Módulo 02 vectores

CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES

Gladys Ofelia Cruz Villar 1 2009-II

VECTORES

1. Magnitud Vectorial Es aquella magnitud que

aparte de conocer su valor numérico y su unidad

respectiva, es necesario conocer también la

dirección y sentido para que así dicha magnitud

logre estar perfectamente determinada.

2. Vector: Es un segmento de línea recta orientada

que sirve para representar a las magnitudes

vectoriales.

Figura 01: Representación de un vector

AvectordelmóduloleeSeAAA

AVectorleeSeAA

:

:

2.1 Elementos de un vector:

Punto de aplicación.- Está dado por el

origen del vector.

Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor

del vector, y generalmente, está dado en

escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale

a 5 N (si se tratase de fuerza).

Sentido.- Es la orientación del vector. (Se

indica viendo hacia a dónde apunta la flecha)

Dirección.- Está dada por la línea de acción

del vector o por todas las líneas rectas

paralelas a él. (Lo indicamos por lo general

por el ángulo direccional, medido desde el

eje positivo de x)

2.2 Algunos tipos de vectores:

Vectores colineales Son aquellos vectores

que están contenidos en una misma línea de

acción.

Vectores concurrentes Son aquellos

vectores cuyas líneas de acción,se cortan en

un solo punto.

Vectores coplanares: Son aquellos vectores

que están contenidos en un mismo plano.

Vectores iguales: Son aquellos vectores

que tienen la misma intensidad, dirección y

sentido.

Vector opuesto (-A) Se llama vector

opuesto (-A) de un vector A cuando tienen el

mismo módulo, la misma dirección, pero

sentido contrario.

Figura 02: Tipos de Vectores (a).colineales,

(b).concurentes, (c).coplanares, (d).iguales,

(e).opuestos.

2.3 Operaciones Vectoriales

2.3.1 Producto De Un Vector Por Un Escalar

Cuando un vector se multiplica por un escalar,

resulta otro vector en la misma dirección y de

módulo igual a tantas veces el escalar por el

módulo del vector dado. Algunos ejemplos se

muestran en la figura 3.

θ

sentido

dirección

ángulo direccional

A

B

C

(a)

A

B

C

(b)

A

B

C

(c)

A

B

(d)

A

A

(e)



2.3.2 Adición De Vectores Sumar dos o más

vectores, es representarlos por uno sólo

llamado resultante. Este vector resultante

produce los mismos efectos que todos juntos.

Hay que tener en cuenta que la suma vectorial

no es lo mismo que la suma aritmética.

Figura 03: Adición de Vectores por el

método gráfico. Los vectores A, B, C, D,

se convierten en un solo vector resultante

R.

Método del Paralelogramo Este método es

válido sólo para dos vectores coplanares y

concurrentes, para hallar la resultante se

une a los vectores por el origen

(deslizándolos) para luego formar un

paralelogramo, el vector resultante se

encontrará en una de las diagonales, y su

punto de aplicación coincidirá con el origen

común de los dos vectores.

Figura 04: Suma de los vectores A y B

por el método del paralelogramo.

Método del Triángulo Válido sólo para dos

vectores concurrentes y coplanares. El método

es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a

continuación del otro para luego formar un

triángulo, el vector resultante se encontrará en

la línea que forma el triángulo y su punto de

aplicación coincidirá con el origen del primer

vector.

Figura 05: Suma de los vectores A y B

por el método del triángulo.

Método del Polígono Válido sólo para dos o más

vectores concurrentes y coplanares. El método

es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a

continuación del otro para luego formar un

polígono, el vector resultante se encontrará en

la línea que forma el polígono y su punto de

aplicación coincidirá con el origen del primer

vector

Figura 06: Suma de los vectores A, B, C, por el método del polígono.

En el caso de que el origen del primer vector

coincida con el extremo del último, el vector

resultante es nulo; y al sistema se le llama

“polígono cerrado”

Figura 07: Polígono cerrado La Suma de

los vectores A, B, C, D da como

resultante cero.

DCBAR

A

0.5 A

-2 A

Figura 03:

Representación del

Producto de los

escalares 0.5 y -2

por un vector A

θ θ

A

B

A

B

R

A

B

A

B

R

A

B

C

R

A

C

B

D

R



Suma de Vectores Colineales: En este caso

la resultante se determina mediante la suma

algebraica de los módulos de los vectores,

teniendo en cuenta la siguiente regla de

signos.

Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares: En este caso el módulo de la

resultante se halla mediante la siguiente

fórmula (Ver Figura 08)

cos222 ABBAR

La dirección del vector se halla según la ley

de los senos (Ver Figura 08):

sen

B

sen

A

sen

R

Figura 08: Gráfica utilizada para

ejemplificar la ley de senos y cosenos.

