Concentración en un tanque

Considérese un tanque, que funciona por rebosado, es decir, que su alimentación es por la

parte inferior y el flujo de salida es por la parte superior del tanque y es el excedente

sobre el nivel máximo del tanque. Se supone que la densidad de entrada y de salida de

líquido dentro del tanque es la misma, y que el fluido es incompresible. El tanque tiene

dos alimentaciones, F1 y F2, como las descritas, por la parte inferior, de valor constante,

que poseen concentraciones del mismo componente A, Ca1 y Ca2, que pueden depender

del tiempo, y la concentración Ca dentro del tanque se hace uniforme instantáneamente

de manera que la concentración de salida es la misma que la del tanque y tiene un valor

inicial Cao.

Haciendo el balance de materia en estado dinámico para el componente A:

Masa que entra: F1.Ca1(t), F2.Ca2(t)

Masa que sale: F.Ca(t)

Acumulación de masa: V.dCa(t)/dt

El balance de materia dice que lo que entra de un material en un sistema sin

reacciones menos lo que sale de ese material, es el cambio de la masa de ese material en

el sistema, es decir:

dt

tdCaVFtCaFtCaFtCa

)()()()( 2211 =−+

h D

F1

Ca1

F2

Ca2

F

Ca

Además, hace falta considerar que, como el sistema es incompresible, entonces

necesariamente todo el flujo que entra debe salir, es decir:

F1+F2=F

Con esto, se obtiene la siguiente ecuación diferencial, que describe al proceso

dt

tdCatCa

V

FFtCa

V

FtCa

V

F )()()()( 21

22

11 =+−+

Esta ecuación se resolverá utilizando la transformada de laplace. Puede hallarse la

transformada de laplace, obteniéndose:

)()()()( 212

21

1 sCaV

FFsCa

V

FsCa

V

FCaossCa

+−+=−

Se puede despejar Ca(s) de esta expresión, para obtener:

1

)()(

)(

21

221

21

21

1

21

++

++

++

+=s

FF

V

sCaFF

FsCa

FF

FCao

FF

V

sCa

Para resolver este problema, es decir, para hallar la concentración del tanque en función

del tiempo se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a F1, F2, V, Cao (que es la concentración inicial del liquido en el

tanque).

- Se supondrá que la concentración de entrada Ca1 cambia bruscamente, pero de manera

que se puede describir como un escalón. Suponiendo que Ca1(t) es una función escalón

que puede ser descrita como Ca1(t)=Ca1*u(t), cuya transformada de laplace es Ca1/s, lo

cual permite obtiene una solución del problema, y se supondrá que la concentración del

otro flujo Ca2(t)=0.

- Se planteará la ecuación de Ca(s), haciendo la sustitución de la función de la

concentración y los parámetros propuestos.

- Se obtendrá la transformada inversa, utilizando las tablas de transformadas.

- Se graficará el comportamiento de Ca(s) para selección de parámetros.

- Se seleccionaran otros parámetros y se repetirá este procedimiento.

- Se repetirá el mismo procedimiento pero ahora suponiendo que Ca1(t)=0 y que Ca2(t)

es una función escalón que puede ser descrita como Ca2(t)=Ca2*u(t), cuya

transformada de laplace es Ca2/s

- Por ultimo, se supondrá que Ca1(t) es una función escalón como la descrita y Ca2(t) es

una función escalón como la descrita.

A continuación se halla la solución de la concentración en el tanque para los

siguientes parámetros propuestos . Las soluciones se hallan a través de la transformada de

Laplace.

1- Se observa que el sistema es estable, es decir, para una entrada o perturbación escalón

en alguna de las concentraciones a la entrada, la respuesta se estabiliza, es decir, no

oscila ni crece sin control. Esto tiene sentido teórico, pues el sistema debe alcanzar el

equilibrio e igualar su concentración con la ponderación del flujo del fluido que entra

y l volumen del tanque del fluido que entra. Los casos mostrados dan la idea de que,

si los flujos son iguales o diferentes, pero sus concentraciones son iguales, entonces la

concentración del tanque eventualmente se hará igual a la de los flujos, ya que a

medida que transcurre el tiempo el fluido interno del tanque se diluye una y otra vez

con flujo de entrada.

