Modos Normales de Oscilación

7/25/2019 Modos Normales de Oscilacin

1/6

1

EN BUSCA DE LOS MODOS NORMALES DE OSCILACIN.

M. G. Hernndez-Morales a, R. Espndola-Heredia a, G. Del Valle a,F. Pinto a, J. Daz a, B. Hernndez a

a Departamento de Ciencias Bsicas, rea de Fsica Atmica y Molecular, Laboratorio deInvestigacin en Dinmica Rotacional, Edificio G-103, Universidad Autnoma Metropolitana,

Azcapotzalco Av. San Pablo 180, Azcapotzalco., Mxico D. F., [email protected],[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected],[email protected]

RESUMEN

Estudiamos el sistema formado por dos pndulos con masas m1ym2, unidos por medio de un resorteo muelle de constante elstica . Desarrollamos la solucin terica del sistema a travs de distintasformulaciones (Newtoniana, Lagrangiana, Hamiltoniana) y presentamos resultados tantoexperimentales como numricos del sistema, enfocados en la obtencin de los modos normales deoscilacin de esta clase de sistemas, y entender el tratamiento dado en los distintos formalismos.

1. INTRODUCCIN

Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilaral ser perturbada. Los modos normales son tambin llamados frecuencias naturales o frecuenciasresonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es nico.

Normalmente se establece al sistema oscilatorio el cual est formado por una masa y un resorte elcual bien puede ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Sin embargo, para estudiarlos modos normales es necesario tener un sistema acoplado, donde los distintos grados de libertadinteraccionen, bien puede ser entonces un sistema formado por lo menos de dos masas unidas a unresorte, para el caso ms simple. Entonces, cuando este tipo de sistema es excitado en una de susfrecuencias naturales, las masas se movern con la misma frecuencia. Las fases de las masas sonexactamente las mismas o exactamente las contrarias. Este trabajo se ha organizado de la siguientemanera, en la seccin 2 se presenta la teora, en las formulaciones Newtoniana Lagrangiana yHamiltoniana, en la seccin 3 presentamos los resultados experimentales as como resultadosnumricos, y en la seccin 4 las conclusiones correspondientes de este trabajo.

2. TEORA

Nuestro objeto de estudio es suponer dos partculas de masa m1y m2, colgadas de varillas iguales,inextensibles y sin peso, de longitud l, con los puntos de suspensin separados por una distancia dy unidas por medio de un resorte de constante elstica k. Dado el sistema descrito, consideramosque tanto 1y 2son las desviaciones de los pndulos respecto de la vertical. Luego la elongacindel resorte estar dada por x, ver figura 1.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/6

2

Figura 1: Sistema acoplado de dos pndulos sujetos por medio de un muelle o resorte deconstante k, que oscilan y que representa el objeto de estudio experimental y terico de este

trabajo.

A. FORMULACIN NEWTONIANATomando en cuenta la aproximacin de ngulos pequeos, esto es: y 1 2 Con lo que se considerar que el movimiento vertical de las masas es despreciable respecta a laelongacin del resorte. Dentro de tal aproximacin, la elongacin puede expresarse cmo: La energa cintica del sistema es el resultado de la suma de las energas cintica de cada pndulo,la energa potencial total del sistema es el resultado de dos contribuciones; la gravitatoria de las dosmasas y la del muelle, la energa mecnica total resulta que es una propiedad que se conserva dadoque no existen prdidas de energa, esto es: = + + + + = .Entonces es derivar la expresin para la energa mecnica total E y obtener como solucin unaecuacin diferencial con la siguiente forma:0 = + + + + , la cual admite unaseparacin de variables, puesto que los ngulos son independientes, deben anularse por separado,y por tanto las ecuaciones del movimiento en la formulacin Newtoniana ser:

= + + = + + (1)Cuya solucin ser el determinante de la matriz si se buscan soluciones armnicas para los ngulos,con frecuencia de

+ + = 0 (2)con las soluciones:

= = + + (3)donde =

= (4)


3/6

3

De esta solucin se desprenden casos particulares como por ejemplo el sistema de masas iguales.

A. FORMULACIN LAGRANGIANA

Para el caso de la formulacin Lagrangiana resulta ser similar al anterior dado que no existen fuerzasdisipativas, entonces la Lagrangiana del sistema puede escribirse como L= T-Uy sta puede serincluida en la expresin de Euler-Lagrange

= 0 (5)para obtener las ecuaciones de movimiento:

+ = 0

+

= 0 (6)

que esencialmente son el mismo conjunto que en (1) y la su solucin se encuentra presentada en elapartado anterior.

