Modulaciones Lineales

T Seal y Comunicaciones

Clase 3 Modulacin en doble banda lateral con portadora (AM).

Sobremodulacin. Potencia y ancho de banda. Representacin. Modulacin en doble banda lateral con portadora suprimida (DSB-SC)

Clase 4 Filtros en cuadratura y transformada de Hilbert. Modulacin en

banda lateral nica (SSB) y en banda lateral residual (VSB) Moduladores y demoduladores. Moduladores producto y de ley cuadrtica.

Clase 5 Moduladores y demoduladores. Moduladores balanceados.

Modulador de discriminacin de frecuencia y de rotacin de fase. Demodulador de envolvente. Demodulador sncrono o coherente.

Tema 1.2 Modulaciones lineales


Modulacin AM en doble banda lateral con portadora

Definiciones (DBL+P, AM)

Forma normalizada

[ ]( )

( ) 1 ( ) cos(2 )

00

AM c a c

Amplitud A t

c

a

x t A k m t f t

A amplitud de la portadorak sensibilidad de amplitud

= +

>

>

[ ] )2cos()(1)(

|)(|max

1|)(||)(|max

)()(

tftxAtx

modulacindendicetmk

onormalizadmensajetxtm

tmtx

ccAM

a

+=

=

=


Ejercicio 9 Consideremos una seal de mensaje triangular como la representada en la

figura. Dibujar la seal modulada en AM cuando la portadora es

3 cos (2106t )

y la sensibilidad de amplitud es de ka = 0,05 V1. Cul es el ndice de modulacin?

Demostrar que:


mnmx

mnmx

AAAA

+

=



Sobremodulacin

[ ] [ ]( ) 1 ( ) cos(2 ) 1 ( ) cos(2 )

( ) 1 ( ) 0 | ( ) | 1 1( ) 1 ( ) 0 | ( ) | 1 1

( , )

AM c a c c c

a a

a a

x t A k m t f t A x t f t

a k m t k m t para todo tb k m t k m t para ciertos t

inversin de fase sobremodulacin

= + = +

+

+ < > >



Componentes en fase y en cuadratura

[ ] [ ]

[ ]0)(

)(1)(

)2cos()(1)2cos()(1)(

)2sin()()2cos()()(

=

+=

+=+=

=

txtmkAtx

tftxAtftmkAtx

tftxtftxtx

Q

acI

cccacAM

cQcIpb


Espectro de AM

Espectro de AM

[ ]

[ ] [ ])))))*()(

)2cos()(1)(

2

2 ccA

ccA

AMAM

ccAM

fX(ffX(ff(ff(f

fXfX

tftxAtx

cc +++++=

==

+=

0 .fC 0

f f fC .fC

0 f

W

2W

X(f)

W


Ancho de banda de AM

Espectro de AM

0 f

W

X(f)

+

BT=2W

0 f

fC .fC BT=2W

LSB USB + +

XAM (f)


Potencia de AM

Promedios temporales

Propiedades

fWsiftty

ft

tyAtAy

AA

dttyT

ty

dttxT

txP

T

TT

T

TTx


Potencia de AM

[ ]

( )

22

2 2 2 22

2

2 2 2 2 2

2 2 2

22

(2) ( ) 0(1) /2

2 22

(2) ( )

2 2

( ) 1 ( ) cos(2 ) ( ) 0 ( )

( ) 1 2 ( ) ( ) cos(2 )

11 2 ( ) ( ) 1 cos(4 )2

( )2

( )

2

cc

c cx

AM c c x

T AM c c

c c

ccA x t

A

c

A Ax t P

x t A x t f t x t x t P

P x t A x t x t f t

A x t x t f t

AA x t

A Ax t

= ==

= =

= + = =

= = + + =

= + + + =

= + +

+

2 2 22 2

(4) 0(3) 0 (4) 0

2 2 2

2

cos(4 ) ( )cos(4 ) ( ) cos(4 )

2 2

2 2C sb

c cc c c c

c cx

P P

Af t A x t f t x t f t

A AP

== =

+ + =

= +


Potencia de AM

Potencia de AM

%501

2

212

422222

211

2

2

2

2

2222

2

222

+

==

=+=

==

+=

x

x

T

sbTsb

TsbsbTCsbsbCT

CC

xC

sbx

P

xC

P

CT

PP

PPPP

PPPPPPPPP

PAPAPP

PAAP

sbC

0 f

50%

25%

25%

Eficiencia de AM


Ejercicio 10 Calcular la eficiencia de una modulacin AM (=1) cuando el mensaje es:

(a) Un tono simple.

(b) Un mensaje de voz con Px=0,1.

Modulacin AM

2

2

1 1/ 2 1 33%

2 1 3 / 2 3x

xx

PPP

= = = = =+

%1.91.11.0

1

1.0 22

==+

==x

xx P

PP


Modulacin DSB-SC

)2cos()()( tftxAtx ccSCDSB =

0 fC .fC

XDSB-SC (f)

BT=2W

xcsbT PAPP2

212 ==

Modulacin en doble banda lateral con portadora suprimida (DSB-SC o DBL-PS)

0)()()(0 ==> txtxAtxA QcIc

[ ])))( 2 ccASCDSB fX(ffX(ffX c ++=Espectro DSB-SC

f


Modulacin DSB-SC Ejercicio 11 Dibujar la onda resultante de modular en DSB-SC una portadora de 1 MHz con

un tono de frecuencia 100 kHz y amplitud 10 V.

5 6

6

0.9

6

1.1

( ) ( )cos(2 )

10cos(210 ) cos(210 )

110 cos(20.9 10 )2

cos(21.1 10 )

DSB SC c c

MHz

MHz

x t A x t f tt t

t

t

=

= =

=

+


Potencia instantnea mxima Los TX estn limitados por la potencia total promedio PT. Pero la potencia

instantnea mxima Pi,max que pueden manejar es una limitacin adicional:

[ ]{ }

{ }

max,2

22maxi,

max,

222

222maxi,

41

41

P

)2cos()(max:

1

41

41

)1(P

)1()2cos()(1max:

ixxcsb

cpico

cccpico

ixxcsb

cpico

cccpico

PPPAP

AA

AtftxAASCDSB

PPPAP

AA

AtftxAAAM

==

==

==

+

==

+==

+=+=


Potencia instantnea Ejercicio 12 Consideremos un transmisor de radio diseado para operar con PT 3 kW y Pi,max 8 W. Supongamos que la seal que queremos distribuir es un tono simple (Px = ). Determinar el valor mximo de la potencia en una nica banda lateral Psb que se puede conseguir modulando en AM con = 1 y en DSB-SC.

Qu condicin sobre el transmisor limita en cada caso la potencia? Cul de los dos formatos es mejor en cuanto a distancia mxima de transmisin?


Filtros en cuadratura y Transformada de Hilbert

)()()()()(

)(1)(*)()(

fXfsignojfXfHfX

dtxtxthtx

Q

Q

==

==

+

Definicin

arg



==+

=

=

==

===

+

+

000)0(0)(2

)()(

)()](1[)()(.5

)(0)()(21lim

)(0)()(.4

)()()()(.3

)()(.2

)(.1

11

2

2

ffXffX

analticaSealtxjtx

fXfsignotxjtx

potenciatipoderealtxsidttxtxT

energatipoderealtxsidttxtx

ththfHfH

txPtxP

causalesnoth

TF

T

TT

QQTF

QQ

xx

Q

Propiedades

f

f


Ejercicio 13(a)

Calcular la transformada de Hilbert de:

x(t) = A cos( 0 t + )


)2sin()(

)(2

)(2

)(2

)(2

)(

)(2

)(2

)()2cos()(

0

0000

000

1

+=

+=++=

++=+=

tfAtx

ffj

Aeffj

AeffAejffAejfX

ffAeffAefXtfAtx

TF

jjjj

THjj

TF

La transformada de Hilbert intercambia senos y cosenos = transforma componentes en fase en componentes en cuadratura:

cos sin cos


Ejercicio 13(b)

Calcular la transformada de Hilbert de x(t) = (t)


( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )TH Qd x dx t t x t x t h t

t t t

+ +

= = = = =



Para calcular esta integral consideramos varios casos

Ejercicio 13(c)

Calcular la transformada de Hilbert de x(t) = u(t)u(ta)

0

( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )a

TH d u u a dx t u t u t a x tt t

+

= = =



Si 0 < t < a/2 Las reas se cancelan entre 0 y 2t

0

( ) ( ) 1( )ad u u a dx t

t t

+

= =

1

a

1( )t

1( )t

22

1 1 1( ) ln( ) lna

a

tt

d tx t tt a t

=

=

= = =

De igual forma, si a/2 < t < a Las reas se cancelan entre 2ta y a. El resultado es el mismo, luego:

1( ) ln 0tx t si t aa t

= <



Si t < 0 o bien a < t no existen cancelaciones, luego

1( ) ln tx tt a

=

1

a

00

1 1 1( ) ln( ) ln 0a

ad tx t t t o bien a tt t a

=

=

= = = <


Modulacin SSB

[ ]

[ ] [ ] )()(121)()()(1

21)(

)()(21)(

fXfsignofXfsignojjfX

txjtxtx

==

=

Modulacin en banda lateral nica (SSB o BLU)

0 f

W

X(f)

+

0 f

X+(f)

+

0 f

X(f)


Modulacin SSB

)2sin()(2

)2cos()(2

)2exp()(2

)2exp()(2

)(

)2sin()(2

)2cos()(2

)2exp()(2

)2exp()(2

)(

tftxAtftxA

tfjtxAtfjtxAtx

tftxAtftxA

tfjtxAtfjtxAtx

cC

cC

cC

cC

LSSB

cC

cC

cC

cC

USSB

+=

=+=

=

=+=

+

+

0 fC .fC

XUSSB (f)

BT=W 0

fC .fC

XLSSB (f)

BT=W


Modulacin SSB

,

2

( ) ( ) cos(2 ) ( )sin(2 )2 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2 4

C CU LSSB c c

USBLSB

C C CI Q T sb x

USBLSB

A Ax t x t f t x t f t

A A Ax t x t x t x t P P P

+

+

=

= = = =

0 fC .fC

XUSSB (f)

BT=W 0

fC .fC

XLSSB (f)

BT=W


Modulador SSB por discriminacin de frecuencia


Modulacin VSB

VSB = BLR, BLV


Modulacin VSB

( ) ( )

0 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C Creal VSB ideal SSB lo que le falta al real

para ser ideal

C C

C C C C

f f

H f u f f H f f f

H f H f f u f f

H f u f f H f f u f f H f f

>

+ =

= +

VSB = BLR, BLV


Modulacin VSB

Filtro de ecualizacin

Por qu? Lo veremos en la siguiente clase sobre demoduladores

WfenffHffH

fHCC

eq ++= ||

)()(1)(


Modulacin VSB VSB sin ecualizacin

El filtro de ecualizacin no es necesario si H (f )=H (f ), ya que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )( ) ( ) 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

C C C C

C C C

C C C

C C C C C C

H f u f f H f f u f f H f fH f f u f f H f f u f H fH f f u f H f u f f H f fH f f H f f u f f H f f u f f H f f

= +

= +

+ = +

+ + = + +


Modulacin VSB

Ejercicio 14 La frecuencia de la portadora de una seal VSB es de 20 kHz, y la seal en banda base tiene un ancho de banda de 6 kHz. El filtro VSB corta gradualmente la banda lateral inferior en 2 kHz, como se muestra en la figura. Encontrar el filtro de reconstruccin necesario para recuperar la seal sin distorsin.


Moduladores AM y DSB-SC

AM

Producto

De ley cuadrtica

DSB-SC (= balanceados)

Producto balanceado

De ley cuadrtica balanceado


Modulador AM de producto


Modulador AM de ley cuadrtica



Tras el elemento de ley cuadrtica:

1 12 2

21 2

2 2 21 1 2 2 2

cos(4 )

1 2 22 1 2 1 22

( ) [ cos(2 ) ( )] [ cos(2 ) ( )]

( ) cos(2 ) cos (2 ) 2 ( )cos(2 ) ( )

( ) ( ) cos(2 ) 2 ( )coc

o c c c c

c c c c c c

f t

c c c c

v t a A f t x t a A f t x ta x t a A f t a A f t a A x t f t a x t

a A a x t a x t a A f t a A x t

+

= + + + =

= + + + + =

= + + + +

1 2

22s(2 ) cos(4 )c c cf t a A f t +



1 12 2 22 1 2 1 2 22 2

2

( ) ( ) ( ) cos(2 ) 2 ( )cos(2 ) cos(4 )c c

o c c c c c c c

fdc banda base f

v t a A a x t a x t a A f t a A x t f t a A f t +

= + + + + +


Moduladores DSB-SC

Ejercicio 15 Un cierto sistema no lineal produce una salida del tipo:

donde v (t) es una cierta seal de entrada.

(i) Encontrar el valor de K para que, tomando v (t) como la seal de mensaje x(t), este sistema produzca DSB-SC sin necesidad de filtrado.

(ii) Dibujar un diagrama de bloques del modulador.

(iii) Tomando K2 = b/a y v (t) = x(t ) + D, siendo D una constante, demostrar que el modulador produce AM sin necesidad de filtrado.

[ ] [ ]222 cos)(cos)()( tAtvbtAtvaKtx ccpb +=


Mezcladores

Mezcladores (Mixers)

C1 0 C2 0 desbalanceado

C1 0 C2 = 0 balanceado simple

C1 = 0 C2 = 0 doblemente balanceado


Moduladores balanceados


Modulador de ley cuadrtica balanceado


Moduladores SSB y VSB

SSB (BLU)

Discriminacin en frecuencia (filtrado directo)

Modulador de rotacin de fase

VSB (BLR, BLV)

Discriminacin en frecuencia (filtrado directo)


Modulador SSB o VSB por discriminacin de frecuencia


Modulador SSB por rotacin de fase


Ejercicio 16 Un filtro para VSB para modulacin con portadora C la respuesta representada

en la figura.

Encontrar la seal VSB cuando el mensaje es:

Moduladores VSB

)cos()cos()( 2211 tatatx +=


Demoduladores

Demodulador de envolvente o de diodo

Demodulacin AM

Demodulador sncrono o coherente

Conversin de frecuencia

Demodulacin AM, DSB-SC, SSB, VSB


Demodulador de envolvente


Demodulador de envolvente Condiciones de diseo

(a) Ausencia de sobremodulacin:


Ejercicio 17 Un demodulador AM de envolvente tiene los siguientes parmetros:

fc = 50 kHz fm = 1 kHz Rs = 50

Rf = 20 C = 10 nF RL = 10 k

= 0.8

Demostrar que en estas condiciones el demodulador funciona correctamente.

Demodulador de envolvente


Demodulador de envolvente Ejercicio 18: Cuarta condicin para modulacin por tono

Deducir una cota superior para el valor de la constante de descarga del condensador (RLC) para el caso de una modulacin con un tono


Conversin de frecuencia



[ ]

2/'2/0

0'0

0'

)2sin()(')2cos()()(mod

ccc

cc

ccc

ccc

AKAKKSSB

KAKKSCDSB

KAKAKAM

tftxKtftxKKtx

===

===

===

+=


Ejercicio 19: filtro de ecualizacin en VSB Demostrar que la definicin del filtro de ecualizacin de una modulacin VSB es:


WfenffHffH

fHCC

eq ++= ||

)()(1)(

Tema 1.2 Modulaciones linealesModulacin AM en doble banda lateral con portadoraModulacin AM en doble banda lateral con portadoraModulacin AM en doble banda lateral con portadoraModulacin AM en doble banda lateral con portadoraEspectro de AMAncho de banda de AMPotencia de AMPotencia de AMPotencia de AMModulacin AMModulacin DSB-SCModulacin DSB-SCPotencia instantnea mximaPotencia instantneaFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertFiltros en cuadratura y Transformada de HilbertModulacin SSBModulacin SSBModulacin SSBModulador SSB por discriminacin de frecuenciaModulacin VSBModulacin VSBModulacin VSBModulacin VSBModulacin VSBModuladores AM y DSB-SCModulador AM de productoModulador AM de ley cuadrticaModulador AM de ley cuadrticaModulador AM de ley cuadrticaModuladores DSB-SCMezcladoresModuladores balanceadosModulador de ley cuadrtica balanceadoModuladores SSB y VSBModulador SSB o VSBpor discriminacin de frecuenciaModulador SSBpor rotacin de faseModuladores VSBDemoduladoresDemodulador de envolventeDemodulador de envolventeDemodulador de envolventeDemodulador de envolventeConversin de frecuenciaDemodulador sncrono o coherenteDemodulador sncrono o coherente

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