MODELO DE DE TRANSPORTEBÚSQUEDA DE OPTIMALIDAD

Ejemplo:• La empresa La Salud posee 3 camiones con capacidad de 20, 45 y 60 cientos de litros de leche.

Surten a 3 supermercados de San Salvador: Price Smart, Despensa De Don Juan y Wallmart. La demanda máxima es de 25, 40 y 35 cientos de litros de leche. El costo de transporte de los camiones está dado por la siguiente tabla:

Price Smart Despensa de Don Juan

Wallmart Oferta

Camión1 500 600 600 20

Camión2 210 200 250 45

Camión3 400 380 350 60

Demanda 25 40 45

Tabla Inicial Balanceada

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

20               

P2

  210   200   250  0

45               

P3

  400  380  350  0

60               

Demanda 25 40 45 15  125

TABLA FINAL DE LA SOLUCION INICIAL

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

0    5      15 

P2

  210  200  250  0

025  20         

P3

  400  380  350  0

0    15  45     

Demanda 0 0 0 0 0

SOLUCION INICIAL POR EL METODO DE VOGEL

• CT= 5(600) + 15(0) + 25(210) + 20(200) +

15(380) + 45(350)

CT= 3,000 + 5,250 + 4,000 + 5,700 + 15,750

COSTO TOTAL = $33,700

Método de la Distribución Modificada (MODI)

• Este método se usa una vez ya se haya encontrado una solución inicial, con el objetivo de probar la optimalidad. Para este mismo fin se puede utilizar también el Método de la Piedra que Rueda.

• El método de MODI busca probar las rutas no usadas(celdas vacías), calculando el costo marginal por usar esa ruta; si se encuentra un costo marginal negativo, se revisa la solución dada.

Los pasos del método de MODI son:

1. Se calculan los coeficientes de la fila y columna usando solamente las celdas llenas(o básicas):

Coeficiente desconocido(columna o fila) = costo de la celda - coeficiente conocido (columna o fila)

2. Se calcula el costo marginal usando cada celda vacía:

Costo marginal = costo en la celda – (coeficiente de la fila + coeficiente de la columna)

3. Se selecciona la celda vacía con el costo marginal más negativo. Si no se encuentra costo marginal negativo, la solución es óptima.

4. Se encuentra la trayectoria de revisión y se llena la celda vacía al máximo que permite la trayectoria.

Se repiten los pasos 1 al 4 hasta que todos los costos marginales sean cero o positivos.

Se probará la solución óptima del ejemplo usando el método de

MODI. Se ubica la tabla final de la solución Inicial

TABLA FINAL DE LA SOLUCION INICIAL

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

20    5      15 

P2

  210  200  250  0

4525  20         

P3

  400  380  350  0

60    15  45     

Demanda 25 40 45 15 125

1. Se calculan los coeficientes de las filas y columnas usando las celdas llenas con al siguiente fórmula:

Coeficiente desconocido(columna o fila) = costo de la celda - coeficiente conocido (columna o fila)

Ejemplo: Se asigna cero a la primer fila de la tabla

•. Col2=600-0 = 600•. Col4=0-0=0•. F2=200-600=-400

Col1=610 Col2=600   col3=570 Col4=0 

  C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

  500  600  600  0

20   5     15 

F2=-400  P2

  210  200  250  0

4525  20       

 f3=-220 P3

  400  380  350  0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

Finalmente se tendrá la tabla siguiente:

Col1=610 Col2=600 Col3=570 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

  500  600  600  0

20   5     15 

F2=-400 P2

  210  200  250   0

4525  20    

F3=-220 P3

  400  380  350   0

60   15  45   

Demanda 25 40 45 15 125

2. Se calcula el costo marginal para cada celda vacía:

Costo marginal = costo en la celda vacía – (coeficiente de la fila + coeficiente de la columna)

Celdas: Costo Marginal: P1C1 500-(610+0)=-110P1C3 600-(570+0)=30P2C3 250 -(-400+570) =80P2H1 0-(-400+0)=400P3C1 400-(-220+610)=10P3H1 0-(-220+0)=220

Col1=610 Col2=600 Col3=570 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1  500  600  600  0