2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa

posee una expresión limitada, es decir, cuando t tiende a infinito la expresión de la

concentración se estabiliza. Esto es propio de sistemas estables, y por la función

obtenida y la forma de la respuesta temporal puede decirse que el sistema es

subamortiguado, es decir, sin oscilaciones.

3- Como se puede observar, la función Ca(s) es racional cuyo denominador tienen

mayor grado que el numerador. Esto garantiza que puede hallarse la transformada

inversa de la función.

4- Un incremento del flujo de líquido hacia el tanque produce un incremento de la

velocidad de respuesta del sistema, que se observa en el tiempo de establecimiento o

cuando la concentración se hace constante.

CONCLUSIONES

- El sistema es estable para entradas estables

- El sistema responde a dos entradas de manera lineal, es decir, su respuesta ante la

suma de dos entradas es la suma de su respuesta por separado a estas entradas

- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor del

volumen, lo que significa que los valores del volumen son los que determinan que tan

rápido o lento se comportará la concentración dentro del tanque. Para valores altos, el

tiempo de respuesta es lento. Si se disminuye el valor del volumen, el sistema

responde más rápido.

- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor de

los flujos entrantes f1 y f2, si son altos, el sistema responderá rápidamente, si son

bajos, la respuesta del sistema será lenta.

- Las respuestas del sistema a diferentes entradas se caracterizan por tener el

comportamiento de una respuesta de primer orden.

- El método de la transformada de Laplace permite reconocer y resolver ecuaciones

diferenciales de manera sencilla y rápida.

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO TERMICO DE UN

TANQUE DE MEZCLA COMPLETA

Considérese un tanque de agitación continua. Se tiene interés en conocer la forma

que responde la temperatura de salida T(t) a los cambios en la temperatura de entrada

Te(T). Se supone que el flujo de los líquidos de entrada y salida, la densidad, la

capacidad calorífica, son constantes y no se modifican con la temperatura. El líquido en

el tanque se mezcla bien y esta aislado del ambiente, es decir, no se pierde calor por las

paredes del tanque.

La relación entre la temperatura de entrada y salida se puede expresar mediante

una ecuación de balance de energía en estado dinámico al tanque, es decir, considerar que

el contenido de energía que entra al tanque, menos la energía que sale del tanque, es igual

al cambio de energía dentro del tanque, que se representa según:

dt

tUVdthQthQ eee

))(()()(

ρρρ =−

y expresándolo en términos de la temperatura:

dt

tTCVdtTCQtTCQ v

pepeee

))(()()(

ρρρ =−

donde el subíndice e indica entrada

Q ó f: flujo de liquido al tanque o de salida del tanque

ρ: densidad del liquido, kg/m3

Cp: capacidad calorífica a presión constante, en J/Kg-C

Cv: capacidad calorífica a Volumen constante, en J/Kg-C

V: volumen en el tanque, m3

h: entalpía del líquido, en J/kg

u: energía interna del líquido dentro del tanque, en J/Kg

Se supone que el flujo de líquido a la entrada es igual que el flujo de líquido a la salida, la

capacidad calorífica del líquido es la misma a presión constante y a Volumen constante,

la densidad del líquido es constante y de la misma manera la capacidad calorífica,

entonces se puede replantear la ecuación diferencial de la siguiente manera:

dt

tVdTtQTtQTe

)()()( =−

Que es la ecuación que describe los cambios de temperatura en el tanque

de mezcla completa, en función del flujo de entrada y salida, del volumen y la

temperatura del flujo a la entrada.

METODO DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIAL:

Se tiene la ecuación diferencial:

dt

tVdTtQTtQTe

)()()( =−

Esta ecuación se resolverá utilizando la transformada de laplace. Puede hallarse la

transformada de laplace, obteniéndose:

))0()(()()( TssTVsQTsQTe −=−

despejando T(s) se obtiene lo siguiente:

V

Qs

T

V

Qs

sTe

V

QsT

++

+= )0()(

)(

Para resolver este problema, es decir, para hallar la temperatura del tanque en función del

tiempo se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a Q, V, T(0) (que es la temperatura inicial del liquido en el tanque).

