TEMA 4- MODELOS CONTINUOS4.1. Introducción.

TEMA 4 MODELOS CONTINUOS

4.2. Distribución uniforme continua de parámetros a y b. ,X U a b

4.3. Distribución Gamma de parámetros y . Casos particulares:

,X

Casos particulares: 4.3.1.Distribución Exponencial.4 3 2 Di ib ió E l

X Exp

X 4.3.2.Distribución Erlang.4.4.Distribución de Pareto de parámetros y k. ,X P k

,X n

4.5. Distribución Normal de parámetros y .4 6 Teorema Central del Límite

,X N

4.6. Teorema Central del Límite.

4.1. IntroducciónEstudio de algunas variables aleatorias continuas que sirven como modelos en situaciones reales.D d d llDe cada una de ellas, vamos a ver:

1. Situaciones en las que se utiliza y definición.2 Distribución de probabilidad: función de densidad f2. Distribución de probabilidad: función de densidad, f.

Comprobación de que f es función de densidad. Gráficos. 0, ( ) 1f x f x dx

(Puede caracterizarse con la función de distribución, F)3. Medidas: media , , y varianza (formulario)

0, ( ) 1f x f x dx

( )x f x dx

4. Cálculo de probabilidades: integrando o mediante la función de distribución o tablas en algunos casos.

5 Ot i d d d ti id d f lt d i

b

aP a X b f x dx F b F a

5. Otras propiedades: reproductividad, falta de memoria, teoremas de aproximación, ...

4.2..- DISTRIBUCIÓN UNIFORME, U(a,b)DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución uniforme de parámetros a y b, , ,a b a b (notación: XU(a,b)) si X es una v.a. continua con densidad:

1 si a x b si( )

0 en el resto

a x bf x b a

• Comprobación de que es función de densidad: f(x) 0 y1( ) 1

b b af x dx dx

( ) 1a

f x dx dxb a b a

Gráfico de U(-1,2)

• SITUACIONES DE APLICACIÓN: Recoge la idea de máxima incertidumbre cuando se hacen mediciones en intervalos finitos (aincertidumbre cuando se hacen mediciones en intervalos finitos, (a, b). Matemáticamente esta idea se traduce en que para subintervaloscontenidos en (a, b) con la misma longitud, la probabilidad de todos ellos es la misma.

Ejemplo 1:X: Tiempo, en minutos, que se espera en la parada de un autobúsY: error que se comete al redondear un nº al entero más próximo

Suponiendo que XU(0,15), calcular la probabilidad de que una persona espere más de 10 minutos en la parada.

Á• CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades integramos la densidad en el intervalo correspondiente.

Ó Ó• FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obtenerla.0 si

x

x ax a

( ) ( ) si

1 si

x aF x f t dt a x bb a

x b

MEDIDAS• MEDIDAS:

21 1( )

2

bb

a

xE X x f x dx x dxb a b a

2 2

2

2 2 2

aab a b a

b a b ab a a bb a b a

222

2 2 2

12

b a b a

b aV X E X E X

12

Ejemplo 2: Para X: Tiempo, en minutos, que se espera en la parada de un autobús, calcular el tiempo medio de un usuario en la parada y la varianza de dicho tiempola parada y la varianza de dicho tiempo.

• REPRODUCTIVIDAD: Esta distribución NO es reproductiva• REPRODUCTIVIDAD: Esta distribución NO es reproductivarespecto de ninguno de los parámetros.

4.3.- DISTRIBUCIÓN GAMMA, ,X

DEFINICIÓN: Se dice que una v.a. X sigue una distribución GAMMA de parámetros α y β 0; GAMMA de parámetros α y β, si su función de densidad es:

, 0; ,

1 si 0

( )0 en el resto

xx e xf x

0 en el resto

Donde (función gamma) 1

0

, 0xe x dx

(Hay que saber demostrar que f(x) es función de densidad).Propiedades de la función gamma que usaremos:

1. 1 1 , 1

2. Si , 1 !n n n

,

3. 1/ 2

GRÁFICOS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,)

< 1 = 1 > 1 1 > 1

• α se llama parámetro de forma y parámetro de escala• α se llama parámetro de forma y parámetro de escala.

• Si α = 1, diremos que la variable tiene distribución EXPONENCIAL d á t βde parámetro β.

•Si , diremos que la variable tiene distribución ERLANG.n

SITUACIONES DONDE SE APLICA:SITUACIONES DONDE SE APLICA:

Esta distribución se utiliza para modelar una gran variedad deEsta distribución se utiliza para modelar una gran variedad de situaciones, sobre todo casos en los que hay asimetría a la derecha en los datos.

