Modelo M/M1.

TEORÍA DE COLAS

AUTORA: ING. GILMA TABLADA MARTINEZ.

FEBRERO-2012

Teoría de Colas

Ing. Gilma Tablada Martínez

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1. Introducción. El primer artículo en esta temática fue publicado en el año 1909, aplicando esta estrategia a las comunicaciones para mejorar el servicio de llamadas telefónicas. Las colas o filas de espera se nos presentan frecuentemente en nuestra cotidianeidad; por ejemplo; en el supermercado, a la hora de dar mantenimiento a un equipo, en el cajero automático, en el banco,… Las colas surgen cuando un grupo de trabajos, objetos o personas necesitan acceder al mismo servicio. El estudio de las mismas es importante porque nos proporciona una base teórica para estudiar los tipos de servicio que podremos recibir de determinados recursos y la forma en que estos recursos pueden brindar determinado grado de servicios a sus solicitantes.

2. Definiciones, características y terminología. Definiciones. La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable del sistema, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. Las líneas de espera pueden ser creadas por los clientes o por las estaciones de servicio. Cuando los medios de servicios son inadecuados para satisfacer las demandas de servicio las filas pueden crecer a medida que pasa el tiempo. Si las demandas de los clientes son bajas entonces las estaciones de servicio estarán subutilizadas la mayor parte del tiempo. Si las estaciones de servicio son adecuadas los clientes esperan temporalmente porque los clientes que llegan están siendo atendidos.

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Estructura general de un sistema de cola o de fila de espera. Un sistema de colas se divide en sus dos componentes de mayor importancia, la(s) cola(s) y la(s) instalación(es) de servicio. Población. Es el lugar de donde proceden los clientes. La población puede ser finita o infinita. Es finita cuando el número de clientes en la fila afecta significativamente el número de clientes potenciales que pueden acceder al servicio, esto ocurre generalmente cuando la población tiene 30 clientes o menos. En otro caso es finito. Llegadas. Son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio, siempre se unen primero a la cola. Si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía. Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. Es necesario definir la forma en que ocurren las llegadas. Los sistemas de colas suelen contener incertidumbre. En particular, los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicios no se conocen con antelación de forma exacta. Para modelar esta incertidumbre, es muy habitual valerse de las funciones de distribución. Para ver si los tiempos entre llegadas o los de servicio se ajustan a una distribución, resulta útil emplear un histograma de los mismos.

- Distribución de Poisson. Se usa cuando las llegadas son aleatorias. La función de distribución de probabilidad de Poisson se calcula mediante la fórmula:

( ) ( )

;

La distribución de Poisson es discreta, a pesar de que con frecuencia se muestra gráficamente como una curva. La curva se suaviza más a medida que crece n.

Población Salida

Sistema

de

servicio

Cola

Sistema de colas

Disciplina

de cola

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El área bajo la curva es la probabilidad de que ocurran exactamente n llegadas en un periodo de tiempo T.

Ejemplo 1: Calcular la probabilidad de que ocurran exactamente 5 llegadas en 1 hora para un sistema con tiempos de llegada aleatorios de 1 cliente cada 20 minutos. clientes por hora.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

La probabilidad de que dentro de una hora lleguen 5 clientes al sistema es de .

- Distribución exponencial. Asumiendo que los tiempos entre llegadas están exponencialmente distribuidos, se simplifica mucho el análisis de una cola. Se usa cuando los tiempos entre llegadas en un local de servicios se distribuyen exponencialmente. Esta función de probabilidad con media de

λ n

t

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las llegadas λ por periodo de tiempo T, tiene la siguiente expresión: -

( )

El área bajo la curva representa la probabilidad de que transcurran más de t minutos para que ocurran llegadas al sistema. Para ello se utiliza la tabla de función exponencial que se adjunta al material. La probabilidad de la próxima llegada es menos el valor encontrado en la tabla.

Ejemplo 2: Si , la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de tiempo minutos, se calcula de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( )

( ) Este valor es la probabilidad de que pasen más de 0.5 minutos antes de que se presente el primer cliente. La probabilidad de ocurra una llegada dentro de 0.5 minutos es:

( ) Ejemplo 3: Un gestor bancario quiere usar un modelo de colas para analizar la congestión en el cajero automático de una oficina. Para ello, debe comprobar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio. A la luz de los datos recogidos, ve que los tiempos entre llegadas se ajustan a una distribución exponencial, pero no los tiempos de servicio. Esto último tiene su lógica, pues es necesario un tiempo

t λ

f(t)

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mínimo para realizar la operación en el cajero. A continuación se muestra la representación gráfica de los datos de la muestra analizada.