- Se supondrá que la temperatura d entrada al tanque cambia bruscamente, pero de

manera que se puede describir como un escalón. Suponiendo que Te(t) es una función

escalón que puede ser descrita como Qi(t)=Te*u(t), cuya transformada de laplace es

Te/s, lo cual permite obtiene una solución del problema.

- Se planteará la ecuación de T(s), haciendo la sustitución de la función de la

temperatura y los parámetros propuestos.

- Se obtendrá la transformada inversa, utilizando las tablas de transformadas.

- Se graficará el comportamiento de T(s) para selección de parámetros.

- Se seleccionaran otros parámetros y se repetirá este procedimiento.

A continuación se halla la soluciones de la temperatura en el tanque para los

siguientes parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de

Laplace.

Parámetros:

T s( )Q

V

Te s( )

SQ

V+

⋅To

SQ

V+

+

Q 10:=

V 50:=

Te t( ) 25:=

To 70:=

T s( )Q

V

Te t( )

sQ

V+

s⋅⋅

To

sQ

V+

+:=t

T s( )5

s1

5+

s⋅

70

s1

5+

+→

Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:

T t( ) 45 exp1−

5t⋅

⋅ 25+:=

0 5 10 15 20 2520

40

60

80

T t( )

Te t( )

t

Para los parámetros:

Q 5:=

V 100:=

Te t( ) 25:=

To 80:=

T s( )Q

V

Te t( )

sQ

V+

s⋅⋅

To

sQ

V+

+:=t

T s( )5

4 s1

20+

s⋅⋅

80

s1

20+

+→

Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:

T t( ) 55 exp1−

20t⋅

⋅ 25+:=

0 20 40 60 80 10020

40

60

80

T t( )

Te t( )

t

Para los parámetros:

Q 20:=

V 100:=

Te t( ) 25:=

To 80:=

T s( )Q

V

Te t( )

sQ

V+

s⋅⋅

To

sQ

V+

+:=t

T s( )5

s1

5+

s⋅

80

s1

5+

+→

Al aplicar la transformada inversa, se obtiene:

T t( ) 55 exp1−

5t⋅

⋅ 25+:=

0 5 10 15 20 2520

40

60

80

T t( )

Te t( )

t

1- Como puede observarse, para una entrada o perturbación escalón produce salidas

estables, que conducen a una disminución de la temperatura del tanque. Esto tiene

sentido teórico, pues el sistema debe alcanzar el equilibrio e igualar su temperatura

con la del fluido que entra. Los casos mostrados analíticamente corresponden a

configuraciones similares a las de los calentadores de agua domésticos. Supóngase

que uno esta apagado, pero tiene agua caliente en él. Si se abre el flujo del agua, la

temperatura del agua del tanque disminuirá progresivamente, tal como es observado

en las soluciones obtenidas, dependiendo de la velocidad del flujo de agua y del

tamaño del tanque.

2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa

posee una expresión limitada, es decir, cuando t tiende a infinito la expresión del

nivel se estabiliza. Esto es propio de sistemas estables, y por la función obtenida y la

forma de la respuesta temporal puede decirse que el sistema es subamortiguado, es

decir, sin oscilaciones.

3- Como se puede observar, la función T(s) es racional cuyo denominador tienen mayor

grado que el numerador. Esto garantiza que puede hallarse la transformada inversa de

la función.

4- Un incremento del flujo de líquido a través del tanque Q produce un incremento de la

velocidad de respuesta del sistema, que se observa en el tiempo de establecimiento o

cuando la temperatura se hace constante.

CONCLUSIONES

- El sistema de la temperatura de un tanque descrito en este trabajo puede modelarse a

través de ecuaciones diferenciales ordinarias.

- El modelo puede ser resuelto por la utilización de las propiedades y el método de la

transformada de Laplace para esta ecuación, conduciendo a un resultado preciso y no

muy complicado.

- El sistema es un sistema estable, es decir, su respuesta es limitada para una salida

limitada.

- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y

comportamiento del sistema. Al incrementar el volumen del tanque o disminuir el

flujo de entrada al tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema.

- El incremento de la temperatura del flujo de entrada produce un incremento de la

temperatura a la salida del tanque (en caso de ser menor la temperatura del fluido en

el tanque) de manera que la respuesta de la temperatura de salida incrementa o

disminuye a fin de igualarse eventualmente con la temperatura de entrada a este.

DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DEL PROCESO DE UN GAS

Considérese un recipiente de gas. El recipiente actúa como amortiguador o tanque de

compensación de un proceso para el cual se desea que no haya cambios bruscos de presión. El

proceso del gas dentro del recipiente se supone a temperatura constante T y el flujo a trabes de la

válvula de salida se expresa mediante:

R

tptptqo

)()()( 2−=

Donde R es la resistencia al flujo en la válvula. Se tiene interés en conocer como

responde la presión dentro del tanque a los cambios en el flujo de entrada qi(t) y en la presión de

salida de la válvula, p2(t)

Haciendo el balance de materia en estado dinámico:

Masa que entra: ρqi(t)

Masa que sale: ρqo(t)

Acumulación de masa: dm(t)/dt

Lo que lleva a la siguiente ecuación diferencial:

dt

tdmtqtqi

)()()( 0 =− ρρ

Si la presión en el tanque es baja, entonces puede relacionarse la masa y la presión

a trabes de la ecuación del gas ideal:

)()( tmVM

TRtp g=

Donde Rg es la constante universal de los gases, V es el volumen del tanque y M

el peso molecular del gas.

Utilizando todo lo anterior, se puede entonces describir la ecuación diferencial

que describe el proceso:

q0(t) qi(t) p(t)

p2(t) R

dt

tdp

TR

VM

R

tptptq

gi

)()()()( 2 =−− ρρ

Esta ecuación diferencial se resolverá a través de la utilización de la transformada

de Laplace, para ello se procederá de la siguiente manera:

Planteando la ecuación del balance de materia en estado estacionario se obtiene

que

02 =−−R

ppqi ρρ

Al restar esta ecuación a la ecuación diferencial, y definiendo que:

222 )()(

)()(

)()(

ptptP

ptptP

qtqtQ ii

−=−=−=

Donde p2, qi y p son los valores de estado estacionario, sustituyendo y operando

se obtiene lo siguiente:

)()()()(

)()()()(

2

2

tPtKQtPdt

tdP

entonces

RK

TR

VMR

Sea

tPtRQtPdt

tdP

TR

VMR

g

g

+=+

=

=

+=+

τ

ρτ

ρ

Esta ecuación puede resolverse hallando la transformada de laplace según:

)()()()( 2 sPsKQsPssP +=+τ

Despejando P(s) se puede tener una expresión que depende de Q(s) y P2(s)

)(1

1)(

1)( 2 sP

ssQ

s

KsP

++

+=

ττ

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a τ, K, suponiendo que Q(t) es una función es una función escalón

que puede ser descrita como Q(t)=Q*u(t), cuya transformada de laplace es Q/s. Por

las definiciones, Q representa el incremento o decremento del valor respecto al estado

de equilibrio, de igual manera se supone que P2(t) es un escalón de la forma

P2(t)=P2*u(t) de transformada P2/s, en donde P2 es un valor de incremento o

decremento de la presión de la válvula. Cuando se considera el efecto de una de la

variables, la otra tiene incremento 0.

- Se planteará la ecuación de P(s)

- Se obtendrá la transformada inversa

- Se graficará el comportamiento de P(s) para selección de parámetros

- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero ya que se introdujeron

nuevas variables que reflejan la desviación del tanque del estado de equilibrio para la

presión en el tanque.

A continuación se halla la solución de la presión en el tanque para los siguientes

parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de Laplace.

- El sistema esta descrito por una ecuación diferencial que depende de dos funciones

independientes, o entradas, y al observar la ecuación diferencial obtenida, se observa

que la respuesta de la presión es la suma de las respuestas individuales a cada entrada.

- Un incremento en el flujo volumétrico a la entrada del tanque incrementa la presión

dentro del tanque, pero de manera suave, contrarrestando la brusquedad que puede

traer el flujo de entrada.

- Un incremento de la presión deseada de salida produce un incremento de la presión

dentro del tanque.

- El tanque responde a cualquier entrada a trabes de una relación con la constante τ, de

manera que, si se incrementa la resistencia (que tiene un efecto neto de incrementar el

τ) o una disminución de la temperatura o la presión (que tiene un efecto neto de

incrementar el τ), producen un enlentecimiento del sistema, es decir, que a mayor

valor de τ, mas lenta es la respuesta del sistema frente a las entradas.