Resultante máxima de dos vectores: Dos

vectores tendrán una resultante máxima

cuando éstos se encuentren en la misma

dirección y sentido (θ = 0°).

R=A+B

Figura 09: Ejemplo de dos vectores en la misma dirección y sentido.

Resultante mínima de dos vectores: Dos

vectores tendrán una resultante mínima

cuando éstos se encuentren en la misma

dirección; pero en sentidos contrarios (θ=

180°).

R=A-B Figura 10: Ejemplo de dos vectores en la misma dirección pero sentido contrario.

2.3.3 Sustracción De Vectores

Método del Triángulo En este caso se unen

los dos vectores por sus orígenes y luego se

unen sus extremos, el vector “D” será el

vector diferencia.

BAD ABD

Figura 11: El vector diferencia con el método del triángulo.

Método del Paralelogramo En este caso se

invierte el sentido del vector que está

acompañado del signo negativo; y luego se

sigue el mismo procedimiento para adición

de vectores por el método del

paralelogramo.

Figura 12: Sustracción de vectores por el método del paralelogramo.

+

+ __

__

θ β

α

A

B

R

A

B

A

B

A

B

A

B

D

A

B

D

θ

A

B

A

B

D

180 -θ



Se cumple:

cos2

)180cos(2

22

22

ABBAD

ABBAD

BAD

2.4 Componentes de un vector: Se denominan

componentes de un vector a todos aquellos

vectores que sumados por el método del

polígono, dan como resultado un determinado

vector. Hay que tomar en cuenta que un vector

puede tener infinitas componentes.

Figura 13: Componentes del vector R.

2.4.1 Componentes rectangulares de un vector:

Son aquellos vectores componentes de un

vector que forman entre sí un ángulo de 90°.

Figura 14: Componentes rectangulares del vector A

En función de la figura 14, se cumple:

AsenA

AA

AAA

y

x

yx

cos

2.5 Vector Unitario Es un vector cuyo módulo es la

unidad y tiene por misión indicar la dirección y

sentido de un determinado vector. A dicho

vector se le llama también versor.

El vector unitariou del vector A

se representa

mediante la ecuación:

A

Au

Podríamos representar el vector unitario como

se aprecia en la figura 15.

Figura 15: Representación del vector

Unitario

El módulo del vector unitario siempre es uno.

2.6 Versores Rectangulares Son aquellos vectores

unitarios que se encuentran en los ejes

coordenados rectangulares.

Ahora tendremos:

i : Vector unitario en el eje x (positivo).

- i : Vector unitario en el eje x (negativo).

j : Vector unitario en el eje y (positivo).

- j : Vector unitario en el eje y (negativo).

Figura 16: Representación de los versores

rectangulares.

Aquí se cumple:

jAiAA

AAA

yx

yx

ˆˆ

2.6 Suma de vectores por el método de

componentes rectangulares Para hallar la

resultante por este método, se sigue los

siguientes pasos:

1.- Se descomponen los vectores en sus

componentes rectangulares.

2.- Se halla la resultante en el eje x e y (Rx,

Ry), por el método de vectores colineales.

3.- El módulo del vector resultante se halla

aplicando el teorema de Pitágoras.

22

yx RRR

A

xA

yA

θ x

y

y

x

u

A

i i

j

j



2.7 Producto escalar de dos vectores:

Sean los vectores kujuiuu zyxˆˆˆ y

kvjvivv zyxˆˆˆ

que forman un ángulo Θ.

Se define el producto escalar cos. vuvu

,

el resultado no es un vector, es un escalar. El

producto escalar cumple con la propiedad

conmutativa.

De esta definición se seduce que el producto

escalar de dos vectores perpendiculares es

siempre nulo y que el de dos vectores paralelos

es el producto de sus módulos.

Para los vectores unitarios kji ˆ,ˆ,ˆ , resultan las

siguientes relaciones:

0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

ikkjji

kkjjii

En el caso de que los vectores estén

expresados en componentes y utilizando las

relaciones anteriores se obtiene que el

producto escalar se calcula:

zzyyxx vuvuvuvu

.

2.8 Producto vectorial de dos vectores:

Sean los vectores kujuiuu zyxˆˆˆ y

kvjvivv zyxˆˆˆ

que forman un ángulo Θ.

Se define el producto escalar

senvuvu

, Para los vectores unitarios

kji ˆ,ˆ,ˆ , resultan las siguientes relaciones:

jik

ikj

kji

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

En el caso de que los vectores estén

expresados en componentes y se obtiene el

producto vectorial:

zyx

zyx

vvv

uuu

kji

vu

ˆˆˆ

el resultado es un vector, la dirección y el

sentido de este vector vienen determinados

por la regla de la mano derecha

El producto vectorial de dos vectores no

cumple con la propiedad conmutativa,

cumpliéndose que:

vu

=- uv

PROBLEMAS

1. Para los vectores A, B, R, se tiene que R es el

vector resultante entre A y B.

20157

RBA

Determinar el ángulo formado por los vectores

A y B.

a) 37º b) 53º c) 30º d) 60º e) 45º

3. Hallar el módulo de la resultante de los

vectores mostrados en la figura:

vu

v

u

uv

2 u

25 u

10 u

143º

127º

a) 10

b) 5

c) 15

d) 25

e) N.A.



4. Determina el módulo de la resultante de los

vectores colocados en el triángulo equilátero.

5. Dados dos vectores uno de módulo 5 y otro

de módulo 3. ¿Qué ángulo existe entre ellos

para obtener uno de módulo 7?

a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 120º

6. Si el sistema mostrado tiene resultante

horizontal, determinar el módulo de los

vectores mostrados en la figura:

7. Se tienen dos vectores de igual módulo “a”

que forman entre sí un ángulo Θ. Hallar el

módulo de su diferencia.

a) 2a senΘ b) 2a cosΘ c) 2a sen2

d)2

2 sena e) 2

cos2a

8. En el cuadrado el lado mide 2 u. Hallar el

módulo de la resultante.

9. En el hexágono regular de lado “L”

determinar el módulo de la resultante. Si “O”

es el centro del hexágono.

10. Determine el módulo del vector resultante

del sistema mostrado si “M”: punto medio, y

“O”: centro de la circunferencia, y .4a

11. La Figura muestra 6 vectores

FyEDCBA

,,,, Halle

FEDCBAS

2 .

12. Para el conjunto de vectores dados

determine el vector unitario del vector

resultante.

5 u

10 u

15 u

a) 5√3 u

b) 5√2 u

c) 10 √3 u

d) 10√2 u

e) 3 √3 u

53º

45 u

60 u

50 u

a) 30 u

b) 15 u

c) 10 u

d) 50 u

e) 25 u

a) 2u

b) 4u

c) 3u

d) 5u e) 0

O

a) 2L

b) 7L

c) 9L

d) 4L

e) 6L

M

O

37º

53º

a

b

c

d

a) √5

b) √6

c) 2√5

d) 3√5

e) 3√6

A

B

C

D

E

F

a) 2 A

b) 2 B

c) C

+ D

d) E

e) 0

5 5

5

x

y

z a) 2)ˆˆ( ji

b) 2)ˆˆ( ji

c) - i

d) - j

e) k



13. Se tienen los vectores jiBiA ˆˆ;ˆ

y

kjiC ˆˆˆ

. Halle el valor de la expresión:

CBAV

.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Dados los vectores jiA ˆ3ˆ2

;

jiB ˆ2ˆ

, determine BA

BA

a) 1,75 k b)0,68 k c)-1,75 k d)1,92 k e)-1,92 k

15. En un sistema de coordenadas x,y,z,

rectangulares se dan los vectores:

jiA ˆ6,0ˆ8,0

y jiB ˆ4ˆ3

. Indique

verdadero (V) o falso (F) en las siguientes

proposiciones.

i. Sólo A es vector unitario.

ii. La magnitud BA

es 4,8

iii. El producto BA

es 5 k

a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FFF

16. Hallar el ángulo β para que el módulo de la

suma de los vectores sea mínimo

17. Si la resultante de los 3 vectores

mostrados es nula, hallar F

18. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que

se indican con una cuarta fuerza, se obtiene

que el módulo de la resultante es 50 N y que

forma 53º con el semieje +x. Determine la

cuarta fuerza en N.

a) ji ˆ60ˆ20

b) ji ˆ40ˆ20

c) ji ˆ56ˆ28

d) ji ˆ66ˆ38

e) ji ˆ28ˆ50

19. Si BAS

, sonde A

y B

son vectores

unitarios, identifique la veracidad (V) o

falsedad (F), de las proposiciones siguientes:

i. El módulo de S

satisface: 0≤S≤2.

ii. S

también puede ser unitario.

iii. Si α = 60º es el ángulo entre A

y B

,

luego S

=3

a) VVV b) FVV c) VFF d) FFF e) VVF

20. Tres vectores CyBA

, , tienen

componentes x e y como se muestra en la tabla.

Calcular el ángulo que forma el vector 3 A

-

2 B

+ C

, con el eje x.

A B

C

x 3 4 -1

y 1 -2 1

a) 0 b) 45º c) 60º d) 90º e) 180º

y

x a

a

a

10º 50º

β

a) 10º

b) 20º

c) 15º

d) 25º

e) 30º

y

x

12

F

24

20º 70º

α

a) 10 √3

b) 12 √3

c) 14√3

d) 16√3

e) 2√3

-4

3

-4

-7

4

1F

=50N

3F

=20√2 N 2F

=60N

-7

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