IO modelos de transporteMtodo de Transporte El problema general del transporte se refiere a ladistribucindemercancadesde cualquier conjunto de centro de suministro, denominadosorgenes (fuentes), hasta cualquier conjunto de centros derecepcin, llamados destinos, de tal forma que se minimicen los costos totales dedistribucin. Cada origen tiene que distribuir ciertas unidades a los destinos y cada destino tiene cierta demanda de unidades que deben recibir de losorgenes.

Representacinde una red de transporte

Como se puede observar cualquier modelo de transporte se compone de unidades de un bien a distribuir, morgenes, n destinos, recursos en el origen, demandas en los destinos y costos dedistribucinpor unidad. Adicionalmente, se tienen varios supuestos:

1. Supuesto de requerimientos: cada origen tiene un suministro fijo de unidades que se deben distribuir por completo entre los destinos.2. Supuesto de costo: el costo de distribuir unidades de un origen a un destino cualquiera es directamente proporcional alnmerode unidades distribuidas.3. Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tiene soluciones factible si yslosi la sumatoria de recursos en lo morgeneses igual a la sumatoria de demandas en los destinos.4. Propiedad de soluciones enteras: En los casos en los que tanto los recursos como las demandas toman un valor entero, todas las variablesbsicas(asignaciones), de cualquiera de las solucionesbsicasfactibles (inclusive lasolucinoptima), asumentambinvalores enteros.Debido a la particularidad del modelo de transporte la forma tabular Smplex adquiere una estructura que facilita el proceso deasignacin a las variablesbsicas, tal se muestra acontinuacin:

Forma TabularSmplexTransporte

En los renglones se ubican losorgenes indicando en la columna de la derecha los recursos (oferta disponible). En las columnas se ubican los distintos destinos indicando en elltimorengln los totales demandados. En el pequeo recuadro ubicado en la margen superior derecha se indica el costo de distribuir una unidad desde el origen hasta ese destino y en la parte inferior de cada recuadro se registran las asignaciones Xi para cada variable. En los casos donde la sumatoria de los recursos y las demanda no sean las mismas, se agrega un origen o destino ficticio con la cantidad que permita cumplir la propiedad de soluciones factibles.

Despusde planteado el modelo de transporte, el siguiente paso es obtener unasolucinbsicafactible, la cual se puede obtener a partir de cualquiera de los 3 criterios siguientes:1. Regla de la esquina noroeste.2. Mtodode la ruta preferente.3. Mtododeaproximacinde VogelAntes de explicar el procedimiento para cada uno de estos criterios deasignacinpara encontrar lasolucininicial BF, se debe conocer elnmerode variablesbsicas, el cual se determina con laexpresin: m + n - 1. En el modelo anterior 3 + 2 - 1 = 4 variablesbsicas. Regla de la esquina noroeste: la primeraeleccin X11,es decir, se inicia laasignacinpor la esquina noroeste de tabla. Luego sedesplazaa la columna de la derecha sitodavaquedan recursos en ese origen. De lo contrario se mueve alreglodebajo hasta realizar todas las asignaciones. Mtodode la ruta preferente: se fundamenta en laasignacina partir del costomnimode distribuir una unidad. Primero se identifica este costo se realiza laasignacin de recursosmximaposible y luego se identifica el siguiente costo menor realizando el mismo procedimiento hasta realizar todas las asignaciones. Mtodo deasignacin de Vogel: para cadareglny columna, se calcula su diferencia, que se define como la diferenciaaritmticaentre el costo unitariomspequeo y el costo menor que le sigue en eserenglno columna. En elrenglno columna con la mayor diferencia, se le asigna al menor costo unitario. Los empates se pueden romper de manera arbitraria.De estos 3 modelos para encontrar lasolucininicialBF, elmtodode Vogel ha sido elmsutilizado. Considerando que este criterio toma en cuenta los costos dedistribucinde formamseficaz, ya que la diferencia representa elmnimo costo adicional que se incurre por no hacer unaasignacinen la celda que tiene el menor costo ya sea columna orengln.

Posterior a estaasignacininicial se requiere un procedimiento que permita las siguientes iteraciones y se obtenga lasolucinptima.