El analista decide asumir, de todos modos, distribuciones exponenciales para ambas variables aleatorias. Rápidamente, calcula que las medias para tiempos entre llegadas y para tiempos de servicio son 25.3 y 22.3, respectivamente. Decide que la unidad temporal que más le conviene son las horas, por lo que los tiempos pasan a ser 0.4217 y 0.3717. Por lo tanto, los parámetros de las distribuciones son λ= 1/0.4217 = 2.37 y µ = 1/0.3717 = 2.69. Obviamente, estos valores son estimaciones de las tasas entre llegadas y tasas de servicio teóricas. Ejercicio 1: 1. Todos hemos visto que los supermercados tienen más o menos cajas abiertas en

función de si el momento del día se considera pico o no. En la hoja Supermercado del archivo “Datos” aparecen tiempos entre llegadas y de servicios para dos momentos del día en un pequeño supermercado de barrio: la hora de la siesta y las ocho de la noche. Para el primer periodo, se habilita una caja; para el segundo, tres cajas.

a) Usando un programa (Excel, Matlab, etc.), haz un gráfico que represente la

distribución de los tiempos entre llegadas para la siesta y otro para la noche. Repite la operación con los tiempos de servicio. Indica el programa que has usado. ¿Por qué?

b) Comenta razonadamente si crees que dichos datos siguen una distribución exponencial o Poisson.

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Estación de servicio o servidor. Es el lugar en el que se brinda la atención demandada por los clientes. De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio (servidor). Un sistema puede tener uno o varios servidores. Una característica importante de los servidores es el tiempo que un cliente demora en el servido una vez iniciado el servicio. El tiempo de servicio es el tiempo en que se brinda servicio a un cliente. El ritmo de servicio o tasa media de servicio se denota por µ y es la capacidad del servidor para cubrir un número determinado de servicio en un periodo de tiempo t. Distribución de los tiempos de servicio. La distribución exponencial también describe la probabilidad de que el tiempo de servicio para un determinado cliente no exceda, o sea mayor a un tiempo T determinado. Estas probabilidades se calculan por las formulas:

( )

( ) Donde: número promedio de clientes que completan el servicio en cada periodo. tiempo de servicio del cliente. tiempo de servicio propuesto como objetivo.

La media de esta distribución es ⁄ , y la varianza es ( ⁄ ) .

A medida que t aumente, la probabilidad de que el tiempo de servicio al cliente sea menor que T se va aproximando a 1. Ejemplo 4: Un empleado puede atender en promedio a 3 clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de un cliente requiera menos de 10 minutos de ese servicio? Datos:

( )

( ) ( )

( )

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( ) Ejercicio 2. Suponga un sistema de colas de 2 servidores, una distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y una distribución de tiempos de servicio exponencial también con media de 2 horas. A las 12 del día acaba de llegar un cliente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra:

- Antes de la 1:00 P.M.? - Entre la 1:00 P.M. y las 2:00 P.M.? - Después de las 2:00 P.M.?

b) Suponga que no llegan más clientes antes de la 1:00 P.M. ¿Cuál es la

probabilidad de que la siguiente llegada sea entre la 1:00 y las 2:00 P.M.?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre la 1:00 y las 2:00 P.M. sea:

- Cero? - 1? - 2 o más?

d) Suponga que ambos servidores estén atendiendo clientes a la 1:00 P.M. ¿Cuál

es la probabilidad de que ningún cliente haya completado su servicio: - Antes de las 2:00 P.M.? - Antes de la 1:00 P.M.? - Antes de la 1:01 P.M.?

Cola o línea de espera. Es el grupo o conjunto de clientes que esperan para recibir un servicio. Un sistema puede tener una o varias colas. Las colas pueden ser limitadas o ilimitadas. Se considera una fila ilimitada cuando es muy larga en relación a la capacidad del sistema. La línea de espera puede ser única o pueden existir múltiples líneas. Estructuras de las líneas de espera. El flujo de los clientes que recibirán servicio se puede presentar en una sola línea, en múltiples líneas o en alguna combinación de las dos. La manera en que los clientes fluyen por el sistema depende del volumen de clientes servidos y de las limitaciones que impongan los requerimientos para el orden que en que van a ofrecer los servicios. El canal de servicio es la forma o el sistema en que se efectúa el servicio para el cliente. El canal puede estar en serie, en paralelo o en una combinación de ambos. En el canal en serie los clientes tienen que pasar todos por

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cada estación de servicio, mientras que en canales en paralelo se pueden atender varios clientes al mismo tiempo, en dependencia de la cantidad de servidores. El sistema puede tener una o varias fases: Una fa se cuando el cliente requiere del servicio de un solo servidor. Varias fases si los clientes deben parar por varias estaciones de servicio. Algunos casos de esta estructura son:

I. Un solo canal, una sola fase. Esta es la estructura más simple de un sistema de líneas de espera. Existen fórmulas que permiten analizar un sistema con estas características, cuando sus distribuciones de frecuencia son estándares. Un ejemplo es una persona que va a un gabinete.

II. Un solo canal, múltiples fases. Se ofrecen varios servicios siguiendo una secuencia bastante uniforme. La acumulación frente a cada servidor puede ser considerada una fila independiente. Un ejemplo es un sistema de lavado de automóviles en el que cada etapa del servicio se hace de manera independiente: aspirado, lavado, limpieza de vidrios, secado, parqueo.

Otro ejemplo puede ser una fábrica. Las piezas o partes se fabrican en distintos departamentos y en cada uno hay un número de piezas por procesar.

III. Múltiples canales, una sola fase. Se brindan múltiples servicios y cada uno de ellos requiere un tiempo diferente. El tiempo no uniforme de servicio en los servidores influye en el tamaño de las filas, esto hace que algunos clientes se atiendan primero que otros que llegaron antes al sistema. En este caso se puede establecer una fila, de manera tal que se garantice la atención a los clientes por estricto orden de llegada. Una solución a este problema es controlar estrictamente la línea, asignando un número a cada cliente por orden de llegada. Un ejemplo es un supermercado por departamentos.