Ejemplos clásicos son: j p• datos de tipo económico (salarios, ventas, beneficios,

gastos…)• tiempo que transcurre hasta que ocurren uno o varios

sucesos de un mismo tipo o tiempo entre sucesos (fallos de i i d i i ll d d lisistemas, tiempos de servicio, llegadas de clientes a un

sistema,…)

MEDIDAS DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA(,)

(No es necesario saber hacer la demostración de E(X))

REPRODUCTIVIDAD DE LA GAMMA(,)

Observaciones: 1.-Esta distribución no es reproductiva respecto del parámetro .

2.- Para calcular probabilidades hay que integrar la función de densidad usando el método de partes. No hay tablas para la gamma.

Ej l 3 S X Ti t h tEjemplo 3: Sea X: Tiempo, en meses, que transcurre hasta que una pieza se rompe. Supongamos que

3 4X a) Escribir la función de densidad de X.b) C l l l b bilid d d l ti t

3, 4X

b) Calcular la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta que la pieza se rompe esté entre 2 y 5 meses.

c) Calcular el tiempo medio que transcurre hasta que la piezac) Calcular el tiempo medio que transcurre hasta que la pieza se rompe.

Ejemplo 4: Sean

variables independientes Estudiar la distribución de las , ,3, 4 3, 7 8, 7Y ZX

variables independientes. Estudiar la distribución de las variables X + Y e Y + Z.

4.3.1- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE PARÁMETRO

• Es un caso particular de la distribución gamma en que = 1.

•Notación: 1X Exp •Notación:

• Su densidad y sus principales medidas son: 1 1

1,X Exp

Demostrar f

00 0

xe xf x

x

2

1 1E X V X

,

CÁLCULO DE PROBABILIDADES P l l b bilid d

que f es densidad

• CÁLCULO DE PROBABILIDADES: Para calcular probabilidades integramos la densidad en el intervalo correspondiente o usamos la función de distribución que hay que saber obtener:función de distribución, que hay que saber obtener:

0 0x xF x f t dt

( )

•Ejemplo 5: Para X~Exp(2) escribir la función de densidad, calcular

1 0xF x f t dt

e x

( )

Ejemplo 5: Para X Exp(2) escribir la función de densidad, calcular P(2 < X < 5) y E[X].

Reproductividad de la distribución exponencial

Si X1, X2, ..., Xn son v.a. independientes exponenciales de parámetro entonces, entonces,

Y = X1+ X2+ ... +Xn

sigue una distribución gamma de parámetros = n y .

Ejemplo 6: Para las variables independientes:

Obtener, si es posible, la distribución de probabilidad de las

, , ,2 2 2 3Y Z HX Exp Exp Exp Exp

variables X + Y + Z y la de X + H.

PROPIEDAD DE FALTA DE MEMORIA DE LA Ó

La distribución exponencial es la única distribución continua que i i d i i i di ib ió i l

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

no tiene memoria, es decir, si X sigue una distribución exponencial parámetro , entonces

/ 0P X h X P X h h (demostrar) / , 0P X x h X x P X h h

Observación: El suceso que condiciona SIEMPRE tiene que ser

(demostrar)

del tipo X > x ó X ≥ x. El suceso del que hay que calcular la probabilidad puede ser: X > x+h, X ≥ x+h, X < x+h ó X ≤ x+h.

Ejemplo 7: Sea X~Exp(2) calcular, usando la regla de probabilidad condicionada y la propiedad de falta de memoria, las i i b bilid dsiguientes probabilidades.

7 / 3 11/ 5P X X y P X X Comprobar que coinciden.

4.4.- DISTRIBUCIÓNDE PARETO, P(,k)DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución de Pareto de parámetros y k, ,X P(,k), ; 0;k Pareto de parámetros y k, ,X P(,k),

si X es una v.a. continua con densidad:

; ;

1 si( )k x kf x x

• f es función de densidad: f(x) 0 y

0 en el resto

1 1k

k dx

f es función de densidad: f(x) 0 y • Gráfico de X P(=1.5,k=3)

1k x(Hacer

demostración)demostración)

• Para calcular probabilidades integramos la densidad en el• Para calcular probabilidades integramos la densidad en el intervalo correspondiente o usamos la función de distribución.

• FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obtenerlaFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: hay que saber obtenerla.

