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©2004 Bernardí Cabrer Econometría Empresarial II · Tema 10

ECONOMETRÍA EMPRESARIAL II

ADE

TEMA 10

MODELOS LINEALES CON ESTACIONALIDAD

Valencia, Marzo 2004

Bernardí Cabrer Borrás

(Análisis Económico)


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10. MODELOS LINEALES CON ESTACIONALIDAD

10.1 Modelos integrados estacionales simples (SARISMA)

10.2 Modelos estacionales simples (SAR, SMA y SARSMA)

10.1.1 Modelo autoregresivo estacional de primer orden. Modelo

SAR(1)

10.1.2 Modelo de medias móviles estacionales de primer orden. Modelo

SMA(1)

10.3 Modelos mixtos regulares y estacionales ARIMA*SARISMA

10.4 Identificación, estimación, validación y predicción de modelos mixtos

regulares y estacionales

10.5 Práctica con el TRAMO: estimación y validación de una serie con

estacionalidad


2

MODELOS INTEGRADOS ESTACIONALES SIMPLES. (MODELOS ESTACIONALES).

La modelización de las series temporales mediante la metodología ARIMA se

aplican a series de alta frecuencia, generalmente se tratan de datos trimestrales o bien a datos mensuales, es decir, a la predicción a corto plazo. En las de series de frecuencia inferior al año (datos trimestrales o mensuales generalmente) y en estos casos la modelización de la estacionalidad ocupa un papel central.

Los modelos ARIMA estacionales se representan por ARIMAs( P , D ,Q ) o bien

SARISMA( P , D ,Q ), donde P es el orden de la parte autoregresiva, D es el número de diferencias estacionales y Q es el orden de la parte de medias móviles.

En general, se dice que una serie se dice que una serie temporal tY admite una

representación autoregresiva integrada y de medias móviles estacionales de ordenes P , D y Q respectivamente, y se denota por SARISMA( P , D ,Q ), si es susceptible de ser modelizada a través de la ecuación:

( 1- sL D) tY = 1Φ stY − + 2Φ stY 2− + ... + PΦ PstY − + tε -1Θ st −ε -

2Θ st 2−ε - .... - QΘ Qst −ε

o bien, utilizando el operador retardo, se tiene:

(1- 1Φ sL - 2Φ sL2 - ... - PΦ PsL ) ( 1- sL D) tY =(1-1Θ sL -

2Θ sL2 - ...-QΘ QsL ) tε (10.1)

donde:

tY , stY − , ... , PstY − son variables aleatorias concebidas como realizaciones de un proceso estocástico en distintos momentos del tiempo t, t-1, t-2,... , que se caracterizan por E( tY ) = E( stY − ) = E( stY 2− ) = ... = E( PstY − )

s es la frecuencia estacional, en el caso de datos trimestrales s =4, mientras que para datos mensuales s =12

1Φ , 2Φ , ... , PΦ , 1Θ ,

2Θ , ... , QΘ junto con la varianza del proceso 2εσ son

los parámetros que definen el modelo (que deben ser estimados),

tε es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas (iid) que cumplen:

la esperanza de tε es nula; E( tε )= 0 la varianza de tε es constante; E( stt +εε ) = 2

εσ s∀ = 0

las autocovarianzas de tε son nulas; E( stt +εε ) = 0 s∀ ≠≠≠≠ 0

además, la variable tε se distribuye según una función normal

la variable aleatoria que reúne estas características se denomina, en este contexto, variable aleatoria ruido blanco.


3

Los modelos estacionales más frecuentes son los SARISMA(1,1,0), SARISMA(0,1,1) y SARISMA(1,1,1) cuyas ecuaciones para datos mensuales ( s =12 ) son:

SARISMA(1,1,0) � ( 1- 12L ) tY = 1Φ 12−tY + tε

SARISMA(1,1,0) � ( 1- 12L ) tY = tε - 1Θ 12−tε

SARISMA(1,1,1) � ( 1- 12L ) tY = 1Φ 12−tY + tε - 1Θ 12−tε

10.2. MODELOS ESTACIONALES SIMPLES. Con el fin de profundizar en el análisis de la estacionalidad se van a estudiar las principales características de los modelos estacionarios (no integrados) más sencillos SAR(1) y SMA(1). Que se caracterizan por una recurencia en los valores de la serie cada s periodos temporales. 10.2.1. Modelo autorregresivo estacional de primer orden: Modelo SAR (1).

Se dice que una serie temporal tY admite una representación autoregresiva estacional de primer orden, y se denota por SAR(1), si es susceptible de ser modelizada a través de la ecuación1:

tY = 1Φ stY − + tε (10.2)

donde:

tY , 1−tY , ... , stY − , ... son variables aleatorias concebidas como realizaciones de unproceso estocástico en los momentos del tiempo t , t-1 , t-2 , ... , que se caracterizan por E( tY ) = E( 1−tY ) = E( 2−tY ) = ... valor finito

1Φ , junto con la varianza del proceso 2εσ , son los parámetros que definen el

modelo (que deben ser estimados)

tε es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas que cumplen:

la esperanza de tε es nula; E( tε )= 0

la varianza de tε es constante; E( stt +εε ) = 2εσ s∀ = 0


además la variable tε se distribuye según una normal


1 En el modelo propuesto no se considera el término independiente, lo que no afecta en general a la explicación que se va a desarrollar.


4

Condición de estacionariedad.

La modelización de una serie a través de un modelo SAR exige que el modelo sea estacionario en media y varianza. La condición de estacionariedad en media exige que la E( tY ) no sea función del tiempo y, además, la E( tY ) debe ser finita y

determinada. En el caso presente se tiene: tY = 1Φ stY − + tε

o bien sustituyendo de forma reiterada se obtiene:

tY = tε + 1Φ st −ε + 21Φ st 2−ε + 3

1Φ st 3−ε + .... + st

1Φ 0Y

si se supone que 0Y es igual a cero se tiene que la esperanza de tY es:

E( tY ) = 0

dado que E( tε )=0 Así pues la condición de estacionariedad en media exige que la

E( tY ) no sea función del tiempo y, además, la E( tY ) debe ser finita y determinada. En

este caso como la esperanza de tY lo cumple.

El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo SAR es que la varianza sea finita e independiente del tiempo. Una forma de comprobar que el modelo

tY = 1Φ stY − + tε es estacionario en varianza es estudiando las raíces del polinomio característico, que en módulo, deben ser menores de la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es estacionario en varianza se van a calcular las raíces del polinomio característico del modelo, para ello se iguala a cero la parte autorregresiva del modelo:

tY - 1Φ stY − = 0

si ahora, se sustituye tY por tλ se obtiene la ecuación: tλ - 1Φ st−λ = 0

dividiendo por st−λ se tiene: sλ - 1Φ = 0

la solución de la ecuación o raíz del polimonomio es: 1λ = s1Φ

Las raíces del polimonomio en modulo deben ser menor que la unidad: || 1λ || < 1

o bien en nuestro caso: | 1Φ | < 1

Así pues, si el modelo especificado para representar la serie tY = 1Φ stY − + tε cumple la condición | 1Φ |<1, el modelo es estacionario en media y varianza.


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Condición de invertibilidad.

Invertir un modelo SAR consiste en transformarlo en su modelo SMA equivalente. En el caso de un modelo SAR(1) se tiene:

tY = 1Φ stY − + tε

o bien tY - 1Φ stY − = tε

utilizando el operador retardo tY - 1Φ sL tY = tε

sacando factor común tY se tiene: (1 - 1Φ sL ) tY = tε

despejando tY se obtiene: tY = ( 1 - 1Φ sL ) 1− tε =

= ( 1 + 1Φ sL + 21Φ sL2 + 3

1Φ sL3 + ... ) tε =

= tε + 1Φ st−ε + 21Φ st 2−ε + 3

1Φ st 3−ε + 41Φ st 4−ε + ...

Así pues, el modelo SAR(1) estacionario se ha transformado en un modelo de

medias móviles de orden infinito SMA( ∞ ). La condición de invertibilidad en los

modelos autorregresivos estacionales de un número finito de términos se cumple

siempre de forma automática.