Cola Servidor

Cola Servidor1 Servidor2

Cola

Cola

Cola

Servidor

Servidor

Servidor

Cola Servidor Cola Servidor

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IV. Múltiples canales, múltiples fases. Este caso es similar al anterior, solo

que en este caso se ofrecen varios servicios en secuencia, que siguen una secuencia específica. Un ejemplo es el departamento de clasificación de un centro hospitalario. Como por lo general hay varios servidores, es posible procesar varios clientes a la vez. De la misma manera que el caso anterior, se puede hacer un solo canal garantizando el servicio por estricto orden de llegada.

V. Mixto. En esta categoría se pueden presentar dos situaciones:

i. Estructuras de múltiples canales a uno solo. - Se encuentran varias líneas, que se funden en una sola para recibir el

servicio de una fase. Ejemplo cruzar un puente en el que se unen varios carriles.

- Líneas que se unen para recibir el servicio de varios canales. Ejemplo los autos que llegan a una lavadora para recibir el servicio de

Canal 1

Canal 2

Canal 3

Cola

Cola

Cola

Cola

Servidor

Servidor

Servidor

Servidor

Servidor

Servidor

Cola

Canal 1 Fase 1

Canal 2 Fase 1

Canal 3 Fase 1

Canal 1 Fase 2

Canal 2 Fase 2

Canal 3 Fase 2

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aspirado, aspirado y secado.

ii. Estructuras de rutas alternativas. Similar al caso de múltiples canales y múltiples servidores. Se encuentran dos estructuras que difieren en cuanto a los requisitos de la dirección del flujo. Ejemplo tramitar algo en el Registro Civil. - Se pueden producir cambios de un canal a otro una vez que se ha

recibido el servicio. - El número de canales y fases puede variar después que se ha prestado

el servicio.

Disciplina de la cola. Es la regla establecida para que los clientes sean atendidos en el sistema. La regla establecida debe garantizar el manejo de la cola. La regla general es que el primero en llegar es el primero en ser servido, pero se podría brindar el servicio con determinadas prioridades o siguiendo alguna otra regla, entre ellas las más usadas son:

FIFO (First in First Out). El primer cliente que llega a la fila es el primero en ser atendido.

Cola

Cola

Cola Cola Canal

Cola

Cola

Cola Cola Canal 1

Canal 2

Rutas alternativas

Canal 1 Fase 1

Canal 2 Fase 1

Canal 3 Fase 1

Canal 1 Fase 2

Canal 2 Fase 2

Canal 3 Fase 2

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LIFO (Last in First Out). El último cliente que llega a la fila es el primero en ser atendido.

RSS (Random Selection of Service). El cliente es seleccionado aleatoriamente para recibir el servicio.

PS (Processor Sharing). La capacidad del sistema es compartida con los clientes. Todos experimentan el mismo retraso, a todos se sirve por igual.

Prioridades establecidas: Urgencias primero. El que produce más ganancia. El que tiene turno reservado. El de tiempo más corto de procesamiento. Los pedidos más grandes. Los mejores clientes.

Salidas. Se consideran salidas a los clientes servidos. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas o los clientes regresan a la fuente de ingreso o población.

Estructuras típicas de los sistemas de filas de espera.

I. Una cola y un servidor.

II. Una cola y varios servidores.

Servidor Llegadas Salidas

Cola

Sistema de colas

Disciplina

de cola

Servidor 2

Disciplina

de cola Llegadas

Salida

s

Sistema de colas Sistema de colas

Servidor 1

Cola Salida

s

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III. Varias colas y varios servidores.

IV. Una cola y servidores secuenciales. Una cola y varios canales.

V. Una cola y sistemas de servicios no secuenciales.

Sistema de colas

Llegadas

Servidor 1

Servidor 2

Servidor 3

Salidas

Salidas

Salidas

Sistema de colas

Llegadas Servidor 1

Servidor 2

Servidor 3 Salidas

Sistema de colas

Salidas

Salidas

Salidas Entradas Rutas

alternativas

Serv 1

Serv 2

Serv 3

Ser 4

Serv 5

Serv 6

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Ejemplo 5: Sistemas de colas y sus elementos. En cada uno de los siguientes casos, además, se debe tener en cuenta la condición de la población, si es finita o infinita, esto cambiara las ecuaciones que permitirán hacer un estudio del mismo porque el tamaño de la cola influye en la posibilidad de acceso de los clientes al sistema.

Ejercicio 3. 1. En los siguientes sistemas de filas de espera, identifique los clientes, estaciones

de servicio y demás elementos. - Registro civil. - Biblioteca UTB. - Cajero automático del banco Pichincha Babahoyo. - Fábrica de guitarras. - Caseta de pago para cruzar un puente.

Sistemas de colas.

Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio

Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión

Dpto de bomberos

Alarmas de incendio

Incendios Depto. De Bomberos.

