El anlisis de regresin ms sencillo usa dos variables.Lafuncinquelasrelacionaseconocecomofuncinde regresin poblacional (FRP). La FRP se puede construir si se conoce la totalidad de los datos (y que tuvieran exactitud de medicin). En la realidad no siempre se puede contar con la totalidad de los datos =>muestra=>estimacin de la FRP. La tarea es estimar la FRP en basea la FRM con un mnimo de error. El mtodo ms simple es el de mnimos cuadrados ordinarios. Poblacin Total Universo Muestra FRP En la realidad es desconocida. FRMEstima la FRP. Ejemplo hipottico Ingreso familiarpor semana X ($) X80100120140160180200220240260 Y 55657980102110120135137150 Gastos 60708493107115136137145152 de65749095110120140140155175 consumo708094103116130144152165178 familiar758598108118135145157175180 semanal 88 113125140 160189185 ($) 115 162 191 Poblacin total=60 familias Columna: distribucin condicional de Y => Probabilidad condicional de Y (P(Y/X) Probabilidades condicionales p(Y/Xi) X80100120140160180200220240260 P(Y/Xi) 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 Probab. 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 condicionales 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 p(Y/Xi) 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 1/61/7 1/6 1/61/7 1/6 1/7 1/71/71/7 Mediascondicionales657789101113125137149161173 de Y Media condicional: E(Y/X=Xi) 5010015020060 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260Ingreso semanal ($)Gastos de consumo semanal ($)Diagrama de dispersin: Distribucin condicional de Y En promedio, consumo aumenta al incrementarse el ingreso. Recta de regresin poblacional: unin de las medias condicionales. 80140220 149 101 65 GastosDe Consumo($) Ingreso semanal ($) Para cada Xi existe una poblacin de valores Y, que se suponen normalmente distribuidos Funcin de Regresin Poblacional (FRP) Dicha funcin denota que la media poblacional de la distribucinde Y dado Xi est funcionalmente relacionada con Xi (muestra cmo el valor promedio de Y vara con respecto a las X). Qu forma toma f(Xi)? Dado que no se dispone de la totalidad de la poblacin para efectuar el anlisis, la forma funcional de la FRP debe ser aproximada de una manera emprica. Ejemplo: Linealidad ) ( /i iX f X Y E i iX X Y E2 1) / ( Inters: Estimacin de los coeficientes de regresin Concepto de Linealidad Linealidad en las variables. La expectativa condicional de Y es una funcin lineal de Xi (geomtricamente, la curva de regresin es una lnea recta). Linealidad en los parmetros. La esperanza condicional de Y es una funcin lineal de los parmetros B (puede ser o no lineal en la variable X) La expresin regresin lineal significar una regresin lineal en los parmetros, pudiendo o no ser lineales en las variables explicativas. Especificacin Estocstica de la FRP Ejemplo: Los gastos de consumo se concentran alrededor del consumo promedio, existiendo una desviacin(de un Y individual alrededor de su valor esperado) La desviacin ui es una variable aleatoria no observable que toma valores positivos o negativos. Se le lama perturbacin estocstica o error estocstico. Bajo el supuesto que E(Y/Xi) es lineal en Xi,la ecuacin de regresin puede escribirse como: i i ii i iu X Y E YX Y E Y u ) / () / (i i ii i iu X Yu X Y E Y 2 1) / ( Se demuestra que E(ui/Xi)=0 Significado del trmino perturbacin: Se desconocen otras variables explicativas. Se conocen algunas de las variables excluidas, pero no existen cifras sobre dichas variables. Desde el punto de vista prctico no se justifica la inclusin explcita de un conjunto de variables. Pueden existir errores de medicin para las variables. Funcin de regresin Muestral (FRM) Slo se conocen los datos de una muestra, por lo tanto nuestra tarea consiste en la estimacin de la FRP con base en informacin muestral. No es factible estimar con precisin la FRP. La FRM nos dice cmo estimar el parmetro poblacional a partir de la informacin proporcionada por la muestra. Podemos expresar la FRM en su forma estocstica: i iX Y 2 1 Muestra aleatoria 1tomada de la poblacin YX Gastos de consumoIngreso familiar 7080 65100 90120 95140 110160 115180 120200 140220 155240 150260 Muestra aleatoria 2tomada de la poblacin YX Gastos de consumoIngreso familiar 5580 88100 90120 80140 118160 120180 145200 135220 145240 175260 05010015020060 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260Ingreso semanal ($)Gastos de consumo ($)Muestra 1Muestra 2N muestras aleatorias =>N lneas de regresin distintas Funcin de regresin muestral (FRM): i iX Y 2 1 2 2 e estimadord ) / ( Xi Y eE estimadord Yi 1 1 e estimadord Forma estocstica de la FRM i i ie X Y 2 1 Donde ei es el trmino residual (muestral), anlogo a ui e introducido por las mismas razones- i i iu X Y 2 1 i i ie X Y 2 1 Resumiendo, el objetivo del anlisis de regresin consiste en estimar la FRP con base en la FRM Nuestra estimacin de la FRP es, en el mejor de los casos, una aproximacin. FRP v/s FRM X Yi Yi Xi E(Y/Xi) Media Poblacional Yi estimadoui ei i iX Y FRM 2 1: i i iu X X Y E FRP 2 1) / ( :