circuitos eléctricos:

erq

erd

uQ

uD

R2

R2R1

R1

M

M

L2

L2

L1

L1

+

+

+

+

-

-

-

-

Fig. 3: circuitos equivalentes.

A partir de las corrientes iD , iQ , id e iq se puede determinar la cupla electromagnética instantánea que desarrolla la máquina:

( )qDdQe iiiiMPT −⋅⋅= Siendo P el número de pares de polos. Esta cupla se debe igualar a la resistente:

A

B β

α

me TdtdJBT +Ω

+=

y de esta forma se obtiene la respuesta dinámica de la máquina. También antitransformado con la matriz [C1] las corrientes en D y Q se pueden obtener las corrientes de fase A, B y C:

)23

21(

32

)23

21(

3232

QDC

QDB

DA

iii

iii

ii

−−=

+−=

=

3 RESULTADOS

A fin de aplicar el modelo anterior, se realizaron los ensayos de norma para la determinación de los parámetros de un motor asincrónico trifásico, de rotor en cortocircuito, de 3 CV, 380 V, 50 Hz, 1420 rpm, obteniéndose los siguientes resultados:

R1 = 2,186 Ω ld1 = 0,0124 H Lm1 = 0,245 H R2’ = 3,553 Ω ld2’ = 0,0124 H RB = 76,7 Ω J = 0,1149 kgm2 De donde, y suponiendo una relación de transformación unitaria:

1121

1

5,15,1

dm

m

lLLLLM

+===

Con estos valores y los circuitos equivalentes de la figura 3, se estudió el comportamiento del motor en un arranque directo, obteniéndose los resultados mostrados en las figuras 4 a 7.

Fig. 4: Velocidad en función de tiempo calculada.

Fig. 5: Velocidad medida.

Fig. 6: Corriente en función de tiempo calculada.

Fig. 7: Corriente medida.

4 BIBLIOGRAFÍA

1 Jones, Charles V.: Unified Theory of Electrical Machines, Butterworths, 1967. 2 Adkins, Bernard: The General Theory of Electrical Machines, Chapman & Hall, 1957. 3 Hindmarsh J.: Máquinas Eléctricas y sus Aplicaciones, Ediciones Urmo,1975. 4 Tuinenga Paul W.: SPICE A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using Pspice, Prentice Hall, 1995. 5 Say, M.G.: Alternating Current Machines, Editorial Pitman, 1976.