20-110  5  30  15 F2=-400 P2

  210  200  250   04525  20  80  400 

F3=-220 P3

  400  380  350   06010  15  45  220 

Demanda 25 40 45 15 125

3. Se selecciona la celda vacía o no básica con el costo marginal más negativo

Col1=610 Col2=600 Col3=570 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

  500  600  600  0

20-110  5  30  15 

F2=-400 P2

  210  200  250   0

4525  20  80  400 

F3=-220 P3

  400  380  350   0

6010  15  45  220 

Demanda 25 40 45 15 125

4. Se encuentra la trayectoria de revisión y se llena la celda vacía al máximo que permite la trayectoria.

La Ley de la Trayectoria permite cambiar los valores manera que nos ayude a acercarnos a la solución óptima. La Trayectoria se puede trazar de forma vertical, horizontal, no en diagonales.Se coloca un signo + en la celda con el costo marginal más negativo y se le da vuelta a la trayectoria alternando los signos.

Col1=610 Col2=600 Col3=570 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

+500

- 600  600  0

20-110

  5  30  15 

F2=-400 P2

- 210 + 200  250   0

4525  20  80  400 

F3=-220 P3

  400  380  350   0

6010  15  45  220 

Demanda 25 40 45 15 125

Se elige la cantidad menor que posean signo menos en la trayectoria y ese valorSe le aumentará a las celdas que tienen signo positivo y se le reducirá a las celdasque posean signo negativo.En este caso, el menor que posea signo negativo es la posición de la celda P1C2=5La nueva tabla quedará así:

       

C1 C2 C3 H1 Oferta

  P1  500  600  600  0

205        15 

  P2  210  200  250   0

4520  25       

  P3  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

Observaciones:• El costo marginal más negativo se remplazó por la cantidad menor que poseía signonegativo en la trayectoria.• Tenemos nuevos valores en las celdas por lo tanto se debe calcular nuevamentelos coeficientes de las columnas y filas y además los costos marginales de las celdas nobásicas

Se ejecuta nuevamente los pasos 1 y 2

Col1=500 Col2=490 Col3=460 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

  500  600  600  0

205        15 

F2=-290 P2

  210  200  250   0

4520  25       

F3=-110 P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

Coeficientes de Filas y Columnas:

Calculo de Costos marginales:

Col1=500 Col2=490 Col3=460 Col4=0

C1 C2 C3 H1 Oferta

F1=0 P1

  500  600  600  0

205  110  140  15 

F2=-290 P2

  210  200  250

290

0

4520  25  80   

F3=-110 P3

  400  380  350

110

0

6010  15  45   

Demanda 25 40 45 15 125

Se deja de iterar cuando en los costos marginales se obtienen números Positivos o cero. En caso contrario se debe realizar los mismo pasos Para encontrar mejoras en la solución

Usando el método de MODI se tiene la solución óptima:

CT= (5*500)+(20*210)+(25*200)+(15*380)+(45*350)+(15*0)

CT= $33,150

Por el método de Vogel se había obtenido un Costo Total de $33,700

Método de la Piedra que Rueda

• Este método debe su nombre a las piedras que se usarían para cruzar un arrollo, tales piedras son las celdas llenas y el agua son las celdas vacías.

• Se debe trazar una trayectoria empezando en una celda vacía y regresar a ella usando solo las piedras como pivotes o esquinas.

• No es necesario calcular coeficientes de las columnas ni filas y los costos marginales se obtienen de los costos de las celdas llenas de la trayectoria.

Pasos para ejecutar el método.

1. Seleccionar una celda vacía y colocar un signo más en ella.

2. Trazar una trayectoria a partir de dicha celda con ángulos rectos en las celdas llenas. Se le da la vuelta a la trayectoria alternando los signos menos y más.

3. Para encontrar el costo marginal de la celda vacía se suman el costo de la celda vacía y de las esquinas de la trayectoria con signo más y se restan los costos que tienen signo menos.

Esto se hace para cada celda vacía

4. Si resulta un costo marginal negativo, se debe recordar su respectiva ruta y se elige el menor valor de las celdas que tienen signos negativos, dicho valor se les suma a los valores que poseen signo más y se le resta a los valores que tienen signo menos de la trayectoria.

5. La celda que tenía un costo marginal negativo se convierte en “piedra” o celda llena.

Se ejecutan los pasos 1-3 nuevamente, si en los costos marginales resultan ser positivos o cero, se detiene

el método y se procede a calcular la solución óptima.

Se retoma la solución inicial que se encontró por el método de Vogel para probar la solución óptima mediante el Método de la piedra que rueda.

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

20   5     15 

P2

  210  200  250   0

4525  20       

P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

1. Seleccionar una celda vacía y colocar un signo más en ella.

 

C1C2 C3 H1 Oferta

P1  500

 600  600  0

20   5     15 

P2

  210  200  250   0

4525  20       

P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

2. Trazar una trayectoria a partir de dicha celda con ángulos rectos en las celdas llenas. Se le da la vuelta a la trayectoria alternando los signos menos y más. 3. Para encontrar el costo marginal de la celda vacía se suman el costo de la celda vacía y de las esquinas de la trayectoria con signo más y se restan los costos que tienen signo menos.

Costo MarginalP1C1 = 500-600+200-210 = -110

Se encuentran realizan los mismo pasos en todas las celdas vacías

  C1C2

C3 H1 Oferta

P1

  500 600  600  0

20-110 5

     15 

P2

  210  200  250   0

4525  20       

P3

  400 380

  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

Costo MarginalP1C3 = 600-600+380-350 = 30

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

20-110  5   30  15 

P2

  210  200  250   0

4525  20       

P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

P2C3 = 250-200+380-350 = 80P2H1 = 0-0+600-200 = 400

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500  600  600  0

20-110  5  30  15 

P2  210  200  250   0

4525  20  80     

P3  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

20-110   5  30  15 

P2

  210  200  250   0

4525  20  80     

P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

P3C1 = 400-380-200-210=10P3H1 = 0-0+600-380 = 220

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500

 600  600 0

20-110  5  30  15 

P2  210  200  250   0

4525  20  80   400  

P3  400 380  350   0

6010  15  45    Demanda 25 40 45 15 125

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500  600  600  0

20-110  5  30  15 

P2

  210  200  250   0

4525  20  80  400 

P3

  400  380  350   0

6010  15  45  220 

Demanda 25 40 45 15 125

3. Si resulta un costo marginal negativo, se debe recordar su respectiva ruta y se elige el menor valor de las celdas que tienen signos negativos, dicho valor se les suma a los valores que poseen signo más y se le resta a los valores que tienen signo menos de la trayectoria.

Da como resultado dicha tabla:

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

205       15 

P2

  210  200  250   0

4520  25     

P3

  400  380  350   0

6015  45   Demanda 25 40 45 15 125

Se ejecutan otra vez el método para encontrar nuevamente los costos marginales de cada celda vacía.

 C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500  600  600  0

205     30  15 

P2  210  200  250   0

4520  25  80  400 

P3  400  380  350   0

6010  15  45  220 

Demanda 25 40 45 15 125

 C1 C2 C3 H1 Oferta

P1

  500  600  600  0

205  110     15 

P2

  210  200  250   0

4520  25       

P3

  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500  600  600  0

205  110   140  15 

P2  210  200  250   0

4520  25       

P3  400  380  350   0

60   15  45    

Demanda 25 40 45 15 125

Para P2C3

Para P1C3

Después de haber encontrado todas las trayectorias para cada celda vacíase obtiene la siguiente tabla

  C1 C2 C3 H1 Oferta

P1  500  600  600  0

205  110  140  15 

P2  210  200  250   0

4520  25  220  290 

P3  400  380  350   0

6010  15  45  110 

Demanda 25 40 45 15 125

Se puede apreciar que todos los costos marginales son positivos, por lo tantose hace un alto y se puede decir que se ha encontrado una solución óptima.

Ct = (5*500)+(20*210)+(25*200)+(15*380)+(45*350)+(15*0)Costo total = $ 33,150

Observaciones

• El método de aproximación de Vogel casi siempre lleva a soluciones mejores que otros métodos aunque requiera mayores cálculos.

• El método de la Distribución Modificada (MODI) y el de la Piedra que Rueda difieren un poco en la mecánica pero ambos dan los mismo resultados con la misma estrategia de prueba.

• El método de MODI hace que en problemas extensos llegue a los costos marginales más rápido que con el método de la piedra que rueda.

• El método de la piedra que rueda resulta ser más laborioso pero es muy eficaz en problemas no muy extensos.