Modelos de Valoración de Opciones Parte 1 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero...

Modelos de Valoración de OpcionesModelos de Valoración de Opciones

Parte 1 Parte 1

Prof. Dr. Prosper Lamothe FernándezProf. Dr. Prosper Lamothe Fernández

Jorge Otero RodríguezJorge Otero Rodríguez

Modelos de Valoración de Opciones 2

ContenidosContenidos

Introducción

Límites de valoración

Black Scholes

Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes

Opciones sobre tipos de interés

Árboles binomiales

Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas

Notas finales

Límites de Límites de valoraciónvaloración

Black Black ScholesScholes

OpcionesOpciones realesreales

Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés

Árboles Árboles binomialesbinomiales

Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas

Notas Notas finalesfinales

IntroducciónIntroducción


Opciones: definición y tipologíaOpciones: definición y tipología

Una opción de compra o call (venta o put) es un contrato que otorga a su titular el

derecho a comprar (vender) un activo subyacente a un precio determinado (conocido

como precio de ejercicio o strike), en una fecha futura establecida, a cambio del pago de

una prima

Respecto al activo subyacente, la opción puede ser

Financiera: sí el activo subyacente es un activo financiero, como una acción.

Real: sí el activo subyacente es un activo real, como un proceso productivo

Respecto a la fecha de ejercicio, la opción puede ser

Europea: la opción únicamente puede ejercitarse en la fecha de vencimiento

Americana: la opción puede ser ejercitada en cualquier momento desde su emisión

hasta su fecha de vencimiento

Bermuda: la opción puede ser ejercitada en varias fechas establecidas desde su

emisión hasta su fecha de vencimiento. Es una opción híbrida entre el tipo

americano y europeo


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Prima de una opción financieraPrima de una opción financiera

Las opciones son un activo/pasivo contingente, dado que su valor depende del valor

del activo subyacente que es función de ciertas contingencias

Valor de una opción (P) = Valor intrínseco (VI) + Valor temporal o extrínseco (VE)

Valor intrínseco (VI): valor que tendría la opción sí se ejerce inmediatamente. Así es

el máximo entre cero y el valor de la opción en caso de ser ejercitada.

Opción de compra: Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)

Opción de venta: Máximo (Precio ejercicio - Precio activo subyacente ; 0)

Valor extrínseco (VE): valoración que hace el mercado de las probabilidades de

beneficios con la opción sí el movimiento del precio del activo subyacente es

favorable. Componente probabilístico.

Valor intrínseco y contingencias

Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente > 0 In the money VE decreciente

Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente = 0 At the money VE es máximo

Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente < 0 Out of the money P = VE


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Prima opción = Valor intrínseco + Valor temporalPrima opción = Valor intrínseco + Valor temporalCall Europea sin reparto de dividendosCall Europea sin reparto de dividendos


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales


13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.47

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

6.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Valor opción Valor intrínseco Valor temporal

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Valor intrínseco Valor temporal


¿Cómo se efectúa el pricing de una opción?¿Cómo se efectúa el pricing de una opción?Los métodos de valoración de opciones expresan cuantitativamente el valor del contrato

de opción a través de tres etapas

Definir el contrato, es decir, formalizar matemáticamente los pagos asociados a

cada estado de la naturaleza

Por ejemplo, en el caso de una opción de compra, el valor intrínseco es función del precio del

activo subyacente, siendo el pago asociado a cada estado de la naturaleza:

Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)

Conocer la dinámica generatriz del precio del activo subyacente, esto es, cómo

evoluciona, qué ley determinística o probabilística sigue, cuál es su dinámica

estocástica. En el caso de las acciones negociadas en mercados financieramente

eficientes

Establecer un método analítico o numérico que proporcione el valor esperado

monetario actualizado del contrato

TσT;2

σμN

S

SLn

2t Ten generada continua compuesta adRentabilid

S

SLn t


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Métodos de valoración de opciones financierasMétodos de valoración de opciones financieras

Método de Black-Scholes (Fisher Black y Myron Scholes,1973)

Método analítico exacto en tiempo continuo

Método Binomial (Cox, Ross y Rubinstein, 1976)

Método numérico en tiempo discreto mediante simulación organizada a través de

árboles binomiales.

Método de Monte Carlo

Método numérico en tiempo discreto mediante simulación aleatoria.

Los modelos asumen que el precio de las acciones sigue un paseo aleatorio los

cambios proporcionales en el precio de las acciones en un período corto de tiempo se

distribuyen normalmente, lo que implica que, el precio de las acciones en cualquier

momento del futuro sigue una distribución lognormal (Ln (St / St-1) sigue una distribución

normal).