Prueba de optimalidad: unsolucinBF esptima si y slo si Cij - Uij -Vij >= 0 para todo (i,j) tal que Xij es nobsica. Primeramente para todo variablebsica de lasolucinactual se tiene queCij- Uij-Vij= 0, por lo que se deduceCij=Uij-Vijpara todo (i,j) tal que Xijes bsica. Para los fines de facilitar los diferentes de las diferente ecuaciones resultantes se asume el valor de U1como cero.

En cada iteracin se determina una variablebsicaentrante, una variablebsicasaliente y luego la nuevasolucinbsicafactible. Paso 1: la variable de entrada se determina a partir de larelacinCij- Uij-Vij, donde la variable Xij con el resultado ms negativo es la que contribuye en una mejor medida a disminuir el costo total, se debe tener en cuenta que estadisminucinva enproporcina laasignacinresultante. Paso 2: la variablebsicasaliente es aquella variablebsicaque disminuya su valor a cero, es decir, es aquella variable de menorasignacin y queparticipa en lareaccinen cadena que se establece para compensar los cambios de asignar valor a la variable entrante que permitan satisfacer las restricciones de recursos y demandas. En este punto, se definen dos tipos variables para receptoras y donadoras, de acuerdo a lavariacinde signo que se produzca en elpolgonoque permite la transferencia desde la variable de salida a la variable entrante.Paso 3: se encuentra la nuevasolucinBF, sumando el valor de la variablebsicasaliente a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta a las asignaciones de las celdas donadoras.

Para los fines de ejemplo, se selecciona el problema 8.2-8 ubicado en la pgina 325 del libro de texto. La Cost-Less Corp., surte sus cuatro (4) tiendas desde sus cuatro(4)plantas y desea minimizar los costos dedistribucin. Acontinuacinse muestra la tabla con las informaciones de los costos dedistribucin:

Planteando este problema atravsde Solver Excel (ver pgina relacionada en este blog) y utilizando la primeraasignacincon elmtodode la esquina noroeste, se obtiene:

SolucinBsicaInicial

SolucinOptima

Utilizando el programa TORA se puede visualizar cada una de las iteraciones, se asume el valor de U1 como cero en cada una de las iteraciones.

En la primera iteracin, la variable de entrada es X14 y la variable de salida es X11, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -800 por lo que lareduccinal costo total es de 8,000.

Iteracin1

En la segunda iteracin, la variable de entrada es X23 y la variable de salida es X22, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -600 por lo que lareduccinal costo total es de 0.

Iteracin2

En la tercera iteracin, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 10 unidades, con un resultado de -600 por lo que lareduccinal costo total es de 6,000.

Iteracin3

En la cuarta iteracin, la variable de entrada es X42 y la variable de salida es X32, con una transferencia de 0 unidades, con un resultado de -400 por lo que lareduccinal costo total es de 0.

Iteracin4

Lasolucinptima presenta un costo total de 11,000 y ladistribucin de lasdiferentes plantas hacia las diferentes tiendas es como sigue:X14, Planta 1 - Tienda 4 = 10 unidadesX21, Planta 2 - Tienda 1 = 20 unidadesX23, Planta 2 - Tienda 3 = 0 unidadesX33, Planta 3 - Tienda 3 = 10 unidadesX34, Planta 3 - Tienda 4 = 10 unidadesX23, Planta 4 - Tienda 1 = 0 unidadesX42, Planta 4 - Tienda 2 = 10 unidades

SolucinOptima

Metodo de transporteIV. MODELO DE TRANSPORTEExisten dos aplicaciones importantes de la programacin lineal que son el modelo de transportes y el de asignacin de recursos. An cuando la solucin de estos modelos puede obtenerse aplicando el mtodo simplex, se estudian algoritmos especiales para la solucin de estos problemas.Debido a su estructura especial, hace posible hace posible mtodos de solucin ms eficientes en trminos del clculo.EJEMPLO 4.1:Suponga que una compaa tiene m plantas de produccin (i), de capacidad ai (i = 1m) y n almacenes de distribucin (j), con demanda bj (j = 1n). El costo de transporte entre la planta i y el almacn es conocido como cij.El problema es determinar la cantidad (xij) que debe suministrar la planta i al almacn j, de tal manera que el costo de transporte total sea mnimo. Las consideraciones de costos de produccin e inventario se pueden incorporar al modelo bsico.El modelo tpico tiene cuatro componentes:1. Un conjunto de m fuentes2. Un conjunto de n destinos3. Costos de transporte entre las fuentes y los destinos4. Cantidades de producto para enviar entre las fuentes y los destinos.