- El sistema es estable, es decir, la solución de la ecuación diferencial produce una

salida continua en los números reales y sin asíntotas verticales. Esto es una

característica de los sistemas de primer orden.

- Se observa que la respuesta para entradas escalón se estabiliza o tiende a un valor

prefijado por la magnitud del escalón de la perturbación.

CONCLUSIONES

- El sistema es estable para entradas estables

- El sistema responde a dos entradas de manera lineal, es decir, su respuesta ante la

suma de dos entradas es la suma de su respuesta por separado a estas entradas

- La velocidad de respuesta del sistema esta relacionada directamente con el valor de τ,

lo que significa que los valores de τ son los que determinan que tan rápido o lento se

comportará la presión dentro del tanque. Para valores altos, el tiempo de respuesta es

lento. Si se disminuye el valor de τ, el sistema responde más rápido.

- Las respuestas del sistema a diferentes entradas se caracterizan por tener el

comportamiento de una respuesta de primer orden.

- La respuesta del tanque es de incremento-incremento: si se produce un incremento en

alguna de las entradas, la incrementará ajustada a la relación dada por τ.

- El método de la transformada de Laplace permite reconocer y resolver ecuaciones

diferenciales de manera sencilla y rápida.

- Es posible amortiguar el valor de la presión de una tubería por medio de la colocación

de un tanque como el descrito

DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE DOS TANQUES EN

SERIE

Se tienen dos tanques idénticos inicialmente vacíos con sección transversal A. En el instante t = 0

se vacía un caudal constante de valor Qi en el primer tanque, por lo que se produce un caudal

Qo1(t) en su salida, controlado por una resistencia lineal al flujo R=h1/Qo1 m/(m3/s). Este caudal

alimenta un segundo tanque en el cual se produce un caudal Qo2(t) en su salida, controlado por

una resistencia lineal al flujo R=h2/Qo2 m/(cm3/s) del mismo valor que la primera. Considerando

el flujo Qi(t) como la entrada y el flujo Qo2(t) como la salida.

Es evidente que este sistema consta de dos subsistemas con funcionamiento idéntico en cascada.

Qi (t)

h (t)1

h (t)2

Qo (t)1

Qo (t)2

R

R

Balance de masa para un tanque:

Acumulación de masa en el tanque = flujo de masa de entrada - flujo de masa de salida

Donde

Acumulación de masa en el tanque: )]([ tAhdt

d ρ

Flujo de masa de entrada: )(tQiρ

Cascada de dos tanques.

Flujo de masa de salida: )(1

)( thR

tQo ρρ = .

Al reemplazar estas expresiones en el balance de masa, se obtiene la ecuación diferencial que

describe el flujo de salida en cada uno de los tanques:

)(1

)(1)(

)(1

)(1)(

121

222

2

11

11

1

thAR

thARdt

tdh

tQA

thARdt

tdhi

=+

=+

.

Así, cada uno de los tanques se comporta como un sistema de primer orden.

Estas ecuaciones diferenciales se resolverán utilizando la transformada de laplace.

Puede hallarse la transformada de laplace para ambas, obteniéndose:

111

)(1)()(1

AR

sH

A

sQssH i −=

−=

2221

)(2)(1)(2

AR

sH

AR

sHssH

Se obtiene despejando que:

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a R1, R2, A1, A2, Qi, suponiendo que Qi(t) es una función escalón

que puede ser descrita como Qi(t)=Qi*u(t), cuya transformada de laplace es Qi/s

- Se plantearán las ecuaciones de H1(s) y H2(s)

- Se obtendrá la transformada inversa

- Se graficará el comportamiento de H1(s) y H2(s) para selección de parámetros

- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de ambos

tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de

condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la

grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta

se comporta de la misma manera.

A continuación se hallan las soluciones de los niveles en ambos tanques para los

siguientes parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de

Laplace.

