MODELOS MATEMÁTICOS DE LA CINÉTICA DE LA REACCIÓN ENZIMÁTICA-

JORGE CARLOS VAZQUEZ SANCHEZ

INSTITUTO TECNOLOGICO DE

MERIDA

Cinética Enzimática

La derivación de la primera ecuación de velocidad para una reacción catalizada por enzimas fue derivada en 1903 por Henri y se basó en los siguientes supuestos.

1. La enzima es un catalizador (propuesto por Berzelius en 1835-1837). 2. La enzima y el sustrato reaccionan rápidamente para formar un

complejo enzima- sustrato (propuesto en 1902 por Brown) 3. Sólo 1 sustrato y un complejo enzima-sustrato están involucrados, y el

complejo ES se rompe directamente para formar E libre y producto. 4. La enzima, el sustrato y el complejo enzima-sustrato están en equilibrio,

esto es la velocidad a la cual ES se disocia a E + S es mucho más rápida que la velocidad a la cual ES se rompe para formar E + P.

5. La [S] es mucho mayor que la [E], de modo que la formación del complejo ES no altera la [S]. Los paréntesis cuadrados [] indican concentraciones.

6. La velocidad de la reacción está limitada por el rompimiento del complejo ES para formar E libre y P (etapa limitante).

7. La velocidad es medida durante tiempos muy cortos, de modo que la velocidad de la reacción reversa es insignificante

MECANISMO ENZIMATICO

k1 k3 E +S ES E+P k2 Substrato se une al sitio activo de la enzima

Constantes de Velocidad

La velocidad a la cual ocurre la reacción (1) es consecuencia de lo siguiente:

El número posible de choques entre S y E, que es directamente proporcional al producto de sus concentraciones [S][E]

El número de choques por un tiempo determinado capaces de producir reacción, el cual será proporcional al número de choques posibles

Así pues, la velocidad de la reacción será proporcional a [S][E]: Velocidad1 (v1) = k1 [S][E]

En donde k1 es la constante de velocidad

Constantes de Velocidad

La velocidad a la cual ocurre la inversa de la reacción (1) puede deducirse del siguiente modo:

Una determinada cantidad de E liberará cierta cantidad de S durante el tiempo en que la reacción progresa La velocidad de la reacción inversa será entonces directamente

proporcional a ES Velocidad2 (v2) = k2 [ES]

En donde k2 es la constante de velocidad

Constantes de Velocidad

• La velocidad a la cual ocurre la reacción (2) puede deducirse del siguiente modo: Una determinada cantidad de E1 producirá cierta cantidad de P durante un tiempo definido de la reacción La velocidad de producción de P será entonces directamente proporcional a [E1] Velocidad3 (v3) = k3 [ES] En donde k2 es la constante de velocidad

Constantes de Velocidad

En este esquema, k1, k2 y k3 son las constantes cinéticas individuales de cada proceso y también reciben el nombre de constantes microscópicas de velocidad. Según esto, podemos afirmar que:

v1 = k1 [E] [S] v2 = k2 [ES] v3 = k3 [ES]

ECUACIÓN DE MICHAELIS-MENTEN

La ecuación de Michaelis-Menten describe como varía la velocidad de las reacciones catalizadas por enzimas de acuerdo a la concentración de sustrato:

Para utilizar la ecuación de Michaelis-Menten deben asumirse diferentes cosas :

1. Las concentraciones relativas de E y S2. La reacción esta en equilibrio3. Velocidad Inicial

Las concentraciones relativas de E y S:

La concentración de sustrato ([S]) es mucho mayor que la concentración de enzima ([E]), de manera que la proporción de sustrato fijo a la enzima es siempre relativamente pequeña.

La reacción esta en equilibrio:

[ES] no cambia durante el tiempo (la reacción se asume en equilibrio de flujos), es decir, la velocidad de formación de ES es igual a la velocidad de su transformación en E + S y en E + P).

Velocidad Inicial:

Deben usarse velocidades iniciales (vo). Esto significa que la velocidad de la reacción debe determinarse tan pronto como el sustrato y la enzima son mezclados. En dicho tiempo, la concentración de productos es despreciable y, por lo tanto, la reacción inversa de productos a sustratos puede ser ignorada

Primero veamos la reacción como la disociación del complejo ES en S y E

Ks ES E +S

Así tendremos KS que es la constante de sustrato, para luego resolver para la concentración de enzima libre [E]

Cont

Luego planteamos la ecuación de conservación para la enzima [E]0

Tomamos a [ES] como factor común

De esta manera tendremos [ES] en términos de cosas que podemos medir E +S ES E+P

La segunda parte, será una reacción de velocidad de primer grado

k2 ES E+P

A muy altas concentraciones de sustrato la KS es la que se hace despreciable

Vmax

La Vmax se alcanza cuando todos los centros activos están ocupados con sustrato

la ecuación resultante será la de una hipérbola rectangular.

E + S ES E + Pk1

k2

k3

Una cinética hiperbólica implica un proceso saturante:

Hay un número limitado de sitios en la enzima para fijar substrato; una vez que están ocupados todos, por mucho que aumente la concentración de substrato, la velocidad permanecerá constante tendiendo a un valor asintótico

Analizaremos empíricamente el significado de la KS cuando la vo es exactamente

Vmax/2.

de esta forma, llamaremos Constante de Michaelis KM a la concentración de sustrato [S] necesaria para alcanzar ½ de la Vmax de la reacción.

Concentración de Sustrato [S]

Velo

cid

ad

de l

a r

eacció

n (

v)

Km

Vmax

Vmax/2

A mayor Km, menor es la afinidad de la enzima por el sustratoA menor Km mayor es la afinidad de la enzima por el sustrato

Relación entre Km y VmaxMichaelis y Menten

Concentración de Sustrato [S]

Velo

cid

ad

de l

a r

eacció

n (

v)

Km

Vmax

Vmax/2

La Km es la concentración de sustrato donde se obtiene la mitad de la Vmax

Así tendremos la Ecuación de Michaelis y Menten

Cabe señalar que el término Ks resulta de una condición de equilibrio rápido, mientras que KM proviene de considerar un estado pseudoestacionario, utilizándose ambas de forma indistinta

La ecuación puede ser usada para demostrar que la concentración de sustrato necesaria para alcanzar la mitad de Vmáx, es numéricamente igual a Km

2.2. APROXIMACIÓN DEL ESTADO ESTACIONARIO: Tratamiento de Briggs-Haldane

* La formulación o tratamiento de Michaelis y Menten se basa en suponer la existencia de un equilibrio rápido para la primera etapa y en suponer que la constante de velocidad para la segunda etapa es despreciable frente a la constante de la reacción inversa del equilibrio.

*Hay sistemas enzimáticos estas condiciones no se cumplíanKcat <<<k2

•En 1925, Briggs y Haldane propusieron un nuevo modelo, más general, que incluía los dos anteriores:

1. No requiere la restricción de rápido equilibrio 2. Condición es la del estado estacionario

k1 k3

E + S == ES --- E + P k2

(Modelo de Briggs y Haldane)

- En este modelo también se cumple que:

[E] = [Eo] – [ES]y

d[ES]/dt = k1[E][S] – k2[ES] – k3[ES]

Haldane proponen la existencia de un estado estacionario en el que la concentración de cualquiera de las formas en que se encuentre la enzima, prácticamente es constante, y por tanto:

d[E]/dt = 0 y d[ES]/dt = 0

Detengámonos un poco en el análisis del término: estado estacionario

* La condición, pues, de estado estacionario es aquella que nos dice que la variación de la concentración de cualquier especie química en la que pueda encontrarse la enzima, con respecto al tiempo es cero. O dicho de otra manera, su concentración permanece constante.

* En nuestro caso, como ya hemos indicado:

d(E)/dt = 0 y d(ES)/dt =0

- De acuerdo con el modelo expuesto, la condición de estado estacionario limita la resolución de la ecuación de velocidad inicial

- El valor de la velocidad inicial vendrá dado por la concentración del complejo [ES] en el estado estacionario, según la ecuación:

v = k2 [ES]

- Como ya hemos indicado anteriormente, d(ES)/dt = 0

Por lo que:

Reordenando, obtenemos:

-Sustituyendo este valor en la siguiente ec.

v= k2 [ES]

)(

3)(

0

3211

3211

3211

21

321

321

kkSkESSEok

ESkESkSESkSEok

ESkESkSESkSEok

ESkESkSESEok

ESkESkSEk

ESkESkSEkdtESd

321

1

kkSkSEok

ES

Km

NOTA: La ecuación de Briggs y Haldane, tiene la misma estructura que la Michaelis-Menten

321

122 kkSk

SEokkESkv

dividiendo por k1

1

322

kkk

S

SEokv

1

32

kkk

Km

Representación directa

s

0 20 40 60 80 100

v

0

20

40

60

80

100

Km

Vmax

vV sK s

m x

m

Significado de la constante Km

1. Constante de equilibrio de disociación del complejo ES (en condiciones de equilibrio rápido)

2. Medida inversa de la afinidad de la enzima por el substrato (en condiciones de equilibrio rápido)

3. Mide la función de fijación (en cond.de equilibrio rápido)

4. Concentración de substrato para la que la velocidad se hace igual a la mitad de la máxima (s0.5)

5. Se define para una pareja enzima-substrato

6. Se mide en unidades de concentración

Significado de la constante Vmax = k2E*S

1. Velocidad asintótica para s

2. Directamente proporcional a la concentración de enzima (hoy se prefiere caracterizar a la enzima por k2)

3. Mide función de transformación catalítica

4. Se expresa en unidades de velocidad

Bibliografia

http://shaker.umh.es/docencia/bioquimica_estructural/BE_T08/BE_T08.swf

http://www.fagro.edu.uy/~bioquimica/docencia/material%20nivelacion/4%20ENZIMAS%202010.pdf

Glosario

Asiontota: En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico.