MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL …. Modelos de transporte Modelo de transporte: Determinar plan de...

MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL VARIABLES Xij

1. Construcción de modelos de programación lineal con variables Xij.

2. Aplicaciones en finanzas, marketing, producción.

3. Modelos de transporte y transbordo.

4. Problemas de asignación.

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Modelos de Programación Lineal con variables Xij

1. Construcción de modelos de Programación Lineal con variables Xij

✓ Las variables tendrán dos o más atributos.

✓ Ampliación a problemas de administración de operaciones: transporte e inventarios.

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1. Modelos de transporte

Modelo de transporte: Determinar plan de transporte de una

mercancía de varias fuentes a varios destinos.

Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda

en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada

destino.

Un solo ítem a transportar, por ello, un destino puede recibir

su demanda de una o más fuentes.

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Objetivo: ▪ Determinar la cantidad que se enviará de cada

fuente a cada destino ▪ Minimizando costo del transporte total.

Supuesto básico: Costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas.

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Los asuntos de transporte, asignación y transbordo pertenecen a una clase especial de problemas de programación lineal llamados problemas de flujo de red.

Característica:

Planeación de la distribución de bienes y servicios desde Varias localidades de suministro a varias localidades de Demanda.

Aplicaciones: 1. Control y diseño de plantas de fabricación, 2. Determinación de territorios de ventas, 3. Localización de centros de distribución y almacenaje.

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F1 D1

F2 D2

F3 D3

Fn Dm

Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos

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1. PROBLEMA DE TRANSPORTE

Se busca el mínimo costo de operación, para lo cual se requiere considerar los costos unitarios de operación desde cada fuente hacia cada destino.

.

Mín Z = Cij Xij Cij

i j

i=1 j=1

• Cij : Costo unitario de operación desde la fuente i hasta el destino j

• Xij : Unidades a asignar desde la fuente i hasta el destino j

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Ejemplo 1: Considere una empresa que realiza recarga de extintores en sus tres plantas ubicadas en los distritos de Villa el Salvador, Ate y Ventanilla. Esta empresa cuenta con cuatro centros de distribución ubicados en los distritos de Los Olivos, San Miguel, Surco y Santa Anita.

La capacidad de producción (en unidades) de cada una de las plantas, así como los pronósticos de las demandas para los próximos seis meses son los que se indican en los cuadros siguientes:

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Origen Planta Capacidad de producción (6 meses)

1 Villa El Salvador 5000

2 Ate 6000

3 Ventanilla 2500

Total 13500

Destino Centro de Distribución Pronóstico de demanda (6 meses)

1 Los Olivos 6000

2 San Miguel 4000

3 Surco 2000

4 Santa Anita 1500

Total 13500

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Costo de transporte unitario (en nuevos soles) desde punto de origen a cada destino:

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4

Origen 1 3 2 7 6

Origen 2 7 5 2 3

Origen 3 2 5 4 5

La administración requiere determinar cuánto de la producción debe destinarse a cada centro de distribución al mínimo costo.

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FORMULACION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE

Sean las variables de decisión: xij = Cantidad de unidades que se transportarán desde el origen

“i” hasta el destino “j”.


Origen 1 x11 x12 x13 X14

Origen 2 x21 x22 x23 x24

Origen 3 x31 x32 x33 x34

Sea la representación gráfica o RED. Nomenclatura: Círculos o Nodos: Representan cada origen y destino Líneas o Arcos: Representan las rutas de embarque posible.

Origen Destino

5000 1

6000 2

2500 3

2

x22

x33

1 6000

2 4000

3 2000

4 1500 12

La función objetivo es:

Min z = 3 x11 + 2 x12 + 7 x13 + 6 x14 + 7 x21 + 5 x22 + 2 x23

+ 3 x24 + 2 x31 + 5 x32 + 4 x33 + 5 x34

Restricciones de producción para la planta 1:

x11 + x12 + x13 + x14 = 5000


x21 + x22 + x23 + x24 = 6000


x31 + x32 + x33 + x34 = 2500

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Para los destinos, se dan las siguientes restricciones de

abastecimiento:

Para el destino 1 debe cumplirse que:

x11 + x21 + x31 = 6000


x12 + x22 + x32 = 4000


x13 + x23 + x33 = 2000


x14 + x24 + x34 = 1500

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2. PROBLEMA DE TRANSBORDO

Este problema es una extensión del problema de transporte en el que se agregan nodos intermedios, llamados nodos de transbordo, para representar localizaciones como almacenes.