Compañía telefónica

Números marcados

Llamadas Conmutador

La corte Casos Casos

atrasados Juez

Carga de camiones

Camiones Camiones en

espera Muelle de carga

Oficina de correos

Cartas Buzón Empleados por

correos

Sistemas Cartas de negocios

Notas de dictado

Cartas para mecanografiar

Secretaria

Hospital Pacientes Personas enfermas

Hospital

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2. Defina 5 ejemplos de sistemas de cola, uno de cada tipo ilustrado gráficamente. Identifique las llegadas, colas, servidores, prioridad de servicio, de ser necesario, población finita o infinita, etc.,…

Notación de Kendall para los sistemas de colas. Los sistemas de colas se denotan según David Kendall. Inicialmente en la notación de Kendall se incluían tres elementos. Esta notación ha sido extendida y en la actualidad se incluyen tres elementos más. La notación es A/B/C [/D/E/F], donde:

A: Describe el proceso de llegada: M se usa para un proceso Markoviano; tiempos de llegadas con distribución aleatoria y exponencial para los tiempos de servicio. D se usa para tiempos deterministas o de duración fija. Ek se usa para la distribución Erlang con parámetro k. G se usa para una distribución general. GI se usa para una distribución general, pero con la restricción de que los tiempos son independientes.

B: Describe el proceso de servicio. Se usa una codificación similar a la que se usa para los tiempos de llegada.

C: Número de canales de servicio. Se denota por s. Puede ser 1 o mayor que 1.

D: Capacidad del sistema. Es el número máximo de clientes que puede acceder al sistema. Cuando el sistema está lleno las llegadas siguientes son rechazadas.

E: Orden de prioridad según las reglas de disciplina de cola.

F: Tamaño de la población. Se denota por N.

Ejemplo 6:

M/M/1 es un modelo de simulación cuyo sistema cuenta con 1 servidor y las llegadas y los servicios se distribuyen exponencialmente o aleatoriamente.

M/M/s/k es un modelo de varios servidores, en particular s, con cola finita de capacidad k y las llegadas y los servicios se distribuyen exponencialmente o aleatoriamente.

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M/G/1 es un modelo de un servidor, las llegadas exponencialmente o aleatoriamente y los servicios ocurren sin restricción alguna.

M/D/s es un modelo de varios servidores, las llegadas exponencialmente o aleatoriamente y los servicios ocurren de forma constante, o sea, es el mismo para todos los clientes.

M/M/s/k/PS/N es un modelo donde las llegadas y los servicios se distribuyen exponencialmente o aleatoriamente, de varios servidores, en particular s, con cola finita de capacidad k, con capacidad compartida del sistema y una población d tamaño N.

3. Modelos de teoría de cola. Comenzaremos el estudio de algunos sistemas de filas de espera que aparecen con más frecuencia y cuyos parámetros nos permiten conocer sus medidas de efectividad. 3.1. Parámetros y notaciones. Los parámetros generales de un modelo d teoría de colas son:

λ = tasa promedio de llegada en un período de tiempo T.

⁄ = tiempo promedio entre llegadas.

µ= tasa promedio de servicio en un período de tiempo T.

⁄ = tiempo promedio de servicio.

= número de servidores. = longitud promedio de la fila de espera durante el período de tiempo T.

= período de tiempo promedio que esperan los clientes antes de recibir el

servicio. = período de tiempo promedio que demora el servidor atendiendo a un

cliente. Se llama tiempo de servicio. = período de tiempo promedio que demora un cliente en el sistema. = cantidad promedio de clientes en el sistema en el período de tiempo T. = costo total de operaciones del sistema. = costo de espera en fila.

= costo de operación del servicio. = probabilidad de que el sistema este vacío durante el período de tiempo T = probabilidad de que en el sistema se encuentren n clientes durante el

período de tiempo T. ( ) = probabilidad de que en el sistema se encuentren menos clientes

durante el período de tiempo T. ( ) = probabilidad de que en el sistema se encuentren clientes

Teoría de Colas


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durante el período de tiempo T. ( ) = probabilidad de que en el sistema se encuentren

clientes durante el período de tiempo T. ( ) = probabilidad de que en el sistema se encuentren clientes

durante el período de tiempo T. ( ) = probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor

particular t.

3.2. Representación general de un modelo y algunos de sus parámetros. El sistema está compuesto por la(s) fila(s) de espera y la(s) estación(es) de servicio. Llegadas. Consiste en la entrada al sistema. No tienen horario, es impredecible en que momento llegarán los clientes. El modelo también supone que las llegadas vienen de una población que puede ser finita o infinita. Esta condición se define por el número potencial de clientes que pueden arribar al sistema. Cola. La forman los clientes que esperan para recibir el servicio. El tamaño de la cola es limitado o ilimitado, según las características del sistema. La disciplina de la cola puede ser establecida según las características de operación del sistema. También se supone que las llegadas no pueden cambiar de lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas. Instalación de Servicio. Esta constituida por la(s) estación(es) que proporciona(n) el servicio.

Servidor Llegadas

Salidas

Sistema de colas

L

𝑊𝑠 𝑊𝑞

𝐿𝑞

W

Teoría de Colas


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Salidas. Son los clientes servidos. Los clientes que salgan pueden abandonar el sistema o ingresar inmediatamente a otro servidor. Ley de Little. Expresa la relación entre algunos parámetros de los modelos de Teoría de Colas:

Estas relaciones son válidas para una amplia variedad de procesos de filas de espera. Costos de los sistemas de colas. Los sistemas de líneas de espera tienen costos asociados que deben ser considerados.

Costo de Espera.

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien, se puede aprovechar en otra cosa y ésta dado por:

Costo total de espera =

Donde = costo de espera por hora (en dólares) por llegada, por unidad de tiempo y = longitud promedio de la línea.

Costo de Servicio.

Es el costo de operaciones del servicio. Se denota por al costo asociado a una unidad de servicio. Costo de servicio:

Costo del sistema.

El costo del sistema incluye el costo de espera y el costo de servicio. Es el costo operativo del sistema. Se denota por

Teoría de Colas


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Sistema de costo mínimo. Para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces, el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo. En ocasiones se trata de encontrar el número de estaciones de servicio de manera tal que el costo sea mínimo. En la siguiente grafica se muestran las curvas de costo del sistema.

Tasa óptima de servicio

Tasa de servicio

Costo total de espera

Costo total de servicio

Nivel Óptimo de Servicio

Costo total del

Sistema

Costos

Teoría de Colas


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4. Modelo de colas con distribuciones aleatorias y exponenciales. 4.1. Modelo de un servidor y una cola. Modelo M/M/1. Características de operación del sistema.

Población infinita. Un servidor. Una cola. Cola ilimitada con prioridad FIFO. Llegadas Poisson, ocurre una llegada cada vez. Tiempos de servicio exponenciales. Salidas definitivas del sistema, el cliente que abandona el sistema no puede ingresar inmediatamente a la unidad de servicio, a no ser, que regrese a la fila.

Cálculo de los parámetros del sistema:

Utilización promedio de la instalación de servicio:

Longitud promedio de la línea del sistema: =

Tiempo de espera promedio en el sistema:

Longitud promedio de la fila:

( )

Tiempo de espera promedio en la fila:

( )

Tiempo de servicio

De manera general

Probabilidades:

- de que en el sistema hayan exactamente n clientes:

( ) ( ) (

) (

)

- de en el sistema hayan más de n clientes:

( ) (

)

Teoría de Colas


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- de que en el sistema hayan menos de n clientes:

( ) +. . . . . . . +

- de que el tiempo de espera en el sistema sea mayor que un tiempo ; :

( ) ( )

- de que el tiempo de espera en el sistema sea menor o igual que un tiempo ; :

( ) ( )

- de que el tiempo de espera en la fila sea mayor que un tiempo ; :

( ) ( )

- de que el tiempo de espera en la fila sea menor o igual que un

tiempo ; :

( ) ( )

Ejercicio 4: Verifique las siguientes relaciones para el modelo M/M/1.

( )

Ejemplo 7: Una oficina de correos cuenta con un único empleado en ventanilla. Los clientes llegan a la oficina a una velocidad de 16 cada media hora y el tiempo medio de servicio es de 1 minuto y medio por cliente. Se asume que las variables de tiempos entre llegadas y de tiempos de servicio son exponenciales. Todos los clientes que llegan esperan a ser atendidos, no importa cuántos haya en la fila. La empresa

Teoría de Colas


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postal quiere mejorar el funcionamiento de la oficina, por lo que encarga un estudio del proceso de servicio en ventanilla. Datos: T= 1 hora λ = 16 cada 0.5 hora = 32 clientes/hora µ = 1 minuto y medio por cliente = 40 clientes/hora Entonces:

La utilizacion promedio de cada caja de salida es de 0.80 o de 80%

( ) =

( ) =

=

Hay aproximadamente 3 clientes por hora.

Un cliente pasa como promedio en la fila 0.1 horas o .

Hay 4 clientes como promedio cada hora en el sistema.

( )

El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema es 0.125 horas o 7 minutos y medio. Para este ejemplo, el cliente, como promedio, espera antes de ser servido, hay 3 clientes en la línea o 4 en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 7 minutos y medio. La caja está ocupada el 80 % del tiempo. Ejemplo 8: Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio, asuma una distribución de Poisson, para los tiempos de llegada. A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta, los tiempos de servicio son exponenciales. Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas diarias, calcule:

- La tasa de utilización de la secretaria.

Teoría de Colas


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- El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una

carta.

- El numero promedio de cartas que estarán en espera de ser

mecanografiadas.

- La probabilidad de que la secretaria tenga más de cinco cartas que

mecanografiar.

Datos: T = 1 hora. λ = 20 en 8 horas= 2.5 cartas/hora. µ = 1 carta en 20 min = 3 cartas/hora.

La utilización promedio de la secretaria es de 83%.

( )

( )

El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta es de

( )

( )

( )

Como promedio, hay 4 cartas que estarán en espera de ser mecanografiadas.

( ) (

)

( ) ( )

La probabilidad de que esperen por mecanografiar, más de 5 cartas en es de 27 %. Ejemplo 9. Sam, el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar 1 perro cada 3 minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de 1 perro cada 6 minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos

Teoría de Colas


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exponencialmente. Determinar:

- La proporción de tiempo en que Sam está ocupado. - La probabilidad de que Sam este de ocioso. - El número total de perros que están en la clínica y los que esperan para ser

vacunados. Datos: T = 1 hora. λ = 1 cada 6 minutos= 10 perros/hora. µ = 1 cada 3 minutos= 20 perros/hora.

La proporción de tiempo en que Sam está ocupado es de 50%.

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

La probabilidad de que Sam este de ocioso es de 50%.

( )

( )

( )

En promedio, hay 1 perro por hora, generalmente no hay perros en espera.

Ejemplo 10.

Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de 2 por minuto, el tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Usando un modelo de filas de espera, determine.

- La probabilidad de que el operador este ocupado. - El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada

por el operador.

Teoría de Colas


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- El número de llamadas que esperan ser contestadas. - La probabilidad de que hayan menos de tres llamadas en espera.

Datos: T= 1 minuto. λ = 2 llamadas/minuto. µ = (1 / 20 seg) = 3 llamadas/minuto.

La probabilidad de que el operador este ocupado es de 67%.

( )

( )

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador es de 40 segundos aproximadamente.

( )

( )

( )

El número promedio de llamadas que esperan ser contestadas es de 1 por minuto o 4 cada 3 minutos.

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) La probabilidad de que haya menos de tres llamadas en espera es de 70%. Ejemplo 11. En la temporada de futbol, la oficina de venta de boletos se llena mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de 4 llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de 2 minutos. Bajo el

Teoría de Colas


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supuesto de llegadas aleatorias de los clientes y tiempos exponenciales para las transacciones, determine los siguientes indicadores:

- El número promedio de gente en espera para comprar el boleto de entrada. - El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos. - La proporción de tiempo que el vendedor de boletos está ocupado.

Datos: T= 1 minuto. λ = 4 clientes cada 10 minutos = 0.4 clientes/minuto. µ = 1 transacción cada 2 minutos = 0.5 transacción /minuto.

( )

( )

( )

En espera para comprar el boleto de entrada es hay 3 personas por minuto.

El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos es de 10 minutos.

La proporción de tiempo que el servidor está ocupado es de un 80%.

Ejemplo 12. Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar roturas de máquinas que ocurren con promedio de 3 por día, dichas averías presentan, aproximadamente naturaleza Poisson. La brigada puede reparar a un promedio de 8 máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. Calcule:

- La tasa de utilización de este sistema. - El tiempo promedio de rotura para cada máquina descompuesta. - Las máquinas que están esperando a ser reparadas. - La probabilidad de que haya alguna máquina en el sistema.

Datos: T = 1 día. λ = 3 reparaciones/día. µ = 8 reparaciones/día.

Teoría de Colas


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La tasa de utilización de este sistema de 37.5%.

El tiempo promedio de rotura para cada máquina que está descompuesta es de (1.6) horas o 1 hora y 36 minutos, considerando 1 día de 8 horas laborables.

( ) =

( )

= .

Como promedio 0.225 máquinas están esperando para ser reparadas, o aproximadamente, 1 maquina se daña cada 4 días y medio.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) La probabilidad de que haya 1 máquina en el sistema, 2, 3 o más máquinas en el sistema es de 37.5 % Ejemplo 13. Un supermercado grande con varias cajas de salida, en donde los clientes llegan con una tasa de 90 por hora, para que les marquen su cuenta. Hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, trate este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. La tasa de servicio es de 12 clientes por hora. Datos: T= 1 hora λ = 9 clientes por hora µ = 12 clientes por hora Entonces:

La utilizacion promedio de cada caja de salida es de 0.75, esto significa que la caja estará ocupada el 75 % del tiempo.

Teoría de Colas


28

( ) =

( ) =

Hay aproximadamente 2 clientes por hora.

( )

( )

Un cliente espera como promedio 0.25 horas o 15 minutos antes de ser atendido.

Hay 3 clientes como promedio cada hora en el sistema.

El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema es 0.33 horas o 20 minutos.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Esta probabilidad también se puede calcular usando leyes estadísticas:

( ) ( )

( )( )

( )(( ) ( ) ( ) ( ) )

( )( )

( )( )

La probabilidad de que hayan mas de 3 clientes en el sistema es de 0.32 o 32%. Ejercicio 5: 1. Referido al ejercicio 1, pág. 6 de este documento, asume que los tiempos de

Teoría de Colas


29

llegada y de servicio siguen una distribución exponencial.

a) Haz una tabla en Excel que contenga, para cada momento del día (siesta/tarde) y para, los siguientes cálculos: - tasa de llegadas,

- tasa de servicio,

- tiempo medio entre dos llegadas,

- tiempo medio de servicio,

- factor de utilización,

- número medio de clientes en la caja (entre los que están esperando y los

que están pagando),

- número medio de clientes en la cola (esperando),

- tiempo medio necesario para pagar (desde que se llega a la cola hasta que

se sale de la caja).

- tiempo medio de espera en la cola.

b) Contesta razonadamente, ¿en qué momento del día conviene ir? c) Durante la siesta, ¿qué porcentaje del tiempo estaría desocupada la caja?

