UNIDAD 3:

Variables Aleatorias Continuas

Modelos de Probabilidad

Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo.

Ejemplos, peso de una persona

tiempo de duración de un suceso

nivel de colesterol

% de contaminación

Para una variable aleatoria continua disponemos de un conjunto no numerable de valores.

No es posible definir una probabilidad para

cada uno. Por eso definimos la función densidad de probabilidad

Si el resultado de medir una longitud es 23 mm, todo lo que podemos afirmar es que la longitud real, no observable, está en el intervalo 22,5 mm a 23,5 mm.

Los modelos que describen variables aleatorias se basan en este principio.

Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1)( =∫∞

∞−

dxxf

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

)bxa(P ≤≤

dxxfb

a

)(∫=

a b

Función de densidad de probabilidad

Definición

Dada una variable aleatoria continua X se llama función de densidad de probabilidad de X a f(x) que satisface las siguientes condiciones:

a.- f(x) ≥ 0 para todo x

1)( =∫∞

∞−

dxxfb.-

∫∞−

ℜ∈∀=x

xdttfxF )()(

Diferenciando tenemos:

Definimos la función de distribución para la variable aleatoria continua como:

)()(

xfdx

xdF =

función densidad de probabilidad

Esperanza matemática o media ∫∞

∞−

= dx)x(fxμ

Varianza ( )∫∞

∞−

−= dx)x(fμxσ 22

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación a la teoría de los errores de observación astronómica y física .

Pierre Simon de Laplace(1749-1827)(1749-1827)

Pierre Simon de Laplace(1749-1827)(1749-1827)

Karl Gauss(1777-1855(1777-1855))

Karl Gauss(1777-1855(1777-1855))

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

Distribución normal o gaussiana

Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.

− ∞ + ∞µ , Mo, Mn

σ σµ - σ µ + σ

Características de la distribución Normal

• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas

(para x = ±∞ )

• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ

• Simétrica con respecto a la media (µ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )

Distribución normal con µ =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

σ=0.25σ=0.5σ=1

p(x)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

σ = 5 σ = 5

10=σ

Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar

N(μ, σ): Interpretación geométrica

La media se puede interpretar como un factor de traslación.

Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

N(μ, σ): Interpretación probabilística

Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.

Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

Función de distribución F (x)

π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

dvexFx v

∫∞−

−−=

dvb

a

2σ2

2μ)v(

eπ2σ

1)a(F)b(F)bXa(P ∫

−−=−=≤≤

¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!

¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?

Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal estándar o tipificada.

Se define una variable z = xx - - µµ

σσEs una traslación, y un cambio de escala de la

variable original.

La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1

La nueva variable z se distribuye como una

NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

zz

Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre : ± σ = 68 %

± 2σ = 95 %± 3σ = 99 %

68%

95%

Otras distribuciones de probabilidad: Distribución Chi cuadrado

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

12 gl

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

6 gl

Otras distribuciones de probabilidad:

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Distribución t de Student

Grados de libertad:

2, 5, 15

En rojo se muestra la normal estándar