Rentabilidad esperada : rentabilidad media anual obtenida a corto plazo

Volatilidad del precio de las acciones : medida de la incertidumbre sobre los

movimientos futuros del precio de las acciones


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Genealogía de Opciones (I)Genealogía de Opciones (I)

Productos de primera generación: Opciones plain vanilla

Las posiciones básicas que se pueden tomar con una opción con sus

correspondientes perfiles de riesgo son:

Compra de una call Compra de una put

Riesgo: limitado al pago de la prima limitado al pago de la prima

Beneficio: potencial ilimitado precio de ejercicio

Expectativas: alcistas bajistas

Venta de una call Venta de una put

Riesgo: ilimitado precio de ejercicio

Beneficio: limitado a la prima limitado a la prima

Expectativas: moderadamente bajistas moderadamente alcistas

Productos de segunda generación: Opciones sintéticas

Su estructura esta formada por dos o más contratos “tradicionales” (futuros/forward,

opciones y swaps), con el objetivo de reducir el precio o prima del instrumento

resultante a cambio de disminuir su potencial de beneficios.

Combinaciones forward / opciones: range forwards, break forwards, forward parciales.

Combinaciones de opciones: collars, cilindros, ratio spreads.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Productos de tercera generación: Opciones exóticas

Son propiamente las opciones exóticas y suponen una modificación de alguna o varias

de las características de las opciones estándar.

Existe una gran variedad de opciones exóticas, que se incrementa cada día debido al

rápido proceso de la innovación financiera que se está dando en los mercados

financieros.

Se podrían clasificar según las siguientes categorías:

Opciones compuestas

Opciones path-dependent o con memoria

Opciones con pay-off modificado

Opciones time-dependent

Opciones multivariantes

Genealogía de Opciones (II)Genealogía de Opciones (II)


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones compuestasOpciones compuestas

Call sobre una call: su comprador adquiere el derecho a comprar una opción call sobre un activo

subyacente.

Ccall = Max call (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0

Call sobre una put: el comprador adquiere el derecho a comprar una opción put sobre un activo

subyacente.

Cput = Max put (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0

Put sobre una call: el comprador adquiere el derecho a vender una opción call sobre un activo

subyacente.

Pcall = Max E2 – call (S, E1, , r, q, T2); 0

Put sobre una put: el comprador adquiere el derecho a vender una opción put sobre un activo

subyacente

Pput = Max E2 – put (S, E1, , r, q, T2); 0

Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato

de opción. Se pueden clasificar en:de opción. Se pueden clasificar en:


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones exóticas: opciones path dependent (I)Opciones exóticas: opciones path dependent (I)

Dependientes de limite / extremo: tienen una dependencia especifica del valor máximo o mínimo

alcanzado por el activo subyacente durante la vida de la opción ya sea a efectos del calculo de su

pay-off, de la determinación del precio de ejercicio o, por ejemplo, por la existencia de mecanismos

de activación o desactivación de la opción.

Opciones barrera: estándar, con barrera parcial, con barrera múltiple, con barrera exógena, ...

Opciones lookback: con precio de ejercicio fijo o flotante

Opciones ladder:

CT= Max. (ST-E), Max. (LA-E), 0

PT= Max (E-ST), Max (E-LA), 0

Opciones Cliquet

Son aquellas opciones cuyo valor intrínseco al vencimiento no solo depende del Son aquellas opciones cuyo valor intrínseco al vencimiento no solo depende del valor del activo subyacente al vencimiento, sino también de la evolución valor del activo subyacente al vencimiento, sino también de la evolución

particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opción. particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opción. Se pueden clasificar en:Se pueden clasificar en:


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones exóticas: opciones path dependent (II)Opciones exóticas: opciones path dependent (II)

Asiáticas: dependen directamente de la evolución del activo subyacente durante la vida de la opción,

ya que el precio utilizado para su liquidación o el propio precio de ejercicio se obtienen como una

media (aritmética, geométrica) del precio del subyacente que se calcula en base a una frecuencia

predeterminada (diaria, semanal, mensual, etc.)

De tipo de cambio medio o con strike fijo (asiáticas)

CT= Max 0, S – E / PT= Max 0, E – S

De media ponderada

Con precio de ejercicio medio

De media aritmética

De media geométrica

Opciones apalancadas o Leveraged: su valor intrínseco a vencimiento viene dado por una función

polinomial o potencial, de forma que ofrecen un mayor nivel de apalancamiento.

Opciones polinomiales

Opciones potenciales


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones condicionales o con pay-off modificadoOpciones condicionales o con pay-off modificado

Son opciones cuyo pay-off final, a diferencia del perfil continuo del pay-off de una opción estándar

(cero o la diferencia respecto al strike), es de naturaleza discontinua, es decir, pagan cero o una

cantidad prefijada (que puede ser variable) si expiran in-the-money.

Digitales o binarias: proporcionan al inversor un pay-off predeterminado solo si al vencimiento la

opción expira in-the-money.