El objetivo del problema de transbordo es determinar cuántas unidades deben embarcarse a lo largo de cada ruta de modo que se satisfaga los requerimientos de todos los destinos con el mínimo costo de transporte posible.

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Supongamos un problema de transporte con las plantas 1 y 2 (nodos de origen), los almacenes 3 y 4 (nodos de transbordo) y destinos 5, 6, 7 y 8 (nodos de destino). La planta 1 produce 600 unidades y la planta 2 produce 400 unidades. Los destinos consumen 200, 150, 350 y 300 unidades respectivamente.

Los costos de transporte por unidad de las plantas 1 y 2 a los almacenes 3 y 4 se muestran en la siguiente tabla:

Almacén 3 Almacén 4

Planta 1 2 3

Planta 2 3 1 18

Los costos de transporte por unidad de los almacenes 3 y 4 a los destinos 5, 6 y 7 se muestran en la siguiente tabla:


Almacén 3 2 6 3 6

Almacén 4 4 4 6 5

Una representación de red del problema se muestra en la siguiente figura:

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DIAGRAMA DEL TRANSBORDO

600 1 2

3 6

400 2 1 4 6

5 200

6 150

7 350

8 300

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Para satisfacer las demandas con el mínimo costo de transporte, definamos las variables de decisión de la siguiente manera: Xij : Cantidad de unidades a trasladar desde el origen i hasta el destino j.

Para los nodos de origen:

x13= unidades transportadas del nodo 1 al nodo 3




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Para los nodos de transbordo:









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Nótese que, dada la naturaleza del problema, no tiene sentido definir las siguientes variables: x12, x21, x34, x43, x56, x57, x78, …. etc.

La función objetivo es:

Min z = 2x13 + 3x14 + 3x23 + 1x24 + 2x35 + 6x36 + 3x37 + 6x38 + 4x45 + 4 x46 + 6 x47 + 5 x48

Las restricciones de los nodos de origen son: x13 + x14 ≤ 600 x23 + x24 ≤ 400

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Las restricciones de los nodos de transbordo son: x13 + x23 = x35 + x36 + x37 + x38

x14 + x24 = x45 + x46 + x47 +x48

Las restricciones de los nodos de destino son: x35 + x45 = 200 x36 + x46 = 150 x37 + x47 = 350 x38 + x48 = 300

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3. EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros

cuatro puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer

cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los

barcos y las cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes

para las distintas combinaciones de barcos y puertos varían mucho.

Estos costos se muestran en la siguiente tabla:

PUERTO

1 2 3 4 Barco

1 5 4 6 7

2 6 6 7 5 3 7 5 7 6 4 5 4 6 6

El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a

uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.

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Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )

Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )

Minimice

Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 +

5X32 + 7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44

S.A:

X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran

X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco

X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran

X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto

X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco

X14 + X24 + X34 + X44 = 1

Xij ≥0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4

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Ejercicio 1: (Inversión en agroindustria) El administrador del fundo La Ponderosa tiene que decidir acerca de la inversión en dos de sus terrenos. El primer terreno tiene 800 hectáreas de tierra para sembríos y cuenta con 1000 m3 de agua. El segundo terreno tiene cuenta con una extensión de 1800 hectáreas y dispone de 2400 m3 de agua. Las alternativas para el cultivo son mangos o paltas. El mango requiere de 6m3 de agua por hectárea y generan una utilidad de US$ 600 por hectárea; mientras que las paltas requieren de 4m3 de agua por hectárea y generan US$ 850 por hectárea. Además se ha establecido una cuota máxima (en hectáreas) para cada cultivo: 1600 para el mango y 1200 para la palta. Formular el modelo para determinar cuántas hectáreas de mango y cuantas de palta se deben producir en cada uno de los dos terrenos, a fin de maximizar utilidades.

EJERCICIOS PROPUESTOS

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Ejercicio 2: (fabricar o comprar) Un proveedor de autopartes tiene que decidir, con respecto a los productos Alfa y Beta si los produce en sus propios talleres o los adquiere con sus proveedores. Producir una unidad del producto alfa cuesta S/. 1 y comprarlo al proveedor S/. 1,2. Producir una unidad del producto Beta cuenta S/. 1,7 y comprarlo S/. 1,5. Las tasas de producción son de 4 y 5 unidades por hora para Alfa y Beta, respectivamente. Los requerimientos semanales mínimos son de 100 unidades de Alfa y 200 unidades de Beta. Se dispone semanalmente de 40 horas para la producción. No se pueden producir más de 70 unidades de Alfa ni más de 120 unidades de Beta. Los proveedores pueden proveer un máximo de 130 unidades semanales. Formular el modelo para determinar cuántas unidades de cada tipo de producto debe producir y cuantas adquirir de los proveedores.

