Modulación Digital II

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz Peña 180 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina

Modulación digital II 1

TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES

MODULACIÓN DIGITAL II

Durante el desarrollo de la primera parte del tema Modulación Digital se han visto distintos esquemas de modulación y sus respectivas representaciones en espacios vectoriales. Sin embargo, resta hacer el análisis más importante: cuáles de los sistemas presentan una mejor performance en cuanto a probabilidad de error se refiere y cuáles son los espectros de frecuencia de dichos sistemas. Este análisis nos permitirá encontrar la solución de compromiso, a la hora del desarrollo, entre ancho de banda y probabilidad de error.

En general, al hablar de probabilidad de error, debemos decir probabilidad de error de símbolo, PE. Esto implica que, dado un vector de señal s1 que se ha transmitido, y fue afectado por un vector de ruido n, debemos hallar la probabilidad de que el vector resultante o vector recibido “caiga” fuera de la región 1. Para sistemas binarios la probabilidad de error de símbolo es igual a la probabilidad de error de bit, ya que cada símbolo es representado por un bit. Para sistemas donde M > 2 la probabilidad de error de bit y de símbolo son diferentes. Sin embargo, muchas veces conviene tratar el tema desde el punto de vista de la probabilidad de error de bit PB, aún para M > 2.

Probabilidad de error de bit en BPSK

Para este caso de modulación binaria la probabilidad de error de bit es entonces igual a la probabilidad de error de símbolo. Supongamos que las dos señales son igualmente probables. Supongamos además que las señales transmitidas son si(t) con i = 1 y 2, y las señales recibidas son r(t) = si(t) + n(t). Las señales antipodales si(t) se pueden representar, como se ha dicho ya anteriormente, en un espacio de señal de una dimensión:

)()(

)()(

12

11

tEts

tEts

ψ

ψ

−=

= (1)

siendo 0 ≤ t ≤ T. La etapa de decisión del detector elegirá la señal si(t) que produzca el mayor valor z(T) a la salida del correlador. Para el caso de señales antipodales de igual energía el detector decidirá por una señal u otra según la señal a la salida del correlador sea mayor o menor que el valor umbral γ0 = 0.

Similarmente al caso de señales antipodales en banda base, un error se puede manifestar de dos maneras distintas. Un error puede ocurrir si s1(t) fue transmitido y el detector adopta la hipótesis H2 (es decir, s2(t) fue recibido). Y un error puede ocurrir si s2(t) fue transmitido y el detector decide que fue s1(t). Similarmente que para el caso de detección de señales binarias en banda base tenemos:

)()|()()|( 221112 sPsHPsPsHPPB += (2)

Y si las probabilidades a priori son iguales, es decir, P(s1) = P(s2) = ½, podemos escribir:

2 Modulación digital II

)|(21

)|(21

2112 sHPsHPPB += (3)

Y, debido a la simetría de las funciones de densidad de probabilidad tenemos:

)|()|( 2112 sHPsHPPB == (4)

Por lo tanto, y como ya se ha visto antes, la probabilidad de error de bit es numéricamente igual al área debajo de la curva correspondiente al “lado incorrecto” del umbral de decisión γ0. Repitiendo los desarrollos matemáticos vistos oportunamente tenemos:

∫∞

=0

)|( 2γ

dzszpPB (5)

∫∞=

−=

−=

−=

u

aauB

aaQdu

uP

021 2/)( 0

212

22exp

2

1σ σπ

(6)

donde a1 y a2 son los valores obtenidos a la salida del correlador (correspondientes a la señal solamente, sin ruido). Como es sabido, σ0 es la desviación estándar del ruido a la salida del correlador. Y como también es sabido, Q(x) es la función de error.

Ahora bien, para el caso de BPSK, y en virtud de las ecuaciones (1), a1 y a2 representan además las componentes de s1 y s2 sobre la función generadora ψ1(t). Pero atención, esto es para el caso en que los correladores que se usan en la detección, previamente multiplican la señal r(t) por la señal normalizada ψ1(t). Recordemos que, un detector lo podemos construir con M correladores que multiplican a r(t) por si(t) (i = 1, 2,..., M), o bien con N correladores que multiplican a r(t) por ψj(t) (j = 1, 2,...,N). En la discusión que sigue consideraremos este último caso.

Además, para este caso, es decir correladores con funciones base ortonormales, se puede demostrar (aunque no lo haremos en este texto) que si una señal de ruido n(t), con densidad espectral N0/2 Watts/Hz, se presenta a la entrada de un correlador de este tipo, la potencia de ruido 2

0σ a la salida de tal correlador es de N0/2 Watts. La resolución de esta demostración surge de plantear:

∫=T

jj dtttnn0

)()( ψ

donde nj es la proyección de la señal de ruido sobre la función generadora ψj.

Por lo tanto, por lo dicho en los dos últimos párrafos, la ecuación (6) se escribe de la siguiente manera, luego de reemplazar a1, a2 y σ0 por los valores correspondientes:

duu

PNE

Bb

∫∞

−=

0/2

2

2exp

2

1

π (7)

=

0

2NE

Q b (8)

Este resultado también puede expresarse en función de la diferencia de energías entre vectores o, dicho de otro modo, en función de la distancia entre vectores. Recordemos que habíamos visto que:


[ ] d

TEdttstsd =−=−= ∫0

221

221

212 )()(ss (9)

y que esta ecuación lleva al siguiente resultado en función de la energía de bit (suponiendo energías iguales para s1(t) y s2(t)) y del coeficiente de correlación entre vectores de señal:

( )ρρ −=−== 1222212 bbbd EEEEd (10)

siendo ρ el coeficiente de correlación entre ambas señales BPSK. Como la probabilidad de error de bit se puede escribir como

=

02NE

QP dB (11)

reemplazando (10) en (11) queda:

−=

0

)1(N

EQP b

Bρ

(12)

Indudablemente, para el caso presente, BPSK, como las señales son antipodales, resulta que son anticorreladas. Entonces ρ = -1 y la (12) se convierte en la ecuación (8).

Podemos concluir aquí que la probabilidad de error de bit para señales pasa banda antipodales es igual que para señales antipodales de bandabase.