Cash-or-nothing

CT: 0 si S E y K si S > E

PT: 0 si S E y K si E > S

Asset-or-nothing

CT: 0 si S E y S si S > E

PT: 0 si S E y S si E > S

Binary gap

Cash or nothing call (put) sobre dos activos

Cash or nothing up-down (down-up) sobre dos activos


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones exóticas: Opciones time-dependent Opciones exóticas: Opciones time-dependent

Opciones Bermuda: son un híbrido entre opciones europeas y americanas en las que el

ejercicio anticipado es posible pero solo en una serie predeterminada de fechas.

Opciones Chooser: opciones as-you-like-it, permiten al comprador decidir en una fecha futura si

quiere que su opción sea una CALL o una PUT estándar:

Opciones Chooser simples

Opciones Chooser complejas

Forward start options: opciones de tipo europeo por las que se paga la prima en el momento de

su contratación pero que solo comienzan a estar vigentes a partir de una fecha futura.

Opciones con vencimiento extensible

Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se

designan aquellas que poseen una estructura “especial” de fechas de ejercicio o aquellas en designan aquellas que poseen una estructura “especial” de fechas de ejercicio o aquellas en

las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna característica las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna característica

de la opción o el valor intrínseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en:de la opción o el valor intrínseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en:


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales



Opciones exóticas: opciones sobre varios subyacentesOpciones exóticas: opciones sobre varios subyacentes

Opciones basket o cesta: el pay-off de la opción es función del comportamiento agregado de una serie de

activos que conforman, con unos pesos determinados, una cesta. Efecto diversificación:

CT = Max 0, i ( w i x Sni ) - E

PT = Max 0, E – i ( w i x Sni )

Opciones Rainbow (n colores): el pay-off de la opción se determina a partir de la relación al vencimiento

de múltiples (n) activos.

Opciones sobre dos activos intercambiables, u opciones “exchange

Opciones que entregan el mejor de dos activos

Opciones que entregan el peor de dos activos

Opciones que entregan el mejor de dos activos o dinero

Opciones sobre el mejor de dos activos: valor a vencimiento

Opciones sobre el peor de dos activos

Opciones best/worst performer (de n activos): estas opciones pagan el máximo o el mínimo de varios

activos.

Opciones ligadas al tipo de cambio: dependen explícitamente de un solo activo, pero en las que interviene

el tipo de cambio, por lo que su valoración se ve afectada por movimientos tanto del activo subyacente como

del tipo de cambio. Son conocidas como “quantos” (quantiy-adjusted options)


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales




A través del arbitraje se pueden obtener unos límites mínimos, que aún no siendo en sí

mismos la prima de la opción, son una referencia de valoración.

Los límites se pueden obtener para:

Tipo de opción: Call - Put.

Tipo de opción (ejercicio): europea - americana.

Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos -

divisas.

Programa: Opciones_limites.xls.

Ubicación:

Hoja Call Eur sin Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo

subyacente que no distribuye dividendos

Hoja Put Eur sin Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo

subyacente que no distribuye dividendos

Hoja Call Eur Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo

subyacente que distribuye dividendos en tasa continua

Hoja Put Eur Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo

subyacente que distribuye dividendos en tasa continua


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


AplicaciónAplicación

Objetivo: aplicación de límites de

valoración, valor temporal e

intrínseco.

Programa:

Opciones_limites.xls.

Variables a suministrar.

Precio del activo subyacente.

Precio de ejercicio.

Fecha de valoración.

Fecha de vencimiento.

Volatilidad subyacente.

Tasa de descuento

(rentabilidad de deuda tesoro).

Tasa de dividendos.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

Opciones FinancierasValor intrínseco y temporal - Límites de valoración

Precio acción 12.00 1200 Call PutPrecio de ejercicio 11.85 1185 Black Scholes 1.39 0.83Tipo de interés anual 3.500% 3500 Black Scholes dividendos 1.31 0.87Volatilidad 23.25% 2325 Binomial - Americanas 1.39 0.87Tasa de dividendos 1.000% 1000Nº iteraciones (binomial) 31 31 S+P VA(X)+CTiempo al vto. (años) 1 1000 Black Scholes 12.83 12.83 (días) 365 Black Scholes dividendos 12.75 12.75Tipo de interés continuo 3.440%

Put Europea sin dividendos

13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.47

Paridad Put Call

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

6.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Limite inferior Valor opción Valor intrínseco Valor temporal

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Valor intrínseco Valor temporal


ArbitrajeArbitraje

Objetivo: existen cuatro módulos de arbitraje que determinan la estrategia a adoptar en caso de que la prima de la opción no respete el límite de valoración.

Programa:

Opciones_limites.xls.







Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro).

Tasa de dividendos continua.

Análisis:

Perfil de resultados.

Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

Opciones FinancierasLímites de valoración

Precio acción 20.00 2000Precio de ejercicio 18.00 1800Tipo de interés anual 10.000% 10000Volatilidad 30.15% 3015Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365Tipo de interés continuo 9.531%

Mínimo teórico Call Europea sin dividendos

Mínimo teórico Call Europea 3.7129Precio observado de la call 2.0000

Se puede arbitrarEstrategia

Cash Flow Al final del período

Sí St es mayor que 18 p.ej 22,5

Sí St es menor que 18 p.ej 13,5

Comprar la opción Call -2 St 22.50 13.50Vender la acción 20 Resultado Call 4.50 0.00Cash Flow neto 18 Resultado en subyacente +/- prima -2.61 6.50Inversión del CF 19.89307653 Resultado total 1.89 6.50


Alternativamente al análisis desarrollado, se pueden utilizar las siguientes funciones:

Funciones VBAFunciones VBA

DescripciónPropiedades_Opciones

Función

LimiteInferior_Call_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Put_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Call_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Put_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Call_Ame(S , K )LimiteInferior_Put_Ame(S , K )PPC_valor_put(S , K , t , r , Prima_Call ) PPC_valor_call(S , K , t , r , Prima_Put ) PPC_DividendosTasa_valor_put(S , K , t , r , q , Prima_Call ) PPC_DividendosTasa_valor_call(S , K , t , r , q , Prima_Put ) PPC_Divisas_valor_put(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Call ) PPC_Divisas_valor_call(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Put )

PPC_DividendosCP_valor_put(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Call )

PPC_DividendosCP_valor_call(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Put )

Dist_Lognormal_LnSt_media(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_St_esperanza(S , t , rent_esperada )

Varianza del Precio - Distribución LognormalDesviación Típica del Ln(Precio) - Distribución LognormalIntervalo de confianza. Límite inferior para en Ln(St) - Media del Ln(Precio) - Distribución LognormalIntervalo de confianza. Límite superior para en Ln(St) - Distribución Lognormal

Dist_Lognormal_St_varianza(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_LnSt_desvstand(v , t )

Dist_Lognormal_LnSt_LimInfer(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )

Dist_Lognormal_LnSt_LimSuper(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )

Valor mínimo para la prima de un Call en FuturosValor mínimo para la prima de un Put en FuturosValor mínimo para la prima de un Call EuropeaValor mínimo para la prima de un Put EuropeaValor mínimo para la prima de un Call AmericanaValor mínimo para la prima de un Put AmericanaPrima de un Put de un activo subyacente que no reparte dividendos Prima de un Call de un activo subyacente que no reparte Prima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos en Prima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos Prima de un Put de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callMedia del Ln(Precio) - Distribución LognormalEsperanza del Precio - Distribución Lognormal


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción



En 1973 Fisher Black y Myron Scholes contribuyeron de manera decisiva al desarrollo de

la economía financiera al establecer las bases de la valoración de opciones financieras

europeas.

Dada su importancia, se ha utilizado extensivamente sus resultados en diversas áreas, a

saber:

Cálculo de sensibilidades o griegas.

Estrategias con opciones: perfil de beneficios y sensibilidades.

Opciones reales.



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Determinación de la prima de opciones CALL y PUTDeterminación de la prima de opciones CALL y PUT

)N(deX)N(dSCall 2Tr

1

Tσ

T2σrXSlnd

2

1

TσdTσ

T2σrXSlnd 1

2

2

N(0,1)dProbdN 11 N(0,1)dProbdN 22

N(0,1)d-Probd-N 11 N(0,1)d-Probd-N 22

)dN(S)dN(eXPut 12Tr



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


GriegasGriegas

Los programas desarrollados son tres, a saber:

Black_Scholes_griegas.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas sin reparto de

dividendos.

Black_Scholes_griegas_dividendos.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas que

distribuyen dividendos.

Black_Scholes_griegas_divisas.xls – análisis de sensibilidad para divisas.

Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:

Tipo de opción: Call - Put.

Tipo de opción (ejercicio): europea.

Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos - divisas.

Las hojas de cálculo permiten:

Obtenerse un completo análisis gráfico en dos y tres dimensiones con tablas de sensibilidad

para los siguientes parámetros:

Prima de un Call, prima de un Put, delta Call, delta Put, gamma, Put,Rho Call, Rho Put, theta Call, theta Put,vega.

Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor

de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de

iteraciones.



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (I) (I) N(d1)/d1

N(d2)/d2

c Call Delta

p Put Delta

2

)(d 21

eΠ2

11d1)N(d

2

Tσd

2

2

21

eΠ2

1d

)N(d

0N(d1)S

CallΔ Delta Call

0N(d1)1S

PutΔ DeltaPut

•Sensibilidad de la prima a las Sensibilidad de la prima a las

variaciones del precio del variaciones del precio del

subyacente.subyacente.•Probabilidad de que la opción Probabilidad de que la opción

sea ejercida.sea ejercida.