La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o

forzamiento Qi(t)

De igual manera, para otro conjunto de parámetros se obtiene lo siguiente:

Hallando la transformada inversa

De igual manera que en caso anterior, se muestra la

grafica

1- Para el sistema, cuando el flujo a la entrada se comporta como un escalón, se obtienen

salidas estables, que conducen a un incremento del nivel del tanque, Esto sucede

porque el sistema debe alcanzar el equilibrio con el otro tanque al igualar

eventualmente el flujo que entra al tanque 1 con el que sale por la resistencia, ya que

el flujo que pasa al otro tanque es proporcional al nivel en el tanque 1.

2- Como puede observarse en las transformadas de laplace, la transformada inversa no

es infinita, es decir, que es una función continua para tiempos mayores que cero, y

tiende a estabilizarse cuando t crece, es decir, el sistema alcanza el estado

estacionario si cada tanque es lo suficientemente grande. Esto es propio de sistemas

estables, y por la función obtenida y la forma de la respuesta temporal puede decirse

que el sistema es subamortiguado, es decir, sin oscilaciones.

3- Como se puede observar, las funciones H1(s) y H2(s) son funciones racionales.

4- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del

líquido en ambos tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.

CONCLUSIONES

- El sistema de dos tanques descrito en este trabajo puede modelarse a través de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

- El sistema de dos tanques es un sistema estable

- El modelo de dos tanques en serie puede ser resuelto por la utilización de las

propiedades y el método de la transformada de Laplace.

- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y

comportamiento del sistema. Al incrementar cualquiera de las resistencias o aumentar

el área transversal del tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema a

cualquier entrada.

- El incremento del flujo de perturbación o entrada conduce a un incremento en el nivel

final o nivel de estado estacionario.

DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE DOS TANQUES ACOPLADOS

Considérese el siguiente sistema. Se tienen dos tanques acoplados por una

resistencia lineal al flujo de R1 cm/(cm3/s). En el instante t = 0 se vacía un caudal

constante de valor Qi en el primer tanque, por lo que se produce un caudal Qo1(t) en su

salida que alimenta el segundo tanque a través del acoplamiento R1. Se produce así un

caudal Qo2(t) en la salida del segundo tanque, controlado por una resistencia lineal al

flujo R2 cm/(cm3/s). En este sistema la entrada es el caudal de entrada Qi(t) y la salidas

son los niveles h1(t) y h2(t) de líquido en ambos tanques

Qi (t)

h (t)1 h (t)2

Qo (t)1 Qo (t)2

R1 R2

Balance de materia en el tanque 1:

Entrada: Qi(t)

Salida: Qo1(t)=1

)(2)(1

R

thth −

Acumulación de Volumen: dt

tdhA

dt

tdV )(1)(1

1 =

El balance de materia en el primer tanque es, por tanto:

111

)(2)(1)(

)(1

R

th

R

thtQ

dt

tdhA i +−=

Despejando se obtiene que:

11111

)(2)(1)()(1

AR

th

AR

th

A

tQ

dt

tdh i +−=

Balance de materia en el tanque 2:

Entrada: Qo1(t)= 1

)(2)(1

R

thth −

Salida: Qo2(t)=2

)(2

R

th

Acumulación de Volumen: dt

tdhA

dt

tdV )(2)(2

2 =

El balance de materia en el segundo tanque es, por tanto:

212

)(2)(2)(1)(2

R

th

R

thth

dt

tdhA +−=

Despejando:

+−=

222111

11)(2

)(1)(2

ARARth

AR

th

dt

tdh

Entonces, deben resolverse las dos ecuaciones diferenciales:

11111

)(2)(1)()(1

AR

th

AR

th

A

tQ

dt

tdh i +−=

+−=

222111

11)(2

)(1)(2

ARARth

AR

th

dt

tdh

Estas ecuaciones diferenciales se resolverán utilizando la transformada de laplace.

Puede hallarse la transformada de laplace para ambas, obteniéndose:

11111

)(2)(1)()(1

AR

sh

AR

sh

A

tQssH i +−=

+−=

222121

11)(2

)(1)(2

ARARsH

AR

sHssH

)(111

1)(2

221212

sH

RARAsRA

sH

++

=

Y con esto, sustituyendo en la ecuación transformada para H1(s) se obtiene que:

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a R1, R2, A1, A2, Qi, suponiendo que Qi(t) es una función escalón

que puede ser descrita como Qi(t)=Qi*u(t), cuya transformada de laplace es Qi/s

- Se plantearán las ecuaciones de H1(s) y H2(s)

- Se obtendrá la transformada inversa

- Se graficará el comportamiento de H1(s) y H2(s) para selección de parámetros

- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de ambos

tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de

condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la

grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta

se comporta de la misma manera.