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Ejercicio 3: La fábrica de pelotas BALL fabrica mensualmente dos

productos diferentes: pelotas de vóley y de fútbol, cuenta con tres talleres

ubicados en las zonas 1, 2 y 3. El tiempo requerido (EN MINUTOS) para

cada tipo de pelota en cada taller, el costo por hora, así como la cantidad

de horas disponibles para el siguiente mes se indican en el cuadro

adjunto:

Taller Tipo de pelota

Tiempo Costo del taller Capacidad disponible (soles/hora) (unidades) Voley Fútbol

1 4 3 200 60 2500

2 5 2 220 48 1800

3 4 2 180 56 3200

Demanda 4800 5100

Considere que las pelotas de vóley tienen un precio de venta de S/. 36

y las de fútbol de S/. 42.

Formule el modelo de PL que ayude a optimizar el plan de producción.

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Ejercicio 4 La empresa POP desea realizar una encuesta con respecto al

uso de cierto bronceador que acelera el proceso de bronceado bajo sombra.

Para ello han decidido encuestar a jóvenes que encontraron en las playas de

Costa Verde y del Sur. El propósito es cumplir con los requerimientos del

cliente al menor costo posible.

✓ Se entrevistarán al menos 2300 jóvenes.

✓ De los entrevistados, por lo menos 1000 deben tener menos de 20 años. ✓ Al menos 60% de los entrevistados deben tener entre 20 y 30 años. ✓ Finalmente, no más de un 20% del total de entrevistados de la costa verde,

tendrán más de 30 años.

Los costos unitarios de las encuestas son los siguientes:

Playa Edad de los entrevistados

Menor de 20 Entre 20 y 30 Mayor de 30

Costa Verde 6 10 6

Sur de Lima 7 10 8

Formule el modelo de PL correspondiente.

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Ejercicio 5: Una empresa naviera ha recibido un pedido para transportar

por lo menos 400 autos y 500 camionetas. El pedido debe ser

completado hasta fines de abril. El cliente adicionalmente le ha dado las

siguientes indicaciones:

✓ La empresa cuenta con tres barcos para el transporte cuales pueden

llegar al destino a principios de febrero, mediados de marzo y fines de

abril, respectivamente.

✓ Cada auto ocupa 12 m3 mientras que las camionetas ocupan 15 m3.

✓ El primer barco sólo puede acomodar 200 vehículos, mientras que el

segundo y tercer barco tienen espacio para 4500 y 6000 m3,

respectivamente.

✓ El primer barco sólo puede transportar autos a un costo de US$ 450

cada uno. El segundo barco puede transportar vehículos de los dos

tipos a un costo de US$ 35 por m3, de igual manera el tercer barco

puede transportarlos a un costo de US$ 40 por m3.

✓ La empresa naviera se ha comprometido a entregar al menos 250

autos y también al menos 200 camionetas hasta mediados de

marzo.

Puerto Cantidad de motores

disponibles

Mejillones 500

Ilo 700

Arica 800

Ejercicio 6: Problema de Transporte. Una empresa multinacional de motores tiene cuatro plantas de montaje en Sudamérica: Arequipa, Santa Cruz, Antofagasta y Santiago de Chile. Los motores se fabrican en Estados Unidos, y se embarcan en tres puertos: Ilo, Arica y Mejillones. De estos tres puertos se envían los motores a las cuatro plantas en Sudamérica. Los requerimientos en unidades de motores de las cuatro plantas es la siguiente:

Planta Cantidad de motores

Arequipa 400

Santa Cruz 900

Antofagasta 200

Santiago de Chile 500

Análisis de Costos

Destino

Origen Arequipa Santa Cruz Antofagasta Santiago

Mejillones 120 130 41 62

Ilo 61 40 100 110

Arica 120 90i 88 42

✓ Considere que la cantidad de unidades enviadas desde Ilo serán al menos la mitad de las unidades enviadas desde Arica.

Formule el modelo de PL adecuado

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