Modelo para el Cálculo de Peajes en las Carreteras Nacionales

Modelo para el Cálculo de Peajes en las Modelo para el Cálculo de Peajes en las

Carreteras Nacionales

Enero de 2010

Preparado para el Ministerio de Transporte

Elementos teóricos en la tarificación de las vías

• Las carreteras son un bien público puro (en ausencia de congestión)– No rivalidad en el consumo.

– No exclusión.

• Los bienes públicos presentan dificultades en su planeación y financiación.– Dificultad para auscultar permanentemente la demanda.

– Dificultad para escoger el dimensionamiento.

– La financiación recae sobre recursos públicos de libre disponibilidad (volátiles– La financiación recae sobre recursos públicos de libre disponibilidad (volátilese insuficientes).

• El uso de carreteras presenta externalidades.– Congestión.

– Deterioro de la vía.

– Contaminación.

• Una política óptima de precios debe considerar las externalidades.– Con externalidades negativas los precios de mercado generan un consumo

superior al óptimo social.

– Con externalidades positivas los precios de mercado generan un consumoinferior al óptimo social.

Objetivos del modelo de peajes

• Las carreteras con peaje se asemejan más a un bien privado.– Posibilidad de exclusión (caseta de peaje).

– Rivalidad en horas de alto tráfico (congestión).

• Pero, mantienen las externalidades.

• El objetivo del modelo es encontrar las tarifas de peaje quecapturan los gastos que ocasiona el paso de cada vehículo (costo decapital y mantenimiento) y la congestión que genera.capturan los gastos que ocasiona el paso de cada vehículo (costo decapital y mantenimiento) y la congestión que genera.

• Estos efectos se calculan suponiendo que la infraestructura estádimensionada en el óptimo económico en términos de ancho de lavía y grosor del pavimento.

• De esta forma los errores en las especificaciones no se trasladan alos usuarios vía tarifa.

• El modelo arroja los parámetros óptimos de diseño dado elvolumen y composición de tráfico en cada tramo.

Estructura del modelo

• El modelo contiene la siguiente información de 1.053tramos que comprenden tanto la red concesionada como lano concesionada del nivel nacional:– Tráfico.

• Volumen.

• Composición.• Composición.

– Tipo de terreno.

– Especificaciones (ancho de calzada, ancho de berma, pendiente(%), radio de curvatura (grados/Km) y deflexión(m/Km)).

• A partir de esta información, previamente se estiman y seincluyen al modelo:– La capacidad de la vía (manual Invías).

– Los vehículos equivalentes.

– Los ejes equivalentes.

Enfoque del modelo

• El modelo contiene las siguientes funciones:– Costo de capital (K).

– Costo de mantenimiento (M).

– Costo de congestión (c).

• De igual forma, contiene las derivadas de estas funciones con relación a ejesequivalentes (Q), vehículos equivalentes (V), grosor del pavimento (D) y el anchode la vía (W).

• Resuelve un conjunto de ecuaciones que determinan simultáneamente:• Resuelve un conjunto de ecuaciones que determinan simultáneamente:– D óptimo (D*).

– W óptimo (W*).

– El efecto de un eje equivalente sobre los costos (K y M).

– El efecto de un vehículo equivalente sobre la congestión (c).

• Con base en estos resultados estima la tarifa óptima de peaje expresada en$/100Km para cada tipo de vehículo en cada tramo.

• La tarifa es el resultado de multiplicar el número de ejes de cada tipo de vehículopor el impacto del eje en los costos más el número de vehículos equivalentes porel impacto en la congestión.

• El modelo puede estimar las tarifas tomando las dimensiones observadas de la víay las tarifas resultantes de escenarios formulados por el usuario del modelo entérminos de la periodicidad del mantenimiento.

Ecuaciones del modelo

• Función de capital:

• Ecuaciones de mantenimiento:

WDkWkkK 210 ++=

( ) ( ) AAA −++= ( ) ( ) 321

3210 1AAA

LLLDAN−

++=

( ) mt

f eN

Qtt

−−=

λππππ 00)(

mteQ

NT −=

λ1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 10 20 30 40 50

Niv

el d

e s

erv

icio

Tiempo

Nivel de servicio

Condiciones de la tarifa

• Ecuaciones de optimalidad:

D

M

D

K

∂

∂−=

∂

∂

W

c

W

K

W

Mr

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

mTeQ

NT −=

λ

Condiciones de la tarifa

• Condiciones de optimalidad: ¿qué valores de

W, D y T me permiten conseguir

simultáneamente…

=∂

+∂ MK

0=∂

∂+

∂

∂

D

M

D

K

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

W

c

W

K

W

Mr

0=− −mTeQ

NT

λ

Ecuaciones del modelo

• Función de congestión:

• Condiciones de optimización (solución no

k

wWc

hV

cWVc

= 1),(

• Condiciones de optimización (solución no

lineal de un sistema de ecuaciones):

D

M

D

K

∂

∂−=

∂

∂

W

c

W

K

W

Mr

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

** mTeQ

NT −=

λ

Desarrollo matemático

• Costo de construcción

WDkWkkK 210 ++=

DkkK

+=∂

DkkW

K21 +=

∂

∂

WkD

K2=

∂

∂


• Costo de mantenimiento

• C(W) es el costo periódico de mantenimiento

( )1)(

),,(−

=rTe

WCDWQM

• C(W) es el costo periódico de mantenimiento

de una vía.

• Así, M() es el valor presente de las actividades

de mantenimiento que se llevan a cabo cada T

años.



( )1)(

),,(−

=rTe

WCDWQM

( ) ( )1)(

1

1

−=

−∂

∂=

∂

∂rTrT e

WC

eW

C

W

M



( )1)(

),,(−

=rTe

WCDWQM

(1)

( ) ( ) 111)(1)(

−−−

∂

∂=−

∂

∂=

∂

∂ rTrT eD

WCeWCDD

M

( ) rTrT eD

eWCD

M

∂

∂−−=

∂

∂ −21)(

( )D

TreeWC

D

M rTrT

∂

∂−−=

∂

∂ −21)(


• Duración de la vía

( ) mt

f eN

Qtt

−−=

λππππ 00)(

( ) mtQt −−=

λππππ ( ) mt

ff eN

Qt

−−=

λππππ 00

( ) ( ) mt

ff eN

Qt

−−=−−

λππππ 00

mteN

Qt

=

λ1

mteQ

NT −=

λ



mteQ

NT −=

λ

Te

Nme

NT mTmt ∂−

∂=

∂ −−1

D

Te

Q

Nme

QD

N

D

T mTmt

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂ −−

λλ

1

mtmT eQD

N

D

Te

Q

Nm

D

T −−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

λλ

1

mtmT eQD

Ne

Q

Nm

D

T −−

∂

∂=

+

∂

∂

λλ

11



mtmT eQD

Ne

Q

Nm

D

T −−

∂

∂=

+

∂

∂

λλ

11

−mte1

(2)

+

∂

∂=

∂

∂

−

−

mT

mt

eQ

Nm

eQ

D

N

D

T

λ

λ

1

1

( )mT

mt

emNQ

e

D

N

D

T−

−

+∂

∂=

∂

∂

λ



(3)

( ) ( ) 321

3210 1AAA

LLLDAN−

++=

( ) ( )1 AAAN −−++=

∂(3)

• Reemplazamos (3) en (2)

(4)

( ) ( ) 321

321

1

10 1AAA

LLLDAAD

N −−++=

∂

∂

( ) ( )[ ]( )mT

mtAAA

emNQ

eLLLDAA

D

T−

−−−

+++=

∂

∂

λ321

321

1

10 1



(1)


( )D

TreeWC

D

M rTrT

∂

∂−−=

∂

∂ −21)(


( ) ( ) ( )[ ]( )mT

mTAAArTrT

emNQ

eLLLDAAreeWC

D

M−

−−−−

+++−−=

∂

∂

λ321

321

1

10

211)(

( ) ( )[ ]( ) ( )mTmTrT

rTAAA

emNQee

eLLLDAAWCr

D

M

−

−−

+−++−=

∂

∂

λ2321

1

10

11)( 321


• Costo de congestión

• (V/h): volumen de vehículos en hora pico.

k

wWc

hV

cWVc

= 1),(

• (V/h): volumen de vehículos en hora pico.