Evaluación del sistema cuando se conoce el costo de espera. Los costos de servicio influyen en el método para encontrar el sistema de menor costo. Si el costo de servicio es una función lineal de la tasa de servicio, puede encontrarse una solución general para la tasa óptima. Para aplicar una solución general, se necesita una tasa de servicio que pueda variar de manera continua. Cuando los costos de servicio cambian en forma escalonada, se usa la técnica de prueba y error para encontrar el sistema de menor costo. Se calcula el costo total para una tasa de servicio, después para la siguiente y así sucesivamente. Esto continúa hasta que se encuentra un límite inferior tal, que al aumentar o el disminuir las tasas de servicio da costos totales más altos. Ejemplo 14: Se está estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para saber cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, por lo que es un sistema de un servidor. El tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada. Supóngase, que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales, y que la tasa promedio de servicio es 1 camión por hora para 1 cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además,

Teoría de Colas


30

suponga, que los camiones llegan con una tasa de 2 por hora como promedio y que el costo de espera es de $20.00 por hora por 1 camión. Si se le paga $5.00 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál sería el mejor tamaño de ésta? Datos: T = 1 hora λ = 2 camiones por hora. µ = 1 camión por persona. = costo de espera = $20.00 por hora por camión. = costo de servicio = $5.00 por hora por persona. Ahora sea k = número de personas en la brigada. Se busca k tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen:

Las pruebas deben de empezar con tres miembros de la brigada, ya que uno o dos no podrían compensar la tasa de llegadas de 2 camiones por hora. Para una brigada de 3 hombres, la tasa de servicio es de 3 camiones por hora y puede encontrarse L con la siguiente ecuación:

Para el cual el costo total es de $55.00. De la misma manera, probaremos para una brigada de 4 hombres:

Como

( )( ) ( )( )

El costo es menor, por tanto se sigue adelante. Para una brigada de 5:

Como:

( )( ) ( )( ) Como este costo todavía es menor, vamos a probar con 6 hombres en la brigada:

Teoría de Colas


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Como:

( )( ) ( )( )

Como este costo es mayor que el de la brigada de 5, se rebasó el límite inferior de la curva de costo; el tamaño óptimo de la brigada es de 5 personas. Evaluación del sistema con costos de espera desconocidos. En lugar de estimar el costo de espera, el administrador puede especificar un promedio mínimo de tiempo de espera o de longitud de línea. Esto establece un límite superior para , el tiempo de espera en la cola (o para , la longitud de

línea de espera). Con este límite superior puede encontrarse la tasa de servicio necesaria para cualquiera tasa de llegadas dadas. Ejemplo 15: Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las órdenes. Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la tasa máxima de llegadas es de 30 órdenes por hora y que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de 2 minutos antes de que se tome su orden. Esto se expresa como:

( )

Ordenando términos,

( )

Teoría de Colas


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( )

Esta ecuación se resuelve aplicando la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado:

( ) √( ) ( )(

)

( )

√

Como la tasa de servicio debe ser positiva y mayor que la tasa de llegadas, puede descartarse la solución negativa. Entonces:

√

√

√

Para este ejemplo:

Entonces:

√

( )

Teoría de Colas


33

√

√ = 48.676 órdenes por hora.

Para cumplir los requerimientos, se necesita una tasa, de casi 50 órdenes por hora. Si, por ejemplo, una brigada de 5 puede manejar 45 órdenes por hora y una de 6 puede procesar 50 por hora, entonces sería necesario tener la brigada de 6. Ejercicio 6. 1. Explique por qué el factor de utilización del modelo M/M/1 debe ser igual a , donde es la probabilidad de que el sistema esté vacío.

2. En una oficina se reciben un promedio de 10 personas por hora. El tiempo de servicio es de 4 minutos por cada persona que llega. Los tiempos de llegada y de servicio tienen distribución tipo Poisson. Haga un análisis de este sistema calculando los parámetros de estado estable del mismo.

3. Considere un sistema de colas con 2 tipos de clientes. Los clientes tipo 1 llegan de acuerdo con un proceso Poisson a una tasa media de 5 por horas. Los clientes tipo 2 también llegan de acuerdo con un proceso Poisson con una tasa media de 5 por horas. El sistema tiene 2 servidores que sirven a ambos tipos de clientes. Para los 2 tipos de clientes el servicio tiene una distribución exponencial con media de 10 minutos por cliente. El servicio es primero en entrar, es el primero en salir.

- Encuentre los parámetros cuantitativos del sistema. - ¿Cuál es la distribución de probabilidad y su media para el tiempo entre

llegadas consecutivas de clientes de cualquier tipo? 4. Una gasolinera dispone de 1 solo surtidor diesel. La llegas de los autobuses que cargan diesel muestra una distribución Poisson, mientras que el servicio de carga de combustible muestra una distribución exponencial. El promedio de llegada de autobuses a la bomba diesel es de 1 cada 12 minutos, mientras que en promedio el surtidor completa 7 servicios en 1 hora. En la bomba de combustible se ofrece el servicio a los autobuses en el orden en que llegan a ella y no se puede brindar servicio simultáneo a más de 1 autobús. Encuentre todos los parámetros que describen cuantitativamente a esta bomba de diesel para que luego se pueda tomar una decisión acerca de la instalación de otras bombas de diesel en ese lugar.

5. Tomando en cuenta los datos del ejercicio anterior (4), cada autobús hace 6 recorridos diarios entre dos ciudades unidas por una carretera en la que está ubicada la gasolinera. El recorrido es tal que obliga a los autobuses a llenar su tanque de combustible cada 3 viajes completos. El costo de operación de un autobús (sueldo del conductor, combustible, aceite, mantenimiento,…) es de $50 000.00 y se trabaja 22 días al mes a razón de 18 horas diarias. ¿Cuál es el costo

Teoría de Colas


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diario de espera?

6. Car´s Auto-tienda tiene un empleado que se encarga de instalar sistemas de alarma a carros y lo hace a una tasa promedio de 3 por hora; cerca de 1 cada 20 minutos. Los clientes que solicitan este servicio llegan en promedio de 2 por hora. Los aspectos del sistema M/M/1 se encuentran aquí presentes. ¿Cómo es el comportamiento de este sistema?

7. El Barry’s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, Barry’s estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por hora, todo el día sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de 1 cada 2 minutos. En este caso se tiene una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y tiempos exponenciales de servicio y calcule:

- El numero promedio de automóviles en la fila. - El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado. - El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio. - La tasa de utilización del lavado de automóviles.

- La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema.

- La probabilidad de que en el Car Wash hayan 3 autos o menos. - La probabilidad de que en el Car Wash hayan más de 4 autos.

8. Un promedio de 10 automóviles llegan por hora a un cajero con un solo

operador, que proporciona el servicio sin necesidad de que chofer baje de su auto.

Suponga que el tiempo de servicio promedio es de 4 minutos por cliente y los

tiempos de servicio y de llegadas son exponenciales. Conteste las siguientes

preguntas:

- ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero este ocioso?

- ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del

cajero?

- ¿Cuál es la cantidad de tiempo promedio que pasa un auto en el cajero,

incluyendo el tiempo de servicio?

- ¿Cuántos clientes, en promedio, atenderá el cajero por hora?

9. Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I, II, III

y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa

se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas

para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma

hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de

promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de

servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día son

Teoría de Colas


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distribución de Poisson y promedian 210 por hora. Encontrar el número promedio

de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto

- ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero?

- ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema?

- ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la

taquilla?

- ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola?

10. A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además, obtenga:

- La probabilidad de tener 2 clientes en el sistema. - La probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes. - La probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola.

11. La gerente de una tienda en una comunidad para jubilados, está interesada en brindar un buen servicio a las personas de la tercera edad que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene un mostrador de salida reservado para esas personas mayores, las cuales llegan al mostrador a un ritmo promedio de 15 cada 30 minutos, de acuerdo con una distribución tipo Poisson, y son atendidos a una tasa promedio de 35 clientes por hora. Calcule los siguientes promedios:

- Utilización del empleado del mostrador. - Número de clientes que entran a la tienda. - Número de clientes que esperan en el mostrador de salida. - Tiempo transcurrido dentro de la tienda. - Tiempo de espera en el mostrador.

12. Kamal's Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catálogo en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el empleado está ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado más. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan a $5.00 la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente $25.00 por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden.

a) ¿Cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes?

b) ¿Cuál es el número promedio de llamadores que esperan para colocar la

Teoría de Colas


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orden? c) La empresa está considerando añadir un segundo empleado para tomar las

llamadas. ¿Debe de contratar otro empleado? Recuerde que la tienda paga a esa persona $5.00 la hora.

13. Una franquicia de comida rápida, está pensando abrir operaciones de servicio por ventanilla a los clientes, desde su vehículo. Los clientes que llegan al intercomunicador a colocar órdenes y luego manejan hasta la ventanilla para pagar y recibir sus órdenes lo hacen a una tasa de 24 por hora. En el sistema es aplicable el modelo M/M1. Se está considerando las alternativas siguientes:

a) Realizar la operación con un solo empleado que llene la orden y reciba el dinero del cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos.

b) Realizar la operación con un empleado y un ayudante que tome el dinero del cliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 1.25 minutos. En ambos caso es un sistema de una sola ventanilla, por lo que se mantiene el sistema de un solo servidor, modelo M/M/1. Se le pide: - Calcule las Características Operacionales para cada alternativa. - Tome una decisión. - Si dispone de información del costo de espera de 2.500 por hora, pues es

considerado alto este costo en los servicios de comida rápida y el costo de cada empleado es de 800 por hora, siendo además cargado Bs. 2.000 por equipos y espacio. ¿Cuál sería la alternativa de menor costo para el servicio?

14. En un taller mecánico, la gerencia está considerando contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de cauchos para los clientes que ordenan nuevos juegos de cauchos. Dos mecánicos han solicitado el trabajo. Uno de ellos tiene experiencia limitada y puede ser contratado pagándole $500.00 la hora. Se espera que este mecánico pueda atender un promedio de 3 clientes por hora. El otro mecánico tiene varios años de experiencia, puede servir un promedio de 4 clientes por hora y se le pagaría $1 000.00 la hora. Asuma que los clientes arriban a una tasa de 2 por hora. En el sistema es aplicable el modelo M/M/1. (¿Recuerda los aspectos que presenta un sistema donde se aplica el modelo M/M/1?)

a) Calcule las características Operacionales con cada mecánico. b) Si el taller asigna un costo de espera a cada cliente de $1 500.00 por hora,

¿Cuál mecánico proporciona el menor costo de operación?

Modelo M/M1.

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