El parámetro Eb/N0 en la ecuación (8) puede ser expresado como la relación de la potencia media de señal a la potencia media de ruido, S/N (o SNR en inglés). Introduciendo el ancho de banda B de la señal, podemos escribir las siguientes identidades que muestran la relación entre Eb/N0 y SNR para señales binarias:

=====RB

NS

BRNSB

RNS

NT

SNST

NEb

000

00 1 (13)

donde

S = potencia media de la señal modulada.

T = tiempo de duración del bit.

R = 1/T = tasa de bit.

N = N0B = potencia media total de ruido que pasa a través del ancho de banda B.

En la Figura 1 de la página siguiente se muestra la curva de probabilidad de error, en forma de cascada, que adoptan en general la mayoría de los sistemas de comunicaciones digitales. La curva describe la probabilidad de error de un sistema en función de la relación Eb/N0 disponible. Para Eb/N0 ≥ x0, resulta PE ≤ P0. Eb/N0 es una medida de la calidad de un sistema de comunicaciones digitales. Para una dada probabilidad de error, el sistema es más eficiente cuanto menor es la relación Eb/N0. (En la Figura 1, W representa el ancho de banda, en lugar de B)

Ejemplo. Un sistema BPSK tiene una tasa de bit de 1 Mbit/s. Las señales transmitidas, tAts 01 cos)( ω= y tAts 02 cos)( ω−= , son detectadas coherentemente con un filtro adaptado.


El valor de A es de 10 mV. La densidad espectral de potencia de ruido (banda lateral) es N0 = 10-11 W/Hz. La potencia de señal y la energía de bit están normalizadas a una carga de 1 Ω.

Solución:

V102 2−==TE

A b

s101 6−==R

T

16,32

y J1052 0

112

=×== −

NE

TA

E bb

( )16,32

0Q

NE

QP bB =

=

Por tabla resulta:

4108 −×=BP

Figura 1. Aspecto general de la curva PE versus Eb/N0.

Para el desarrollo de la solución anterior hay que tener en cuenta que:

tAtTE

ts b00 coscos

2)( ωω ==

donde A es el valor pico de la señal. Teniendo en cuenta que el valor pico es 2 veces el valor rms, se puede escribir:


tAts rms ωcos2)( =

tAts rms ωcos2)( 2=

donde 2rmsA representa la potencia media P (normalizada a 1 Ω). Entonces tenemos,

tPts ωcos2)( =

y finalmente, reemplazando P watts por E joules dividido T segundos queda:

tTE

ts b ωcos2

)( =

Espectro de BPSK

Una señal BPSK puede ser pensada como una secuencia de bits b(t), con dos niveles de tensión ±V, que modula a una portadora de frecuencia ω0. De esta manera, la señal BPSK se puede escribir matemáticamente como:

tPtbts s 0cos2)()( ω= (14)

De manera que, cuando b(t) vale, por ejemplo 1 V, entonces se tiene una señal modulada de frecuencia ω0 y fase por ejemplo 0, y cuando b(t) vale –1 V entonces se obtiene la señal modulada con la misma frecuencia y fase opuesta.

Para analizar qué tipo de espectro tiene la señal BPSK, prestemos atención al hecho de que la señal s(t) escrita en (14) tiene una forma similar al de un esquema de modulación AM. Es decir, una señal en banda base, en este caso b(t), multiplicando a una señal portadora. Como se vio oportunamente, el efecto de multiplicar una señal en banda base por una señal sinusoidal (conocido muchas veces como efecto de batido entre señales), es el de una traslación en frecuencia del espectro original en banda base hacia la frecuencia de la señal portadora. Dicho de otro modo, si comparamos BPSK con AM analógico entonces b(t) sería la señal moduladora y tPs 0cos2 ω sería la señal portadora o señal modulada.

De manera que, para hacer el análisis de cuál es el espectro de BPSK deberemos ver cuál es el espectro de la señal b(t). Como b(t) es una señal NRZ resulta entonces que su densidad espectral de potencia queda representada, como también se vio oportunamente, por una función sinc2. Entonces, el espectro de la señal NRZ es:

2

sin)(

=

b

bbsb fT

fTTPfG

ππ

(15)

Al escribir la (15) se ha considerado que la amplitud de la señal NRZ es sP± y Tb es el

tiempo de bit. Cuando esta señal NRZ, con un espectro como el descripto en (15), multiplica a la señal t0cos2 ω , se obtiene finalmente el espectro BPSK buscado:

( )

( )( )

( )

++

+

−−

=2

0

02

0

0 sinsin2

)(b

b

b

bbsBPSK Tff

TffTff

TffTPfG

ππ

ππ

(16)


El espectro original y el modulado se pueden ver en la Figura 2. Se ve entonces que el ancho de banda del lóbulo principal de la señal en banda base se extiende hasta fb = 1/Tb. El espectro principal de la señal modulada se extiende desde f0 – fb hasta f0 + fb.

Figura 2. (a) Densidad espectral de potencia de b(t). (b) Densidad espectral de potencia de BPSK.

Nótese que, en principio, el espectro Gb(f) se extiende en forma infinita, por lo que el espectro GBPSK(f) también se extiende en forma infinita. De manera que si se quieren multiplexar señales usando diferentes portadoras habrá un solapamiento entre espectros. Para evitar este fenómeno, lo que se hace primeramente es filtrar el espectro de la señal NRZ de manera tal de conservar el lóbulo principal del mismo que es el que concentra la mayor cantidad de potencia y luego sí modular la señal. Por lo tanto, decimos que el ancho de banda de una señal BPSK es BBPSK = 2fb.

Generación de la señal QPSK. Espectro

Vamos a ver ahora cómo es la densidad espectral de potencia de una señal modulada en formato QPSK. Para formar la señal QPSK los bits se toman de a dos, es decir k = 2 y M = 4. Primeramente vamos a estudiar de qué manera trabaja un transmisor de este tipo. Y para ello además, vamos a recordar de qué manera trabaja un flip-flop tipo D.