Parámetros propuestos:

Las funciones H1(s) y H2(s)

Las transformadas inversas son:

La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o forzamiento

Qi(t)

Parámetros propuestos:

Las funciones H1(s) y H2(s)

H1(s)=

H2(s)=

Hallando la transformada de laplace inversa:

Igual que para el caso anterior, se muestra la gráfica

1- el sistema acoplado, para una entrada o perturbación escalón produce salidas estables,

que conducen a un incremento del nivel de ambos tanques. Esto tiene sentido pues el

sistema debe alcanzar el equilibrio con el otro tanque al igualar eventualmente el flujo

que entra al tanque 1.

2- se observa que las funciones H1(s) y H2(s) son funciones racionales cuyos

denominadores tienen mayor grado que el numerador.

3- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del

líquido en ambos tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.

CONCLUSIONES

- El sistema de dos tanques acoplados se puede representar a través de dos ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes.

- El modelo de dos tanques acoplados se puede resolver a través de la transformada de

Laplace.

- Al incrementar cualquiera de las resistencias o aumentar el área transversal del

tanque, se observa una respuesta mas lenta del sistema a cualquier entrada.

- El sistema de dos tanques acoplados es un sistema estable cuando la entrada es una

entrada limitada y continua.

- El comportamiento del sistema se estabiliza cuando el tiempo se hace muy grande

SISTEMA DE TRES TANQUES NO INTERACTIVOS

Se tienen tres tanques idénticos inicialmente vacíos con sección transversal A1, A2,

A3. En el instante t = 0 se vacía un caudal constante de valor Qi en el primer tanque, por

lo que se produce un caudal Qo1(t) en su salida, Este caudal alimenta un segundo tanque

en el cual se produce un caudal Qo2(t) en su salida, y de la misma manera al tercer tanque

considerando un flujo de salida del tercer tanque Qo3(t).

De la ley de Bernoulli, se sabe que el flujo de salida de un tanque, descrito como

se sugiere, a través de un orificio, es proporcional a la raíz cuadrada del nivel en el

tanque. Se procede a deducir las ecuaciones a través de un balance de materia para cada

tanque.

La ecuación del balance de masa para un tanque con las características propuestas

es:

Acumulación de masa en el tanque = flujo de masa de entrada - flujo de masa de salida

Donde

Acumulación de masa en el tanque: )]([ tAhdt

d ρ

Flujo de masa de entrada: )(tQiρ

Flujo de masa de salida: )(..)( thcvtQo ρρ = .

Al reemplazar estas expresiones en el balance de masa, se obtiene la ecuación diferencial

que describe el flujo de salida en cada uno de los tanques, y al suponer que la densidad es

constante, es decir, que el balance de masa es equivalente al balance de volumen, se

obtiene:

dt

tdhAthCvthCv

dt

tdhAthCvthCv

dt

tdhAthCvtqi

)(3)(3.3)(2.2

)(2)(2.2)(11

)(1)(1.1)(

3

2

=−

=−

=−

Que es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.

Estas ecuaciones diferenciales se linealizarán para tener un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales y se resolverán utilizando la transformada de laplace.

Una expresión de linealización para

xy =

Esta dada por:

2

1

2

1 +≅ xy

Para los valores de x cercanos a 1.

Véase la comparación de los comportamientos gráficos para esta aproximación

Con esto, las nuevas expresiones aproximadas para las ecuaciones diferenciales son:

Obteniendo la transformada de laplace de las expresiones anteriores

Y con esto, sustituyendo en cada expresión de nivel las ecuaciones de las otras

expresiones, se obtiene

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma:

- Se darán valores a cv, A1, A2, A3, Qi, suponiendo que Q(t) es una función escalón que

puede ser descrita como Q(t)=Q*u(t), cuya transformada de laplace es Q/s

- Se plantearán las ecuaciones de H1(s), H2(s), H3(s)

- Se obtendrá la transformada inversa

- Se graficará el comportamiento de H1(s), H2(s) y H3(s) para selección de parámetros

- Se considera que las condiciones iniciales son todas cero para los niveles de los

tanques, por la simplicidad que esto introduce en los cálculos, ya que la aparición de

condiciones iniciales diferentes de cero implican solamente un corrimiento de la

grafica hacia arriba (no tiene sentido que el nivel inicial sea negativo) y la respuesta

se comporta de la misma manera.