0

1

xx k

F x f t dt k k

( )

• MEDIDAS:1 x k

x

1

2

( ) , sólo es finita si 11k

k kE X x f x dx x dxx

2

2 , sólo existe para 22 1

kV X

Ejemplo 8: Sea X P(=1.5,k=3), escribir la función de densidad, calc lar la P(X>10) calc lar E[X] V(X) si es q e e istencalcular la P(X>10) y calcular E[X] y V(X) si es que existen.

• APLICACIÓN: Se utiliza en economía para trabajar con rentas i i id d k T bié d l i blsuperiores a cierta cantidad k. También para modelar variables

como el tamaño de los mensajes que circulan por Internet.• Esta distribución NO es reproductiva• Esta distribución NO es reproductiva.• Es INVARIANTE FRENTE A CAMBIOS DE ESCALA, es decir,

/ / 0P X a X b P X a s X b s a b s • Tiene la propiedad de COLA PESADA, es decir, decrece muy

lentamente cuando x crece comparándola con otras distribuciones

/ / , , 0P X a X b P X a s X b s a b s

lentamente cuando x crece comparándola con otras distribuciones del mismo tipo como por ejemplo, la exponencial.

Ejemplo 9: Sea XPareto (1 5 1)Ejemplo 9: Sea X Pareto (1.5, 1)a) Comprobar que

15 / 10 150 / 100P X X P X X b) Si Y Exp(1/3), comprobar que

15 / 10 150 / 100P X X P X X

4 6 29 31200 3.54 10 354 /10 y 200 1.11 10 111/10P X P Y

Ó4.5. DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(μ,σ)

• El modelo normal es adecuado para gran variedad de mediciones físicas (temperaturas, precipitaciones), intelectuales (test de inteligencia y aptitud), tamaños de partes físicas de animales y humanas (alturas, envergaduras,…)

• Estudiaremos el Teorema Central del Límite que qjustifica que la distribución normal sea la distribución más utilizada en la prácticap

DISTRIBUCIÓN NORMAL, N(μ,σ)

DEFINICIÓN: Diremos que X sigue una distribución de N l d á X N( ) i

, (μ, )

0Normal de parámetros μ y σ, XN(μ,σ), con , si X es una v.a. continua con densidad:

, 0

21

21 si2

x

f x e x

• f es función de densidad ya que f(x) 0 y

2 ( ) 1f x dx

De izq a derecha, μ = -1, 0, 1 Para μ = 0 y distintos valores de σ

•MEDIDAS: E(X) = μ y V(X) = σ2 (primer parámetro es ( ) μ y ( ) (p pla media de la variable y el segundo, la desviación típica)

Ejemplo 10: Si X~N(μ=2, σ =3), escribir su función de densidad y calcular su media y su varianza.y y

• REPRODUCTIVIDAD: Sean

variables aleatorias independientes y 1 1 1 2 2 2, , , ,..., , ,n n nX N X N X N

1 2, ,..., na a a p yEntonces, la variable tiene distribución normal:

1 1 2 2 ... n nY a X a X a X

2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... , ...n n n nY N a a a a a a

GENERAL: Para cualquier variable Y con distribución normal, SIEMPRE, el primer parámetro es E(Y) y el segundo parámetro es la desviación típica de Y.

Ejemplo 11: Sean X~N(μ=2, σ =3), Y~N(μ=3, σ =5) variables aleatorias independientes. Obtener la distribución de probabilidad de la variable Z = 2X – 4Y.

• Casos particulares de la propiedad de reproductividad:• Casos particulares de la propiedad de reproductividad: Si son independientes, entonces: 1 2, ,..., , ,nX X X N

1 2Variable aleatoria suma: 1. Si 1, 1,..., 1,na a a

1 21

... , .n

n ii

X X X X N n n

1

Variable aleatoria media muestra2.Si 1/ 1/ 1/

l:i

a n a n a n

1 2Si 1/ , 1/ ,..., 1/ ,

1n

n

a n a n a n

X X N

1

,ii

X X Nn n

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Diremos que X es una variable aleatoria con distribución N(0,1) si su densidad es:

2

21 si2

x

f x e x

2

•Tipificación: , 0,1XX N Y N

• CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA X ~ N(μ,σ):

PASO 1.- Se transforma la variable X en una variable Y con distribución N(0,1) mediante la tipificación.

PASO 2.- Se usan las tablas de la distribución N(0,1), donde se encuentran los valores de la función de distribución de la mismaencuentran los valores de la función de distribución de la misma.

