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MODELO EOQ CON DESCUENTOS CON CANTIDADES En los modelos anteriores se hizo la suposicin que el costo por unidad de un artculo es el mismo sin importar las cantidades en el lote. De hecho, esta suposicin da como resultado que las soluciones ptimas sean independientes del costo por unidad. En el modelo EOQ con descuento por cantidad esa suposicin es sustituida por la siguiente: El costo unitario de un artculo depende ahora, de la cantidad del lote. En particular, se proporciona un incentivo para colocar una orden grande al cambiar el costo unitario de cantidades pequeas por un costo unitario menor en los lotes grandes y quiz un costo unitario todava ms pequeo para lotes an ms grandes. El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensin del modelo bsico de EOQ revisado en la seccin anterior y mantiene sus supuestos. Se asume que el costo de adquisicin (C) disminuye en la medida que aumenta el tamao de lote. Adicionalmente se considera que el costo de almacenar una unidad en inventario es un porcentaje (I) del costo de adquisicin. Por tanto la frmula a utilizar es:

Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un incentivo a pedir lotes de un mayor tamao, sin embargo, esto a la vez incrementa el costo de mantener unidades en inventario. Por tanto se busca determinar la cantidad ptima a pedir para cada nivel o quiebre de precios, analizar si dicho tamao de pedido es factible, ajustar el tamao de lote si es necesario y finalmente comparar las distintas alternativas para ver cul de ellas provee el menor Costo Total el cual est definido por la siguiente expresin:

EJEMPLO 1 Una empresa local de contadura pide cajas de 10 CDs a un almacn en la ciudad. El precio por caja que cobra el almacn depende del nmero de cajas que se le compren. La empresa de contadores utiliza 10000 CDs por ao, el costo de hacer un pedido es de $ 100 dlares. El nico costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que se supone 20% por ao.

Cada vez que se hace un pedido de disquetes, Cuntas cajas se deben pedir?Cul es el costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de contadores? Solucin Cp = $ 100 (anual) d= (10000 CDs/ao)/(10 CDs/caja)=1000 Cajas/ao Cmi = 20%Cu

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En primera instancia procedemos al clculo de las respectivas cantidades a pedir de acuerdo al costo unitario ofrecido en cada opcin. Opcin 1

El valor obtenido en la primera opcin, de la cantidad ptima a pedir es de 141 cajas. Como podemos observar ste nmero sobrepasa el rango establecido en la oferta realizada por parte del productor, por tal razn tomamos el valor mximo de esta opcin es decir 99 unidades es la cantidad ptima a pedir en esta opcin. Opcin 2

El valor obtenido de la cantidad ptima a pedir en la segunda opcin es de 143 cajas, como podemos observar este nmero cae dentro del rango establecido por el oferente en esta alternativa. As que en este punto se establece que 143 cajas es la cantidad ptima a pedir en esta opcin. Opcin 3

El valor obtenido de la cantidad ptima a pedir en esta opcin es de 144 cajas, como podemos observar es menor al rango establecido por parte del oferente por tal razn con el fin de aprovechar el descuento ofrecido, se toma como cantidad ptima a pedir el mnimo valor de esta alternativa que sera 300 cajas. Los resultados obtenidos en cada opcin fueron

Como podemos observar de las tres opciones tan solo la segunda cae dentro del rango establecido por el oferente, ms aun as este no es un criterio suficiente para determinar cul ser la cantidad ptima a pedir. Para tal efecto procedemos al clculo del costo total anual en el que se incurre con cada opcin.

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Como podemos observar la opcin 3 es la que nos ofrece los menores costos anuales, y por tal razn se muestra como la mejor alternativa. La cantidad ptima a pedir es de 300 cajas por pedido, generando costos anuales de $ 50288.33 Cuando existen descuentos la cantidad ptima a pedir est sujeta o depende del costo anual que genere, y ser ese el criterio para poder elegir una opcin. EJEMPLO 2 Un proveedor le ofrece la siguiente tabla de descuento para la adquisicin de su principal producto, cuya demanda anual usted ha estimado en 5.000 unidades. El costo de emitir una orden de pedido es de $49 y adicionalmente se ha estimado que el costo anual de almacenar una unidad en inventario es un 20% del costo de adquisicin del producto. Cul es la cantidad de la orden que minimiza el costo total del inventario?.

Tamao del Lote (Unidades) Descuento (%) Valor del Producto ($/Unidad) 0 a 999 0% 5

1.000 a 1999 4% 4,8 2.000 o ms 5% 4,75

Para dar respuesta a esta situacin se propone seguir los siguientes pasos: PASO 1: Determinar el tamao ptimo de pedido (Q*) para cada nivel o quiebre de precios.

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PASO 2: Ajustar la cantidad a pedir en cada quiebre de precio en caso de ser necesario. En nuestro ejemplo para el tramo 1 Q(1)=700 unidades esta en el intervalo por tanto se mantiene; para el tramo 2 Q(2)=714 est por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(2)=1.000; finalmente en el tramo 3 Q(3)=718 que tambin est por debajo de la cota inferior del intervalo, por tanto se aproxima a esta cota quedando Q(3)=2.000 PASO 3: Calcular el costo asociado a cada una de las cantidades determinadas (utilizando la frmula de costo total presentada anteriormente) 5 x 5000 + (5000/700) * 49+(700/2) * 0,20 * 5 = 4,8 x 5000 + (5000/1000) * 49+(1000/2) * 0,20 * 4,8 = 4,75 x 5000 + (5000/2000) * 49+(2000/2) * 0,20 * 4,75 = Los frmula de costos totales es: CT=C*D+(D/Q)*S+(Q/2)*H

Costo Tramo 1 = C(700)=$25.700

5 x 5000 + (5000/700) * 49+(700/2) * 0,20 * 5 = 25000 + 350 + 350 Costo Tramo 2 = C(1.000)=$24.725 Costo Tramo 3 = C(2.000)=$24.822

Se concluye que el tamao ptimo de pedido que minimiza los costos totales es 1.000 unidades, con un costo total anual de $24.725. EJEMPLO 3 D: Demanda Anual = 6.000 unidades S: Costo de Emisin = $750 H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = 10% del costo de adquisicin (i) El precio unitario a pagar depender del tamao del pedido segn muestra la siguiente tabla:

Para poder determinar el tamao de pedido que minimiza los costos totales se debe evaluar cada uno de los tramos de precios. Notar que H=i*C RESP.- Opcin: Q = CTA = EJEMPLO 4: D = 10,000 unidades de demanda anual S = $20 por colocar el pedido I = 20% del costo anual por mantener el inventario, desabasto, obsolescencia, etc. C = Costo por unidad segn la cantidad del pedido

Cantidad Costo 0 499 unidades $5.00 por unidad de 500 a 999 $4.50 por unidad mil o ms $3.90 por unidad Qu cantidad se debe ordenar? RESP.- Opcin: Q = CTA =