Regresion MUTIPLE

Anlisis de Regresin Mltiple

Captulo 4

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Anlisis de Regresin Mltiple 1. Introduccin ElAnlisisdeRegresinLinealMltiplenospermiteestablecerlarelacinqueseproduceentreunavariabledependienteY y un conjunto de variables independientes (X1, X2, ... XK). El anlisis de regresin lineal mltiple, a diferencia del simple, se aproximamsasituacionesdeanlisisrealpuestoquelosfenmenos,hechosyprocesossociales,pordefinicin,soncomplejosy,enconsecuencia,debenserexplicadosenlamedidadelo posible por la serie de variables que, directa e indirectamente, participanensuconcrecin. Alaplicarelanlisisderegresinmltiplelomsfrecuente es que tanto la variable dependiente como las independientes seanvariablescontinuasmedidasenescaladeintervaloorazn. No obstante, caben otras posibilidades: (1) tambin podremos aplicar este anlisis cuando relacionemos una variable dependientecontinuaconunconjuntodevariablescategricas;(2)o bien,tambinaplicaremoselanlisisderegresinlinealmltiple enelcasodequerelacionemosunavariabledependientenominalconunconjuntodevariablescontinuas. La anotacin matemtica del modelo o ecuacin de regresinlinealmltipleeslaquesigue: Y=a+b1x1+b2x2+...+bnxn+e presente=a+b1pasado+b2futuro+e endonde: Yeslavariableapredecir; a,b1x1,b2x2...bnxn,sonparmetrosdesconocidosaestimar; yeeselerrorquecometemosenlaprediccindelospar- metros. Alocuparnosdelanlisislinealbivariado,anlisisderegresin simple,vimoscomoelmodelofinalresultantepodasercalificado

Estadstica Informtica: casos y ejemplos con el SPSS

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deunbuenmodelo.Sinembargo,enmuchasocasioneslos modelosbivariadososimplespuedenversemejoradosalintroducirunasegunda(tercera,cuarta,...)variableindependienteoexplicativa.Consideramosqueunmodeloderegresinlinealsimplese ha mejorado cuando al introducir en el mismo ms variables independientes la proporcin de variabilidad explicada se incrementa.Peroquvariablessonlasquemejorexplicanelhecho, procesoofenmenosocialobjetodeestudio?;o,quvariables nosonnecesarioincluirenelmodelodadasunulaoescasacapacidad explicativa? Esta es, sin lugar a dudas, la decisin ms importanteligadaalanlisisderegresinmltipleylainclusinde esteprocesoesloquediferencia,sustancialmente,alanlisisde regresinmltipledelderegresinsimple. La exposicin de este captulo se estructura en torno a los siguientespuntos,asaber: 1. Determinacin de la bondad de ajuste de los datos al modeloderegresinlinealmltiple. 2. Eleccindelmodeloqueconelmenornmerodevariables explica ms la variable dependiente o criterio. Para elloexponemoselprocesodepasoapasoostepwise. 3. Estimacindelosparmetrosdelaecuacinydelmodelooecuacinpredictiva. 4. ExposicindelospasosyCuadrodeDilogodelAnlisis deRegresinLineal(Mltiple)quepodemosseguirpara laobtencindelosestadsticosylaspruebasnecesarias citadasencadaunodelospuntosprecedentes.

2. Eleccin del modelo: el mtodo stepwise o paso a paso Enelanlisisderegresinmltiple,losestadsticos,pruebas yanlisisqueseaplicanparadeterminarlarelacinygradode asociacinentreunavariabledependienteysussupuestasvariablesexplicativas,ascomolaestimacindelosparmetrosdela ecuacin,nodifierendelosdeterminadosenelanlisisderegresinsimple.Dehecho,unapartedelanlisisderegresinbivariado se realiza aplicando el cuadro de dilogo especfico del anlisisderegresinmltiple.Ladiferenciaestriba,pues,enque mientras en el anlisis de regresin simple al contar exclusivamenteconlarelacindeunpardevariableselprocesoseresolva en un solo paso; en el anlisis de regresin mltiple es necesariocalcularestadsticos,pruebasyanlisisamedidaque

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vamosintroduciendoy/osacandovariablesindependientesenel modelo. Enelanlisisderegresinlinealmltiplelaconstruccinde su correspondiente ecuacin se realiza seleccionando las variablesunaauna,pasoapaso.Lafinalidadperseguidaesbuscar deentretodaslasposiblesvariablesexplicativasaquellasquems ymejorexpliquenalavariabledependientesinqueningunade ellasseacombinacinlinealdelasrestantes.Esteprocedimiento implicaque:(1)encadapasosoloseintroduceaquellavariable quecumpleunoscriteriosdeentrada;(2)unavezintroducida,en cadapasosevalorasialgunadelasvariablescumplencriterios desalida;y(3),encadapasosevaloralabondaddeajustede losdatosalmodeloderegresinlinealysecalculanlosparmetrosdelmodeloverificadoendichopaso.Elprocesoseiniciasin ningunavariableindependienteenlaecuacinderegresinyel procesoconcluyecuandonoquedaningunavariablefueradela ecuacinquesatisfagaelcriteriodeseleccin(garantizaquelas variablesseleccionadassonsignificativas)y/oelcriteriodeeliminacin(garantizarqueunavariableseleccionadanoesredundante). 1.-Verificacindeloscriteriosdeprobabilidaddeentrada. Elp-valorasociadoalestadsticoT,oprobabilidaddeentrada, nosindicasilainformacinproporcionadaporcadaunadelas variables es redundante. Si ste es menor que un determinado valorcrtico,lavariableserseleccionada.ElSPSSpordefecto estableceen0.05elvalorcrticodelaprobabilidaddeentrada. Elcriteriodetoleranciapuedeseraplicadocomouncriterio adicionalalaprobabilidaddeentrada.stenosayudaaidentificar si alguna de las variables del modelo es una combinacin linealdelasrestantes.Sidichovaloresprximoa0,lavariable analizadaserunacombinacinlinealdelasrestantesvariables independientesintroducidas.Sielvalordelatoleranciaseaproximaa1puedereducirlapartedelavariabilidaddeYnoexplicada por las restantes. En sntesis, si la tolerancia para una variableesmuypequeaseexcluirdelmodelo. 2.-Verificacindelcriteriodeprobabilidaddesalida. Enestecaso,sielp-valorasociadoalestadsticoT,oprobabilidaddesalida,esmayorqueundeterminadovalorcrtico,la variablesereliminada.ElSPSSpordefectoestableceen0.1el valorcrticodelaprobabilidaddesalida(ntesequeconlafina-


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lidaddequeunavariablenopuedaentrarysalirdelaecuacin endospasosconsecutivos,elvalorcrticodelaprobabilidadde salidadebesermayorqueeldelaprobabilidaddeentrada).En elcasoprcticoquerecogemosenlosresultadospuedeapreciarsequelasdosvariablesindependienteshansuperadoloscriteriosdeentradaydesalida. 3.-Lmitealnmerodepasos. Porltimo,yparaevitarqueelprocesodeseleccinseconviertaenunprocesocclicosedebeestablecerunnmerolmite depasos.Normalmenteestelmiteeselqueequivalealdobledel nmerodevariablesindependientes.

3. Bondad de ajuste de los datos al modelo de regresin lineal mltiple Encadapaso,enelqueseintroduceoeliminaunavariable, se obtienen los estadsticos de bondad de ajuste (R, R2, R2 corregido,errortpicodelaestimacin),elanlisisdevarianzay laestimacindeparmetrosconsiderandolasvariablesintroducidas.ElSPSSofrecedostablasconestainformacin:enlaprimeraresumelosestadsticosdebondaddeajusteyenlasegundanospresentaelanlisisdevarianza.Enellassecomparanlos resultadosobtenidosparacadaunadelasecuacionesomodelo obtenidosconlasecuenciadepasosutilizados.Ennuestroejemplo,ydadoquedoshansidolasvariablesincluidasenlaecuacin,doshansidolospasos,dossonlosmodelosdefinidos:el primero slo incluye una variable explicativa, mientras que el segundoutilizalasdosvariablesindependientes. Acontinuacinexponemoslosprincipaleselementosaconsiderar en el anlisis de regresin mltiple. Recordemos que stosyaseexpusieronenelcaptuloderegresinsimple.Aqu enfatizamosaquellosaspectosquedebemosconsiderarcuando stossonaplicadosenelanlisisderegresinmltiple. 1.-CoeficientedeCorrelacinMltiple(MltipleR). Midelaintensidaddelarelacinentreunconjuntodevariables independientes y una variable dependiente. La primera variablequeseintroducirenelmodelo,primerpaso,seraquella que ofrezca una correlacin parcial ms alta. Para ello es necesario calcular la matriz de correlaciones parciales. En ella

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debemos observar: (1) la interrelacin entre las variables independientes; y (2), la relacin entre cada una de las variables independientesrespectoaladependiente.Enelprimercaso,los coeficientesdebenserbajospues,delocontrario,cabelaposibilidadqueentreellasseproduzcamulticolinealidad(diferentes variablesexplicanlomismodelavariabledependiente).Porsu parte, en el segundo caso, las relaciones deben ser altas. En nuestroejemplo,yporloquerespectaalasvariablesindependientes,sucorrelacinnosoloesmsaltaquebaja(0,523)sino que adems existe relacin entre ellas (su significacin se encuentra por debajo de 0.05). Por su parte, ambas variables independientesexplicanalavariabledependienteperoeslaprimeralaquelohacedeformamsintensa.Ensntesis,yatenor delosresultadosobtenidos,tantolap7bcomolap7cexplicanlo mismodelavariabledependiente.Estaesunacuestinquehay quetenerencuentaalahoradedecidirquvariablessonlasque entranenelmodelo. Loscoeficientesdecorrelacinparcialoscilanentre1(fuerte asociacinlinealpositiva:amedidaqueaumentenlosvaloresde una variable aumentarn los de la otra) y 1 (fuerte asociacin linealnegativa:amedidaqueaumentenlosvaloresdeunavariabledisminuyenlosdelaotra).Cuandolosvaloresdeesteestadstico se aproximen a 0 nos estar indicando que entre las dos variablesnoexisteasociacinlinealy,enconsecuencia,carecede sentidodeterminarelmodeloy/oecuacinderegresinlineal. ParadeterminarsilaasociacinesestadsticamentesignificativapodemoscontrastarlaH0dequeelcoeficientedecorrelacin linealesiguala0;oloqueeslomismo,quelasdosvariables estn incorrelacionadas. Si el p-valor asociado al estadstico de contraste(r)esmenorqueelniveldesignificacinelegido(normalmente0.05)rechazaremosH0.Enlamatrizdecorrelaciones serecogenestosdosvalores:enprimerlugarapareceelgrado de relacin (coeficiente de correlacin parcial) que se produce entre las dos variables que cruzamos; y en segundo lugar, la significacinestadsticadeesarelacin. Lacorrelacinmsaltaentreelcrucedeunavariableindependiente con la dependiente ser el valor de Multiple R que aparezca en el primer paso. En nuestro ejemplo la correlacin parcial ms alta es la de la variable independiente p7B. Por lo tanto,laprimeraRqueapareceenelprimermodeloes0.871. Ademsestacorrelacinessignificativa(sig.0.000).


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2.- Coeficiente de Correlacin Mltiple al Cuadrado o CoeficientedeDeterminacin(RSquareR2). Midelaproporcin(porcentajesilomultiplicamospor100) de la variabilidad de la variable dependiente explicada por las variablesindependientequeenesemomentohansidoadmitidas enelmodelo.Apartirdelresumendelosmodelosgenerados pasoapasopodemoscalcularelincrementodeR2,siendoste una estimacin de la importancia relativa que tiene la variable que acabamos de introducir en el paso correspondiente para predecir la variable dependiente. En nuestro caso el segundo modelo(aquelqueconsideralasdosvariablesexplicativas)mejoraalprimero(soloconsideraunavariableexplicativa).Lavariabilidad explicada por el primero es del 75% mientras que la del segundoesdel78%.Alintroducirunasegundavariableseha mejoradoelmodelopuessehaincrementadoenun3%lavariabilidad total explicada. Ahora bien, consideramos significativo este incremento hasta el punto de decidir que incluimos esta variableenelmodelo?;oporelcontrario,estaninsignificante quenocabeintroducirlo?;alintroducirloexplicamosmscon elmenornmerodevariables?Lacontestacinaestosinterrogantesvariasinosencontramosanteunmodeloconmsvariablesindependientesdelasconsideradasennuestroejemplo.En nuestrocasolap7cnoesincluidaenelmodelodefinitivoy,por lotanto,noformarpartedelaecuacinpredictiva. 3.- Coeficiente de Determinacin Ajustado (Adjusted R Square). ElcoeficientededeterminacinmidelomismoqueR2pero enestecasonoquedainfluenciadoporelnmerodevariables queintroducimos. 4.-ErrorTpicodePrediccin(ETB). Porltimo,elerrortpicodelaprediccinnosindicalaparte delavariabledependientequedejamosporexplicar.Amedida queseincrementaelcoeficientededeterminacinelerrordesciende.Ennuestroejemplo,enelprimermodeloelETBesde 1.05mientrasqueenelsegundoesde0.99. 5.-AnlisisdeVarianza. Latabladeanlisisdevarianzaqueincluyeensusalidade resultadoselSPSSnospermitevalorarhastaqupuntoesadecuadoelmodeloderegresinlinealparaestimarlosvaloresde lavariabledependiente.Latabladeanlisisdevarianzasebasa enquelavariabilidadtotaldelamuestrapuededescomponerse

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entre la variabilidad explicada por la regresin y la variabilidad residual.LatabladeANOVAproporcionaelestadsticoFapartir del cual podemos contrastar la H0 de que R2 es igual a 0, la pendientedelarectaderegresinesiguala0,oloqueeslo mismo,lahiptesisdequelasdosvariablesestnincorrelacionadas.Sielp-valorasociadoalestadsticoFesmenorqueelnivel designificacin(normalmente0.05),rechazaremoslahiptesis nulaplanteada.Delmismomodopodremosconsiderarquelos resultados obtenidos con la muestra son generalizables a la poblacinalaquepertenecelamuestra. Enelcasodeanlisisderegresinmltiplelatabladelanlisisdevarianzanosindicalosp-valoresasociadosalestadstico Fencadaunodelosmodelosgenerados. 6.-AnlisisdeResiduales. Comoyahemoscomentadolosresiduos,e,sonlaestimacindelosverdaderoserrores.Enregresinlinealladistribucin delavariableformadaporlosresiduosdebeserNormal,estoes, losresiduosobservadosylosesperadosbajohiptesisdedistribucinnormaldebenserparecidos.Adems,losresiduosdeben serindependientes.Enconsecuencia,elanlisisdelosresiduales nosvaapermitirnosoloprofundizarenlarelacinqueseproduce entre las variables, sino tambin, ponderar la bondad de ajustedelaregresinobtenida. Para contrastar la supuesta normalidad de los residuales podemosrecurrir,fundamentalmente,alarepresentacindedos grficos: (1) el grfico de residuales tipificados (grfico 1 del anexo de resultados) nos da idea de cmo se distribuyen los residuos en relacin a la distribucin normal (que sera la que cabraesperardelosmismos).Siambasdistribucionessoniguales(ladistribucindelosresiduosesnormal)lospuntossesitan sobreladiagonaldelgrfico.Porlocontrario,enlamedidaque aparecendispersosyformandolneashorizontalesrespectoala diagonal,habrmsresiduosyelajusteserpeor;(2)elgrfico deprobabilidadnormal(grfico 2 del anexo de resultados)comparagrficamente,alsuperponerlacurvadedistribucinnormal, lafuncindedistribucionesacumuladaobservadasenlamuestra conlafuncindedistribucinacumuladaesperadabajosupuestosdenormalidad. PorsuparteelestadsticodeDurbin-Watsonmideelgrado deautocorrelacinentreelresiduocorrespondienteacadaobser-


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vacinyelanterior(silosresiduossonindependientes,elvalor observado en una variable para un individuo no debe estar influenciado en ningn sentido por los valores de esta variable observadosenotroindividuo).Sielvalordelestadsticoesprximoa2losresiduosestnincorrelacionados;siseaproximaa4, estarnnegativamenteincorrelacionados;ysiseaproximana0 estarnpositivamenteincorrelacionados.