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (II) (II) Gamma

Vega

Call Rho

Put Rho

0d

)N(d

TσS

1S

PutS

Call γGamma

1

12

2

2

2

0d

)N(dTS

σPut

σCall

Vega1

1

•Sensibilidad de la Delta a los Sensibilidad de la Delta a los cambios del precio del cambios del precio del subyacente (delta de la delta).subyacente (delta de la delta).•Indica la velocidad de los Indica la velocidad de los ajustes para posiciones de la ajustes para posiciones de la delta neutral.delta neutral.

•Sensibilidad de la opción a las Sensibilidad de la opción a las variaciones de la volatilidad variaciones de la volatilidad implícita negociada en el implícita negociada en el mercado.mercado.•Su signo es positivo para las Su signo es positivo para las compras de opciones y compras de opciones y negativo para las ventas de negativo para las ventas de opciones.opciones.

0e)N(dTKr

Callρ Rho Call Tr

2

0e)N(d1TKr

Putρ RhoPut Tr

2

•Sensibilidad de la opción a las Sensibilidad de la opción a las variaciones en el tipo de variaciones en el tipo de interésinterés



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (III) (III) Call Theta

Put Theta

Call Theta diaria

Put Theta diaria

0)N(deKRd

)N(d

T2

σST

CallCallTheta 2

Tr

1

1

0)N(d1eKRd

)N(d

T2

σST

PutThetaPut 2

Tr

1

1

•Sensibilidad de la Sensibilidad de la

prima de la opción al prima de la opción al

paso del tiempo.paso del tiempo.

•En general tiene valor En general tiene valor

positivo, i.e, a mayor positivo, i.e, a mayor

plazo mayor prima.plazo mayor prima.365díasT

CallDiaria Theta Call

365díasT

PutDiaria ThetaPut



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


MODELO DE BLACK SCHOLESAnálisis de sensibilidad del parámetro Rho Call - POSICIÓN LARGA

Tipo de cambio spot 25.75 2575 Call Put Cálculos intermediosTipo de cambio strike 26.50 2650 Prima 2.80585 3.221 d1 0.094Tipo de interés anual local 3.250% 3250 Griegas d2 -0.204Volatilidad 29.75% 2975 Delta 0.527 -0.453 N(d1) 0.537Rentabilidad moneda extranjera 2.01% 201 Gamma 0.051 0.051 N(d2) 0.419Tiempo al vto. (años) 1 1000 Theta -1.568 -1.242 N(-d1) 0.463 (días) 365 Theta diaria -0.004 -0.003 N(-d2) 0.581Tipo de interés continuo 3.198% Vega 0.100 0.100S*exp(-r_ext*t)+P 28.4584 Rho 0.108 -0.149VA(X)+C 28.458441 0

Se utilizará para graficar las griegas. Es independiente de graficar la prima de la opción (lista desplegable)

Parámetro Rho Call: sensibilidad al tipo de cambio

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 5 10 15 21 26 31 36 41

Tipo de cambio spot

CALL PUT

GriegasGriegas

Activo sin dividendos.

Activo subyacente So.


Tipo de interés.

Tiempo al vencimiento.

Volatilidad anualizada.

Activo con dividendos.

Activo subyacente So.


Tipo de interés.

Tiempo al vencimiento.

Volatilidad anualizada.

Tasa de dividendos.

Divisas.

Tipo de cambio spot.

Tipo de cambio strike.

Tipo de interés anual local.

Volatilidad.

Rentabilidad moneda extranjera.

Tiempo al vencimiento. (años).

Variables a suministrarVariables a suministrar



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas.xls, se pueden

utilizar las siguientes funciones:

Griegas – Activos que no distribuyen dividendosGriegas – Activos que no distribuyen dividendos

Descripción

vol_implic_BS_put(S , K , t , r , PutBS ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put

ThetaDiaria_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)vol_implic_BS_call(S , K , t , r , CallBS ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call

Rho_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interésThetaDiaria_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)

Vega_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés

Theta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)Theta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)

Delta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente

dNd2_dd2(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2 respecto al parámetro d2

Delta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)

BS_Put(S , K , t , r , v ) Prima de un Put por Black-Scholes

dNd1_dd1(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1 respecto al parámetro d1

Nd_2(S , K , t , r , v ) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2BS_Call(S , K , t , r , v ) Prima de un Call por Black-Scholes

FunciónBlack_Scholes - Activo subyacente que no distribuye dividendosd_1(S , K , t , r , v ) Parámetro d1d_2(S , K , t , r , v ) Parámetro d2Nd_1(S , K , t , r , v ) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_dividendos.xls, se

pueden utilizar las siguientes funciones:

Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua)Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua)

Descripción

Parámetro d1Parámetro d2

d1_dividendos(S , K , t , r , v , q)d2_dividendos(S , K , t , r , v , q)

FunciónBlack_Scholes_Dividendos - Activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continua

Nd1_dividendos(S , K , t , r , v , q) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Nd2_dividendos(S , K , t , r , v , q) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Put por Black-ScholesDelta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Delta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacenteVega_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interésRho_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interésTheta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)Theta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)ThetaDiaria_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)ThetaDiaria_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)vol_implic_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_divisas.xls, se

pueden utilizar las siguientes funciones:

Garman KohlhagenGarman Kohlhagen - Griegas - Griegas

DescripciónFunción

d1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parámetro d1d2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parámetro d2

Nd1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1

Nd2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2

BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Put por Black-Scholes

Delta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)

Delta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)

Gamma_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente

Vega_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente

Rho_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés

Rho_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés

Theta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)

Theta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)

ThetaDiaria_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)

ThetaDiaria_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)

vol_implic_BS_call_divisas(S , K , t , r_local , CallBS , r_extranjera ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_divisas(S , K , t , r_local , PutBS , r_extranjera ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put

Black_Scholes_Divisas



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Análisis de estrategiasAnálisis de estrategiasObjetivo: analizar el perfil de resultados y

sensibilidades de la conjunción de

diversos activos (opciones y acciones)

Programa:

Black_Scholes_y_derivaciones.xls

Ubicación:

Hoja Analisis de posiciones

Variables a suministrar

Precio acción subyacente

Precio de ejercicio

Vencimiento (días)

Volatilidad

Tipo de descuento

Tipo de activo (opción u acción)

Número de títulos

Análisis:

Perfil de resultados

Sensibilidades de los activos ante

variaciones del activo subyacente

(griegas)



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAnálisis de estrategiasBlack_Scholes_Opciones_reales

Precio accion subyacente 30.50 3050Precio de ejercicio 30.00 3000 Diaria Semanal Hasta vto.Vto (días) 90 90 0.46 1.00 4.33Volatilidad 23.75% 2375Tipo de descuento 3.490% 3490Vto (años) 0.25

Número de títulos

Tipo(S/C/P)

Precio Ejercicio

Precio teórico Precio efectivoVolatilidad implícita

300 S 30.00 9,150.00 9,150.00 N/A

-150 C 30 -273.95 -273.95 23.75%

-200 P 30 -213.89 -213.89 23.75%Total 8,662.16 8,662.16

Número de títulos

Tipo(S/C/P)

Delta Gamma Vega Theta (diaria) Rho

300.00 S 300.00 0.00 0.00 0.00 0.00(150.00) C (91.01) (16.04) (8.73) 1.39 6.16(200.00) P 78.65 (21.39) (11.64) 1.29 (6.44)

287.64 (37.43) (20) 3 (0)

95%Número de

títulosTipo

(S/C/P)VaR diario Var semanal

300.00 S 225.17 495.69(150.00) C (68.31) (150.38)(200.00) P 59.03 129.95

Bº/Pª = Valor de la posición -VF(Coste de la posicion) Confianza 95.00%1.959962787

St 1.00 16.00 31.00 46.00 61.00 76.00 90.00 Rango27.00 -112.10 -119.42 -141.26 -171.39 -204.72 -239.16 -271.52 -1.9627.35 -42.13 -52.75 -82.15 -118.65 -156.99 -195.47 -230.94 -1.7627.70 27.83 11.42 -27.13 -70.38 -113.77 -156.18 -194.64 -1.5728.05 97.80 71.82 22.89 -27.21 -75.47 -121.60 -162.86 -1.3728.40 167.77 126.92 67.01 10.33 -42.46 -91.98 -135.76 -1.1828.75 237.72 175.01 104.40 41.75 -15.03 -67.51 -113.49 -0.9829.10 307.39 214.44 134.37 66.71 6.60 -48.33 -96.12 -0.7829.45 373.70 243.79 156.41 84.95 22.32 -34.49 -83.69 -0.5929.80 423.08 262.09 170.23 96.37 32.09 -26.00 -76.18 -0.3930.15 434.32 268.94 175.79 101.00 35.96 -22.78 -73.51 -0.2030.50 406.04 264.58 173.26 98.99 34.07 -24.72 -75.58 0.0030.85 358.54 249.80 163.05 90.62 26.64 -31.64 -82.22 0.2031.20 306.59 225.83 145.72 76.25 13.93 -43.31 -93.25 0.3931.55 254.14 194.15 121.96 56.33 -3.72 -59.48 -108.45 0.5931.90 201.66 156.31 92.54 31.36 -25.96 -79.86 -127.58 0.7832.25 149.19 113.76 58.26 1.85 -52.38 -104.14 -150.38 0.9832.60 96.71 67.79 19.89 -31.65 -82.60 -132.00 -176.58 1.1832.95 44.24 19.42 -21.83 -68.63 -116.21 -163.13 -205.91 1.3733.30 -8.24 -30.55 -66.24 -108.58 -152.83 -197.20 -238.11 1.5733.65 -60.71 -81.55 -112.77 -151.04 -192.07 -233.90 -272.91 1.7634.00 -113.19 -133.19 -160.94 -195.60 -233.58 -272.94 -310.05 1.96

Interés -0.84 -13.44 -26.03 -38.63 -51.22 -63.82 -75.58

Resultados (Bº/Pª) vs días al vto.