Caracterización del modelo SAR(1).

La caracterización de un modelo SAR se efectúa a través de la función de

autocovarianza, la función de autocorrelación (AC) y la función de autocorrelación

parcial (PAC). En primer lugar se va a estudiar la función de autocovarianza, en

segundo lugar la AC y por último la PAC.

Función de autocovarianza.

Se entiende por función de autocovarianza a las sucesivas covarianzas de distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La función de autocovarianza se define como:

τγ = cov( τ−tt YY ) = E[( tY -E( tY ))( τ−tY -E( τ−tY ))]

En el caso presente, dado que E( tY ) = E( τ−tY ) = 0, la función de autocovarianza se puede expresar como:

τγ = cov( τ−tt YY ) = E( tY τ−tY )


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Para el valor τ =0 , la autocovarianza de orden cero es realmente la varianza.

Autocovarianza de orden cero (varianza):

0γ = E( tY tY ) = E ( 1Φ stY − + tε )2 = E( 21Φ 2

stY − + 2tε + 2 1Φ stY − tε ) =

= 21Φ E( 2

stY − ) + E( 2tε ) + 2 1Φ E( stY − tε ) =

= 21Φ 0γ + 2

εσ

Despejando se obtiene la varianza o autocovarianza de orden cero:

0γ = 211

1Φ−

2εσ

Autocovarianza de orden uno: 1γ =E( tY 1−tY ) =E(( 1Φ stY − + tε ) 1−tY ) = 0

Autocovarianza de orden dos: 2γ =E( tY 2−tY ) =E(( 1Φ stY − + tε ) 2−tY ) = 0

Autocovarianza de orden tres: 3γ = E( tY 3−tY )=E(( 1Φ stY − + tε ) 3−tY ) = 0

...

Autocovarianza de orden s : sγ =E( tY stY − )=E(( 1Φ stY − + tε ) stY − )= 1Φ 0γ

Autocovarianza de orden s +1: 1+sγ =E( tY )1( +− stY )=E(( 1Φ stY − + tε ) )1( +− stY )=0

...

Autocovarianza de orden 2 s : s2γ =E( tY stY 2− )=E(( 1Φ stY − + tε ) stY 2− )= 1Φ sγ

...

Autocovarianza de orden 3 s : s3γ =E( tY stY 3− )=E(( 1Φ stY − + tε ) stY 3− )= 1Φ s2γ

...

Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocovarianza para un modelo SAR(1), que es:

τγ =

��

�

��

�

�

=Φ

=Φ−

casoslosderestoelpara

sssspara

para

s

0

....,4,3,2,

01

1

01

221

τγ

τσ

τ

ε

La limitación principal de la función de autocovarianza es que depende de las unidades de medida de las distintas series objeto del análisis. Con el fin de superar esta limitación se utiliza en su lugar la función de autocorrelación.


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Función de autocorrelación (AC).

Se entiende por AC a los sucesivos coeficientes de correlación de distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La AC se define como:

τρ = )var(

)cov(

t

tt

YYY τ− = 2)(

)(

t

tt

YEYYE τ−

La AC proporciona información sobre la relación lineal entre la misma serie separadas por τ unidades temporales, en el caso de un modelo SAR(1) se tiene:

La AC de orden uno: 1ρ = 21

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

La AC de orden dos: 2ρ = 22

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

La AC de orden tres: 3ρ = 23

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

...

La AC de orden s : sρ = 2)()(

t

stt

YEYYE − = 1Φ

La AC de orden s +1: 1+sρ =2

)1(

)(

)(

t

stt

YE

YYE +− =0

...

La AC de orden 2 s : s2ρ = 22

)()(

t

stt

YEYYE − = 2

1Φ

...

Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocorrelación para un modelo SAR(1), que es:

τρ = ��

��

�

=Φ

=


sssspara

paras

0

....,4,3,2,

01

1 ττ

τ

Función de autocorrelación parcial (PAC).

Se entiende por la PAC de una serie temporal a la sucesión formada por: 11Φ

22Φ 33Φ 44Φ ....... ττΦ ....... En donde cada uno de los valores de la PAC por ejemplo

el de orden τ , es decir, ττΦ se define como la interrelación entre las variables tY e τ−tY

, eliminando los efectos lineales de las variables: 1−tY ; 2−tY ; 3−tY ; ... ; 1+−τtY


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En el caso particular de un modelo SAR(1) el único modelo autoregresivo que

tiene sentido especificar es el de orden s :

tY = ssΦ stY − + tε

En este caso, la función de autocorrelación parcial (PAC) tiene el valor de orden s distinto de cero y el resto de valores son iguales a cero. Así se tiene:

ττΦ = ssΦ = 1Φ = sρ para τ =1

ττΦ = 0 para τ ≠ 1

Correlograma.

Es la representación gráfica de la función de autocorrelación y de la función de autocorrelación parcial, que se acostumbra representar por las iniciales en inglés AC y PAC respectivamente. En el Gráfico 10.1 y Gráfico 10.2 se representan los correlogramas (AC y PAC) de modelos estacionales con datos trimestrales ( s=4)

Gráfico 10.1 Correlograma del modelo tY = 0,7 4−tY + tε

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

| | | | 1 0.00 0.00 1.5267 0.217 | | | | 2 0.00 0.00 2.2014 0.333 | | | | 3 0.00 0.00 4.0441 0.257

|***** | |***** | 4 0.70 0.70 3934.7 0.000 | | | | 5 0.00 0.00 3935.2 0.000 | | | | 6 0.00 0.00 3936.4 0.000 | | | | 7 0.00 0.00 3940.1 0.000

|**** | | | 8 0.49 0.00 5824.2 0.000 | | | | 9 0.00 0.00 5824.2 0.000 | | | | 10 0.00 0.00 5825.9 0.000 | | | | 11 0.00 0.00 5828.1 0.000

|*** | | | 12 0.35 0.00 6721.7 0.000 | | | | 13 0.00 0.00 6722.4 0.000 | | | | 14 0.00 0.00 6727.2 0.000 | | | | 15 0.00 0.00 6727.7 0.000

|** | | | 16 0.22 0.00 7129.2 0.000 | | | | 17 0.00 0.00 7129.4 0.000

Gráfico 10.2 Correlograma del modelo tY = -0,7 4−tY + tε


| | | | 1 0.00 0.00 1.5267 0.217 | | | | 2 0.00 0.00 2.2014 0.333 | | | | 3 0.00 0.00 4.0441 0.257

*****| | *****| | 4 -0.70 -0.70 3934.7 0.000 | | | | 5 0.00 0.00 3935.2 0.000 | | | | 6 0.00 0.00 3936.4 0.000 | | | | 7 0.00 0.00 3940.1 0.000

|**** | | | 8 0.49 0.00 5824.2 0.000 | | | | 9 0.00 0.00 5824.2 0.000 | | | | 10 0.00 0.00 5825.9 0.000


9

| | | | 11 0.00 0.00 5828.1 0.000 ***| | | | 12 -0.35 0.00 6721.7 0.000

| | | | 13 0.00 0.00 6722.4 0.000 | | | | 14 0.00 0.00 6727.2 0.000 | | | | 15 0.00 0.00 6727.7 0.000

|** | | | 16 0.22 0.00 7129.2 0.000 | | | | 17 0.00 0.00 7129.4 0.000

En el Gráfico 10.3 y Gráfico 10.4 se representan los correlogramas (AC y PAC)

de modelos estacionales con datos mensuales ( s=12)

Gráfico 10.3 Correlograma del modelo tY = 0,6 12−tY + tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.7689 0.381 | | | | 2 0.000 0.000 2.2455 0.325 | | | | 3 0.000 0.000 4.2821 0.233 | | | | 4 0.000 0.000 4.3713 0.358 | | | | 5 0.000 0.000 6.2620 0.282 | | | | 6 0.000 0.000 6.5536 0.364 | | | | 7 0.000 0.000 10.765 0.149 | | | | 8 0.000 0.000 10.918 0.206 | | | | 9 0.000 0.000 11.938 0.217 | | | | 10 0.000 0.000 12.386 0.260 | | | | 11 0.000 0.000 13.138 0.284

|**** | |**** | 12 0.600 0.600 2597.2 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 2597.3 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 2600.7 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 2602.8 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 2603.0 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 2603.6 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 2604.2 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 2607.3 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 2608.4 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 2608.4 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 2610.2 0.000 | | | | 23 0.000 0.000 2610.4 0.000

|*** | | | 24 0.360 0.000 3422.9 0.000 | | | | 25 0.000 0.000 3423.4 0.000 | | | | 26 0.000 0.000 3428.5 0.000 | | | | 27 0.000 0.000 3428.9 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 3429.6 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 3430.1 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 3430.2 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 3435.7 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 3437.6 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 3437.9 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 3437.9 0.000 | | | | 35 0.000 -0.003 3438.8 0.000 |* | | | 36 0.216 -0.004 3686.5 0.000


10

Gráfico 10.4 Correlograma del modelo tY = -0,6 12−tY + tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.7689 0.381 | | | | 2 0.000 0.000 2.2455 0.325 | | | | 3 0.000 0.000 4.2821 0.233 | | | | 4 0.000 0.000 4.3713 0.358 | | | | 5 0.000 0.000 6.2620 0.282 | | | | 6 0.000 0.000 6.5536 0.364 | | | | 7 0.000 0.000 10.765 0.149 | | | | 8 0.000 0.000 10.918 0.206 | | | | 9 0.000 0.000 11.938 0.217 | | | | 10 0.000 0.000 12.386 0.260 | | | | 11 0.000 0.000 13.138 0.284

****| | **** | | 12 -0.600 -0.600 2597.2 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 2597.3 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 2600.7 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 2602.8 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 2603.0 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 2603.6 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 2604.2 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 2607.3 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 2608.4 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 2608.4 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 2610.2 0.000 | | | | 23 0.000 0.000 2610.4 0.000

|*** | | | 24 0.360 0.000 3422.9 0.000 | | | | 25 0.000 0.000 3423.4 0.000 | | | | 26 0.000 0.000 3428.5 0.000 | | | | 27 0.000 0.000 3428.9 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 3429.6 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 3430.1 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 3430.2 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 3435.7 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 3437.6 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 3437.9 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 3437.9 0.000 | | | | 35 0.000 -0.003 3438.8 0.000 *| | | | 36 -0.216 -0.004 3686.5 0.000

10.2.2. Modelo de medias móviles estacional de primer orden: Modelo SMA(1).

Se dice que una serie temporal tY admite una representación de medias móviles estacionales (SMA) de primer orden, y se denota por SMA(1), si es susceptible de ser modelizada a través de la ecuación2:

tY = tε -1Θ st−ε (10.3)

donde:

tY es una variable aleatoria concebida como una realización de un proceso estocástico en los momentos del tiempo t ; t-1 ; t-2; ...

2 En el modelo propuesto no se considera el término independiente, lo que no afecta en general a la explicación que se va a desarrollar.


11

1Θ , junto con la varianza del proceso 2εσ , son los parámetros que definen el

modelo (que deben ser estimados),

tε es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas que cumplen:

la esperanza de tε es nula; E( tε )= 0

la varianza de tε es constante; E( stt +εε ) = 2εσ s∀ = 0


además la variable tε se distribuye según una función normal


Condición de estacionariedad.

La modelización de una serie a través de un modelo SMA exige que el modelo sea estacionario en media y varianza. La condición de estacionariedad en media exige que la E( tY ) no sea función del tiempo y, además, la E( tY ) debe ser finita y

determinada. En el caso presente se tiene: tY = tε -1Θ st−ε

mientras que la esperanza de tY es: E( tY ) = E ( tε -1Θ st−ε ) = 0

Dado que E( tε )=0 , la condición de estacionariedad en media exige que la

E( tY ) no sea función del tiempo y, además, la E( tY ) debe ser finita y determinada. En el presente caso se cumple la condición de estacionario en media.

El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo SMA finito se cumple automáticamente ya que la varianza de un SMA finito será siempre finita. Así pues, el modelo especificado para representar la serie tY = tε -

1Θ st−ε cumple la condición de estacionario en media y varianza.

Condición de invertibilidad.

Invertir un modelo SMA consiste en transformarlo en su modelo SAR equivalente. El requisito para que se pueda invertir un modelo SMA es que las raíces del polinomio característico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es invertible se van a calcular las raíces del polinomio característico del modelo. Para ello se iguala a cero la parte de medias móviles del modelo:

tε -1Θ st−ε = 0

si ahora, se sustituye tε por tλ se obtiene la ecuación: tλ - 1Θ st−λ = 0

dividiendo por 1−tλ se tiene: sλ - 1Θ = 0

la solución de la ecuación es: 1λ = s1Θ


12

La condición de invertibilidad es que las raíces en modulo deben ser menores que la unidad: || 1λ || < 1

o bien en nuestro caso: |1Θ | < 1

Así pues, si 1Θ , en valor absoluto, es menor que la unidad el modelo

tY = tε -1Θ st−ε es invertible.

En el caso de un modelo SMA(1), la inversión del modelo, esto es, su conversión en el modelo SAR equivalente, da como resultado:

tY = tε -1Θ st−ε

utilizando el operador retardo tY = tε - 1Θ sL tε

sacando factor común tε se tiene: tY = (1 - 1Θ sL ) tε

despejando tε se obtiene: tε = ( 1 - 1Θ sL ) 1− tY =

= tY +1Θ stY − + 2

1Θ stY 2− + 31Θ stY 3− + 4

1Θ stY 4− + ...

Así pues, el modelo SMA(1) invertible se ha transformado en un modelo autorregresivo de orden infinito SAR( ∞ ). La condición de invertibilidad en los modelos de medias móviles requiere que las raíces del polinomio característico, en módulo, sean menores que la unidad. Caracterización del modelo SMA(1).

La caracterización de un modelo SMA se efectúa a través de la función de autocovarianza, la función de autocorrelación (AC) y la función de autocorrelación parcial (PAC). En primer lugar se va a estudiar la función de autocovarianza, en segundo lugar la AC y por último la PAC.

Función de autocovarianza.

Se entiende por función de autocovarianza a las sucesivas covarianzas de distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La función de autocovarianza se define como:

τγ = cov( τ−tt YY ) = E[( tY -E( tY ))( τ−tY -E( τ−tY ))]

En el caso presente, dado que E( tY ) = E( τ−tY ) = 0, la función de autocovarianza se puede expresar como:

τγ = cov( τ−tt YY ) = E( tY τ−tY )

Para el valor τ =0 , la autocovarianza de orden cero que es realmente la varianza.

Autocovarianza de orden cero (varianza):

0γ = E( tY tY ) = E ( tε -1Θ st−ε )2 = E( 2

tε + 21Θ 2

st−ε - 2 1Θ tε st−ε ) =


13

= E( 2tε ) + 2

1Θ E( 2st−ε )- 2

1Θ E( tε 1−tε ) = 2εσ + 2

1Θ 2εσ = (1 + 2

1Θ ) 2εσ

Autocovarianza de orden cero: 0γ = (1 + 21Θ ) 2

εσ

Autocovarianza de orden uno: 1γ =E( tY 1−tY )= E( tε -1Θ st−ε )( 1−tε -

1Θ )1( +− stε )=0

Autocovarianza de orden dos: 2γ = E( tY 2−tY ) = 0

Autocovarianza de orden tres: 3γ = E( tY 3−tY ) = 0

.....

.....

Autocovarianza de orden s : 3γ = E( tY stY − )= E( tε -1Θ st−ε )( st−ε -

1Θ )2st−ε ) =

= -1Θ 2

εσ

Autocovarianza de orden s +1: 1+sγ =E( tY )1( +− stY ) = 0

...

Autocovarianza de orden 2 s : s2γ =E( tY stY 2− ) = 0

...

Autocovarianza de orden 3 s : s3γ =E( tY stY 3− ) =0

...

Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocovarianza para un modelo SMA(1), que es:

τγ = ��

��

�

=Θ−

=Θ+


spara

para

0

0 ) (12

1

221

τστσ

ε

ε

La limitación principal de la función de autocovarianza es que depende de las unidades de medida de las distintas series objeto del análisis. Con el fin de superar esta limitación se utiliza en su lugar la función de autocorrelación.

Función de autocorrelación (AC).

Se entiende por AC a los sucesivos coeficientes de correlación de distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La AC se define como:


14

τρ = )var(

)cov(

t

tt

YYY τ− = 2)(

)(

t

tt

YEYYE τ−

La AC proporciona información sobre la relación lineal entre la misma serie separadas por τ unidades temporales, en el caso de un modelo SMA(1) se tiene:

La AC de orden uno: 1ρ = 21

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

La AC de orden dos: 2ρ = 22

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

La AC de orden tres: 3ρ = 23

)()(

t

tt

YEYYE − = 0

...

La AC de orden s : sρ = 2)()(

t

stt

YEYYE − = 2

1

1

1 Θ+Θ−

La AC de orden s +1: 1+sρ =2

)1(

)(

)(

t

stt

YE

YYE +− =0

...

...

La AC de orden 2 s : s2ρ = 22

)()(

t

stt

YEYYE − = 0

...

Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocorrelación para un modelo SMA(1), que es:

τρ =

��

�

��

�

�

=Θ+Θ−

=


spara

para

0

1

01

21

1 τ

τ

Función de autocorrelación parcial (PAC).

Se entiende por la PAC de una serie temporal a la sucesión formada por: 11Φ

22Φ 33Φ 44Φ ....... ττΦ ....... En donde cada uno de los valores de la PAC por ejemplo

el de orden τ , es decir, ττΦ se define como la interrelación entre las variables tY e

τ−tY , eliminando los efectos lineales de las variables: 1−tY ; 2−tY ; 3−tY ; ... ; 1+−τtY


15

En el caso particular de un modelo SMA(1) invertible (se puede obtener el modelo SAR( ∞ ) equivalente) se pueden plantear infinitos modelos autoregresivos:

tY = 11φ 1−tY + tε

tY = 21φ 1−tY + 22φ 2−tY + tε

tY = 31φ 1−tY + 32φ 2−tY + 33φ 3−tY + tε

.....

.....

tY = 1sφ 1−tY + 2sφ 2−tY + 3sφ 3−tY + ...... + ssφ stY − + tε

...

En este caso, la función de autocorrelación parcial se define a través del siguiente sistema:

ττφ =

��

�

��

�

�

=≠

=Θ+


sssspara

spara

0....,5,4,3,20

11

21

τ

τ

Correlograma.

Es la representación gráfica de la función de autocorrelación y de la función de autocorrelación parcial, que se acostumbra representar por las iniciales en inglés AC y PAC respectivamente. En el Gráfico 10.5 y Gráfico 10.6 se representan los correlogramas (AC y PAC) de modelos estacionales con datos trimestrales ( s=4)

Gráfico 10.5 Correlograma del modelo tY = tε - 0.8 4−tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.3215 0.571 | | | | 2 0.000 0.000 0.4372 0.804 | | | | 3 0.000 0.000 3.1164 0.374 ****| | ****| | 4 -0.488 -0.488 1915.7 0.000 | | | | 5 0.000 0.000 1916.1 0.000 | | | | 6 0.000 0.000 1916.8 0.000 | | | | 7 0.000 0.000 1919.4 0.000 | | **| | 8 0.000 -0.315 1919.6 0.000 | | | | 9 0.000 0.000 1919.6 0.000 | | | | 10 0.000 0.000 1920.6 0.000 | | | | 11 0.000 0.000 1920.6 0.000 | | **| | 12 0.000 -0.219 1920.9 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 1922.0 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 1922.0 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 1922.3 0.000 | | *| | 16 0.000 -0.162 1922.4 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 1922.5 0.000


16

Gráfico 10.6 Correlograma del modelo tY = tε + 0.8 4−tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.3215 0.571 | | | | 2 0.000 0.000 0.4372 0.804 | | | | 3 0.000 0.000 3.1164 0.374 |**** | |**** | 4 0.488 0.488 1915.7 0.000 | | | | 5 0.000 0.000 1916.1 0.000 | | | | 6 0.000 0.000 1916.8 0.000 | | | | 7 0.000 0.000 1919.4 0.000 | | **| | 8 0.000 -0.315 1919.6 0.000 | | | | 9 0.000 0.000 1919.6 0.000 | | | | 10 0.000 0.000 1920.6 0.000 | | | | 11 0.000 0.000 1920.6 0.000 | | |** | 12 0.000 0.219 1920.9 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 1922.0 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 1922.0 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 1922.3 0.000 | | *| | 16 0.000 -0.162 1922.4 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 1922.5 0.000

En el Gráfico 10.7 y Gráfico 10.8 se representan los correlogramas (AC y PAC)

de modelos estacionales con datos mensuales ( s=12)

Gráfico 10.7 Correlograma del modelo tY = tε - 0.9 12−tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.1289 0.720 | | | | 2 0.000 0.000 0.4236 0.809 | | | | 3 0.000 0.000 1.5030 0.682 | | | | 4 0.000 0.000 1.5259 0.822 | | | | 5 0.000 0.000 3.6119 0.607 | | | | 6 0.000 0.000 4.6451 0.590 | | | | 7 0.000 0.000 7.3762 0.391 | | | | 8 0.000 0.000 7.5092 0.483 | | | | 9 0.000 0.000 8.0215 0.532 | | | | 10 0.000 0.000 8.1055 0.619 | | | | 11 0.000 0.000 9.6799 0.559 ****| | ****| | 12 -0.491 -0.490 1959.7 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 1960.3 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 1960.9 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 1964.0 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 1965.2 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 1966.2 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 1966.2 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 1967.7 0.000 | | | | 23 0.000 0.000 1967.9 0.000 | | ***| | 24 0.000 -0.341 1970.7 0.000 | | | | 25 0.000 0.000 1970.7 0.000 | | | | 26 0.000 0.000 1975.2 0.000 | | | | 27 0.000 0.000 1975.2 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 1975.8 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 1975.8 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 1977.5 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 1980.1 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 1983.4 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 1984.1 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 1984.2 0.000 | | | | 35 0.000 0.000 1984.2 0.000 | | **| | 36 0.000 -0.230 1989.0 0.000


17

Gráfico 10.7 Correlograma del modelo tY = tε + 0.9 12−tε


| | | | 1 0.000 0.000 0.1289 0.720 | | | | 2 0.000 0.000 0.4236 0.809 | | | | 3 0.000 0.000 1.5030 0.682 | | | | 4 0.000 0.000 1.5259 0.822 | | | | 5 0.000 0.000 3.6119 0.607 | | | | 6 0.000 0.000 4.6451 0.590 | | | | 7 0.000 0.000 7.3762 0.391 | | | | 8 0.000 0.000 7.5092 0.483 | | | | 9 0.000 0.000 8.0215 0.532 | | | | 10 0.000 0.000 8.1055 0.619 | | | | 11 0.000 0.000 9.6799 0.559 |**** | |**** | 12 0.491 0.490 1959.7 0.000 | | | | 13 0.000 0.000 1960.3 0.000 | | | | 14 0.000 0.000 1960.9 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 1961.6 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 1964.0 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 1965.2 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 1966.2 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 1966.2 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 1967.7 0.000 | | | | 23 0.000 0.000 1967.9 0.000 | | ***| | 24 0.000 -0.341 1970.7 0.000 | | | | 25 0.000 0.000 1970.7 0.000 | | | | 26 0.000 0.000 1975.2 0.000 | | | | 27 0.000 0.000 1975.2 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 1975.8 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 1975.8 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 1977.5 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 1980.1 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 1983.4 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 1984.1 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 1984.2 0.000 | | | | 35 0.000 0.000 1984.2 0.000 | | |** | 36 0.000 0.230 1989.0 0.000

El estudio de los modelos estacionarios estacionales se ha centrado en los modelos SAR(1) y SMA(1) que son en la realidad los más habituales, sin embargo el análisis se podría generalizar a los modelos SAR(2), SMA(2) y SARSMA(1,1). Además se tiene que tener en cuenta que las series temporales con estacionalidad no son estacionarios lo que exige para su modelización una transformación previa mediante la diferenciación. En estos casos nos encontramos ante los modelos SARISMA. Una de las posibles fuentes de la no estacionariedad en este tipo de series puede provenir de la estacionalidad no rígida, lo que provocan puntas de estacionalidad se agudicen con el trascurso del tiempo. 10.3. MODELOS MIXTOS REGULARES Y ESTACIONALES. En el análisis de las series temporales es frecuente encontrar modelos que son el resultado del producto entre un modelo regular y un modelo estacional, esto es: ARMA(p,q)*SARSMA(P,Q) o bien el caso de que la serie no sea estacionaria, lo más usual, el modelo adecuado seria el siguiente: ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q).

El modelo general ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q) se corresponde con la siguiente ecuación:


18

(1- ... - pφ pL )(1- ...- PΦ PsL ) ( 1- L d) ( 1- sL D) tY = (1- ...-qθ qL ) (1- ...-

QΘ QsL ) tε Con el fin de comprobar las caracteristicas generales de los modelos mixtos se presentan la AC y la PAC de los modelos mixtos regulares y estacionales que sean estacionarios. En estos casos los modelos más habituales que son los siguientes: ARMA(0,1)*SARSMA(0,1); ARMA(1,0)*SARSMA(1,0) y ARMA(0,1)*SARSMA(1,0). En estos modelos se va a representar la función de autocorrelación (AC) y la función de autocorrelación parcial (PAC) de diversos modelos.. El modelo ARMA(0,1)*SARSMA(0,1) se puede escribir como:

tY = (1-1θ L ) (1-

1Θ sL ) tε

o bien operando se tiene: tY = (1-1θ L -

1Θ sL +1θ 1Θ 1+sL ) tε

es decir: tY = tε -1θ 1−tε -

1Θ st−ε +1θ 1Θ )1( +− stε

para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como: tY = tε -

1θ 1−tε -1Θ 12−tε +

1θ 1Θ 13−tε Gráfico 10.7 Correlograma del modelo: Gráfico 10.8 Correlograma del modelo:

tY = tε -0.7 1−tε -0.9 12−tε +0.63 13−tε tY = tε +0.7 1−tε +0.9 12−tε +0.63 13−tε Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Autocorrelation Partial Correlation AC PAC

****| | ****| | 1 -0.463 -0.463 |**** | |**** | 1 0.469 0.469 | | **| | 2 -0.007 -0.282 | | **| | 2 -0.010 -0.294 | | *| | 3 0.000 -0.186 | | |* | 3 -0.015 0.181 | | *| | 4 0.003 -0.123 | | *| | 4 0.000 -0.114 | | *| | 5 0.000 -0.082 | | |* | 5 0.021 0.102 | | *| | 6 -0.013 -0.075 | | | | 6 0.027 -0.047 | | | | 7 0.023 -0.031 | | | | 7 0.022 0.049 | | | | 8 -0.009 -0.020 | | | | 8 0.001 -0.043 | | | | 9 0.006 -0.004 | | | | 9 -0.008 0.025 | | | | 10 -0.019 -0.024 | | | | 10 0.006 -0.004 |** | |*** | 11 0.244 0.328 |** | |*** | 11 0.245 0.360 ****| | **| | 12 -0.483 -0.283 |**** | |** | 12 0.491 0.263 |** | **| | 13 0.209 -0.191 |** | *| | 13 0.224 -0.172 | | *| | 14 0.011 -0.136 | | |* | 14 0.000 0.136 | | *| | 15 -0.001 -0.096 | | *| | 15 -0.004 -0.091 | | *| | 16 0.000 -0.070 | | | | 16 -0.001 0.058 | | | | 17 -0.008 -0.053 | | | | 17 0.011 -0.045 | | | | 18 0.024 -0.025 | | | | 18 0.023 0.041 | | | | 19 -0.036 -0.038 | | | | 19 0.015 -0.038 | | | | 20 0.018 -0.019 | | | | 20 -0.005 0.023 | | | | 21 -0.019 -0.035 | | | | 21 0.003 0.000 | | | | 22 0.039 -0.004 | | | | 22 0.017 0.005 | | |** | 23 -0.012 0.234 | | **| | 23 0.003 -0.251 | | *| | 24 -0.021 -0.172 | | *| | 24 -0.017 -0.167 | | *| | 25 0.020 -0.114 | | |* | 25 0.000 0.132 | | *| | 26 -0.003 -0.078 | | *| | 26 0.022 -0.080 | | *| | 27 -0.012 -0.080 | | | | 27 0.006 0.046 | | | | 28 0.023 -0.021 | | | | 28 -0.008 -0.040 | | | | 29 -0.010 -0.025 | | | | 29 0.005 0.045 | | | | 30 -0.014 -0.022 | | | | 30 0.024 -0.013 | | | | 31 0.033 0.002 | | | | 31 0.015 0.023 | | | | 32 -0.021 0.000 | | | | 32 -0.007 -0.027 | | | | 33 0.021 0.006 | | | | 33 -0.002 0.009 | | | | 34 -0.030 0.001 | | | | 34 0.000 -0.022 | | |* | 35 0.005 0.166 | | |* | 35 -0.013 0.184 | | *| | 36 0.011 -0.126 | | |* | 36 -0.025 0.092

En el Gráfico 10.9 y Gráfico 10.10 se representan las AC y las PAC de dos modelos ARMA(0,1)*SARSMA(0,1) en las que se puede observar valores elevados de


19

los primeros valores de ambas funciones y en los valores próximos a los ordenes estacionales (orden 12, 24 y 36)

El modelo ARMA(1,0)*SARSMA(1,0) se puede escribir como: (1-

1φ L ) (1-1Φ sL ) tY = tε

o bien operando se tiene: (1-1φ L -

1Φ sL +1θ 1Φ 1+sL ) tY = tε

es decir: tY =1φ 1−tY +

1Φ stY − -1θ 1Φ )1( +− stY + tε

para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como: tY =

1φ 1−tY +1Φ 12−tY -

1θ 1Φ 13−tY + tε Gráfico 10.9 Correlograma del modelo: Gráfico 10.10 Correlograma del modelo:

tY = 0.3 1−tY + 0.5 12−tY -0.15 13−tY + tε tY = -0.3 1−tY -0.5 12−tY +0.15 13−tY + tε Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Autocorrelation Partial Correlation AC PAC

|** | |** | 1 0.300 0.300 *****| | *****| | 1 -0.669 -0.669 |* | | | 2 0.090 0.000 |**** | | | 2 0.465 0.000 | | | | 3 0.027 0.000 ***| | | | 3 -0.322 0.000 | | | | 4 0.008 0.000 |** | | | 4 0.208 0.000 | | | | 5 0.002 0.000 *| | | | 5 -0.110 0.000 | | | | 6 0.000 0.000 | | | | 6 0.024 0.000 | | | | 7 0.000 0.000 | | |* | 7 0.064 0.086 | | | | 8 0.000 0.000 *| | *| | 8 -0.145 -0.089 | | | | 9 0.000 0.000 |** | |* | 9 0.242 0.141 | | | | 10 0.000 0.000 ***| | **| | 10 -0.362 -0.198 |* | |* | 11 0.155 0.141 |**** | |** | 11 0.514 0.289

|**** | |*** | 12 0.492 0.453 ******| | ****| | 12 -0.751 -0.547 |* | *| | 13 0.143 -0.159 |***** | |* | 13 0.708 0.148 | | | | 14 0.050 0.000 ****| | | | 14 -0.553 0.000 | | | | 15 0.000 0.000 |*** | | | 15 0.404 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 **| | | | 16 -0.282 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 |* | | | 17 0.170 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 *| | | | 18 -0.074 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 |* | | | 20 0.089 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 *| | | | 21 -0.177 0.000 | | | | 22 0.034 0.009 |** | | | 22 0.282 0.014 |* | | | 23 0.076 -0.013 ***| | | | 23 -0.394 0.021 |** | | | 24 0.231 -0.012 |**** | | | 24 0.568 -0.005 |* | | | 25 0.075 0.021 *****| | | | 25 -0.637 -0.006 | | | | 26 0.041 0.000 |**** | | | 26 0.583 0.000 | | | | 27 0.000 0.000 ****| | | | 27 -0.470 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 |*** | | | 28 0.357 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 **| | | | 29 -0.238 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 |* | | | 30 0.136 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 |* | | | 33 0.120 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 **| | | | 34 -0.211 0.003 | | | | 35 0.024 0.002 |** | | | 35 0.302 -0.013 |* | | | 36 0.098 -0.007 ***| | | | 36 -0.437 -0.016

El modelo ARMA(0,1)*SARSMA(1,0) se puede escribir como: (1-

1Φ sL ) tY =(1-1θ L ) tε

o bien operando se tiene: tY = 1Φ stY − + tε -

1θ 1−tε para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como: tY =

1Φ 12−tY + tε - 1θ 1−tε


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Gráfico 10.11 Correlograma del modelo: Gráfico 10.12 Correlograma del modelo:

tY = +0.3 12−tY + tε - 0.5 1−tε tY = -0.3 12−tY + tε + 0.5 1−tε Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Autocorrelation Partial Correlation AC PAC

***| | ***| | 1 -0.395 -0.395 |*** | |*** | 1 0.409 0.409 | | *| | 2 0.000 -0.186 | | **| | 2 0.000 -0.192 | | *| | 3 0.000 -0.099 | | |* | 3 0.000 0.096 | | | | 4 0.000 -0.057 | | | | 4 0.000 -0.043 | | | | 5 0.000 0.000 | | | | 5 0.000 0.000 | | | | 6 0.000 0.000 | | | | 6 0.000 0.000 | | | | 7 0.000 0.000 | | | | 7 0.000 0.000 | | | | 8 0.000 0.000 | | | | 8 0.000 0.000 | | | | 9 0.000 0.000 | | | | 9 0.000 0.000 | | | | 10 0.000 0.000 | | | | 10 0.000 0.000 *| | *| | 11 -0.108 -0.142 *| | *| | 11 -0.119 -0.137 |** | |** | 12 0.299 0.238 **| | **| | 12 -0.297 -0.237 *| | |* | 13 -0.134 0.097 *| | |* | 13 -0.138 0.101 | | | | 14 0.015 0.059 | | | | 14 -0.013 -0.056 | | | | 15 -0.011 0.026 | | | | 15 -0.011 0.016 | | | | 16 0.000 0.000 | | | | 16 0.000 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 | | | | 17 0.000 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 | | | | 18 0.000 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 | | | | 19 0.000 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 | | | | 20 0.000 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 | | | | 21 0.000 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 | | | | 22 0.000 0.000 | | | | 23 -0.031 0.016 | | | | 23 0.047 -0.011 |* | | | 24 0.069 -0.016 |* | | | 24 0.082 -0.003 | | | | 25 -0.034 -0.005 | | | | 25 0.049 0.011 | | | | 26 0.019 0.012 | | | | 26 0.019 0.007 | | | | 27 -0.009 0.010 | | | | 27 0.018 0.006 | | | | 28 0.000 0.000 | | | | 28 0.000 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 | | | | 29 0.000 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 | | | | 30 0.000 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 | | | | 31 0.000 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 | | | | 32 0.000 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 | | | | 33 0.000 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 | | | | 34 0.000 0.000 | | | | 35 -0.001 -0.006 | | | | 35 -0.030 -0.002 | | | | 36 0.011 -0.009 | | | | 36 -0.034 -0.009

En la practica nos encontramos que la mayoría de las series temporales económicas son no estacionarias y en este caso la modelización se debe efectuar mediante un modelo mixto regular y estacional no estacionario. Es decir mediante un modelo ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q). Al igual que en el caso de los modelos regulares la forma de convertir una serie no estacionaria en estacionaria es mediante diferenciación ordinaria y/o mediante diferencias estacionales. En otros casos la transformación adecuada de la serie original es la logarítmica para posteriormente diferenciarla.


21

10.4. IDENTIFICACIÓN, ESTIMACIÓN, VALIDACIÓN Y PREDICCIÓN DE LOS MODELOS MIXTOS REGULARES Y ESTACIONALES. Al igual que en los modelos regulares las fases o etapas a cubrir en la identificación (especificación), estimación y predicción de la modelización de los modelos mixtos regulares y estacionales ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q) son las siguientes: 1. Planteamiento del problema y recogida de datos 2. Representación gráfica de serie 3. Transformación previa (logaritmo neperiano) 4. Tratamiento de la estacionariedad (Se convierte la serie en estacionaria mediante la

diferenciación ) 5. Inclusión o no de componente estacional 6. Inclusión o no de componente irregular (outlier, efecto calendario laboral, efecto

Pascua, ...) 7. Identificación o especificación del modelo 8. Estimación de los parámetros (incluida la media) 9. Contraste de significabilidad de los coeficientes del modelo (t-Student) 10. Contraste de significabilidad del modelo (análisis de la estacionariedad e

invertibilidad, AIC-Akaike, BIC, función objetivo) 11. Contraste las hipótesis del modelo especificado a partir de los residuos (normalidad,

no autocorrelación, aleatoriedad, y homoscedasticidad,) 12. Selección del modelo más adecuado 13. Predicción

En la práctica se recomienda tratar conjuntamente algunas de las fases o etapas e incluso el orden de las etapas aconsejar. En el presente caso se va a estructurar la exposición agrupando los comentarios según la presentación de los resultados (la salida) del programa3 TRAMO para una serie que presenta estacionalidad que consiste en las siguientes etapas:

3 La especificación del modelo ARIMA en el programa TRAMO es la siguiente:

(1+ 1φ L + 2φ 2L + ... + pφ pL ) ( 1- L d) tY =(1+1θ L +

2θ 2L + ... +qθ pL ) tε


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1. Presentación de la serie original.

TIME SERIES REGRESSION MODELS WITH ARIMA ERRORS, MISSING VALUES AND OUTLIERS.

BETA VERSION (*)

BY

VICTOR GOMEZ & AGUSTIN MARAVALL

with the programming assistance of G. CAPORELLO (*) Copyright : V. GOMEZ, A. MARAVALL (1994,1996) SERIES TITLE=evtramo SINCE LONGER FORECAST FUNCTION IS REQUIRED BY SEATS, NPRED CHANGED TO (24) ORIGINAL SERIES NUMBER OF OBSERVATIONS: 135 YEAR JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC 1991 113.3 107.4 96.8 1992 99.6 101.7 105.2 98.5 100.3 102.9 106.0 54.3 100.1 101.7 97.1 86.9 1993 85.5 91.2 99.3 90.2 94.0 97.1 98.3 53.1 97.5 96.8 99.7 89.9 1994 89.5 94.8 103.7 96.7 102.6 104.6 102.0 59.8 104.9 103.2 108.5 97.4 1995 102.6 102.2 116.7 97.3 111.9 112.3 108.1 64.1 105.2 107.6 109.5 92.5 1996 102.6 103.9 107.5 98.3 108.6 105.0 112.6 62.2 106.4 115.1 108.5 97.0 1997 104.8 102.4 106.5 116.9 112.1 114.8 121.2 66.9 116.4 125.5 116.4 105.2 1998 108.9 114.9 122.0 113.5 118.7 123.9 128.9 72.3 121.9 125.2 122.4 109.1 1999 111.8 116.3 126.7 116.2 124.1 129.0 131.3 76.1 126.8 124.7 129.9 115.1 2000 116.5 126.8 139.5 115.6 134.6 135.1 129.7 80.3 125.7 127.5 134.0 108.9 2001 125.2 122.0 134.5 116.1 134.3 131.4 131.7 84.0 123.6 134.1 128.9 104.3 2002 124.3 122.7 118.9 127.8 130.4 123.8 135.2 79.8 125.5 137.8 127.1 107.2

2. Parámetros control para la especificación del modelo a través de los cuales se definen las distintas alternativas del modelo. SEATS CANNOT BE RUN WITH AIO=0 AIO CHANGED TO 2 MODEL PARAMETERS ---------------- MQ= 12 IMEAN= 1 LAM= -1 D= 1 BD= 1 P= 0 BP= 0 Q= 1 BQ= 1 IREG= 2 ITRAD= 2 IEAST= 0 IDUR= 0 M= 36 QM= 24 INCON= 0 NBACK= 0 NPRED= 24 INTERP= 2 INIT= 0 IFILT= 2 IDENSC= 1 IROOT= 2 INIC= 3 ICONCE= 1 ICDET= 1 IATIP= 1 IMVX= 0 IDIF= 3 PG= 0 AIO= 2 INT1= 1 INT2= 135 RSA= 0 SEATS= 2 VA= 3.50 TOL= 0.100E-03 PC= 0.143E+00 NOADMISS= 1 BIAS= 1 SMTR= 0 THTR= -0.400 RMOD= 0.500 MAXBIAS= 0.500 TH = -0.10 BTH = -0.10 NUMBER OF INITIAL OBS. = 13


23

3. Estudiar la estacionariedad de la serie y la transformación más adecuada. 3.1. Contraste para analizar la significabilidad de la media o termino constante. MEAN IS NOT SIGNIFICANT: IMEAN CHANGED TO 0

3.2. Estudio de la conveniencia de transformar la serie mediante logaritmos neperianos y diferencias. El test utilizado es el de rango-media. TRANSFORMED SERIES (LOGARITHMS OF THE DATA) YEAR JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC 1991 4.730 4.677 4.573 1992 4.601 4.622 4.656 4.590 4.608 4.634 4.663 3.995 4.606 4.622 4.576 4.465 1993 4.449 4.513 4.598 4.502 4.543 4.576 4.588 3.972 4.580 4.573 4.602 4.499 1994 4.494 4.552 4.642 4.572 4.631 4.650 4.625 4.091 4.653 4.637 4.687 4.579 1995 4.631 4.627 4.760 4.578 4.718 4.721 4.683 4.160 4.656 4.678 4.696 4.527 1996 4.631 4.643 4.677 4.588 4.688 4.654 4.724 4.130 4.667 4.746 4.687 4.575 1997 4.652 4.629 4.668 4.761 4.719 4.743 4.797 4.203 4.757 4.832 4.757 4.656 1998 4.690 4.744 4.804 4.732 4.777 4.819 4.859 4.281 4.803 4.830 4.807 4.692 1999 4.717 4.756 4.842 4.755 4.821 4.860 4.877 4.332 4.843 4.826 4.867 4.746 2000 4.758 4.843 4.938 4.750 4.902 4.906 4.865 4.386 4.834 4.848 4.898 4.690 2001 4.830 4.804 4.902 4.754 4.900 4.878 4.881 4.431 4.817 4.899 4.859 4.647 2002 4.823 4.810 4.778 4.850 4.871 4.819 4.907 4.380 4.832 4.926 4.845 4.675

4. Identificación automática de la serie. 4.1. Determinación de los ordenes de la parte autoregresiva, diferenciación y de medias móviles del modelo regular ARIMA(p,d,q) y los ordenes de la parte autoregresiva, diferenciación y de medias móviles del modelo estacional SARISMA(P,D,Q). En el presente caso se ha seleccionado como modelo más adecuado ARIMA(0,1,2)*SARISMA(0,1,1). AUTOMATIC MODEL IDENTIFICATION BEGINS MODEL FINALLY CHOSEN: (0,1,2)(0,1,1) 4.2. Inclusión o no del término independiente o constante en el modelo. Teniendo en cuenta el resultado obtenido d el punto 3.1. WITHOUT MEAN 4.3. Inclusión o no de efectos calendario, observaciones atípicas y del posible análisis de intervención realizado. Informando además de las características de las observaciones atípicas. En el presente caso, la serie analizada no presenta observaciones atípicas. WITH TRADING DAY CORRECTION WITHOUT EASTER CORRECTION OUTLIERS 67 AO ( 4 1997) 127 AO ( 4 2002)


24

126 TC ( 3 2002)

5. Estimaciones de los parámetros del modelo ARIMA así como el valor del ratio “t” bajo la hipótesis nula de no significabilidad. METHOD OF ESTIMATION: EXACT MAXIMUM LIKELIHOOD PARAMETER ESTIMATE STD ERROR T RATIO LAG MA1 1 -.38801 0.93842E-01 -4.13 1 MA1 2 0.98765E-01 0.95204E-01 1.04 2 MA2 1 -.33403 0.93371E-01 -3.58 12 6. Validación del modelo estimado. 6.1. Análisis de la estacionariedad e invertibilidad del modelo estimado a través del estudio de las raíces del polinomio característico . En el presente caso dado que las raíces en modulo son inferiores a la unidad el modelo estimado es estacionario. REGULAR MA INVERSE ROOTS ARE NO. REAL P. IMAG.P. MODULUS ARGUMENT PERIOD 1 0.1940054 -0.2472385 0.3142689 -51.8791070 -6.9392097 2 0.1940054 0.2472385 0.3142689 51.8791070 6.9392097 SEASONAL MA INVERSE ROOTS ARE NO. REAL P. IMAG.P. MODULUS ARGUMENT PERIOD 1 0.33403 0.0000 0.33403 0.0000 -

6.2. Análisis de la correlación entre los parámetros estimados del modelo estimado. CORRELATIONS OF THE ESTIMATES 1.0000 -0.3443 0.0145 -0.3443 1.0000 -0.0262 0.0145 -0.0262 1.0000

6.3. Criterios para analizar la significabilidad conjunta del modelo estimado. Los criterios utilizados son: AIC (AIC de Akaike), BIC (Bayesian Information Criterium) y la función objetivo. AIC -565.3547 BIC -7.3010 FINAL VALUE OF OBJECTIVE FUNCTION: 0.60867E-01 ITERATIONS: 2 NUMBER OF FUNCTION EVALUATIONS: 9


25

7. Estimaciones de los parámetros de los efectos calendario y outliers así como el valor

del ratio “t” bajo la hipótesis nula de no significabilidad.

ESTIMATES OF REGRESSION PARAMETERS CONCENTRATED OUT OF THE LIKELIHOOD PARAMETER VALUE ST. ERROR T VALUE TRAD 1 0.73057E-02 ( 0.00047) 15.50 TRAD 2 0.25996E-01 ( 0.00954) 2.73 OUT 1 ( 67) 0.12577 ( 0.01540) 8.17 AO ( 4 1997) OUT 2 (127) 0.12517 ( 0.01974) 6.34 AO ( 4 2002) OUT 3 (126) -.96275E-01 ( 0.02181) -4.41 TC ( 3 2002) COVARIANCE MATRIX OF ESTIMATORS 0.222E-06 -0.772E-07 -0.486E-06 -0.149E-05 0.111E-05 -0.772E-07 0.909E-04 -0.663E-05 -0.119E-05 -0.105E-04 -0.486E-06 -0.663E-05 0.237E-03 0.534E-05 -0.166E-05 -0.149E-05 -0.119E-05 0.534E-05 0.390E-03 -0.119E-03 0.111E-05 -0.105E-04 -0.166E-05 -0.119E-03 0.476E-03

8. Validación de las hipótesis del modelo a partir del análisis de los residuos. 8.1. Presentación de los residuos del modelo estimado NUMBER OF WHITE NOISE RESIDUALS 117 WHITE NOISE RESIDUALS -0.0035 0.0194 0.0144 0.0104 0.0064 0.0202 0.0112 0.0235 0.0305 0.0299 0.0070 0.0053 0.0501 -0.0051 0.0065 -0.0077 0.0302 -0.0026 -0.0121 0.0232 0.0377 0.0265 -0.0308 0.0302 -0.0564 -0.0014 0.0183 -0.0093 0.0172 -0.0394 -0.0299 -0.0065 -0.0266 -0.0024 -0.0179 0.0068 -0.0252 0.0063 0.0212 0.0119 0.0128 0.0050 0.0279 -0.0168 -0.0107 -0.0018 0.0062 -0.0358 0.0228 0.0364 0.0257 0.0167 0.0312 -0.0213 0.0190 0.0087 -0.0372 -0.0088 0.0545 0.0053 0.0037 -0.0152 -0.0317 0.0025 0.0292 -0.0310 -0.0288 -0.0048 -0.0013 0.0169 -0.0142 -0.0116 0.0095 0.0204 -0.0056 0.0029 -0.0062 -0.0040 -0.0242 0.0066 0.0232 0.0007 -0.0116 0.0519 -0.0268 -0.0221 0.0039 -0.0278 0.0031 -0.0098 -0.0303 0.0278 -0.0179 0.0177 -0.0080 -0.0075 -0.0265 0.0063 0.0073 -0.0143 0.0528 -0.0201 -0.0035 -0.0512 -0.0345 0.0368 0.0251 0.0082 0.0245 -0.0035 -0.0244 0.0110 -0.0098 -0.0069 0.0342 -0.0228 -0.0267

8.2. Test de la normalidad Jarque-Bera a partir de los residuos del modelo estimado TEST-STATISTICS ON RESIDUALS MEAN= 0.0014461 ST.DEV.= 0.0020908 OF MEAN T-VALUE= 0.6916 NORMALITY TEST= 0.5652 ( CHI-SQUARED(2) ) SKEWNESS= 0.0075 ( SE = 0.2265 ) KURTOSIS= 2.6598 ( SE = 0.4529 )


26

SUM OF SQUARES= 0.6008786E-01

8.3. Test de Durbin-Watson para analizar la autocorrelación de primer orden. DURBIN-WATSON= 2.0236 8.4. Suma de los cuadrados de los residuos, desviación típica y varianza del modelo estimado. SUM OF SQUARES= 0.6008786E-01 STANDARD ERROR= 0.2295836E-01 OF RESID. MSE OF RESID.= 0.5270865E-03

8.5. Función de autocorrelación (AC) y de autocorrelación parcial (PAC) de los residuos, para analizar la existencia de autocorrelación de orden superior. Se incluye el test de Ljung-Box. AUTOCORRELATIONS -0.017 -0.012 0.087 -0.083 0.042 0.0949 0.057 0.021 0.142 -0.071 0.012 0.0423 SE 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 0.04 0.06 0.98 1.84 2.07 3.19 3.62 3.68 6.30 6.96 6.98 7.21 PV -1.00 -1.00 -1.00 0.18 0.36 0.36 0.46 0.60 0.39 0.43 0.54 0.62 -0.120 0.145 -0.062 -0.104 -0.021 -0.0884 0.065 -0.089 -0.094 -0.027 0.007 -0.1499 SE 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 9.14 11.99 12.53 14.04 14.10 15.20 15.81 16.97 18.25 18.37 18.38 21.74 PV 0.52 0.36 0.40 0.37 0.44 0.44 0.47 0.46 0.44 0.50 0.56 0.41 0.088 -0.029 -0.125 -0.027 0.030 -0.033 0.144 0.0566 0.0670 0.046 -0.042 -0.0489 SE 0.0925 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 22.91 23.05 25.50 25.62 25.76 25.95 29.32 29.84 30.59 30.95 31.26 31.67 PV 0.41 0.46 0.38 0.43 0.48 0.52 0.40 0.42 0.44 0.47 0.50 0.53

LJUNG-BOX Q VALUE OF ORDER 24 IS 21.74 AND IF RESIDUALS ARE RANDOM IT SHOULD BE DISTRIBUTED AS CHI-SQUARED(21) PARTIAL AUTOCORRELATIONS -0.017 -0.0130 0.086 -0.081 0.043 0.087 0.076 0.012 0.140 -0.066 0.016 0.0066 SE 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 -0.1033 0.116 -0.094 -0.095 -0.065 -0.084 0.0943 -0.123 -0.094 0.006 0.006 -0.1073 SE 0.0925 0.0925 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.123 -0.051 -0.021 -0.108 0.114 0.015 0.1443 0.071 0.113 0.012 0.032 -0.0796 SE 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925

8.6. Análisis de la aleatoriedad a través del test de rachas aplicados sobre los residuos y sobre la función de autocorrelación. APPROXIMATE TEST OF RUNS ON RESIDUALS ------------------------------------- NUM.DATA= 117 NUM.(+)= 59 NUM.(-)= 58 NUM.RUNS= 57 T-VALUE= -0.3714 APPROXIMATE TEST OF RUNS ON AUTOCORRELATION FUNCTION ---------------------------------------------------- NUM.DATA= 36 NUM.(+)= 18


27

NUM.(-)= 18 NUM.RUNS= 19 T-VALUE= 0.0000

8.7. Función de autocorrelación (AC) de los residuos elevados al cuadrado, con el fin estudiar la homoscedasticidad (varianzas condicionales constantes). Se incluye el test de Ljung-Box. SQUARED RESIDUALS: ------------------ AUTOCORRELATIONS ---------------- -0.034 0.005 0.017 0.124 -0.035 -0.063 -0.044 0.020 -0.058 -0.051 -0.074 -0.0038 SE 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 0.15 0.15 0.19 2.08 2.24 2.75 3.00 3.05 3.50 3.84 4.57 4.57 PV -1.00 -1.00 -1.00 0.15 0.33 0.43 0.56 0.69 0.74 0.80 0.80 0.87 -0.034 -0.050 -0.083 -0.036 0.056 0.008 -0.125 0.081 -0.090 -0.010 -0.066 -0.1046 SE 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 4.73 5.08 6.02 6.20 6.65 6.66 8.89 9.84 11.02 11.03 11.68 13.32 PV 0.91 0.93 0.91 0.94 0.95 0.97 0.92 0.91 0.89 0.92 0.93 0.90 0.073 -0.010 0.028 -0.048 -0.010 -0.058 -0.017 0.001 -0.044 0.176 0.061 0.0452 SE 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 Q 14.14 14.16 14.28 14.64 14.66 15.20 15.25 15.25 15.58 20.78 21.43 21.78 PV 0.90 0.92 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.98 0.99 0.92 0.92 0.93

LJUNG-BOX Q VALUE OF ORDER 24 IS 13.32 AND IF RESIDUALS ARE RANDOM IT SHOULD BE DISTRIBUTED AS CHI-SQUARED(21)

9. Predicción. Se presenta la predicción puntual y su desviación típica, tanto de la serie transformada como en la serie original, con el fin de obtener la predicción por intervalos. ORECASTS: ORIGIN: 135 NUMBER: 24 OBS FORECAST STD ERROR ACTUAL RESIDUAL FORECAST STD ERROR (TR. SERIES) ( ORIGINAL SERIES) 136 4.81973 0.229619E-01 123.931 2.84608 137 4.80330 0.269369E-01 121.912 3.28452 138 4.87015 0.350285E-01 130.341 4.56705 139 4.78686 0.383436E-01 119.924 4.60000 140 4.88322 0.399241E-01 132.055 5.27426 141 4.87427 0.427012E-01 130.878 5.59121 142 4.92077 0.455513E-01 137.108 6.24867 143 4.36565 0.483959E-01 78.700 3.81102 144 4.86574 0.509573E-01 129.767 6.61687 145 4.91814 0.534736E-01 136.749 7.31768 146 4.82111 0.559671E-01 124.102 6.95109 147 4.70568 0.582369E-01 110.574 6.44493 148 4.79554 0.662848E-01 120.970 8.02728 149 4.81252 0.716429E-01 123.041 8.82635 150 4.92222 0.777285E-01 137.307 10.6888 151 4.78739 0.821540E-01 119.988 9.87413 152 4.85790 0.858042E-01 128.754 11.0680 153 4.89990 0.896967E-01 134.276 12.0684 154 4.89512 0.936582E-01 133.637 12.5437 155 4.39105 0.974618E-01 80.725 7.88637 156 4.86551 0.101144 129.737 13.1557 157 4.86673 0.104801 129.895 13.6505 158 4.87194 0.108178 130.573 14.1666 159 4.70535 0.111541 110.537 12.3678

MODELOS LINEALES CON ESTACIONALIDADcabrer/Espanyol/material/Tema10/Tema... · 2005-04-11 · ©2004...

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