• cw: capacidad de un carril estándar.

• c1: valoración del tiempo


• Costo de congestiónk

wWc

hV

cWVc

= 1),(

k

w

k

k

Wc

hV

kcV

c

=∂

∂

−1

1

k

k

k

wWc

hV

kcW

c

−=∂

∂+− )1(1

Estructura del modelo

• El modelo contiene la siguiente información de 1.053tramos que comprenden tanto la red concesionada como lano concesionada del nivel nacional:– Tráfico.

• Volumen.

• Composición.• Composición.

– Tipo de terreno.

– Especificaciones (ancho de calzada, ancho de berma, pendiente(%), radio de curvatura (grados/Km) y deflexión(m/Km)).

• A partir de esta información, previamente se estiman y seincluyen al modelo:– La capacidad de la vía (manual Invías).

– Los vehículos equivalentes.

– Los ejes equivalentes.

Definición de parámetros para alimentar el

modelo

• Capacidad: Corresponde almáximo número de vehículosque tiene una probabilidadrazonable de atravesar unasección de carretera durante unsección de carretera durante undeterminado periodo detiempo, para unas condicionesde la vía y del tráfico.

• Depende de las característicaspropias de la vía, geometría yestado del pavimento y deltráfico, prohibiciones deadelantamiento entre otras.

Parámetros para la medición de capacidad

Metodología UNICAUCA

Carreteras de una calzada con un

carril por cada sentido

Tipología de terreno

Tipo de terrenoSubidas + Bajadas

(m*Km)

Curvatura Horizontal

(grados * Km)

Plano 5 50

Ondulado 19 150

Montañoso 50 300

Metodología para el cálculo de capacidad

La relación volumen/capacidad (V/C) expresa el grado de saturación o congestión que una vía experimenta en un momento específico

Ci= 3200 automóviles/hora/ambos sentidos


• Fpe relaciona la influencia de la inclinación y la relaciónpotencia/peso y determina como afectan la velocidad, elflujo y la capacidad inicial.

• Fd: Medida de la libertad para rebasar con facilidad,seguridad y sin colas por vehículos lentos

• Fcb: como el ancho del carril y la berma afecta la confianzadel usuario, la velocidad y la capacidad del vehículo

• Fp: refleja la interacción de los vehículos pesados sobre lascolas y las demoras, dado el espacio que ocupan y las bajasvelocidades.


• Posteriormente se calcula la capacidad correspondiente a los

cinco minutos de mayor demanda, c5, expresada en vehículos

mixtos por hora utilizando el FHP.

C5 = C60 * FHP

• Los valores típicos del FHP, se relacionan directamente con el • Los valores típicos del FHP, se relacionan directamente con el

volumen horario total (Veh/h), así:

Cálculo de Ejes Equivalentes

• La metodología propuesta por el AASHTO para pavimentos flexibles identifica

los factores de impacto para cada eje en función del número estructural y de

la jerarquía de la vía.

• Para tal fin se calcularon los factores de impacto para las diferentes

configuraciones de camión: C2P, C2G, C3 – C4, C5, >C5.

Cálculo de Ejes Equivalentes

• Para el cálculo se tiene como insumo los conteos de tráfico del INVIAS,

discriminados por Autos, Buses y Camiones, además los camiones se

discriminan en las diferentes tipologías.

• Se requiere determinar la tasa de crecimiento para cada estación de

conteo, se tiene el periodo de diseño en función de la jerarquía de la

vía, con estos parámetros se calculan los ejes equivalentes para el vía, con estos parámetros se calculan los ejes equivalentes para el

periodo de diseño así:

• Dado que el modelo requiere los ejes equivalentes por carril, se debe

afectar los ejes equivalentes de diseño por dos factores, uno que

señala la distribución por sentido y otro para la distribución en el carril

más pesado cuando hay vías de más de dos carriles.

Cálculo de Vehículos Equivalentes

• El cálculo de los vehículos equivalentes busca

convertir un flujo de vehículos mixtos, en una

unidad que permite representar vehículos de

diferente tamaño, adicionalmente considera el diferente tamaño, adicionalmente considera el

tipo de terreno en el que se presenta el análisis.

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