El modelo general que representa el modelo de transporte es:Min z = S iS j cijxij Sujeto a:S j xij = ai (fuentes i = 1..m)S i xij = bj (destinos j = 1..n)xij >= 0IV.1 MODELOS BALANCEADOS Y NO BALANCEADOSIV.1 MODELOS BALANCEADOS Y NO BALANCEADOS:Un modelo de transporte se llama balanceado cuando:S i ai = S j b Esto significa que la suma de los suministros de todas las plantas debe ser igual a la suma de las demandas de todos los almacenes.Sin embargo en problemas de la vida real, esta igualdad rara vez se satisface.Lo que se hace entonces es balancear el problema.Si los requerimientos exceden a los suministros, se agrega una planta ficticia, que suministrar la diferencia.El costo de transporte desde la planta ficticia hacia cualquier almacn es cero.Recprocamente, si los suministros exceden a los requerimientos, se agrega un almacn ficticio que absorber el exceso.El costo unitario de transporte desde las plantas al almacn ficticio es cero.Ejemplo 4.1.1Considere La Empresa Gerconsa productora de automviles de tres plantas y dos centros de distribucin. Las capacidades de las tres plantas durante un trimestre son de 1000, 1500 y 1200 automviles, la demanda trimestral en los dos centros de demanda son de 2300 y 1400 vehculos. El costo de transporte en dlares es:Planta/Almacn12

180215

2100108

310268

Sea xij el nmero de automviles transportados desde la fuente i al destino j. Como la oferta total (1000+1500+1200 = 3700) es igual a la demanda total (2300+1400 = 3700) el modelo de transporte est equilibrado.Por lo tanto el siguiente modelo representa la situacin descrita:Min z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32Sujeto a:x11 + x12 = 1000x21 + x22 = 1500x31 + x32 = 1200x11 + x21 + x31 = 2300x12 + x22 + x32 = 1400xij >= 0 para toda i, j.Un mtodo ms resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar los que se llama tabla de transporte, esta es una matriz donde las filas representan las fuentes y las columnas el destino. En cada celda se especifica la cantidad xij y el costo cij.:Fuente/destino12Oferta

1x1180x122151000

2x21100x221081500

3x31102x32681200

Demanda230014003700

El mtodo de transporte es un problema clsico dentro de la programacin matemtica; se analiza la manera de obtener el costo mnimo de transportar una serie de productos desde n fabricas, hasta m almacenes; cada envo tiene un costo particular que estar en funcin de la distancia, el tipo de carretera, la cantidad y otras variables.Como siempre, se entiende mejor con un ejemplo: La ms famosa empresa dentro de las aulas universitarias, la Empresa Gerconsa, tiene tres fabricas donde manufactura su famossimo producto P, con capacidades de produccin de 25 (unidades por micronanosegundo, por segundo, hora, ao no importa, es lo mismo para todos), 25,10 y debe surtir a 4 almacenes con demandas de 20,15,20,5 (unidades por micronanosegundo, segundos.. o lo que sea, siempre y cuando se maneje la misma unidad temporal en todo el problema). Los costos de enviar desde cualquier fbrica a cualquier almacn se pueden ver en la tabla abajo.Capacidad de Produccin (u/t)

Fabrica 1Fabrica 2Fabrica 3

252510

Demanda de los Almacenes (u/t)

Almacn 1Almacn 2Almacn 3Almacn 4

2015205

Costo de Transporte desde la Fabrica i al almacn j

$/unidAlmacn 1Almacn 2Almacn 3Almacn4

Fabrica 12204

Fabrica 25983

Fabrica 36432

Ahora la pregunta es cunto se debe enviar desde cada fbrica a cada almacn con el fin de obtener el mnimo costo.Min Z = 2X11 + 2X12 +0X13 +4X14 +5X21 +9X22 +8X23 +3X24 +6X31+4X32 + 3X33 +2X24Sujeto a:1. Satisfacer la demanda de los almacenes:X11+X21+X31 >= 20X12+X22+X32 >= 15X13+X23+X33 >= 20X14+X24+X34 >= 52. No sobrepasar la capacidad disponible de las fabricasX11+X12+X13+X14