A continuación se hallan las soluciones de los niveles en los tanques para los siguientes

parámetros propuestos. Las soluciones se hallan a través de la transformada de Laplace.

La Gráfica de ambas funciones es la siguiente, para una función de entrada o

forzamiento Qi(t)

De igual manera, para otro conjunto de parámetros se obtiene lo

siguiente:

De igual manera que en caso anterior, se muestra la

grafica

1- cuando el flujo a la entrada se comporta como un escalón se obtienen incrementos de

los niveles de cada tanque hasta alcanzar el equilibrio, que se obtiene cuando el flujo

de entrada se iguala al flujo de salida, esto se debe a que el nivel de cada tanque no

puede aumentar infinitamente si se produce una salida que es proporcional a la altura

si la entrada es constante. Esto quiere decir que eventualmente se alcanzará un nivel

que producirá como salida el mismo valor de entrada de flujo en la parte superior, con

lo que se estabilizaría el sistema

2- Las expresiones de la transformada de laplace y de las soluciones analíticas obtenidas

muestran que las respuestas no son infinitas, es decir, que el sistema se estabilizará

cuando el tiempo se haga muy grande. Esto, de manera práctica, se observa en las

gráficas obtenidas en la resolución, ya que se observa como el comportamiento de la

respuesta de cada tanque tiende a un valor estable.

3- Como se puede observar, las funciones H1(s), H2(s) y H3(s) son funciones

racionales.

4- La representación del sistema de ecuaciones utilizando su contraparte escrita a través

de la aproximación para la raíz cuadrada muestra, debido a las comparaciones

gráficas de comportamiento y valores, ser una aproximación válida para el sistema,

que permite obtener sus propiedades utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales

lineales.

5- Al modelar el sistema de tres tanques, si se modifica el valor del flujo de alimentación

de su valor propuesto 1, la respuesta estimada a través de la aproximación se aleja de

la respuesta del sistema no aproximado, llegando a la estabilización a valores mas

bajos de nivel para cada tanque. Esto se debe a que la aproximación es optima cuando

los valores del nivel son cercanos a 1, a medida que el nivel se aleja del valor 1, las

respuestas de ambos modelos deben diferir.

6- Un incremento del flujo de entrada Qi produce un incremento del nivel final del

líquido en los tanques y una disminución del flujo conduce a lo contrario.

7- Un incremento de la constante CV del flujo tiene como resultado una disminución del

nivel final de cada tanque, ya que la cantidad de flujo que atraviesa la descarga se

incrementa pues es proporcional a esta. Una disminución de CV produce un

incremento del nivel final del tanque, por el mismo motivo

8- La respuesta del tanque 2 es mas lenta que la del tanque 1 ya que el segundo tanque

responde a una velocidad que es limitada por la respuesta del tanque anterior. Esto

indica que el tercer tanque debe ser el mas lento de todos en llegar a la estabilización,

lo cual es cierto como puede observarse en las gráficas.

CONCLUSIONES

- El sistema de tres tanques descrito puede modelarse a través de ecuaciones

diferenciales ordinarias.

- El sistema de tres tanques descrito en este trabajo puede aproximarse utilizando una

aproximación de la raíz cuadrada tal como es descrito en este trabajo.

- El sistema de ecuaciones diferenciales para los tres tanques obtenido a través de la

aproximación de la raíz cuadrada es un sistema de ecuaciones lineales de primer

orden.

- El sistema es estable.

- El modelo puede ser resuelto por la utilización de las propiedades y el método de la

transformada de Laplace.

- Los parámetros de la descripción y modelaje son importantes en el desarrollo y

comportamiento del sistema.

- El incremento del flujo de perturbación o entrada conduce a un incremento en el nivel

final o nivel de estado estacionario.