B. FORMULACIN HAMILTONIANA

Para el caso de la formulacin Hamiltoniana tenemos:

= , , (7)La ecuacin para el Hamiltoniano sera la siguiente:

=

+

+ ( + ) + (+ ) (8)

donde despus se aplican las derivadas parciales con respecto a y se considera que = = con lo que se obtienen los siguientes resultados:= + = + (9)

que son el mismo conjunto de ecuaciones que se obtienen en (1) y (6) y cuya solucin est expuestaen (4)

3. PARTE EXPERIMENTAL

Se elaboraron tres diferentes arreglos que constan del cambio de ciertos parmetros como lasconstantes del resorte, masas y longitudes.

A. Masas Diferentes


4/6

4

El primer arreglo consta de dos pndulos unidos por un resorte de constante elstica k, masas m1ym2, dos sensores de rotacin de la marca PASCO modelo PS-20120, el sistema montado se observaen la figura 1. Los valores iniciales aparecen en tabla 1.

Figura 2. Montaje Experimental

(Masa 0.001) Kg (Masa 0.001) Kg* (Longitud 0.01) m (Constante k ) N/m0.06985 0.06985 0.263 190.2478 0.06940 0.263 19

Tabla 2. Parmetros constantes del experimento, *la segunda columna fue considerada para elcaso de masas igules.

Con ayuda de los sensores de rotacin se desplazaron las varillas de su posicin de equilibrio, esdecir respecto de la vertical y debido a que una de los cuerpos es ms denso que el otro, se garantizque el resorte se encontrar estirado para buscar con la oscilacin el resultados adecuado de los

modos normales. En la figura 3 donde podemos apreciar los diferentes radios en un intervalo de 10segundos de tiempo.

Figura 3. Resultados experimentales para las dos frecuencias con el arreglo de masas diferentes.

Posteriormente aplicamos un ajuste a este fragmento de grafica que nos permite obtener comoresultados las frecuencias = 6.03 0.012y = 6.06 0.010


5/6

5

B. Masas Iguales

En este caso el arreglo pertenece al de dos pndulos unidos por un resorte de constante elstica kcon masas iguales conectadas de la misma manera descrita anteriormente a los sensores, teniendolas condiciones iniciales propuestas en la tabla 1

Procediendo de la misma manera que en el apartado anterior y despus de realizar el ajustemostramos en la figura 4 las dos oscilaciones de los sensores con respecto al ngulo y del tiempodonde se obtuvieron en un minuto 1311 datos, de los cuales para realizar el anlisis y determinar lafrecuencia, solamente se consideraron 10 seg, debido a que las condiciones del experimentomostraron el alcance de las fuerzas dispativas y en las soluciones que hemos presentado en la parteteorica solo hemos considerado las soluciones ideales, por ello con la intencin de reducir . Conayuda de un ajuste Sinusoidal en este fragmento de grafica nos permite obtener una = 6.03 0.012

y

= 6.06 0.010.

En el momento final de la experimentacin el sistema presento un amortiguamiento y una frecuenciael cual llamaremos frecuencia experimental de =5.87 0.039.o nos sonCon respecto a la teora podemos decir que esta frecuencia experimental y la frecuencia terica=5.87 0.039 y =6.09 0.001 podemos indicar que la frecuencia deamortiguamiento experimental la variacin est dentro de los trminos de la teora.

En el caso del segundo modo de vibracin . = 23.48, para determinar este modo es necesariolas dos frecuencias ylas cuales se determinara un promedio que se llamara y conociendoque =[. ] 2 = 16.04este resultante = 16.51el cual si se compara con el valorde la = = 16.51donde el error experimental es del 2.82%.

Figura 4. Resultados experimentales para las dos frecuencias.

Con ayuda de esta frecuencia experimental y con las y comdemos encontrar una unafrecuencia promedio = + 2 dara como resultado4. CONCLUSIONESEn este trabajo presentamos los distintos enfoques para obtener los modos normales de oscilacindel sistema dos pndulos y ms resorte, mostramos que en las tres formulaciones siempre es posible

obtener el mismo sistema de ecuaciones de movimiento cuya solucin es esencialmente la misma.A pesar de que el estudio terico parece ser significativamente sencillo, un estudio experimental dedos pndulos acoplados muestra que la dinmica del sistema puede ser notablemente compleja paraun sistema aparentemente tan simple. No obstante, es posible buscar soluciones armnicas - losllamados modos normales en los que el sistema oscila como un todo de frecuencias biendeterminadas.

BIBLIOGRAFA


6/6

6

1. Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecnicas,5a Edicin., Pearson Education Mxico. 2012,2. T. Kreis, Speckle Metrology, in Holographic Interferometry (Akademie Verlag Inc., New

York, NY, 1996), Chapter 4, pp. 125-149.3. A.P. French, Vibraciones y Ondas, Editorial Revert, 2000, pg: 139-161.4. Romualdo S. Silva Jr., Formalismo Hamiltoniano: Modos normais de vibrao de dois

pndulos com massas diferentes acoplados por uma mola, 2013, Lat. Am. J. Phys. Educ.Vol. 7, No. 1.

Modos Normales de Oscilación

Documents

Transcript of Modos Normales de Oscilación