TABLAS DE Z ~ N(0,1)

Las tablas de Z ~ N(0,1) dan una APROXIMACIÓN de

( )x

F x f t dt P X x

usando el método del trapecio compuesto.Ejemplo 12: Sea Z ~ N(0 1) CalcularEjemplo 12: Sea Z N(0,1). Calcular

1. 1.54 , 2 , 1.67P X P X P X

. . , , . 7

2. Encontrar a y b : 0.2946 0.20P X a y P X b

Ejemplo 13: Sea Y ~ N(2,3). Calcular 1 3.2P Y

4.6.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El Teorema Central del límite es un resultado que permite APROXIMAR l di t ib ió d i bl Y d fi idAPROXIMAR la distribución de variables Y definidas como suma de otras variables Xi, que sean independientes y todas con la misma distribucióncon la misma distribución.

es una variable aleatoria.Se l Vlama ARIABLE SUMAn

Y X

Estas variables tipo suma se dan siempre que una variable Y se

1

es una variable aleatoria.Se l Vlama ARIABLE SUMAii

Y X

p p qpuede entender como suma de muchos efectos independientes (Xi). Por ejemplo, Y:tiempo que un operario tarda en arreglar una avería es la “SUMA” de: formación, destreza, que lleve o no la pieza, tiempo hasta que localiza la avería,…

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE:

Sean X1, X2,..., Xn v.a. INDEPENDIENTES con la MISMA DISTRIBUCIÓN tal que E[Xi] = a y V(Xi) = b2 entonces:DISTRIBUCIÓN tal que E[Xi] a y V(Xi) b , entonces:

distribución aproxs ima ai dn

iX N na b n n ( :, ) 1

pii (, )

¿Cómo de grande debe de ser n? Depende de las¿Cómo de grande debe de ser n? Depende de las características de las variables Xi:

•si son discretas hacen falta más variables que si son•si son discretas hacen falta más variables que si son continuas.

i i ét i h f lt á i bl i•si son asimétricas hacen falta más variables que si son simétricas.

Como regla general se suele usar n 50 para variables continuas y n 100 para discretas pero depende mucho de la distribución de Xi.

OTRAS VERSIONES DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

n

X na 11 0 1 si es grande (tipificar)

ii

X naN n

b n

. ,

12. si es grande dividir entren

ibX X N a n n

n

, ( )1

es una variable aleatoria. Se MEDIA MUESTRALllamain n

X

( )

1

1

3 0 1 i d ( i ifi )

n

ii

X aX an N

13. 0 1 si es grande (tipificar)i X an N nb bn n

,

n n

USOS DEL T.C.L.USO 1.- Obtener la distribución APROXIMADA de variables del

tipo:

1 1

1ón n

i ii i

X X Xn

Observación: Hasta ahora hemos visto cómo obtener la distribución EXACTA de la variable aleatoria sumadistribución EXACTA de la variable aleatoria suma

1

n

ii

Xsolamente para distribuciones que tuviesen la propiedad de REPRODUCTIVIDAD.

1i

USO 2.- Aproximación de otras distribuciones, como por ejemplo, binomial y Poisson. Estas aproximaciones se usan para realizar ál l i d d di d d dcálculos aproximados cuando no se dispone de un ordenador.

Ejemplo 14 (USO 1): Sea X: temperatura, en grados, de un fluido, j p ( ) p , g , ,una variable con función de densidad:

1/ 2 1 0 1/ 2 1 0( ) 0 1

xf x x x

Se realizan 200 mediciones independientes de la temperatura de

0 resto

p pfluido en 200 días diferentes. Calcular:

a) La probabilidad de que la suma de las temperaturas sea mayor dea) La probabilidad de que la suma de las temperaturas sea mayor de 20 grados.

b) La probabilidad de que la temperatura media esté entre –0 05 yb) La probabilidad de que la temperatura media esté entre 0.05 y 0.1 grados.

USO 2: APROXIMACIÓN DE OTRAS DISTRIBUCIONES MEDIANTE T.C.L.

1. , , 30P N

1. , ,

2.

30

100, 0.1,0., , ) , 9(1

P N

Bin n p N np n n pp p

, ,, , ) ,(p p pp p

Observación: para los valores de los parámetros que se indican, las aproximaciones son buenas En otros casos podrían ser buenas o noaproximaciones son buenas. En otros casos, podrían ser buenas o no.Ejemplo 15 (USO 2): Sean X1, X2,..., X100 v.a. independientes

P(3). Calcular

100

1

310 siendo ii

P Y Y X

a) De forma exacta, usando Statgraphics.

1i

b) De forma aproximada con el Teorema Central del Límite.