ModelosCualitativos

EduardoMorales,

Enrique Sucar

Introduccion

QSIM

Simulacion

Algoritmo

Modelos Cualitativos

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Introduccion

QSIM

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Contenido

1 Introduccion

2 QSIM

3 Simulacion

4 Algoritmo

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QSIM

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Modelos Cualitativos y QSIM

• Conocimiento superficial vs. profundo.• Normalmente los SE tienen conocimiento superficial en

forma de reglas de produccion.• El conocimiento superficial representa conocimiento

que puede utilizarse en situaciones especıficas, endonde las conclusiones se derivan directamente de lasobservaciones, e.g.,

IF el tanque esta vacioThen el coche no arranca

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Modelos Cualitativos y QSIM

• Un sistema fısico puede describirse en terminos de suscomponentes y conecciones.

• La motivacion es capturar conocimiento de sentidocomun de los expertos.

• El conocimiento profundo se refiere a las estructurasinternas y causales de un sistema y considera lasinteracciones entre sus componentes.

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Modelos Cualitativos y QSIM

• Una forma de representar conocimiento profundo espor medio de modelos cualitativos.

• Normalmente se hace una simulacion cualitativa.• Surgio al tratar de resolver problemas de ingenierıa y

dandose cuenta que simuladores mas grandes omejores resolvedores de ecuaciones no resolveriantotalmente el problema.

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

Introduccion

Modelos Cualitativos y QSIM

Sistema - ComportamientoFısico Real

? ?Ecuaciones solucion numerica - fi : R∗ → R

Diferenciales o analıtica

? ?Restricciones simulacion - Descripcion delCualitativas cualitativa Comportamiento

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Algoritmo

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Modelos Cualitativos y QSIM

• Un modelo cualitativo consiste en un conjunto devariables de estado (o parametros) del sistema y unconjunto de restricciones que relacionan las variables.

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

Introduccion

Modelos Cualitativos y QSIM

Restricciones Valores Corresp. VariablesCantA + CantB = Total CantA (0 AMax∞)PresA = M+(CantA) (0 0) (∞∞) CantB (o BMax∞)PresB = M+(CantB) (0 0) (∞∞) PresA (0∞)PresA - PresB = ∆PAB PresB (0∞)flujoA−>B = M+(∆PAB) (−∞−∞) ∆PAB (-∞ 0∞)

(0 0)(∞∞)d CantB/dt = flujoA−>B flujoA−>B (-∞ 0∞)d CantA/dt = - flujoA−>B Total (0∞)

Dada una descripcion inicial queremos predecir elcomportamiento.

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Variables Cualitativas

Operan sobre funciones razonables. Si [a,b] ⊆ R∗, lafuncion f : [a,b]→ R∗ es una funcion razonable sobre [a,b]si:

1 f es continua es [a,b]

2 f es continuamente diferenciable en (a,b)

3 f tiene un numero finito de puntos de infleccion(crıticos) en cualquier intervalo cerrado

4 existen los lımites limt→af ′(t) = f ′(a) ylimt→bf ′(t) = f ′(b)

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Espacios Cualitativos - ValoresCaracterısticos

• El espacio cualitativo esta definido por un conjunto desımbolos totalmente ordenado (valores landmark(caracterısticos))

l1 < l2 < . . . < lk

• Cada landmark es un nombre simbolico de un valorparticular cuyo valor actual no se conoce. Por default:(−∞,0,∞)

• Se debe de incluir un valor landmark por cada punto deinfleccion (i.e., f ′(t) = 0), por lo que durante lasimulacion a veces es posible crear nuevos landmarks.

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Restricciones Cualitativos

• Las restricciones representan versiones cualitativas deoperaciones matematicas comunes, tales como suma,multiplicacion y diferenciacion, y permiten mapeardirectamente una gran cantidad de ecuacionesdiferenciales.

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QSIM

Simulacion

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QSIM

QSIM

• QSIM es un sistema para simulacion cualitativadesarrollado por B. Kuipers y otros

• Dado un conjunto incompleto de estados de variables yun conjunto de restricciones, QSIM determina todos losposibles estados que son consistentes con lasrestricciones.

• El estado cualitativo de un variable es una lista con suvalor cualitativo (en o entre valores caracterısticos) y laderivada cualitativa: aumentando (inc), decreciendo(dec) o constante (std).

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Estado Cualitativo

Defn: Sean l1 < . . . < lk los valores caracterısticos def : [a,b]→ R∗, para cualquier t ∈ [a,b]. Un estadocualitativo de f en t , QS(f , t), en un par <qval,qdir> definidocomo:

qval =

{lj if f (t) = lj ; un landmark(lj , lj+1) if f (t) ∈ (lj , lj+1)

qdir =

inc if f ′(t) > 0std if f ′(t) = 0dec if f ′(t) < 0

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QSIM

Simulacion

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QSIM

Estado Cualitativo

• A pesar de que esta definido continuamente, ladescripcion se hace en puntos discretos.

• Entre puntos distinguibles ti y ti+1 podemos definir unvalor cualitativo QS(f , ti , ti+1) para todo el tiempo entreti y ti+1.

• Si un sistema, es un conjunto F = {f1, . . . , fm} defunciones fi : [a,b]→ R∗, el comportamiento cualitativode un sistema se describe como una secuencia deestados de la forma:

QS(F , t0),QS(F , t0, t1),QS(F , t1), . . . ,QS(F , tn−1, tn),QS(F , tn)

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QSIM

Restricciones Cualitativas

• El estado cualitativo se expresa en terminos de losvalores de las variables. Las relaciones entre lasvariables esta dado por las restricciones cualitativas:suma, mult, menos, deriv, M+, M− y constante.

• Dada cualquier ODE (ecuaciones diferencialesordinarias), estan las podemos traducir a su equivalenteQDE (ecuaciones diferenciales cualitativas), pero unaQDE puede mapear a un numero infinito de ODE.

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QSIM

Ejemplo

d2u/dt − du/dt + arctanku = 0

f1 = du/dt deriv(u, f1)f2 = df1/dt deriv(f1, f2)f3 = ku mult(k ,u, f3)f4 = arctanf3 M+(f3, f4)f2 − f1 + f4 = 0 suma(f2, f4, f1)

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QSIM

Valores Correspondientes

Los valores correspondientes son tuplas de valoreslandmark que pueden tomar las variables en un tiempodeterminado (e.g.,M+(x , y), [(0,0)]).[V ] = el signo de V

[V ]0 = signo(V )

[+] if V > 0[0] if V = 0[–] if V < 0

[V ]V0 = signo(V − V0)

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QSIM

Restricciones

SUMA: suma(x , y , z)[(x1, y1, z1), ...] (corresponding values)1 [X ] + [Y ] = [Z ]

suma [+] [0] [-][+] [+] [+] [+]/[0]/[-][0] [+] [0] [-][−] [+]/[0]/[-] [-] [-]

2 [X ]xi + [Y]yi = [Z]zi

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

QSIM

Restricciones

MULT: mult(x , y , z)[(x1, y1, z1), ...]

1 [X ]0[Y ]0 = [Z ]0mult [+] [0] [-][+] [+] [0] [-][0] [0] [0] [0][−] [-] [0] [+]

2 [Y ]0[X ] + [X ]0[Y ] = [Z ]

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

QSIM

Restricciones

MENOS:1 [X ] = −[Y ]

2 [X ]xi = −[Y ]yi

3 Valores correspondientes: (0 0), (-∞,∞), (∞, -∞)

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

QSIM

Restricciones

M+: Monotonicamente creciente1 [X ] = [Y ]

2 [X ]xi = [Y ]yi

M−: Monotonicamente decreciente1 [X ] = −[Y ]

2 [X ]xi = −[Y ]yi

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

QSIM

Restricciones

DERIV1 [X ] = [Y ]0

CONSTANT1 [X ] = 02 [X ]a = 0

• Tambien pueden existir para operaciones de muchasvariables.

• Se pueden combinar los landmark con valorescuantitativos para tener mas informacion

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QSIM

Manejo de restricciones

• Propagacion de restricciones: Es eficiente, local,pero no siempre exitosa

• Propagar descripciones cualitativas entre variables atraves de restricciones, e.g., si M+(x , y) y[x ]∗ = [+] => [y ]∗ = [+], si suma(x , y , z) y [x ]0 = [+] y[z]0 = [−] => [y ]0 = [−].

• Ejemplo, en el caso de tubo-U, dada la descripcioninicial de Tanque A lleno y Tanque B vacıo (CantA =AMax y CantB = 0), podemos propagar para conocerlos otros valores de las otras variables.

• Satisfaccion de restricciones: encuentra todas lassoluciones, pero es computacionalmente caro.

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Simulacion

Simulacion

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Simulacion

Algoritmo

Simulacion

Simulacion

Tabla de transiciones de estados desde un punto:

Trans-P QS(f , ti) ⇒ QS(f , ti , ti+1)

P1 < lj , std > < lj , std >P2 < lj , std > < (lj , lj+1), inc >P3 < lj , std > < (lj−1, lj),dec >P4 < lj , inc > < (lj , lj+1), inc >P5 < (lj , lj+1), inc > < (lj , lj+1), inc >P6 < lj ,dec > < (lj−1, lj),dec >P7 < (lj , lj+1),dec > < (lj , lj+1),dec >

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QSIM

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Algoritmo

Simulacion

Simulacion

Tabla de transiciones de estados desde un intervalo:

Trans-I QS(f , ti , ti+1) ⇒ QS(f , ti+1)

I1 < lj , std > < lj , std >I2 < (lj , lj+1), inc > < lj+1, std >I3 < (lj , lj+1), inc > < lj+1, inc >I4 < (lj , lj+1), inc > < (lj , lj+1), inc >I5 < (lj , lj+1),dec > < lj , std >I6 < (lj , lj+1),dec > < lj ,dec >I7 < (lj , lj+1),dec > < (lj , lj+1),dec >I8 < (lj , lj+1), inc > < l∗, std >I9 < (lj , lj+1),dec > < l∗, std >

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SimulacionEntrada:

1 Un conjunto de {f1, . . . , fm} de sımbolos representandofunciones en el sistema

2 Un conjunto de restricciones aplicadas a los sımbolosfuncionales: ADD(f ,g,h), MULT (f ,g,h), MINUS(f ,g),DERIV (f ,g), M+(f ,g), M−(f ,g). Cada una puede tenerrelacionada valores correspondientes

3 Cada funcion esta asociada con un conjunto ordenadode sımbolos, representando valores caracterısticos(cada funcion tiene por los menos el conjunto:{−∞,0,+∞})

4 Cada funcion puede tener asociada lımites superiores einferiores (valores caracterısticos donde lasrestricciones ya no aplican)

5 Un punto temporal inicial, t0, y los valores cualitativospara cada de las fi en t0

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Simulacion

Salida: una o mas descripciones cualitativas para lasfunciones dadas. Cada descripcion tiene:

1 Una secuencia {t0, . . . , tn} de sımbolos, representandolos puntos temporales

2 Cada funcion fi tiene un conjunto totalmente ordenadode valores caracterısitcos, posiblemente mayor que eloriginal

3 Cada funcion tiene una descripcion cualitativa en cadapunto temporal o intervalo entre puntos temporales

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Algoritmo

Coloca en ACTIVOS el estado inicial.REPEAT Until ACTIVOS = vacıo o Tiempo ≥ tiempo lımite.

1 Selecciona un estado cualitativo de ACTIVOS2 Para cada funcion determina sus posibles transiciones

(usando la tabla)3 Para cada restriccion, genera un conjunto de tuples y

filtra de acuerdo a consistencia4 Realiza filtrado de consistencia entre conjuntos de

tuples (transiciones adyacentes deben de concordarcon las transiciones de los parametros comunes)

5 Genera todas las intepretaciones globales6 Aplica filtros globales y anade los estados restantes a

ACTIVOS

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Filtros

1 No cambio2 Valores infinitos3 Reconocer estado estable (quiescent)4 Nuevos landmarks5 Nuevos valores correspondientes en puntos temporales6 Aparear estados e identificar ciclos7 Propagar inconsistencias hacia atras8 Regiones de transicion

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Ejemplo: Tiro vertical

Restricciones: deriv(Y ,V ),deriv(V ,A),A(t) = gEstado Inicial:QS(A, t0, t1) =< g, std >QS(V , t0, t1) =< (0,∞),dec >QS(Y , t0, t1) =< (0,∞), inc >

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Ejemplo: Tiro vertical

A I1: < g, std > =>< g, std >

V I5: < (0,∞),dec > =>< 0, std >I6: < (0,∞),dec > =>< 0,dec >I7: < (0,∞),dec > =>< (0,∞),dec >I9: < (0,∞),dec > =>< L∗, std >

Y I4: < (0,∞), inc > =>< (0,∞), inc >I8: < (0,∞), inc > =>< L∗, std >

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QSIM

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Ejemplo: Tiro vertical

deriv(Y,V) deriv(V,A)(I4,I5) c (I5,I1) c(I4,I6) c (I6,I1)(I4,I7) (I7,I1)(I4,I9) w (I9,I1) c(I8,I5) w(I8,I6)(I8,I7) c(I8,I9) c

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QSIM

Simulacion

Algoritmo

Algoritmo

Ejemplo: Tiro vertical

Y V AI4 I7 I1I8 I6 I1

QS(A, t1) =< g, std >QS(V , t1) =< 0,dec >QS(Y , t1) =< Ymax , std >

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QSIM

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Ejemplo: Tanque

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Modelos Cualitativos y QSIM

• Se puede demostrar que QSIM garantiza incluir todoslos comportamientos que exhiben las ecuacionesdiferenciales originales (sound), pero no garantizaincluir solo esas (no complete) y normalmente generacomportamientos que no representan realidadesfısicas.

• Uno de los problemas es ambiguedad en la derivada deexpresiones complejas. Por ejemplo: z = xy, x = inc, y =dec, entonces z = inc, dec o std.

• Las derivadas solo estan restringidas porconsideraciones de continuidad y no por valorescaracterısticos.

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Modelos Cualitativos y QSIM

Posibles soluciones (Kuipers y Chiu ’87)• Ignorar la direccion de cambio de una variable (Kuipers

y Chiu ’87)• Restricciones de “curvatura” cuando la derivada de una

variable es cero para validar o refutar las curvaturaspropuestas por QSIM (Kuipers y Chiu ’87)

• Restricciones en las trayectorias de las variables en elplano de la fase (NIC: Non-Intersection of phase-spaceConstraint) (Lee y Kuipers ’88, Struss ’88)

• Incorporacion de conocimiento cuantitativo• Abstracciones de comportamientos en uno solo• Derivadas de alto orden

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