ModelosPoblacionales
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Introducci ´ on Interacci ´ on de Especies Ecuaciones Diferenciales con Retardo Introducci ´ on a la Modelaci´ on Matem ´ atica. Algunos modelos poblacionales. Dr. ´ Angel G. Estrella Gonz ´ alez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, FMAT-UADY Abril, 2015 ´ Angel G. Estrella Introducci ´ on a la Modelaci ´ on Matem ´ atica. Algunos modelos
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Modelos poblacionales
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Introduccion a la Modelacion Matematica.Algunos modelos poblacionales.
Dr. Angel G. Estrella Gonzalez
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, FMAT-UADY
Abril, 2015
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Pregunta
Supongamos que P(t) es la densidad o el numero deelementos en una poblacion. Que mide
dPdt
?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Malthus
Supongamos que el cambio de una poblacion es proporcionala la misma poblacion.
dPdt
= aP
Que soluciones puede tener esta ecuacion?Cual es el comportamiento de las soluciones en?Cual es el plano fase?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Malthus
Supongamos que el cambio de una poblacion es proporcionala la misma poblacion.
dPdt
= aP
Que soluciones puede tener esta ecuacion?Cual es el comportamiento de las soluciones en?Cual es el plano fase?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Malthus
Supongamos que el cambio de una poblacion es proporcionala la misma poblacion.
dPdt
= aP
Que soluciones puede tener esta ecuacion?
Cual es el comportamiento de las soluciones en?Cual es el plano fase?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Malthus
Supongamos que el cambio de una poblacion es proporcionala la misma poblacion.
dPdt
= aP
Que soluciones puede tener esta ecuacion?Cual es el comportamiento de las soluciones en?
Cual es el plano fase?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Malthus
Supongamos que el cambio de una poblacion es proporcionala la misma poblacion.
dPdt
= aP
Que soluciones puede tener esta ecuacion?Cual es el comportamiento de las soluciones en?Cual es el plano fase?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Logstico
Supongamos que la poblacion aumenta proporcionalmente asu tamano y decrece proporcionalmente al cuadrado de sutamano.
dPdt
= aP bP2, para a > 0 y b > 0
Mismas preguntas que antes.Por que a > 0 y b > 0?Que mide bP2?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Logstico
Supongamos que la poblacion aumenta proporcionalmente asu tamano y decrece proporcionalmente al cuadrado de sutamano.
dPdt
= aP bP2, para a > 0 y b > 0
Mismas preguntas que antes.Por que a > 0 y b > 0?Que mide bP2?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Logstico
Supongamos que la poblacion aumenta proporcionalmente asu tamano y decrece proporcionalmente al cuadrado de sutamano.
dPdt
= aP bP2, para a > 0 y b > 0
Mismas preguntas que antes.
Por que a > 0 y b > 0?Que mide bP2?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Logstico
Supongamos que la poblacion aumenta proporcionalmente asu tamano y decrece proporcionalmente al cuadrado de sutamano.
dPdt
= aP bP2, para a > 0 y b > 0
Mismas preguntas que antes.Por que a > 0 y b > 0?
Que mide bP2?
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Logstico
Supongamos que la poblacion aumenta proporcionalmente asu tamano y decrece proporcionalmente al cuadrado de sutamano.
dPdt
= aP bP2, para a > 0 y b > 0
Mismas preguntas que antes.Por que a > 0 y b > 0?Que mide bP2?
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Difusion
Supongamos que una poblacion u = u(x , t) depende deltiempo t y del espacio x R.Que mide la difusion
u =2ux2
?
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Difusion
Supongamos que una poblacion u = u(x , t) depende deltiempo t y del espacio x R2.Que mide la difusion
u =2ux21
+2ux22
?
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Difusion
Supongamos que una poblacion depende del tiempo t y delespacio x Rn, esto es u(x , t), entonces u mide ladifusion, podemos considerar, por ejemplo, el modelo logsticocon difusion
ut
= u + u(a bu)
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
La Pregunta PrincipalEjemplosDifusion
Ecuaciones de Reaccion y Difusion
Una ecuacion de reaccion y difusion es de la forma
ut
= u + f (x , t ,u)
donde u es la difusion y f (x , t ,u) es la reaccion.Consideramos un valor inicial y condiciones de frontera.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Medida de la Interaccion
Una forma de medir la interaccion de dos poblaciones u1 y u2es por medio de un multiplo del producto de los tamanos desus poblaciones ku1u2
Si una poblacion es grande entonces la interaccion ku1u2es grandeSi una poblacion es cero, la interaccion ku1u2 es cero
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Modelo Logstico
En este modelout
= u + (au bu2)
que mide el termino bu2?
La poblacion decrece proporcionalmente a la interaccion de lapoblacion con ella misma.Compiten entre ellos.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Modelo Logstico
En este modelout
= u + (au bu2)
que mide el termino bu2?
La poblacion decrece proporcionalmente a la interaccion de lapoblacion con ella misma.
Compiten entre ellos.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Modelo Logstico
En este modelout
= u + (au bu2)
que mide el termino bu2?
La poblacion decrece proporcionalmente a la interaccion de lapoblacion con ella misma.Compiten entre ellos.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Para dos especies suponga queCada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.
Las dos poblaciones compiten por los mismos recursos.Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente a...Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente ala interaccion con la otra poblacion.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Para dos especies suponga queCada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Las dos poblaciones compiten por los mismos recursos.
Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente a...Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente ala interaccion con la otra poblacion.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Para dos especies suponga queCada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Las dos poblaciones compiten por los mismos recursos.Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente a...
Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente ala interaccion con la otra poblacion.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Para dos especies suponga queCada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Las dos poblaciones compiten por los mismos recursos.Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente a...Por lo tanto, cada poblacion decrece proporcionalmente ala interaccion con la otra poblacion.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Obtenemos el sistema
u1t
= u1 + (a1u1 b1u21 c1u1u2)u2t
= u2 + (a2u2 b2u22 c2u1u2)
Como se refleja cada una de las suposiciones anteriores eneste sistema de ecuaciones diferenciales?
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Especies en Competencia
Obtenemos el sistema
u1t
= u1 + (a1u1 b1u21 c1u1u2)u2t
= u2 + (a2u2 b2u22 c2u1u2)
Como se refleja cada una de las suposiciones anteriores eneste sistema de ecuaciones diferenciales?
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Sistema Cazador-Presa
Para dos especies supongamos:Cada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.
Para el cazador, la interaccion favorece a su poblacionPara la presa, la interaccion perjudica a su poblacionPor lo tanto la poblacion de los cazadores aumenta enforma proporcional a la interaccion y la pobalcion depresas disminuye en forma proporcional a la interaccion.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Sistema Cazador-Presa
Para dos especies supongamos:Cada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Para el cazador, la interaccion favorece a su poblacion
Para la presa, la interaccion perjudica a su poblacionPor lo tanto la poblacion de los cazadores aumenta enforma proporcional a la interaccion y la pobalcion depresas disminuye en forma proporcional a la interaccion.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Sistema Cazador-Presa
Para dos especies supongamos:Cada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Para el cazador, la interaccion favorece a su poblacionPara la presa, la interaccion perjudica a su poblacion
Por lo tanto la poblacion de los cazadores aumenta enforma proporcional a la interaccion y la pobalcion depresas disminuye en forma proporcional a la interaccion.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Sistema Cazador-Presa
Para dos especies supongamos:Cada poblacion sigue el modelo logstico con difusion enausencia de la otra especie.Para el cazador, la interaccion favorece a su poblacionPara la presa, la interaccion perjudica a su poblacionPor lo tanto la poblacion de los cazadores aumenta enforma proporcional a la interaccion y la pobalcion depresas disminuye en forma proporcional a la interaccion.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Sistema Cazador-Presa
Obtenemos el sistema
u1t
= u1 + (a1u1 b1u21 + c1u1u2)u2t
= u2 + (a2u2 b2u22 c2u1u2)
donde u1 es el cazador y u2 es la presa
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Cazadores Compitiendo Por Una Presa
Cuales son suposiciones adecuadas para este caso?Cada poblacion ...
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Cazadores Compitiendo Por Una Presa
u1t
= u1 + (a1u1 b1u21 c1u1u2 + d1u1u3)u2t
= u2 + (a2u2 b2u22 c2u1u2 + d2u2u3)u3t
= u3 + (a3u3 b3u23 c3u1u3 d3u2u3)
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Dos Cazadores Compitiendo Por Una Presa
u1t
= u1 + u1(a1 b1u1 c1u2 + d1u3)u2t
= u2 + u2(a2 b2u2 c2u1 + d2u3)u3t
= u3 + u3(a3 b3u3 c3u1 d3u2)
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
u1t
= u1 + u1f1(u1,u2,u3, x , t)
u2t
= u2 + u2f2(u1,u2,u3, x , t)
u3t
= u3 + u3f3(u1,u2,u3, x , t)
La funcion fi(u1,u2,u3, x , t) recibe el nombre de crecimientoper capita o crecimiento por individuo de la correspondientepoblacion ui
Por lo tanto ui fi mide el crecimiento total de la poblacion ui
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
u1t
= u1 + u1f1(u1,u2,u3, x , t)
u2t
= u2 + u2f2(u1,u2,u3, x , t)
u3t
= u3 + u3f3(u1,u2,u3, x , t)
La funcion fi(u1,u2,u3, x , t) recibe el nombre de crecimientoper capita o crecimiento por individuo de la correspondientepoblacion uiPor lo tanto ui fi mide el crecimiento total de la poblacion ui
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Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
u1t
= u1 + u1f1(u1,u2,u3, x , t)
u2t
= u2 + u2f2(u1,u2,u3, x , t)
u3t
= u3 + u3f3(u1,u2,u3, x , t)
Podemos definir el tipo de interaccion entre las especies pormedio del signo de
fiuj
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Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
Que mide fiuj ?
Mide el cambio el cambio del crecimiento por individuo de lapoblacion ui cuando cambia la poblacion uj .
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Otros Modelos
Que mide fiuj ?Mide el cambio el cambio del crecimiento por individuo de lapoblacion ui cuando cambia la poblacion uj .
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Otros Modelos
Sifiuj 0
entonces la poblacion de ui disminuye cuando interactuacon ujSi
fiuj 0
entonces la poblacion de ui aumenta cuando interactuacon uj
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Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
En consecuencia, para un modelo de la forma
u1t
= u1 + u1f1(u1,u2,u3, x , t)
u2t
= u2 + u2f2(u1,u2,u3, x , t)
u3t
= u3 + u3f3(u1,u2,u3, x , t)
sifiuj 0
para i , j = 1,2,3 tenemos tres especies en competencia
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
u1t
= u1 + u1f1(u1,u2,u3, x , t)
u2t
= u2 + u2f2(u1,u2,u3, x , t)
u3t
= u3 + u3f3(u1,u2,u3, x , t)
Para dos cazadores compitiento por una presa necesitamos ...
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
Otros casos de interaccion de tres especies
Tres especies en mutualismo.Un cazador y dos presas en mutualismo.Cadena alimenticia.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
Otros casos de interaccion de tres especiesTres especies en mutualismo.
Un cazador y dos presas en mutualismo.Cadena alimenticia.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
Otros casos de interaccion de tres especiesTres especies en mutualismo.Un cazador y dos presas en mutualismo.
Cadena alimenticia.
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Medida de la InteraccionModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Otros Modelos
Otros casos de interaccion de tres especiesTres especies en mutualismo.Un cazador y dos presas en mutualismo.Cadena alimenticia.
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Retardo Discreto
En algunas ocasiones el crecimiento de la poblacion dependetambien de la poblacion en un tiempo anterior
ut
= u + uf (u(x , t),u(x , t ), x , t)
ut
(x , t) = u(x , t) + u(x , t)f (u(x , t),u(x , t ), x , t)El crecimiento por individuo de la poblacion en el tiempo tdepende del tamano de la poblacion en el mismo tiempo t ,pero tambien depende del tamano de la poblacion en untiempo anterior t .En este caso tenemos un retardo discreto
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Retardo Discreto
Para a1 0 yn
i=1 ai = 1, consideremos
ut
= u + uf (u(x , t),n
i=1
aiu(x , t i), x , t)
En este caso tenemos n retardos discretos
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Retardo Continuo
Finito
Supongamos que g(s) 0 si s [0, ] y 0 g(s)ds = 1,consideremos la ecuacion
ut
= u + uf (u(x , t),
0g(s)u(x , t s)ds, x , t)
En este caso tenemos un retardo continuo y finito.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Retardo Continuo
Infinito
Supngamos que g(s) 0 para s [0,] y 0 g(s)ds = 1,consideremos la ecuacion
ut
= u + uf (u(x , t),
0g(s)u(x , t s)ds, x , t)
En este caso tenemos un retardo continuo infinito
Obtenemos una ecuacion integro-diferencial.
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Retardo Continuo
Infinito
Supngamos que g(s) 0 para s [0,] y 0 g(s)ds = 1,consideremos la ecuacion
ut
= u + uf (u(x , t),
0g(s)u(x , t s)ds, x , t)
En este caso tenemos un retardo continuo infinito
Obtenemos una ecuacion integro-diferencial.
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Problemas
Soluciones
Estado EstableAtractoresPermanenciaExtincionMetodos Numericos
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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Problemas
SolucionesEstado Estable
AtractoresPermanenciaExtincionMetodos Numericos
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Problemas
SolucionesEstado EstableAtractores
PermanenciaExtincionMetodos Numericos
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Problemas
SolucionesEstado EstableAtractoresPermanencia
ExtincionMetodos Numericos
Angel G. Estrella Introduccion a la Modelacion Matematica. Algunos modelos poblacionales.
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IntroduccionInteraccion de Especies
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Problemas
SolucionesEstado EstableAtractoresPermanenciaExtincion
Metodos Numericos
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Ecuaciones Diferenciales con Retardo
Problemas
SolucionesEstado EstableAtractoresPermanenciaExtincionMetodos Numericos
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IntroduccinLa Pregunta PrincipalEjemplosDifusin
Interaccin de EspeciesMedida de la InteraccinModelo LogsticoDos y Tres EspeciesOtros Modelos
Ecuaciones Diferenciales con Retardo