Flip-flop tipo D. Un flip flop de este tipo consta de un terminal de entrada (D) por donde ingresan los datos o secuencia de bits d(t), un terminal de clock, y dos terminales de salida, Q y Q . Básicamente lo que hace este flip-flop es producir un retardo (Delay, por eso es tipo D)

de un ciclo de reloj en sus salidas, de la señal de entrada D. Q y Q son señales complementarias. La frecuencia de los datos y del reloj son iguales y el sistema es activado por flancos del reloj. Esto se puede ver en la Figura 3, donde se ha supuesto que el flip-flop se activa por el flanco de bajada de la señal de clock. En dicha figura se ve cómo la entrada d(t) tiene un retardo de un ciclo de reloj a la salida Q.


Figura 3. Símbolo representativo del Flip-Flop D y diagrama de tiempos característico.

Antes de continuar, recordemos también cómo funciona un flip-flop Toggle. Está construido a partir de un flip-flop JK al que se le han unido ambas entradas J y K y se le ha forzado el nivel lógico “1”. El flip-flop Toggle también tiene dos salidas, Q y Q negado. Al estar J y K forzados a “1” lógico, el efecto a la salida Q es la división por dos de la frecuencia de reloj que activa al flip-flop. Es decir, el estado de Q cambia una vez por cada ciclo de reloj.

Teniendo presente lo dicho anteriormente acerca de estos dos tipos de flip-flop, veamos cómo es, básicamente, un transmisor QPSK. Luego veremos por qué está diseñado de tal manera. (En rigor de verdad, el circuito que analizaremos a continuación no corresponde exactamente a un sistema QPSK y ya veremos por qué).

Observemos la Figura 4 de la página siguiente. Los datos o bits b(t) ingresan al circuito con una frecuencia fb y se dividen en dos ramas, que podemos llamar rama impar y rama par. Cada rama alimenta la entrada de un flip-flop tipo D activado por flancos. b(t) lo consideramos ±1 V. Simultáneamente, los flip-flop tipo D tienen alimentado el clock con las salidas Q y Q de un flip-flop Toggle, que a su vez está accionado con una frecuencia de clock fb. Es decir, cada flip-flop D está activado con un clock de frecuencia fb/2, y, lo que es importante, cada clock es complementario del otro (pues salen de Q y Q del Toggle).

Este esquema de funcionamiento hace que la rama llamada par, “capture” precisamente los bits pares de b(t) y la rama llamada impar “capture” los impares. La salida de datos de los flip-flop D la indicamos por bp(t) y bi(t) (los subíndices hacen referencia a par e impar). Además, bp(t) y bi(t) tienen un tiempo de bit 2Tb y ambas ramas tienen un offset de Tb segundos una respecto de otra. El diagrama de tiempos para este transmisor se ve en la Figura 5. En virtud del offset de Tb segundos entre la rama par y la rama impar, este esquema de modulación se llama en realidad OQPSK (Offset Quadriphase Phase Shift Keying). La única diferencia con QPSK es el mencionado offset que ya veremos por qué se lo impone en este circuito.


Figura 4. Transmisor OQPSK. La rama superior captura los bits pares y la inferior los impares.

La salida de cada flip-flop D multiplica (es decir, modula) a una portadora, una sinusoidal y otra cosenoidal y luego se suman ambas multiplicaciones, obteniéndose la señal modulada final a transmitir. En términos matemáticos esto se puede escribir de la siguiente manera:

ttbPttbPtv psism 00 cos)(sin)()( ωω += (17)

Se puede verificar que la potencia total normalizada es Ps. La frecuencia f0 = ω0/2π es un múltiplo entero del tiempo de símbolo Ts. La Figura 5 muestra el diagrama de tiempos completo para este sistema.

Figura 5. Diagrama de tiempos para el transmisor OQPSK de la Figura 4.

Podríamos decir entonces que, cada rama genera una señal modulada BPSK con tiempo de bit 2Tb. Una rama modula a una portadora sinusoidal y la otra a una portadora cosenoidal. Ya que habíamos visto anteriormente que una señal BPSK, con tiempo de bit Tb, tiene un espectro de ancho de banda 2fb, o lo que es lo mismo 2/Tb, ahora en QPSK o OQPSK, dado que


cada rama tiene un tiempo de bit de 2Tb, el espectro modulado tiene una ancho de banda 1/Tb, o dicho de manera equivalente un espectro de ancho de banda fb. Concretamente: el ancho de banda del espectro de QPSK se reduce a la mitad frente al ancho de banda del espectro de BPSK. Es importante aclarar que el offset que se introduce en el sistema OQPSK no implica una diferencia en el espectro respecto de QPSK.

La razón de este desarrollo con offset es evitar que se produzcan saltos de fase de 180º como ocurre en el sistema QPSK común. Para darnos cuenta de ello debemos observar el diagrama fasorial de la Figura 6. Primero tengamos en cuenta que al tratarse de un sistema cuaternario, M vale 4 y por lo tanto k vale 2. Es decir, los bits de la secuencia original de datos se van tomando de a dos. Las cuatro combinaciones posibles son 00, 01, 10 y 11. A cada par de bits le corresponde un vector de señal, cada uno de ellos ubicado en uno de los cuadrantes del espacio de señal bidimensional. El detalle a tener en cuenta aquí es que, entre dos cuadrantes adyacentes, o sea, dos vectores adyacentes, hay una diferencia en un bit solamente. Esto hace que durante un tiempo de bit Tb el máximo cambio de fase que se puede producir es de 90º ya que no es posible que cambien los dos bits simultáneamente. Este diagrama fasorial también vale para QPSK pero, al no existir el offset entre la rama par y la impar, es posible que se dé un cambio simultáneo en ambos bits, produciéndose un salto de fase de 180º.

La razón por la que se quieren evitar grandes cambios de fase es que durante la recepción la señal es filtrada, y se puede demostrar que durante el filtrado los cambios bruscos de fase producen alteraciones en la amplitud de la señal. Estas alteraciones serán menores en OQPSK que en QPSK. La razón por la que no hay cambios bruscos de fase, de 180º, en OQPSK, es debido al offset entre una rama y otra. En el tiempo de bit Tb como se dijo antes, el máximo cambio de fase es de 90º. En cambio en QPSK las ramas par e impar no tienen offset (podríamos decir que salen en paralelo) y se puede dar el caso de un cambio simultáneo en ambas ramas, con lo cual el cambio de fase instantáneo sería de 180º.

Figura 6. Diagrama fasorial para el transmisor de la Figura 4.

Las potenciales variaciones de amplitud pueden causar problemas en los sistemas QPSK que utilizan repetidores como por ejemplo en las comunicaciones satelitales. Los amplificadores de estos repetidores operan en forma no lineal, de manera intencional para obtener un beneficio de eficiencia de rendimiento. Sin embargo, la conjunción de estas no linealidades con las posibles variaciones de amplitud, producen componentes espectrales fuera del lóbulo principal del espectro, con lo cual se puede estar interfiriendo canales adyacentes.

La probabilidad de error de bit en QPSK es igual a la de BPSK. Para entender esto

nótese que la distancia entre símbolos adyacentes en QPSK es sEd 2= . Sin embargo,

como cada símbolo está formado por dos bits resulta que Es = 2Eb, por lo tanto la distancia

entre símbolos expresada en función de la energía de bit es bb EEd 24 == , resultado que

coincide con la distancia entre vectores para el caso BPSK (en este caso, al ser binario,


símbolo equivale a bit). Por lo tanto, en QPSK se reduce el ancho de banda de transmisión a la mitad, respecto a BPSK, pero se mantiene la probabilidad de error de bit PB. Esta característica hace que se prefiera a QPSK frente a BPSK. Sin embargo, la detección en QPSK es un poco más compleja ya que lleva dos correladores, comparado con BPSK que lleva un solo correlador; por lo tanto hay veces que se prefiere optar por BPSK.

PSK M-ario

El esquema de modulación de fase puede extenderse a sistemas M-arios, tomando k bits a la vez de la secuencia de bits a transmitir. En este caso tendremos 2k = M señales distintas con M fases distintas. Cada una de ellas se puede representar como:

1)-...M 1, 0,(i )cos(2

)( 0 =+= is

si t

TE

tv φω (18)

y cada símbolo tiene la fase

M

iiπφ )12( +⋅= (19)

Otra vez, las señales generadoras son:

)cos(2

)( 01 tT

ts

ωψ =

)sin(2

)( 02 tT

ts

ωψ =

Cada vector de señal tiene longitud sss TPE = . Por lo tanto, las proyecciones sobre

los ejes son:

issTP φcos (20)

iSSTP φsin (21)

Multiplicando (20) y (21) correspondientemente con las señales generadoras, tenemos:

( ) ( ) tPtPtv isisi 00 sinsin2coscos2)( ωφωφ += (22)

La densidad espectral de potencia antes de modular viene dada por:

2

sin)(

=

s

sss fT

fTTPfG

ππ

(23)

Al modular, el espectro anterior se traslada hacia la frecuencia f0, quedando entonces un ancho de banda:

kf

fT

B bs

s22

2=== (24)

donde k es el conjunto de bits que se toman del stream de bits. Por lo tanto, vemos que al aumentar k, o sea, el número de bits que se toma de la secuencia de datos a modular,


disminuye el ancho de banda. Por otro lado, la probabilidad de error de bit aumenta conforme disminuye la distancia entre vectores. Es decir, menor distancia entre símbolos para una energía de símbolo constante. Tal distancia se expresa por:

)2/(sin4)/(sin4 22 kbs kEMEd ππ == (25)

La expresión (25) surge de consideraciones geométricas simples y representa la distancia entre dos vectores adyacentes. Una vez más, la asignación de bits dentro del espacio vectorial, está hecha de tal manera que dos vectores adyacentes cualesquiera difieren solamente en un bit. Por eso, para el cálculo de la probabilidad de error de bit PB importa solamente la distancia entre vectores adyacentes y no entre los demás vectores, pues un error de 1 bit implica pasar del vector original transmitido a un vector adyacente (y no a cualquier otro del espacio de señal). Esta asignación particular de los bits a los vectores de señal se llama codificación Gray y facilita el cálculo de PB a partir de las fronteras de decisión.

Un transmisor MPSK genérico se muestra en la Figura 7.

Es importante poner de manifiesto aquí que los esquemas de detección de señales pasabanda que venimos viendo son del tipo coherente. Los esquemas de detección se dividen en dos tipos: coherente y no coherente. En el primer caso, para realizar la detección de la señal recibida es necesario conocer la fase de dicha señal. En el segundo caso, dicha información no es necesaria. Esto último causa una degradación en la performance de probabilidad de error de bit del sistema a cambio de una mayor simplicidad del circuito de detección.

Figura 7. Transmisor PSK M-ario.

Detección coherente de FSK. Probabilidad de error de bit.

Recordemos que en FSK la información está inmersa en la frecuencia de la portadora. También recordemos que el conjunto de señales FSK puede ser escrito matemáticamente como:

Ty 0 entre definida )cos(2

)( φω += tTE

ts is

si (26)

Es es la energía de la señal o energía de símbolo y Ts es el tiempo de duración de cada símbolo. La diferencia entre frecuencias (ωi+1-ωi) es un múltiplo entero de π/T. El término de fase, φ, es una constante arbitraria y generalmente se la toma como cero. El conjunto de funciones ortonormales viene definido por

N hasta 1 desde j con cos2

)( tT

t js

j ωψ = (27)


Recordando además que la proyección de un vector de señal sobre uno de los ejes ortogonales viene dada por

∫=T

jiij dtttsa0

)()( ψ

entonces, de las ecuaciones anteriores podemos escribir (teniendo en cuenta que, para este caso, la proyección sobre uno de los ejes coordenados es en realidad la longitud del vector de señal):

∫=T

js

is

sij dtt

Tt

TE

a0

)cos(2

)cos(2

ωω (28)

y esto da como resultado

==

caso otro para 0j i para Eaij (29)

Dicho de otro modo, cada i-ésimo prototipo de señal está ubicado sobre el i-ésimo eje

coordenado y tiene una longitud E desde el origen del espacio de señal. En un esquema de

este tipo, la distancia entre dos vectores de señal es E2 .

Al igual que en el caso de PSK, el número de regiones de decisión en FSK es M. Si imagináramos un espacio de tres dimensiones, es decir con M = 3 (que en la práctica no es posible ya que 3 no es potencia de 2; lo consideramos sólo a los efectos de comprender la idea), entonces habría 3 regiones de decisión, limitadas en este caso no por rectas sino por planos. Para espacios de mayor dimensión ya no sería posible imaginar las fronteras de decisión.

La selección de la hipótesis más probable se hace calculando los aij y determinando a qué región del espacio vectorial pertenece. Luego, se elige como señal estimada aquella que pertenece a esa región.

La probabilid de error de bit PB para FSK viene dada por la expresión general (para el caso binario):

duu

PNE

Bb

∫∞

−

−=

0)1(

2

2exp

2

1ρπ

(30)

Dado que las señales son ortogonales, los ángulos entre los vectores de señal son 90º y el coeficiente de correlación ρ es igual a cero. Por lo tanto la (30) se transforma en:

=

−= ∫

∞

0

2

0 2exp

2

1NE

Qduu

P b

NEB

bπ (31)

Este mismo resultado puede obtenerse observando que la distancia entre dos vectores,

como vimos antes, es bEd 2= , por lo tanto bd EEd 22 == . Reemplazando esto último en la

fórmula (31):

=

02NE

QP dB


obtenemos la expresión final de (31). Las expresiones (30) y (31) son válidas solamente para BFSK.

Como era de esperar, debido a la mayor cercanía entre vectores de señal, la probabilidad de error de bit es peor para este caso que para BPSK. Vemos además que en BFSK, PB es igual que para el caso de codificación unipolar de banda base.

Generación de la señal BFSK

La generación de la señal modulada BFSK puede representarse matemáticamente como:

[ ]ttdtPtv sBFSK Ω+= )(cos2)( 0ω (32)

o, escrito de una manera más clara:

( )[ ]ttdPtv sBFSK Ω+= )(cos2)( 0ω

En esta expresión, d(t) es una secuencia de +1 ó –1, correspondiente a los niveles

lógicos 1 y 0. La señal transmitida tiene una amplitud sP2 y puede tener dos frecuencias

distintas:

( )tPtstv sHBFSK Ω+== 0cos2)()( ω (33)

( )tPtstv sLBFSK Ω−== 0cos2)()( ω (34)

según d(t) valga +1 ó –1 (se transmite una u otra de las señales, no las dos simultáneamente)

De esta manera, hay dos valores de frecuencia angular, (ω0 + Ω) y (ω0 - Ω), siendo Ω una constante de offset de la frecuencia nominal ω0. Por lo tanto, se ve de inmediato que la frecuencia más alta es )( Ω+= 0ωωH y la frecuencia más baja es )( Ω−= 0ωωL . El esquema de modulación se puede ver en la Figura 8.

Figura 8. Representación de una manera de generación de señal BFSK.

Se usan dos moduladores, uno con una portadora ωH y otro con portadora ωL. Los valores de tensión pH y pL están relacionados con d(t) de la siguiente manera:


d(t) pH(t) pL(t)

+1V +1V 0V

-1V 0V +1V

De esta manera vemos que nunca simultáneamente pH(t) y pL(t) tienen el mismo valor.

Espectro de BFSK

En términos de pH y pL la señal BFSK se puede escribir como:

( ) ( )tpPtpPtv LLsHHsBFSK ωω cos2cos2)( += (35)

Cada uno de los términos de la ecuación anterior luce como la expresión

ttbPs 0cos)(2 ω que habíamos visto en BPSK y para la que habíamos calculado el espectro.

Sin embargo hay una diferencia, y es que para el caso de BPSK b(t) es bipolar, es decir vale +1 ó –1, mientras que para el presente caso pH y pL son unipolares, es decir valen +1 ó 0. Sin embargo podemos rescribir pH y pL como la suma de una constante más una señal bipolar, esto es:

)(21

21

)( ' tptp HH += (36)

)(21

21

)( ' tptp LL += (37)

En las ecuaciones anteriores p’H y p’L son señales bipolares que alternan entre +1 y –1 y además son complementarias, es decir nunca tienen simultáneamente el mismo valor. Si reemplazamos (36) y (37) en (35) podemos escribir entonces:

tPPtPPtv LLsHHsBFSK ωω cos21

21

2cos21

21

2)( ''

++

+= (38)

( ) ( ) ( ) ( )tpP

tpP

tP

tP

tv LLs

HHs

Ls

Hs

BFSK ωωωω cos2

cos2

cos2

cos2

)( '' +++= (39)

Los dos primeros términos de la ecuación (39) producen una densidad espectral que consiste en dos impulsos delta situados en las frecuencias fH y fL. Los dos últimos términos de la ecuación generan dos espectros BPSK (un espectro cada uno de los términos). Uno de estos espectros está centrado en fH y el otro en fL. Esto se puede ver en la Figura 9. Allí, se ha elegido que cada espectro generado por los dos últimos términos de la ecuación anterior estén separados uno de otro por una distancia fH – fL = 2fb. Para esta separación vemos que el solapamiento entre ambas partes del espectro no es considerable y será posible distinguir ambas señales sin excesiva dificultad. El ancho de banda es, para este caso,

bBFSK fB 4= (40)

que representa el doble del espectro producido por una modulación BPSK.


Recordemos que para que las señales sean ortogonales la frecuencia de cada una de ellas debe ser elegida convenientemente. Como los vectores generadores están en función del tiempo de bit Tb, entonces las frecuencias fH y fL son múltiplos enteros de fb (ancho de banda de la señal moduladora).

Figura 9. Densidad espectral de potencia para los términos individuales de la ecuación (39).

Veamos algunos detalles acerca del ancho de banda utilizado por la modulación BFSK. Consideremos de nuevo las dos señales binarias que representan a BFSK:

tTE

ts HH ωcos2

)( = (41)

tTE

ts LL ωcos2

)( = (42)

Veamos qué relación debe haber entre ωH y ωL para que ambas señales sean ortogonales. Para que ello ocurra, el coeficiente de correlación entre ambas señales debe ser cero. Dicho coeficiente de correlación viene dado por:

dtttTE

E

T

LH ))(cos(cos21

0∫= ωωρ (43)

[ ]dtttT

T

LHLH∫ −++=0

)cos()cos(1 ωωωωρ (44)

T

LH

LH

LH

LH

Tt

Tt

0)(

)sin()(

)sin(ωωωω

ωωωω

ρ−−

+++

= (45)

Se puede despreciar el primer término suponiendo que TLH /2πωω >>+ . Entonces, el coeficiente de correlación queda:

T

T

LH

LH

)()sin(

ωωωω

ρ−−

= (46)


La Figura 10 muestra la función de la ecuación (46) (donde se ha reemplazado ωH y ωL por ω1 y ω0). Nótese que es imposible que dos señales BFSK sean antipodales, ya que nunca se obtiene el valor ρ = -1.

Figura 10. Variación del coeficiente de correlación en función de la separación entre frecuencias para señales BFSK.

Si bien existe un cero en (ωH - ωL)T = π, en tal condición de separación entre frecuencias no se mantiene la continuidad de fases entre los dos símbolos sH(t) y sL(t), con las desventajas que esto representa en cuanto a que aparecen espectros indeseados. La siguiente alternativa es elegir el valor 2π. En este caso sí existe continuidad de fases entre ambos símbolos. Sin embargo, la separación entre frecuencias sería fb y habría superposición de espectros en la Figura 9, con lo cual la detección, que lleva un filtrado de cada uno de estos dos lóbulos, no sería muy buena. La conclusión entonces es que la mínima separación aconsejable entre frecuencias, para la cual ambas señales son ortogonales es fH – fL = 2fb. También se puede ver en la Figura 10 que para una separación de frecuencias (ωH - ωL)T = 1,43π la distancia entre vectores es algo mayor. Sin embargo, este potencial beneficio en cuanto a una mejora en la probabilidad de error de bit no es muy grande, ya que aquí también se presenta discontinuidad de fases entre símbolos.

FSK M-ario

Un sistema FSK de M señales puede ser generado como se muestra en la Figura 11. Un grupo de k bits llegan, a intervalos Ts, a la entrada de un conversor D/A. Cada bit individual llega al conversor a intervalos de tiempo Tb. La salida de este conversor alimenta un modulador que genera portadoras de frecuencias proporcionales a la tensión de salida. Para minimizar la probabilidad de error las frecuencias deben ser elegidas de tal manera que las M señales sean mutuamente ortogonales. Una manera común de hacer esto es elegir armónicos pares de la frecuencia de símbolo fs = 1/Ts. Es decir, que la distribución de frecuencias es f0 = kfs, f1 = (k+2)fs, f2 = (k+4)fs, etc. De esta manera, la densidad espectral de potencia de cada señal individual se solapa con los otros espectros como se muestra en la Figura 12, que no es otra cosa que una extensión del caso BFSK. Vemos de la figura que el ancho de banda es

sMfB 2= (47)

aunque hay que tener en cuenta que a medida que aumenta k, si bien aumenta M a la vez disminuye fs.

Por lo tanto, teniendo en cuenta que fs = fb/k y M = 2k tenemos:

kfB bk22 ⋅= (48)

kfB bk /2 1+= (49)


Figura 11. Esquema básico de un transmisor FSK M-ario.

Por ejemplo, si M = 4, es decir k = 2, tendríamos un ancho de banda

kfB b122 +=

bb ffB 42/8 == (50)

es decir, es igual que para BFSK y el doble que BPSK. Si M = 8, k = 3 y tenemos:

bbbFSK fffB 3,53

163/2 13

8 ≈== + (51)

Figura 12. Densidad espectral de potencia para FSK M-ario.

Con lo cual aquí sí el ancho de banda es más grande que para BFSK. Obviamente, a medida que se sigue aumentando M el ancho de banda también sigue aumentando. También se ve que un sistema MFSK tiene un ancho de banda bastante mayor que MPSK. Por ejemplo, si hubiésemos elegido M = 8 para PSK, el ancho de banda sería:

bbb

PSK ff

kf

B 66,03

228 ≈== (52)

Sin embargo, la probabilidad de error de bit de MFSK disminuye a medida que aumenta M y la performance es mucho mejor que en MPSK.


En cuanto a las distancias geométricas de los sistemas MFSK, teniendo en cuenta que cada vector tiene una longitud sE , la distancia entre dos vectores es:

( ) ( ) sss EEEd 222=+=

bs kEEd 22 == (53)

Si calculamos d para k = 1 entonces nos da bEd 2= . Comparado con BPSK la

distancia es más pequeña, ya que para este último caso la distancia es bb EE 42 = .

Si calculamos d con la (53) para el caso M = 4, es decir k = 2, obtenemos

bb EEd 422 =⋅⋅= que es igual que en BPSK y QPSK. Ya para valores más grandes de k la

distancia en MFSK se hace mayor que en MPSK, lo que da una pauta de una mejor performance en la tasa de error. Por ejemplo si k = 3 entonces tenemos 8FSK, es decir, M = 8 y la distancia d calculada con (53) resulta:

bbFSK EEd 6328 =⋅⋅=

Comparando con la distancia de 8PSK, para la cual debemos aplicar la (25):

( )kbPSK kEd 2sin4 2

8 π=

( )328 2sin34 πbPSK Ed ⋅⋅=

( )8sin12 28 πbPSK Ed =

( )º5,22sin12 28 bPSK Ed =

146,0128 bPSK Ed =

finalmente,

bPSK Ed 75,18 ≈

Para este caso ya se ve entonces que la distancia en 8PSK es mucho menor que en 8FSK.

Concluyendo entonces, al aumentar M la performance de probabilidad de error de bit de FSK es mejor que PSK, como se dijo anteriormente. Al mismo tiempo, aumenta el ancho de banda en FSK y disminuye en PSK.

Quadrature Amplitude Shift Keying (QASK)

En los sistemas MPSK, se transmite, en cada intervalo de símbolo, una señal que se distingue de las demás por su fase. Sin embargo, se conservan las amplitudes de las señales. Gráficamente, los extremos de los vectores que representan a estas señales están ubicados sobre una circunferencia. Como ya hemos repetido varias veces, la posibilidad de distinguir entre dos señales que están inmersas en ruido, depende de la distancia entre los vectores de señal. Por lo tanto, al aumentar M en un sistema MPSK se obtiene una considerable reducción del ancho de banda pero a costa de aumentar PB como consecuencia de la disminución de la


distancia entre vectores. Por lo tanto, parece razonable poder mejorar la inmunidad al ruido de estos sistemas si los vectores no sólo varían en fase sino que también varían en amplitud, de manera de evitar que las señales se vayan “amontonando” sobre un círculo. Describiremos entonces un sistema denominado (en Inglés) Amplitude and Phase Shift Keying (APK). Al igual que QPSK este sistema involucra la modulación de portadoras en cuadratura (o sea, cosω0t y senω0t) y muchas veces es abreviado como QAPSK o más aún como QASK. También es llamado, cuando la constelación de señales presenta simetría, QAM.

Para ejemplificar QASK consideremos que queremos transmitir símbolos formados por 4 bits. Por lo tanto tenemos 24 = 16 símbolos diferentes, lo que implica entonces tener que generar 16 señales diferentes. Una posible representación geométrica de estas 16 señales se muestra en la Figura 13. En dicha configuración cada señal se encuentra equidistante de cualquier señal adyacente, siendo la distancia d = 2a. La disposición de las señales se ha puesto en forma simétrica alrededor del origen del espacio de señal por conveniencia.

Figura 13. Representación geométrica de 16 señales de un sistema QASK.

Asumamos que las 16 señales son igualmente probables. En virtud de la simetría del esquema, podemos calcular la energía media asociada a cada señal a partir de las cuatro señales del primer cuadrante. La energía media normalizada de una señal es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 222222222 10999941

aaaaaaaaaEs =+++++++= (54)

Por lo tanto,

sEa 1,0= (55)

sEad 1,022 == (56)

En el presente ejemplo, ya que cada símbolo está representado por 4 bits, la energía normalizada de símbolo es Es = 4Eb, siendo Eb la energía normalizada de bit. Por lo tanto,


bs EEa 4,01,0 == (57)

bEd 4,02= (58)

Se observa que la distancia es mayor para 16QASK (16QAM) que para 16PSK, donde, de la ecuación (25) tenemos:

bb EEd 15,0216

sin16 2 ==π

(59)

Por lo tanto, se puede ver intuitivamente en función de la distancia entre señales, que 16QAM tiene menor tasa de error que 16PSK.

Una manera conveniente de expresar la señal QASK es:

)()()( 2211 taktaktvQASK ψψ += (60)

en donde k1 y k2 son iguales a ±1 ó ±3. Como tenemos tTt s 01 cos2)( ωψ = y

tTt s 02 sin2)( ωψ = , mientras que sEa 1,0= , podemos escribir la (60) como

tTE

ktTE

ktvs

s

s

sQASK 0201 sin2,0cos2,0)( ωω += (61)

y, dado que Es/Ts = Ps tenemos

tPktPktv ssQASK 0201 sin2,0cos2,0)( ωω += (62)

Un generador de señal QASK (o QAM) para símbolos de 4 bits se muestra en la Figura 14 de la página siguiente. Los 4 bits que forman el símbolo se almacenan en un registro de 4 bits hecho con flip-flops. Un nuevo símbolo se presenta a cada intervalo Ts = 4Tb y el contenido del registro se actualiza con cada flanco activo del clock que también tiene período Ts. Dos bits alimentan a un conversor D/A y otros dos bits hacen lo mismo con otro conversor D/A. La salida Ae(t) de un conversor modula la portadora cosenoidal, mientras que la salida Ao(t) del otro conversor modula la portadora senoidal. Por lo tanto, la señal transmitida es:

tPtAtPtAtv soseQASK 00 sin)(cos)()( ωω += (63)

Si comparamos (62) con (63) vemos que

2,03 ó 2,0, 0 ±±=AAe (64)

También, dado que los 4 valores de Ae y Ao son igualmente probables podemos verificar que,

122 == oe AA (65)

Así, cada uno de los términos en cuadratura de (63) transmite en promedio la mitad de la potencia media total.

El esquema de transmisión visto en la figura se puede generalizar para dimensiones mayores. Normalmente lo que se hace es tomar grupos pares de bits (es decir, k par) y dividir el grupo en dos bloques de k/2 bits. Cada bloque alimenta a un conversor D/A. En el receptor


cada señal se detecta en forma independiente usando dos filtros adaptados, cada uno con su correspondiente bloque de decisión y finalmente un conversor de paralelo a serie. La distribución de las señales a lo largo de cada eje coordenado es ±1, ±3, ±5....±(2k-1).

Figura 14. Generación de una señal QASK (o QAM).

Ancho de banda de QASK (QAM)

La densidad espectral de potencia para la señal QASK puede ser calculada de manera similar que para el caso de MPSK, ya que la ecuación (63) es similar a la ecuación (22). La densidad espectral de potencia es:

( )

( )( )

( )2

0

02

0

0 sin2

sin2

)(

++

+

−−

=s

sss

s

sssQASK Tff

TffTPTff

TffTPfG

ππ

ππ

(66)

siendo Ts = kTb. El ancho de banda de la señal QASK es

kfB b /2= (67)

que es igual que para el caso de MPSK. Para el caso recientemente analizado de QASK donde se ha tomado k = 4 (16QASK ó 16QAM), tenemos 2/)16( bQASK fB = .

Este tipo de espectro, como así también el de MPSK es llamado Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (en inglés, DSB-SC, Double Sideband Suppressed Carrier), ya que el espectro es el doble al espectro original de banda base y la portadora de frecuencia no está presente luego de la modulación.


La probabilidad de error de bit para QAM, asumiendo una constelación cuadrada, un canal de comunicación Gaussiano y detección hecha con filtros adaptados se expresa como:

( )

−⋅

−≈

−

02

2

2

1 2

1

log3log12

NE

k

kQ

kk

P bB (68)

donde, como siempre, k es el número de bits que se toman simultáneamente para formar la señal (en este caso, también el número de puntos sobre cada eje). También se ha asumido que la asignación de bits a cada señal fue hecha de acuerdo al código Gray (esto es, las señales adyacentes difieren sólo en un bit). Nótese que si k = 2 se obtiene la probabilidad de error de bit para QPSK, ya que es un caso particular de QAM.

Es importante recalcar que los desarrollos precedentes se hicieron asumiendo que la detección de la señal es coherente. Esto significa que al hacer la detección del símbolo es necesario conocer la información de la fase de la portadora. El otro método de detección se llama no coherente en cuyo caso no se usa la información de fase de la portadora. Este último método de detección es más simple que el primero, sin embargo, no es tan eficiente y la probabilidad de error resulta ser mayor. La complejidad en los sistemas coherentes aparece por el uso de los lazos de enganche de fase (PLL en inglés). Estos circuitos toman una muestra de la señal que llega al detector y “engancha” la fase del oscilador local con esta señal.

También, hay que tener en cuenta que en los sistemas coherentes, si bien se conoce la información de fase de la portadora, no se puede lograr un sincronismo perfecto, de manera que siempre hay una pequeña diferencia de fase en la sincronización. Por ejemplo, consideremos el caso de BPSK. Supongamos que las señales transmitidas son s1(t) y s2(t). El correlador en el detector podría estar hecho con una señal generada localmente, s1(t) - s2(t) = 2Acosω0t. En tal caso, la salida del correlador, suponiendo que no hay ruido, puede ser A2T o -A2T.

Supongamos ahora que el generador local no está perfectamente en sincronismo y que la señal generada es 2Acos(ω0t + φ). Se puede verificar entonces que en este caso la salida del correlador será ±2ATcosφ, es decir la señal de salida se reduce en un factor cosφ. Siendo así, la energía de bit Eb se reduce por ese mismo factor y se puede demostrar que la probabilidad de error de bit viene dad por:

=

0

2cos2N

EQP b

Bφ

(69)

Otro problema que se presenta en la detección, y que hasta aquí no fue considerado, es la falta de exactitud en el sincronismo de bit. Idealmente, la detección comienza en t = 0 y termina en t = T. Sin embargo, podríamos decir por ejemplo, que en la práctica el intervalo de integración se extiende desde t = τ hasta t = τ + T. Este corrimiento producido en el instante de comienzo de integración no afecta al ruido, ya que estadísticamente presenta las mismas propiedades a lo largo del tiempo. En cuanto a la detección de los bits, si dos bits consecutivos tienen el mismo valor, tampoco se producen efectos adversos con este corrimiento. El problema aparece cuando los dos bits consecutivos son de distinto valor lógico.

Consideremos como ejemplo una señal BPSK, siendo Acosω0t transmitido en el intervalo [0, T], y -Acosω0t en el intervalo [T, 2T]. Si hay un corrimiento τ en el sincronismo de bit, entonces pude demostrarse que la probabilidad de error de bit viene dada por:

−=

2

0

21

2TN

EQP b

Bτ

(70)


Considerando simultáneamente el error de fase y el error de sincronismo, la probabilidad de error de bit para BPSK queda:

( )

−=

2

2

0

21cos

2TN

EQP b

B

τφ (71)

donde, como se ve rápidamente, si tanto τ como φ valen cero, la expresión (71) se transforma en la expresión habitual para la PB en BPSK.

Curvas de probabilidad de error de bit

Las gráficas de la Figura 15 muestran cómo varía la probabilidad de error de bit, en función de Eb/N0 para un sistema de modulación ortogonal y para un sistema multifase. Ambos sistemas presentan comportamientos opuestos. Los sistemas ortogonales mejoran su PB con el aumento de k, a costa de aumentar su ancho de banda. Los sistemas multifase empeoran su PB con el aumento de k pero a la vez se les reduce el ancho de banda.

Figura 15. Probabilidad de error de bit. (a) En sistema ortogonales. (b) En sistemas multifase.

Probabilidad de error de símbolo y probabilidad de error de bit

Es importante aclarar que hasta aquí siempre hemos considerado, como parámetro de calidad de un sistema, la probabilidad de error de bit PB. En los sistemas M-arios, con M > 2, la variable natural que permite medir la calidad de un sistema es la probabilidad de error de símbolo, es decir, dado un símbolo que se ha transmitido, qué probabilidad hay de recibir otro perteneciente al conjunto de señales del sistema en cuestión. Dado un símbolo que se ha


transmitido, qué probabilidad existe de que “caiga” en una región “equivocada” del plano o espacio de señal.

Sin hacer la demostración, diremos que, para grandes valores de la relación energía de símbolo a ruido, la probabilidad de error de símbolo para un sistema MPSK, con símbolos igualmente probables y detección coherente, viene dada por la expresión:

≈

MNE

QMP sE

πsin

22)(

0 (72)

donde PE(M) es la probabilidad de error de símbolo para un dado valor de M, y Es = kEb, siendo k el número de bits por símbolo. Para este tipo de modulación la relación entre probabilidad de error de bit y probabilidad de error de símbolo viene dada por:

kP

P EB ≈ (73)

Es fundamental aclarar que la expresión (73) es válida únicamente para una codificación Gray, es decir, una asignación de códigos en donde dos símbolos adyacentes difieren solamente en un bit. La idea detrás de esto es suponer que existe muy baja probabilidad de que un símbolo transmitido vaya a parar a una región que no sea vecina a su región. Es decir, suponer que cuando se produce un error, el vector recibido sólo estará en alguna de las dos regiones adyacentes a la región original y no en otras.

Por otra parte, para la modulación MFSK, con M > 2, símbolos igualmente probables y detección coherente, la probabilidad de error de símbolo viene dada por:

−≤

0)1()(

NE

QMMP sE (74)

Si se supone que todos los errores de símbolo ocurren con igual probabilidad, se puede encontrar la siguiente relación:

12/

12

2 1

−=

−=

−

MM

PP

k

k

E

B (75)

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