0

475.27

Griegas

VaR (nivel de confianza)

(216.08) (477.29)215.89

Var semanalVaR diario

Desv. Estand. Precio acción


Valoración - Activo sin dividendosValoración - Activo sin dividendos

Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones que no distribuyen dividendos

Programa:

Black_Scholes_y_derivaciones.xls

Ubicación:

Hoja BS convencional

Variables a suministrar

Precio del activo subyacente

Precio de ejercicio

Fecha de valoración

Fecha de vencimiento

Volatilidad subyacente

Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro)

Análisis:

Perfil de resultados

Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta)



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESActivo sin dividendos

Precio del activo subyacente en t=o (S) 8.25Precio de ejercicio (K) 8.00Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Volatilidad subyacente 22%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.250%Tiempo al vto. (años) 0.493Factor de descuento 0.984Días al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.20%

Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371

Cálculosln(S/K) 0.0308(r + v^2/2) T 0.0280 v T (.5) 0.1567d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5) 0.3753d2 = d1 - v t (.5) 0.2186N(d1) 0.6463

N(d2) 0.5865

N(-d1) 0.3537

N(-d2) 0.4135KB(0,T) VA(K) 7.8729Se -qT N(d1) 5.3319KB(0,T) N(d2) 4.6177Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142S N(-d1) 2.9181KB(0,T) N(-d2) 3.2552Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371

Prima del Call - Valor intrínseco

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

5.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78

St

Prim

a

Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put

Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

5.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78

St

Del

ta (

N(d

1)

Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)


Valoración - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazoValoración - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazo

Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones con un calendario de reparto de dividendos a corto plazo.

Programa:

Black_Scholes_y_derivaciones.xls.

Ubicación:

Hoja BS dividendos CP.








Dividendos: importe y fechas de percepción.

Análisis:





Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESActivo con dividendos - Fechas concretas - Modelo C/P

Precio del activo subyacente en t=o (S) 9.15Precio de ejercicio (K) 8.50Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 28/05/2005Volatilidad subyacente 32%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.000%

Fecha de percepción Importe

Dividendo nº 1 27/06/2004 0.25Dividendo nº 2 11/08/2004 0.25Dividendo nº 3 10/09/2004 0.50Dividendo nº 4 25/10/2004 0.50VA dividendos 1.49Tiempo al vto. (años) 1.000Factor de descuento 0.970Días al vto. 365Tasa compuesta continua libre de riesgo 2.96%


Cálculosln((S-VA(Dividendos))/K) -0.1037(r + v^2/2) T 0.0800v * T ^.5) 0.3175d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5) -0.0748d2 = d1 - v t (.5) -0.3923N(d1) 0.4702

N(d2) 0.3474

N(-d1) 0.5298

N(-d2) 0.6526

KB(0,T) VA(K) 8.2488Se -qT N(d1) 3.6028

KB(0,T) N(d2) 2.8657Prima del Call (Black-Scholes) 0.7371(S-VA(Dividendos)) N(-d1) 4.0598KB(0,T) N(-d2) 5.3831Prima del Put (Black-Scholes) 1.3233

Prima - Valor intrínseco

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

2.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43

St - VA(Dividendos)

Prim

a



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

2.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43

St - VA(Dividendos)

Del

ta (

N(d

1)



A continuación se detallan las funciones que permiten obtener los parámetros de

sensibilidad y primas de estas opciones:

Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo)Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo)

DescripciónFunción

d1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parámetro d1d2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parámetro d2

Nd1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1

Nd2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2

BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Put por Black-Scholes

Delta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)

Delta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)

Gamma_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente

Vega_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente

Rho_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés

Rho_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés

Theta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)

Theta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)

ThetaDiaria_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)

ThetaDiaria_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)

vol_implic_BS_call_dividendosCP(S , K , t , r , CallBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendosCP(S , K , t , r , PutBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put

Black_Scholes_DividendosCP



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Valoración - Activo con reparto de dividendos en tasa continuaValoración - Activo con reparto de dividendos en tasa continua

Objetivo: valoración de opciones europeas

sobre acciones con una tasa de reparto de

dividendos continua.

Programa:


Ubicación:

Hoja BS dividendos continuos.







Tasa de descuento (rentabilidad de

deuda tesoro).

Tasa de dividendos continua.

Análisis:


Sensibilidad de la opción ante

variaciones del activo subyacente

(delta).



