MODELOS REOLOGICOS

Los modelos reológicos que se han establecido se han basado en la ecuación

que mejor modela el reograma obtenido para el fluido bajo estudio. De lo

anterior, inicialmente los modelos se pueden agrupar en dos grandes grupos:

Los newtonianos y los no newtonianos.

MODELO REOLOGICO NEWTONIANO

Es aquel que exhibe un reograma como una línea recta que pasa el origen. Esto

quiere decir que a medida que se aumenta la rata de corte, el esfuerzo de corte

aumenta linealmente con ella. Tiene un solo parámetro que es la constante de

proporcionalidad y es la llamada viscosidad. La viscosidad es igual a la

pendiente de la recta. Por ser una recta, su pendiente es constante. La relación

entre el esfuerzo de corte y la rata de corte se establece mediante la siguiente

ecuación,

γµτ .= (3.1 )

Las figuras 3.1 y 3.2 muestran un reograma de un fluido newtoniano y la no

variación de la viscosidad con la rata de corte.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Shear Rate, 1/s

Shea

r Str

ess,

lbf/f

t²

Slope=Viscosity=µ

µ=τ/γ

Figura 3.1 Reograma de fluido newtoniano

Viscosidad versus rata de corte

10

100

1000

0.1 1 10 100 1000 10000

Rata de corte, 1/s

Visc

osid

ad, c

P

Figura 3.2 Viscosidad en función de la rata de corte para un fluido newtoniano.

MODELOS REOLOGICOS NO NEWTONIANOS

A este grupo pertenecen todos aquellos fluidos que tienen un reograma que no

representa una línea recta que pasa por el origen cuando él se gráfica en el

sistema de coordenadas cartesianas. Para todos los fluidos no newtonianos se

da que la relación entre el esfuerzo de corte, τ , y la rata de corte, γ, no tiene una

constante de proporcionalidad fija. Por ello, para ellos a dicha relación se le

llama viscosidad aparente y es función de la rata de corte en el punto donde se

evalúe, y se expresa como:

γτµ w

a = (3. 2)

Para un fluido no newtoniano siempre que se reporte la viscosidad aparente

debe ser acompañada del valor de la temperatura y la rata de corte a la cual

fueron medidas o evaluadas.

Modelo plástico Bingham A este modelo pertenecen todos aquellos fluidos que tienen un reograma que

puede ser representado por una línea recta que no pasa por el origen cuando se

gráfica en el sistema de coordenadas cartesianas. Como matemáticamente

esta línea es representada por la ecuación de la línea recta, esta ecuación

presenta entonces dos parámetros que son el punto de corte con el eje de las

ordenadas y la pendiente de la recta. Al primero se le conoce como el punto de

cedencia y a la segunda se le conoce como la viscosidad plástica. Al observar

la figura 3.3 que es un reograma de un fluido plástico Bingham, el modelo

matemático para representar el esfuerzo de corte para valores mayores al punto

de cedencia en función del valor de los parámetros y de la rata de corte es:

op τγµτ += . para τ mayor que τo.

Para los fluidos plásticos Bingham la figura 3.3 muestra un reograma en

coordenadas cartesianas y la figura 3.4 la variación de la viscosidad aparente

como función de la rata de corte en coordenadas logarítmicas. El punto de

cedencia, τo, representa un esfuerzo inicial de cierto valor que es necesario

aplicarle al fluido para lograr que inicie su movimiento.

De la definición de viscosidad aparente se deduce que para este modelo, ella se

puede obtener de la siguiente ecuación,

γτµµ o

pa += . (3.3 )

El análisis de la ecuación anterior permite decir que al aumentar la rata de corte

la viscosidad aparente disminuye y que cuando la rata de corte tiende a infinito

la viscosidad aparente tiende al valor de la viscosidad plástica, µp.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Shear Rate, 1/s

Shea

r Str

ess,

lbf/f

t²

P. de cedencia=τo

Pendiente= Visc. Plastica=µp

µa=τ0γ-1+µp

Figura 3.3 Reograma del modelo plástico Bingham

Viscosidad versus rata de corte

10

100

1000

10000

100000

1000000

0.1 1 10 100 1000 10000

Rata de corte, 1/s

Visc

osid

ad, c

P

Figura 3.4 Variación de la viscosidad en función de la rata de corte para un

fluido plástico Bingham

Ventajas del Modelo Plástico de Bingham:

• Sencilla.

• Muy usada en perforación.

Desventajas del Modelo Plástico de Bingham:

• Mal modelamiento a bajas ratas de corte.

• Difícil de medir τ0

Modelo de la Ley de la Potencia El modelo de la ley de la potencia es aquel que presenta un reograma que

puede se representado por la ecuación, baxy = (3.4 )

Para efectos de la mecánica de fluidos y de un análisis del reograma, la

ecuación similar apropiada usando la terminología apropiada es, nKγτ = (3. 5)

La ecuación anterior puede representar una curva que pasa por el origen en

coordenadas cartesianas con pendiente creciente o decreciente dependiendo

del valor de n. Incluso puede representar una recta si el valor de n es la unidad.

Si el valor de n es mayor a uno la pendiente es creciente y significa que el fluido

es mas viscoso a medida que se aumenta la rata de corte. A este tipo de

fluidos se les conoce como dilatantes y son muy escasos de encontrar. Si el

valor de n es menor que uno, la pendiente es decreciente y significa que el fluido

disminuye la viscosidad con el aumento de la rata de corte. O sea, el aumento

de la rata de corte tiene un efecto adelgazante. La mayoría de fluidos de

perforación se modelan con este modelo. A este tipo de fluidos se les conoce

como seudoplásticos. Si el valor de n es la unidad el modelo se vuelve

newtoniano y el índice de consistencia es igual a la viscosidad del fluido.

Un reograma de un fluido de la ley de la potencia graficado en escala logarítmica

será una línea recta con pendiente igual al valor de n y con un valor del esfuerzo

de corte para una rata de corte de 1 s-1 igual al valor de K. Ver la figura 3.5 en

coordenadas cartesianas y la figura 3.6 en coordenadas logarítmicas. También

ver la figura 3.7 donde muestra la variación de la viscosidad aparente en función

de la rata de corte.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Shear Rate, 1/s

Shea

r Str

ess,

lbf/f

t²

µa=kγn-1

Figura 3.5 Reograma del modelo de la ley de la potencia en coordenadas

cartesianas

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000 10000

Shear Rate, 1/s

Shea

r Str

ess,

lbf/f

t²

Pendiente=Indice de consist.=n

µa=kγn-1

Figura 3.6 Reograma del modelo de la ley de la potencia en coordenadas

logarítmicas

Como puede observarse el modelo de la ley de la potencia es también de dos

parámetros. K que se conoce como índice de consistencia y n que se conoce

como índice de comportamiento de flujo.

En todos los casos la viscosidad aparente del fluido es calculada con la siguiente

expresión:

1−= n

a Kγµ (3.6 )

Este modelo tiene dos inconsistencias. Una es que la viscosidad aparente tiende

a infinito cuando la rata de corte tiende a cero. La otra es que la viscosidad

aparente tiende a cero cuando la rata de corte tiende a infinito. La realidad del

comportamiento reológico del fluido es otra. Ellos presentarán tanto a bajas

ratas de corte como a altas ratas de corte un comportamiento newtoniano y en el

intermedio un verdadero comportamiento seudoplástico como se muestra en la

figura 3.8.

Viscosidad versus rata de corte

1

10

100

1000

10000

0.1 1 10 100 1000 10000

Rata de corte, 1/s

Visc

osid

ad, c

P

Figura 3.7 Viscosidad del modelo de la ley de la potencia en función de la rata

de corte

Viscosidad real de un fluido versus rata de corte

1

10

100

1000

1 10 100 1000 10000

Rata de corte, 1/s

Visc

osid

ad, c

P

Figura 3.8 Variación de la viscosidad real de un fluido en función de la rata de

corte

Corrección del Índice de Consistencia

Cuando se hace la caracterización reológica de un fluido y se elabora su

reograma, si el fluido obedece al modelo de la Ley de la Potencia se debe

obtener una línea recta en el reograma cuando se grafica en escala logarítmica y

los parámetros de dicho modelo se obtienen de la siguiente manera:

• El valor del índice de comportamiento de flujo n es el valor de la

pendiente del reograma ( de la línea recta) en escala logarítimica.

• El valor del índice de consistencia K es el valor del esfuerzo de corte a

una rata de corte igual a 1 s-1.

Los valores de los parámetros del moldeo deberían ser siempre iguales

independientemente del tipo de viscosímetro usado, pero se encontró que no es

cierto. Investigadores encontraron que los reogramas preparados para un

mismo fluido caracterizado a las mismas condiciones pero en diferentes

viscosímetros eran rectas paralelas en la escala logarítmica. Esto significa, que

le valor del índice de comportamiento de flujo n si es el mismo pero que había

una variación en el índice de consistencia K. De allí que se establecieron

correlaciones empíricas para establecer equivalencias entre los valores de los

índices de consistencia que se presentan a continuación:

n

a

v

nn

KK

+=

123 σ

(3. 7) n

P

v

nn

KK

+=

134 σ

(3.8 )

( )( )

nnn

a

P

nn

nn

nn

KK

+

+=

+

+

=124

1312

34

13

(3. 9)

Donde:

Kv = Índice de consistencia obtenido del viscosímetro Couette.

KP = Índice de consistencia obtenido de un viscosímetro de tubos.

Ka = Índice de consistencia obtenido de un viscosímetro de placas paralelas.

−−

=11

2

2 2

2 n

n

ss

nssσ

(3.10 )

b

c

DD

s = (3. 11)

Casi siempre sucede que Kv es menor que KP.

Para el viscosímetro Fann 35 A el diámetro de la camisa rotatoria es Dc = 36.83

mm y el diámetro del bulbo interno es Db = 34.49 mm

En otras ocasiones de un fluido se conoce es un índice de consistencia K que es

general y que amerita corrección para obtener un K´ corregido. Las siguientes

son las correlaciones que se aplican en tal caso:

n

P nnKK

+

=4

13' (3. 12)

n

a nnKK

+

=3

12' (3.13 )

Ventajas del Modelo de la Ley de la Potencia:

• Sencillo

• Dos parámetros fáciles de calcular

• Modela bien muchos fluidos: n < 1 Pseudoplásticos

n = 1 Newtonianos

n > 1 Dilatantes

Desventajas del Modelo de la Ley de la Potencia:

• A altas ratas de corte la viscosidad se hace nula.

• A bajas ratas de corte la viscosidad tiende a infinito.

Modelo Herschel-Bulkley A este modelo pertenecen todos aquellos fluidos que además del

comportamiento seudoplástico también exhiben punto de cedencia. Lo que

quiere decir que la ecuación para modelar el esfuerzo de corte en función de la

rata de corte es de la forma, n

o Kγττ += (3. 14)

Como se puede ver, la ecuación presenta tres parámetros: Punto de cedencia,

índice de consistencia e índice de comportamiento de flujo. Se puede decir que

este modelo es el mas completo de todos los vistos hasta ahora pues

dependiendo del valor de los parámetros puede modelar cualquiera de los otros

modelos estudiados hasta ahora. Por ejemplo, si n es igual a la unidad el

modelo se convierte en el plástico Bingham. Si τo es nulo, el modelo se convierte

en la ley de la potencia. La complejidad del modelo radica en el uso de tres

parámetros comparados con los otros que solo usan dos y en su determinación.

Con el advenimiento de los computadores personales se ha facilitado el cálculo

de los tres parámetros con datos de pruebas. Las figuras 3.9 y 3.10 muestran

un reograma y la variación de la viscosidad aparente para los fluidos Herschel-

Bulkley respectivamente.

La viscosidad aparente se obtendría de:

1−+= noa Kγ

γτµ (3. 15)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Shear Rate, 1/s

Shea

r Str

ess,

lbf/f

t²

Yield Stress=τo

µa=τ0γ-1+kγn-1

Figura 3.9 Reograma de un fluido del modelo Herschel-Bulkley

Viscosidad versus rata de corte

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

0.1 1 10 100 1000 10000

Rata de corte, 1/s

Visc

osid

ad, c

P

Figura 3.10 Viscosidad de un fluido del modelo Herschel-Bulkley

Ventajas del Modelo Herschel-Bulkley:

• Excelente modelamiento.

• Muy usado para espumas.

Desventajas del Modelo Herschel-Bulkley:

• Poco usado.

• Difícil de hallar los tres parámetros.

Modelo Casson

Es el modelo que mejor modela el flujo de la sangre en el sistema circulatorio de

los animales. La ecuación para relacionar el esfuerzo de corte con la rata de

corte es,

γµττ .o

o += (3.16 )

Es una ecuación de dos parámetros: Un punto de cedencia τo y la viscosidad a

una rata de corte nula oµ . El parámetro

oµ se puede observar en la figura 3.11.

La viscosidad aparente en función de la rata de corte se calcula de, 2

+=

o

oa µ

γτ

µ (3.17 )

La viscosidad aparente en función del esfuerzo de corte se calcula de,

( )2

.

o

oa

ττ

τµµ

−= (3. 18)

Modelo Ellis Este modelo presenta un reograma que puede ser observado en la figura 3.11 y

cuya ecuación matemática es la siguiente,

γ

ττ

τ α

µ.

11

2/1

+

= −o (3.19 )

El modelo tiene tres parámetros: oµ , τ1/2 y α. De la observación del reograma

que se presenta en la figura 3.11, se deduce la manera de obtener los valores

de los parámetros siguiendo el siguiente procedimiento.

Con los datos del reómetro (rata de corte y sus respectivos esfuerzos de corte)

se calcula la viscosidad aparente por definición. O sea,

γτµ =a (3.20 )

Luego se gráfica la viscosidad aparente en función del esfuerzo de corte en

coordenadas logarítmicas. De la figura obtenida, se toma el valor máximo

estable de la viscosidad aparente que se le llama µo. Se lee el valor del esfuerzo

de corte correspondiente µo/2 y se le llama τ1/2. Luego se hace una gráfica log-

log de 1−a

o

µ

µ versus

2/1ττ . Se debe obtener una línea recta con una pendiente

1−= αm . Ver Figura 3.12. Con ello ya obtenemos los tres parámetros.

Figura 3.11 Modelo reológico de Casson y de Ellis

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10

τ/τ1/2

µ 0/ µ

a - 1 m=α-1

Figura 3.12 Obtención del parámetro alfa, α

La viscosidad aparente para este modelo se calcula de,

+

= −1

2/1

1α

ττ

µµ

oa (3. 21)

Después de haber detallado los principales modelos reológicos, queda fácil

entender una clasificación general de los fluidos como la que se muestra en la

figura 3.13.

Figura 3.13. Clasificación general de los de los fluidos

FLUIDOS

NEWTONIANOS NO NEWTONIANOS

DEPENDIENTES DEL TIEMPO

INDEPENDIENTES DEL TIEMPO

VISCO - ELASTICOS

TIXOTROPICOS REOPÉPTICOS

PSEUDOPLÁSTICOS DILATANTES

LINEALES NO LINEALES

VISCOPLÁSTICOSS

PLÁSTICOS YIELD PSEUDOPLÁSTICOS