4. Estimacin de los parmetros o coeficientes de regresin: la ecuacin de prediccin o ecuacin de regresin mltiple Unavezqueyahemosanalizadoelcarctereintensidadde la relacin entre las variables, podemos proceder a estimar los parmetros de la ecuacin de prediccin o de regresin lineal. En el caso del anlisis de regresin mltiple tendremos tantas ecuaciones como modelos o pasos hayamos efectuado. De todoselloselegiremosaquelquemejorseajuste.steeselultimodelosmodelosgenerados. ElcriterioparaobtenerloscoeficientesderegresinB0,B1y B2 es el de mnimos cuadrados. Este consiste en minimizar la sumadeloscuadradosdelosresiduosdetalmaneraquelarecta deregresinquedefinamoseslaquemsseacercaalanubede puntos observados y, en consecuencia, la que mejor los representa. Losestadsticosasociadosalavariableindependientequea pasadoaformarpartedelmodeloderegresinsimpleson: 1.-CoeficientederegresinB. Este coeficiente nos indica el nmero de unidades que aumentarlavariabledependienteocriterioporcadaunidadque aumentelavariableindependiente. 2.-SEB. ErrortpicodeB.

3.-CoeficienteBeta. ElcoeficienteBetaeselcoeficientederegresinestandarizado.Expresalapendientedelarectaderegresinenelcasode quetodaslasvariablesestntransformadasenpuntuacionesZ.

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4.-Constante. Elvalordelaconstantecoincideconelpuntoenelquela rectaderegresincortaelejedeordenadas.Enlaecuacinde prediccin se mantiene constante para todos los individuos. Cuandolasvariableshansidoestandarizadas(puntuacionesZ)o siseutilizanloscoeficientesBeta,laconstanteesiguala0por loquenoseincluyeenlaecuacindeprediccin. 5.-Tolerancia. Latolerancia(T)deunavariableenunpasocualquieradel anlisisstepwiseeslaproporcindesuvarianzaintra-grupono explicadaporotrasvariablesdelanlisis(1-R2).Antesdeincluir una variable en el modelo se comprueba que su tolerancia es superioralnivelfijado.Sielvalordelatoleranciadeunadelas variables independientes es prximo a 0 podemos pensar que staesunacombinacinlinealdelrestodevariables.Sinembargo,sielvalordeTseaproximaa1,lavariableencuestinpuede reducirpartedelavarianzanoexplicadaporelrestodevariables. Seexcluyendelmodelolasvariablesquepresentanunatoleranciamuypequea. 6.-ValorT. ElestadsticoTnospermitecomprobarsilaregresinentre unavariableindependienteyladependienteessignificativa.Siel p-valor asociado al estadstico T (Sig T) es mayor al nivel de significacin(normalmente0.05)rechazaremosquelaregresin seasignificativaparalasdosvariablesrelacionadas. Atenordelosresultadosarrojadosslonosrestaconstruirla ecuacinpredictiva.Enelejemploqueserecogeenlaseccin de Resultados, la transcripcin de los resultados a la ecuacin quedara como sigue (al tener las variables la misma escala se tomanloscoeficientesdeB): Y=a+b1x1+e presente(p7A)=0,51+0,87pasado(p7B)+e Enelsupuestocasodequelosvaloresdelasvariablessiguieranunaescaladiferente,tendramosqueestandarizarutilizando loscoeficientesBeta,ynoB.Delmismomodo,alcontarconla mismaescalalaconstantesercero. presente(p7A)=0+0,87pasado(p7B)+e


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5. Cuadro de Dilogo del Anlisis de Regresin Mltiple Los pasos para la construccin del modelo son los que siguen. 1erpaso:ParaaccederalCuadrodeDilogodelAnlisisde RegresinLineal,deberemosseguirAnalizar:Regresin:Lineal (figura 1). 2 paso: All seleccionaremos la variable Dependiente que queremos explicar a partir de un conjunto de variables Independientes. Las variables seleccionadas las pasamos las pasamosasusrespectivoscuadros(figura 2).Enelejemploque proponemos las variables seleccionadas han sido las variables continuasp7ASITUACINACTUALESPAOLAcomovariable dependiente o criterio y p7B SITUACIN ESPAOLA PASADAyp7CSITUACINESPAOLAfuturacomovariables independientesopredictoras. 3erpaso:Enelcuadroprincipal,yunavezseleccionadaslas variables,deberemoselegirelMtodoquevamosaseguirpara laobtencindelmejormodeloderegresinlineal.Elmtodode entradadedatosalmodeloquevamosaseleccionaresdePasos sucesivos(oStepwise)(figura 2). 4 paso: Cliqueando en Estadsticos, botn de comando situadoenlaparteinferiordelcuadrodedilogoprincipal,accedemosalarelacindelosprincipalesestadsticosvinculadoscon el anlisis de regresin. Nuestro inters se va a centrar, fundamentalmente,enlasopciones:Descriptivos(noscalculalamedia y desviacin tpica de cada una de las variables que introducimos,nospresentalamatrizdecorrelacionesascomoelanlisis de varianza); Ajuste del modelo y Cambio en R cuadrado; en Coeficientes de regresin solicitaremos las Estimaciones; y en ResiduospediremoselestadsticodeDurbin-Watson(figura 3). 5 paso: Como complemento al estadstico de DurbinWatsonpodemossolicitarlosgrficosHistogramayGrficode probabilidadnormal(figura 4).Paraaccederaestesubcuadrode dilogo debemos cliquear en el botn de comando Grficos situado en la parte inferior del cuadro de dilogo principal de regresinlineal.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

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Latcnicadeanlisisderegresinmltiple,adiferenciadel modeloderegresinsimple,seencuentramuygeneralizaenla investigacinsocial.Enesteapartadopresentamoslaaplicacin delmodeloderegresinmltipleparalaestimacindelProducto InteriorBruto(P .I.B.).

6. Bibliografia ComentadaDaz-Agero,Coral(1999):Indicadoressintticos,(enlnea) (consultadoel4deabrilde2001).

En este artculo la autora recoge el proceso que se sigue para convertir una batera de indicadores econmicos representativos de la evolucin de una macromagnitud en un ndice compuesto o indicador sinttico para a partir de ste realizar predicciones sobre la evolucin de sus indicadores base. Dos cuestiones son las que hay que resolver: cmo se agregan los indicadores parciales y de qu forma participan cada uno de los indicadores parciales en la sntesis final. La autora agrega los indicadores parciales aplicando el procedimiento stepwise y cada uno de ellos participa ponderndose por sus respectivos coeficientes de correlacin. De esta manera llega a concretar el indicador sinttico cuantitativo del P.I.B.

7. Resultados Losresultadosqueserecogenenlasalidaderesultadosson, enesencia,losmismosqueyahemoscomentadoenelcaptulo dedicadoalmodeloderegresinlinealsimple.stoslospodemosagruparentornoalossiguientespuntos. En primer lugar, el programa nos ofrece una serie de tablasquerecogeninformacinbsicatantodelproceso como de las variables sometidas a anlisis. Dentro de esteprimergrupocabedestacarlastablasdedescriptivos bsicosyladematrizdecorrelaciones. A continuacin, se presenta una tabla (resumen del modelo)enlaqueserelacionaunaseriedeestadsticos


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apartirdelosculesvalorarlabondaddeajustedelos datosdelmodelo.Conlamismafinalidadsepresentala tabladeanlisisdevarianza. Entercerlugar,nosencontramosconlatablaenlaque aparecenloscoeficientesdelaecuacinpredictiva.sta seformaapartirdeloscoeficientesnoestandarizados(B) cuandolosvaloresdelasdosvariablestienenlamisma escala.EnelcasocontrariodeberemoselegirloscoeficientesBeta. Porltimo,laexposicinderesultadossecierraconuna seriederepresentacionesgrficascuyafinalidadesfacilitar el anlisis del tipo de distribucin de los residuales (grficoderesiduostipificadosygrficodeprobabilidad normal). 7.1. Estadsticos bsicos

7.2. Matriz de Correlaciones Parciales

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7.3. Resumen del proceso STEPWISE: relacin y eliminacin de variables

7.4. Estadsticos de Bondad de Ajuste

7.5. Tabla de Anlisis de Varianza


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7.6. Estimaciones de parmetros o coeficientes de correlacin: la ecuacin de prediccin

7.7. Variables excluidas del Modelo

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7.8. Grfico de distribucin de residuales (grfico 1)

Grfico de probabilidad normal (grfico 2)


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