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESBlack-Scholes - Tasa de dividendos continua

Precio del activo subyacente en t=o (S) 25.00Precio de ejercicio (K) 24.50Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 12/07/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 24%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (años) 0.123Factor de descuento 0.996Días al vto. 45Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%


Cálculosln(S/K) 0.0202(r - q + s2/2) T 0.0015 s T (.5) 0.0825d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)

0.2628

d2 = d1 - s t (.5)0.1803

N(d1) 0.6036

N(d2) 0.5715

N(-d1) 0.3964

N(-d2) 0.4285KB(0,T) VA(K) 24.3945Se -qT N(d1) 14.9984KB(0,T) N(d2) 13.9422Prima del Call (Black-Scholes) 1.0561Se -qT N(-d1) 9.8480KB(0,T) N(-d2) 10.4523Prima del Put (Black-Scholes) 0.6043


0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

20.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04

St

Prim

a



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

20.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04

StD

elta

(N

(d1)



Valoración - Valoración - Garman Kohlhagen - DivisasGarman Kohlhagen - Divisas

Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.

Programa:


Ubicación:

Hoja BS divisas - Garman Kohlhagen.


TC spot (cents./Unidad) (S).

Precio de ejercicio (K).

Fecha actual.


Volatilidad anualizada del TC.

Rentabilidad letra tesoro.

Rentabilidad título soberano extranjero.

Análisis:





Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESGarman Kohlhagen - Divisas - Black-Scholes

TC Spot (cents./unidad) (S) 99.35Precio de ejercicio (K) 99.75Fecha actual 28/05/2004Fecha de vencimiento 26/08/2004Volatilidad anualizada del TC 35.75%Rentabilidad letra tesoro 3.50%Rentabilidad título soberano extranjero 3.35%

Días al vencimiento 90.000 Años al vto 0.247Factor de descuento (doméstico), B(0,T): 0.9914Tasa de dto continuo compuesta (doméstica) 0.01%Factor de descuento (extranjero), Bf(0,T): 0.9918Tasa de dto continuo compuesta (extranjera) 0.01%

Prima Call (cents.) 6.8032Prima Put (cents.) 7.1633

Paridad Put-Call

B(0,T) K + call: 105.696

Bf(0,T)S(0) + put = 105.696

Cálculos

ln ([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) -0.004

s2T/2 0.016

s T (.5) 0.178

d1=(ln([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) +s2T/2)/sT (.5)0.06821

d2 = d1 - s t (.5)-0.1093

N(d1) 0.5272

N(d2) 0.456

N(-d1) 0.473

N(-d2) 0.544

KB(0,T) 98.893Prima Call (cents.) 6.80317

Bf(0,T) S(0) N(d1) 51.946

B(0,T) K N(d2) 45.142Prima Put (cents.) 7.16330TC forward teórico, f (0,T): 99.3868 Call delta, Bf(0,T)N(d1): 0.5229

Put delta, -Bf(0,T)N(-d1): -0.4689


0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92

TC Spot

Prim

a (G

arm

an-K

ohlh

agen

ad

apta

ción

de

Bla

ck-S

chol

es)



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92

TC SpotD

elta

(N

(d1)



MODELO DE BLACK SCHOLESValoración de Warrants - Tasa de dividendos continua

Precio del activo subyacente en t=o (S) 15.65Precio de ejercicio (K) 17.25Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 37.00%Nº acciones en circulación 750,000Nº warrants vivos 15,000Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (años) 0.493Factor de descuento 0.983Días al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%

Prima Warrant Call (Black-Scholes) 0.8478Precio ajustado de las acciones 15.3598Prima Warrant Put (Black-Scholes) 2.7934Precio ajustado de las acciones 15.3979

Cálculosln(S/K) -0.0973(r - q + s2/2) T 0.0261 s T (.5) 0.2598d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)

-0.2743

d2 = d1 - s t (.5)-0.5342

N(d1) 0.3919

N(d2) 0.2966

N(-d1) 0.6081

N(-d2) 0.7034KB(0,T) VA(K) 16.9548Se -qT N(d1) 5.9841KB(0,T) N(d2) 5.0291Prima del Call (Black-Scholes) 0.9550Se -qT N(-d1) 9.2847KB(0,T) N(-d2) 11.9257Prima del Put (Black-Scholes) 2.6410


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92

St

Prim

a de

l War

rant



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92

StD

elta

(N

(d1)


Valoración - WarrantsValoración - WarrantsObjetivo: valoración de warrants sobre opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.

Programa:


Ubicación:

Hoja Warrants.






Tasa de dividendos (continua).


Nº acciones en circulación.

Nº warrants vivos.


Análisis:





Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Valoración Warrants - Funciones VBAValoración Warrants - Funciones VBA

Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes

funciones:

DescripciónWarrants

Warrant_Put_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )Warrant_Sajustado_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )

Función

vol_implic_Warrant_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q , N_Acc , N_Warr )vol_implic_Warrant_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q , N_Acc , N_Warr )

Warrant_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr ) Prima de un Call WarrantPrima de un Put WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Call WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Put WarrantVolatilidad implícita negociada en un Call WarrantVolatilidad implícita negociada en un Put Warrant

Warrant_Sajustado_BS_Put_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )



Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

Modelos de Valoración de Opciones Parte 1 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero...

Documents

Transcript of Modelos de Valoración de Opciones Parte 1 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero...