Modelos Cosmologicos Interactuantes´ Fabiola Arevalo Reyes´ · Cosmolog´ıa en el contexto de...

Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralInteraccion Cosmologica Lineal

Interaccion no lineal

Modelos Cosmologicos Interactuantes

Fabiola Arevalo Reyes

FACULTAD DE FISICA Y MATEMATICAUniversidad de Concepcion

COSMOCONCE, 16 Marzo 2012

Fabiola Arevalo Reyes Modelos Cosmologicos Interactuantes



Contenidos

1 Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralRelatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica

2 Interaccion Cosmologica LinealAnsatz para la densidad de energıa

3 Interaccion no linealSistemas DinamicosAnsatz no lineal




Relatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica

Cosmologıa

Para modelar el Universo a gran escala consideramos que:

La teorıa de Relatividad General describe correctamente lainteraccion gravitacional

El Principio Cosmologico, isotropıa y homogeneidad, es valido aescalas suficientemente grandes.

El Contenido de materia del Universo es idealizado con el tensorde energıa-momentum relativista





Cosmologıa en el contexto de Relatividad General

Ecuacion de Campo de Einstein

Rµν −1

2R gµν = κTµν

gµν es la metrica, Rµν es el tensorde Ricci, R es el escalar de Ric-ci y Tµν es el tensor de energıa-momentum.

Principio Cosmologico

El Universo es isotropo y homogeneo. La metrica mas general que cumpleesto es la metrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

ds2 = dt2 − a(t)2

(dr2

1− kr2+ r2

(dθ2 + sin2 θdφ2

))a(t) es definido como el factor de escala, xi = (r, θ, φ) son las coordenadasespaciales y x0 = t es tiempo cosmico co-movil.





La materia es modelada como un fluido perfecto con el tensor Tµν

Tµν = (ρ(t) + P (t)) uµuν + P (t) gµν ,

donde ρ es la densidad de energıa, P es la presion.

Rµν −1

2R gµν︸︷︷︸

FRW

= Tµν︸︷︷︸FP

⇒

3

(k

a2+a2

a2

)= κρ

a2

a2+ 2

a

a+

k

a2= −κP

ρ+ 3a

a(ρ+ P ) = 0





FRW plano (k = 0) con dos fluidos

3H2 = κ (ρ1 + ρ2)

0 = ρ1 + ρ2 + 3H (ρ1 + ρ2 + p1 + p2)

! "#$ % & ! ' ( ) ) *+, -/.0 -1# 2! . % & ! ' ( 3 *4 - %. . % & ! ' ( ) ) ) *

5 6! % & ! ' ( *+78 ! '/. 9 - % & ! ' ( * (:; < * -0 9 % 2 % & ! ' ( ) *

; 7 2 & , % , ! . % & ! ' ( * 7 ' &= "! 2 % & ! ' ( ) *4 - %. . % & ! ' ( ) ) *> ?@< % , ' "# & & % , % & ! ' ( ) ) ) * (:; < *A! , , -/. % & ! ' ( *B "! 2# ' '! 6 % & ! ' ( * (:; < *+ 2 7C % & ! ' ( * (:; < *B. & - % , % & ! ' ( *D - 9 2! - & - . % & ! ' ( E *

@ 7 2 ,$ % & ! ' ( *4 - %. . % & ! ' ( E *B "! 2# ' '! 6 % & ! ' ( * (:; < *

; '1# . & % , : %! ,0 6 (: ; < *

p = ωρ

ΛCDM : pm = 0 y pΛ = −ρΛ

ρm + 3Hρm = 0 → ρm = ρm0a−3

ρΛ = 0 → ρΛ = ρΛ0

r =ρmρΛ

=ρm0

ρΛ0a−3 =

Ωm0

ΩΛ0a−3





¿Que se ha hecho?

Dos fluidos interactuantes

ρm + 3Hρm(1 + ωm) = +Q

ρx + 3Hρx(1 + ωx) = −Q



Interaccion no linealAnsatz para la densidad de energıa

Interaccion Cosmologica Lineal

En general se introduce el termi-no de interaccion Q(H, ρm, ρx), seelige un ansatz tal que haya solu-cion analıtica y se obtiene el ρtot.

Intentamos otro enfoque en este tra-bajo. Elegimos un ansatz para ladensidad de energıa de uno de losfluidos y estudiamos el sistema.

Ansatz para la densidad

ρ1 ≡ c1 aα + c2 aβ , (1)

con α, β, c1 y c2 constantes. Obtenemos:

ρ2(a) = Ca−3(1+ω2) − α+ 3(1 + ω1)

α+ 3(1 + ω2)C1 a

α − β + 3(1 + ω1)

β + 3(1 + ω2)C2 a

β




Al ansatz (1) se pueden asociar lassiguientes interacciones:

Q ∼ Hρ1

Q ∼ Hρ2

Q ∼ H(ρ1 + ρ2)

Q ∼ Hρ1 +Hρ2

Consideramos un fluido sin presion ω2 = 0 y otro con ecuacion de estadoω1 < −1/3. La ecuacion de Friedmann para este caso es:

3H2 = −3ω1C1(α, β, ω1)

3 + αaα − 3ω1

C2(α, β, ω1)

3 + βaβ + ρm0 a

−3




Se grafica α vs β para datosUnion 1 (izquierda) y α vs ω1

para Union 2 (derecha)

Se grafica ω1 vs α (izquierda) yω1 vs β para el set de datos H0

El ansatz de la densidad como potencias de a describe lainteraccion como una C.L. de las densidades

Se obtienen modelos FRW con r variable y parametrosconsistentes con conjuntos de datos del Universo tardıo




Sistemas DinamicosAnsatz no lineal

Interaccion No lineal

Nos enfocamos en el parametro de coincidencia para materia oscura (presionnula) y energıa oscura (ωx < −1/3) interactuante.Reescribimos el sistema en ρ = ρc + ρx, r = ρc

ρxy Q = −3HΠ

Dos fluidos interactuantes

ρc + 3Hρc = +Q

ρx + 3Hρx(1 + ωx) = −Q

⇒ρ′ = −

(1 +

w

1 + r

)ρ

r′ = r

[w − (1 + r)

2

rρΠ

]

Diferentes elecciones de Π nos llevan a 6= escenarios. El objetivo es estudiarel destino final de estos escenarios al encontrar los puntos crıticos y describirsus propiedades.

¿existen puntos crıticos estables con una valor positivo de r?





Son Puntos Crıticos (ρc, rc)los valores que anulensimultaneamente r′ y ρ′,considerando Πc constanteevaluada en (ρc, rc).

⇒0 = −

(1 +

w

1 + r

)ρ

0 = r

[w − (1 + r)

2

rρΠ

]

El primer punto es: (ρc, rc) =

(− w

1 + wΠc,−1− w

)Para valores positivos de rc, se requiere un parametro de estado w < −1.Para ρc > 0 se requiere que Πc < 0.

Tambien puede ser ρc = 0 con cualquier rc talque Πc = 0, tal que ambas densidades escalande la misma forma mientras tienden a 0.

(ρc, rc) = (0, cte)





Para estudiar el sistema, construimos el jacobiano para las variables (r, ρ).Las derivadas de las ecuaciones (r′, ρ′) evaluadas en punto crıtico (rc, ρc)son∂P

∂r|c≡ Prc = − (2 + w) + w (1 + w)

∂rΠ

Π,

∂S

∂r|c≡ Sr = − Π

1 + w,

∂P

∂ρ|c≡ Pρc =

1 + w

Π[1 + w + w∂ρΠ] ,

∂S

∂ρ|c≡ Sρ = 0 .

donde ∂rΠ ≡ ∂Π∂r y ∂ρΠ ≡ ∂Π

∂ρ . Luego el autovalor evaluado en ese puntocrıtico es:

para clasificarlos definimos α, β tal que λ± = α±√β. Autovalores solo

imaginarios tienen comportamiento tipo centro

α = 0 −→ ∂rΠ

Π=

2 + w

w(1 + w)−→ β = −4(1 + w + w∂ρΠ)





