U. de Chile / Apuntes de Dendrometra / Modelos de Crecimiento 1

Autores: Patricio Corvaln Vera Jaime Hernndez Palma

2.4. Modelos de crecimiento

2.4.1 Introduccin Todo ser vivo nace, crece, se desarrolla y muere. Este ciclo vital est condicionado por una gran variedad de factores: genticos, suelo, competencia local por factores del sitio, clima etc. Independientemente de ello, en forma intrnseca existe un patrn comn en el desarrollo en el tamao de todos los seres vivos. A modo de ejemplo se ilustra en las siguientes imgenes el desarrollo de las curvas de crecimiento recogidas del texto Medicin Forestal de Schumacher.

En particular los rboles presentan un crecimiento anual corriente inicial bajo debido a que est formando sus estructuras bsicas: fuste, ramas, races etc. Este crecimiento aumenta progresivamente hasta alcanza tasas mximas de crecimiento una vez que se ha alcanzado el desarrollo completo de las estructuras bsicas. Durante ese tiempo el rbol se desarrolla a ritmos constantes luego declinar y llegar a ser prcticamente nulas. Todas las variables: Altura total, DAP y Volumen desarrollan el mismo tipo de crecimiento, difiriendo slo en que la Altura total y el DAP alcanzan su mximo crecimiento corriente a edades muy tempranas lo cual ocurre con el Volumen a edades mucho mayores.

Todas las curvas de tamao vs. edad tienen una forma de S, como se muestra en el grfico del lado derecho, situacin que a nivel de crecimientos anuales corrientes tienen forma de curvas normales unimodales y sesgadas. Esta forma tpica se logra en rboles en condiciones normales de crecimiento libre, esto es sin efectos climticos ni de competencia serios.

Los rboles sujetos a grandes variaciones climticas y de competencia tendern a formar alteraciones de esta curva con mximos y mnimos locales variables. En general el crecimiento anual medio se entrecruza con la curva de crecimiento anual corriente en su punto mximo. Esto suele ocurrir varias veces cuando el rbol est sujeto a variaciones de crecimiento diametral por efecto de competencia con los vecinos. En general la curva ms estable es la de crecimiento en altura total, ya que depende del sitio y del clima fundamentalmente y est mucho menos afectado por el crecimiento lateral, -en las condiciones de crecimiento libre-. En cambio el dimetro no slo est afectado por stas variables sino tambin por la competencia. El volumen est menos afectado por cuanto depende de las dos anteriores ms sus cambios en la forma fustal, - el cambio - en dimetros superiores, los cuales a su vez tambin son afectados por los procesos de competencia. La poda y el raleo afectan fuertemente los cambios de forma y por ende en el volumen.

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)1

1()1( mtkcbAV =

kbt ln=

mmAV = 11

maxk

mLn

11

2.4.2. Los modelos tradicionales An cuando se ha desarrollado una extensa investigacin y reportes sobre modelos que presenten razonablemente bien este fenmeno, se presentar a continuacin los ms utilizados tradicionalmente, y que han probado funcionar correctamente en la modelacin dendromtrica. a) El modelo de Chapman-Richards Donde: A,b,k,m : parmetros

V : variable de tamao t : edad

Los parmetros tienen el siguiente significado biolgico

A es una constante y representa la asntota de la variable, esto es el tamao mximo (V) que el rbol puede alcanzar en el tiempo .

b es una constante donde se cumple la relacin :

esto es el momento t en el cual V comienza a tener valores positivos

k es una constante conocida como tasa constante de crecimiento, la cual determina la amplitud de la curva sobre el eje del tiempo.

m es una constante que define la mxima tasa de crecimiento, se cumple que:

con solucin en t igual a La funcin V tiene su mxima tasa de crecimiento numrica (Vmax) en esta condicin. Esta funcin ha sido reportada como una de las ms adecuadas en la literatura para definir los fenmenos de crecimiento. Tiene las siguientes propiedades:

permite fijar una edad mnima a la cual V tiene valores positivos admite varios cambios de pendiente es asinttico no es estrictamente simtrico ni en sus concavidades ni en el desarrollo en el punto de

mximo crecimiento Estas caractersticas son muy apropiadas para representar el desarrollo de todas las variables de importancia en el crecimiento de un rbol. Una pequea limitacin en es la forma no lineal que presenta la funcin. Para realizar estimaciones iniciales de los parmetros - condicin bsica para el comienzo de iteraciones en bsqueda de un mnimo cuadrtico se puede realizar sta mediante inspecciones grficas de la funcin:

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xbaky =*

abky x logloglog * +=

xbaky

+=*1

xbaky +=*

xbaky +=*

xbaky +=*

A se estima a partir de informacin prctica , ya sea mediante observacin del fenmeno o

con informacin de expertos, m se encuentra por iteraciones en la condicin de Vmax, k se despeja de la condicin en que V tiene valor 0 y, b se despeja de la condicin de t donde se encuentra Vmax

b) Series cronolgicas Existen varios modelos que tienen o se ajustan a la forma de desarrollo en series. En realidad el crecimiento de un rbol es una serie donde el rbol aumenta anualmente de tamao. Los modelos que se presentan a continuacin tiene directa o indirectamente la forma de la expresin:

b.1) Exponencial modificada

Donde: k, a, b : parmetros de la serie y* : variable de tamao x : valor de la serie

Esta ecuacin se trata de una curva exponencial con cambio en el origen. El parmetro k representa una asntota; a es la diferencia entre la asntota y el valor de y* cuando x=0; b es la relacin constante entre incrementos sucesivos.

b.2) Curva de Gompertz

Este modelo corresponde al de la exponencial modificada slo que en trminos del logaritmo de y* Lase nuevamente A diferencia del modelo exponencial modificado aqu lo que cambia es la tasa constante de cambio entre los incrementos de logaritmos de la funcin.

b.3) Curva logstica

Ac la transformacin del modelo exponencial modificado es el recproco de la variable y*, lo cual es equivalente a escribir: Donde b es el incremento constante entre los recprocos de la variable y*.

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=

=

=

=

=

=

=

+=

+=

+=

=

=++++

++++++++=

++++++++=

++++++=

++

++

)1(1

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11...1

)(...)()()(

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11

2112

1

2

12

23

23

12

23

2

1

12

13221223

12212

121

n

nn

n

nn

n

n

n

nn

nnnn

nnnn

n

bdS

nk

bbd

SbSSa

dd

SSSSb

SabbSSSabSS

SabnkSSabnkS

SankS

Sbbbbb

abkabkabkabkSabkabkabkabkS

abkabkakS

c) Ajuste de parmetros de series Para ajustar los parmetros (3) se debe contar con un sistema de tres ecuaciones para su solucin cerrada. Se toma la serie de tiempo haciendo que el ao de inicio sea x=0 y la variable T (Dap, H, etc.) sea y. Luego se separa la serie en 3 grupos de datos de igual cantidad (n) de observaciones cada grupo. Se intenta hacer un clculo de los parmetros de tal forma que la solucin del desarrollo de la serie (y*) sea igual al valor observado por la serie (y). Para ello se desarrollan los 3 grupos: Como: Entonces: Restando las ecuaciones y resolviendo para n se obtiene: Despejando a desde las ecuaciones anteriores se obtiene: Con estos parmetros queda completamente definida la serie.