Modelo M | M | 1Teoria de Colas

SISTEMA SIMPLE

M / M / 1

Tiempo de llegadas aleatorias (Markoviano), independientes entre si.

Tiempo de servicio Markoviano, es decir no depende de cuando ocurre sino de la longitud del intervalo

1 servidor

Modelo M/M/1

EXPPOISSON

Descripción del modelo Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un

solo servidor, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de

Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()

Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturación Se demuestra que si , el sistema se satura,

es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

donde,1

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se

satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades El parámetro se llama carga, flujo o

intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos

Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

1nnp

Medidas de rendimiento El número medio de clientes en el sistema, L, se

calcula así:

000

11j

j

j

j

jj jjpjL

Sumamos la serie aritmético-geométrica:

...432 432 S

...32 432 S

1

...1 432S

111 2L

Medidas de rendimiento La utilización del dependiente, notada U, es la fracción

de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él:

UU

Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del

modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1

Medidas de rendimiento El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que

un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

11111

000

LppjpjW jj

jj

jj

Tiempo que se pasa

en el sistema si

hay j por delante

al llegar

Probabilidad de que

haya j por delante

al llegar

Medidas de rendimiento Podemos simplificar algo más:

11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq

se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser

servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):

1

WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

qW

FÓRMULAS M/M/1

1servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizació deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Número

sistema elen unidades de número tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número

tiempode períodopor arribos de promedio Número

S

S

SS

W

W

LL

n

FÓRMULAS PARA M/M/1

1

2

sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid

11

vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Número

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL

Formulario Modelo M/M/1

1,0

)()(

)()1(

)(1

)(

)1()1(

1

2

t

etWPetWP

nLPP

WW

LL

tq

ts

ns

nn

qs

qs

Ejemplo Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora

a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante de dependiente, pagado con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min

Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo Tenemos dos opciones:

Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 h Con ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, = 10 clientes/h Opción 1 (sin ayudante):

mecánicos5

12101

1210

1;

1210

1

111

L

Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h

Ejemplo Opción 2 (con ayudante):

mecánicos2

15101

1510

1;

1510

1

112

L

Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la espera de los mecánicos, Pero

también perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas

totales son 24€/h

En la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2 perdemos 24€/h, con lo cual la más

ventajosa es la opción 2,

Más medidas de rendimiento El número medio de trabajos en la cola Lq, se

calcula restándole a L el número medio de trabajos que están siendo servidos:

11

12

0 LpLLq Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en el

sistema:

WtetW /

Wtq etW /

Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en la cola:

Ejemplos Ejemplo: Un canal de comunicación se usa para

enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno central, Cada fuente envía paquetes de datos según un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg, Además cada fuente envía independientemente de las otras, Todos los paquetes son idénticos, esperan en una cola común y después se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisión se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el número máximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:

Ejemplos 1º El canal no se sature

Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg = 40 paquetes/seg

El canal no se satura cuando <1:

fuentes2012040

2 kkk

Ejemplos 2º En media los paquetes no pasen en el

sistema más de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a

la cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/seg

Nos exigen W0,1 seg:

fuentes151,0240

11

k

kW

Ejemplos 3º En el estado estacionario se garantice que al

menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la

cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/seg Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase

más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)0,05:

05,0ln42,005,005,01,0 2401,0 keW k

)k que (ya fuentes 5021,52,0

05,0ln4 N

kkk

Ejemplos Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros

y se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parámetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en el sistema

/n/n

/n/n

…

Ejemplos Alternativa 1 (una sola cola), 1=, 1= :

1

11 1L

11

111W

Alternativa 2 (n colas independientes), 2

=/n, 2

=/n :

12

2

1 2

22

1111nLnnnnL

n

n

n

nn

i

Ejemplos

122

2111 nWnW

nn

Como la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento,

concluimos que la dicha alternativa es mejor

Esto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir,

tener un único servidor que atienda a todos los clientes

http://www.auladeeconomia.com

Modelo M/M/1: ejemploUn carwash puede atender un auto cada

5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo

17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.01

25.2)(

3

75.0129,12,9

)1(

)1(

1300

2

tq

ts

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL

Modelo M/M/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Ejemplo Debido a un reciente incremento en el

negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson).

A ella le toma aproximadamente 10 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas diarias.

Calcule la probabilidad de que la secretaria tenga más de 5 cartas que mecanografiar.

solución λ = 20 /8 = 2.5 cartas / hora μ = (1/20 min)(60 min/1 hora) = 3 cartas / hora Tasa de uso de la secretaria.

ρ = λ/ μ = 2.5 /3 = 0.84 Tiempo antes de mecanografiar una carta:

Wq = λ/(μ*(μ- λ)) = 1.67 Número promedio de cartas en espera:

Lq = λ2/(μ*(μ- λ)) = 4.17 Probabilidad de que la secretaria tenga k cartas que mecanografiar

0 0.167 3 0.518 6 0.721 9 0.838 12 0.907 15 0.946

1 0.306 4 0.598 7 0.767 10 0.865 13 0.922 16 0.955

2 0.421 5 0.665 8 0.806 11 0.888 14 0.935 17 0.962

Ejercicio 2 Las llamadas llegan al conmutador de una

oficina a una tasa de dos por minuto, el tiempo promedio para manejar cada llamada es de 20 segundos. Actualmente sólo hay un operador del conmutador.

Calcular: La probabilidad de que el operador esté ocupado. El número de llamadas que esperan ser contestadas. El tiempo promedio que espera una llamada antes de

ser atendida.

Zapatería Mary’s

Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.

El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

SOLUCION

– Datos de entrada

= 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora.

= 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora.

– Calculo del performance

P0

= 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333

Pn

= [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n

L = / ( - ) = 2

Lq

= 2/ [( - )] = 1.3333

W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutos

Wq

= / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos

Pw

= / 0.6667

= / 0.6667

Datos de entrada para WINQSB

Medidas de performance

Medidas de performance

Medidas de performance

Medidas de performance

Medidas de performance

Teorema de Little Sea un sistema de colas con cualquier

distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y la razón de llegadas al sistema, Entonces:

WL

Teorema de Little Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos

1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias:

Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los trabajos que vea pasar por unidad de tiempo

Cada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema

Teorema de Little Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera

del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil:

qq WL

Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de

las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder

conseguir resultados explícitos