Podemos expresar las componentes ρm y ρx en funcion de las variables ρ y rde la forma:

ρm =r

1 + rρ y ρx =

1

1 + rρ

Q (ρm, ρx) Hρm Hρε ρm/H ρερm ραε ρβm

Q (ρ, r) r ρ3/2

(1+r)ρ3

(1+r) r ρ−1/2

(1+r) r ρ2

(1+r)2 rα ρα+β

(1+r)α+β

Postulamos el ansatz no lineal:

Π(ρ, r) = −γρmrn (1 + r)s r′ = r

[w + γρm−1rn−1 (1 + r)

s−2]

Se tiene dos ecuaciones diferenciales con una funcion desconocida. Ahoratenemos un sistema dinamico autonomo con 6 parametros (ρ0, γ, ω, n,m, s)para contrastar con datos observacionales.

Estudiamos en particular los parametros m,n, s.Fabiola Arevalo Reyes Modelos Cosmologicos Interactuantes




El caso mas simple es con (m,n, s)=(1,1,-2), es decir Q = 3Hγ ρmρxρ

r′ = r [w + γ] → r = r0 a3(w+γ) → ρ = ρ0 a

−3(1+w)

[1 + r0a

3(w+γ)

1 + r0

] ww+γ

El caso (m,n, s)=(1,0,-2), es Q = 3Hρ2x/ρ. La ecuacion r′ = r(w + γ

r )

r =(r0 +

γ

w

)a3w− γ

w→ ρ = ρ0a

−3(

1+ w2

w−γ

) [w − γ + (wr0 + γ) a3w

(1 + r0)w

] ww−γ





Para los casos no analıticos, usamos sistemas dinamicos. Considerando elansatz los autovalores son

Y solo dependen de parametros constantes. Excluimos los casos con m = 1.Para m < 1 existe un comportamiento tipo silla para todo n y s, y param > 1 tenemos la clasificacion general descrita en la tabla.

Atractor s < −2+(1+n)w1+w − 2

√1−m1+w

Inestable s > −2+(1+n)w1+w + 2

√1−m1+w

centro 2 + s+ (1 + n+ s)w = 0, n > 1

Foco Estable 2 + s+ (1 + n+ s)w > 0

Foco Inestable 2 + s+ (1 + n+ s)w < 0





Se grafican algunos ejemplos del espacio de fase (r, ρ) de interacciones nolineales.





Se realizaron estudios numericos de las algunas de las interacciones. Enparticular se eligio una interaccion que tuviese un punto crıtico estable con(m,n, s) = ( 3

2 ,12 ,−1), Q = H2γ

√ρmρx.





Conclusiones

Existen dos valores crıticos rc yρc finitos y positivos para (r, ρ).Uno de ellos requiere w < −1 yuna transferencia de energıaoscura a materia oscura Πc < 0.

Basado en el analisis de sistema dinamico para el ansatz identificamosatractores, focos estables y centros como configuracion lımite de ladinamica cosmologica. Todos estos modelos tienen necesariamentem > 1 y con ello hemos establecido un modelo cosmologico viable eninteracciones no lineales.





Gracias por su atencion!!

M. Cataldo, F. Arevalo and P. Minning, JCAP 1002 (2010) 024“On a class of scaling FRW cosmological models”arXiv:1002.3415 [astro-ph.CO]

F. Arevalo, A. P. R. Bacalhau and W. Zimdahl,“Cosmological dynamics with non-linear interactions”arXiv:1112.5095 [astro-ph.CO]


Modelos Cosmologicos Interactuantes´ Fabiola Arevalo Reyes´ · Cosmolog´ıa en el contexto de...

Documents

Transcript of Modelos Cosmologicos Interactuantes´ Fabiola Arevalo Reyes´ · Cosmolog´ıa en el contexto de...