MÓDULO N° 07: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:1. Efectúa operaciones de adición y sustracción de expresiones algebraicas sin equivocarse.

II. ACTIVIDADES:A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

1. ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para sumar expresiones algebraicas ya sean Monomios o Polinomios se escriben los términos uno a continuación de otros con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes.Ejemplo 01: Sumar: 2x + 4y ; 6x – 5ySolución:Tenemos: (2x + 4y) + (6x – 5y)Agrupamos términos semejantes: 2x + 6x + 4y – 5y8x – yPor lo tanto la suma es: 8x – y

Ejemplo 02: Dados los polinomios P(x,y) = 2x3y2 + 4x2y – 5x + 2Q(x,y) = -2x3y2 – 3x2y + 4x – 2; Hallar P(x,y) + Q(x,y)

Solución:P(x,y) + Q(x,y) = (2x3y2 + 4x2y – 5x +2) + (-2x3y2 – 3x2y + 4x – 2)Agrupamos: T.S. = 2x3y2 – 2x3y2 + 4x2y –3x2y – 5x + 4x + 2 – 2Y reducimos: 0 + x2y – x + 0Por lo tanto la suma es: P(x,y) + Q(x,y) = x2y - x

2. SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Para hallar la diferencia de dos expresiones algebraicas, a la expresión minuendo se le suma el opuesto de la expresión sustraendo.Nota: Si delante de un paréntesis existe un signo negativo, este se cambia a positivo y se cambian los signos dentro del paréntesis.

Ejemplo 03:Dados los polinomios P(x) = -4x2 – 5x + 8; y Q(x) = 2x2 + 3x – 3. Hallar: P(x) – Q(x)

Solución:P(x) – Q(x) = (-4x2 – 5x + 8) – (2x2 + 3x – 3)

4x2 – 5x + 8 – 2x2 – 3x + 3Agrupamos términos semejantes y reducimos:(-4x2 – 2x2) + -5x – 3x + 8 + 3-6x2 – 8x + 11 Por lo tanto: P(x) – Q(x) = -6x2 – 8x + 11

Ejemplo 04:Halla la suma: 0,4x2 – 3,5y3 – 6,5x2 + 5y3

Solución:0,4x2 – 3,5y3 – 6,5x2 + 5y3 = -6,1x2 + 1,5y3

-6,5 +5,0+0,4 -3,5-6,1 +1,5

56

SESIÓN Nº 01: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN ALGEBRAICASESIÓN Nº 01: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN ALGEBRAICA

Si tenemos: P(x) = 2x3 + 3x – 2; R(x) = x3 – x + 5 y nos piden hallar: P(x) + R(x)

Entonces el polinomio P(x) + R(x) será: (2x3 + 3x – 2) + (x3 – x + 5)Luego reducimos términos semejantes: 2x3 + 3x + x3 – x – 2 + 5

3x3 + 2x + 3Entonces: P(x) + R(x) = 3x3 + 2x + 3Esta operación es la ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo 05:Si: A = x + y + 7z

B = -5x + 2y – 6zC = -3z + x – y Calcula: A + B + C

Solución:Ordenamos los polinomios y reducimos términos semejantes: A = x + y + 7z B = -5x + 2y – 6z C = x – y – 3z A + B + C = -3x + 2y – 2z Rpta.

Ejemplo 06:De: 3a + 8b – 9 restar -11 + 9b + 3ªSolución:Escribimos el minuendo igual: 3a + 8b – 9Escribimos el sustraendo con los signos -3a – 9b + 11cambiados y reducimos términos semejantes: 0 – b + 2 Rpta. 2 – b

C. COMPROBACIÓN:

1. Halla la suma de: 5a ; -8a ; 12a ; -7a2. Si: A(x) = 4x2 + 2x ; B(x) = 5 – 2x2 – x; calcula: A(x) + B(x)

3. Encuentra la suma de: m + n + p ; -m – n + p.4. Dados: P(x,y) = 5x – 7y + 8 ; Q(x,y) = -y + 6 – 4x; R(x,y) = 9 – 3x + 8y.

Calcula: P(x,y) + Q(x,y) + R(x,y)

5. Si: M = a + b – c ; N = 2a + 2b – 2c ; S = -3a – b + 3c. Halla: M + N + S6. Halla la suma de los siguientes polinomios:

a) m + 5m – 4 ; -2m – 4n – 5 ; -6m + 7 + 2nb) 3a2 + ax – 2x2 ; -2ax + x2 + a2 ; 3ax – a2 + 4x2

7. Adicionar: 3x2 – 8x + 1 con –2x2 + 5x8. De -9a2 restar 5b2

9. De -9xy restar -5xy10. -a restar de 3a11. -3b restar de -4b12. De x2 + y2 – 3xy restar -y2 + 3x2 – 4xy13. Given the polynomials: A = x + y – z; B = x + y + z. Find: A – B 14. To substract: 0,03a3x + 0,7ax3 – 0,4 – 1,9x4 + 0,54a2x2 de a3x – a2x2 + 0,6ax3 – 2x4 + 0,5

D. FIJACIÓN:

1. Calcula la suma de los siguientes monomios: a3b4 ; -8a2b ; -72. Si P(x,y) = 2x2y3 + 5x3y2 ; Q(x,y) = -5x3y2 + 2x2y3. Calcula: P(x,y) + Q(x,y)

3. Dados los polinomios: A = 4x3y2 – 3x2y – 2xy ; B = -3x2y – 2xy – 3x3y2. Halla: A - B4. Restar: 8xy – 3x + 4y – 8 de –3x + 4y + 3xy + 155. Dados: P(x) = 18x2 + 16x – 14 ; Q(x) = 16x2 – 12x – 10.

Halla: a) P(x) – Q(x) b) P(x) + Q(x)

6. Efectúa: (8x2 – 5x – 7) + (3x2 – 2x – 3) + (2x – 5)7. Si: P(x,y) = 3x2y2 + 5xy – 7 ; Q(x,y) = 4x2y2 – 3xy - 7

a) Restar P(x,y) de Q(x,y)

b) De P(x,y) restar Q(x,y)

c) Resolver P(x,y) + Q(x,y)

8. De 6a2 – 5ab – 1 restar la suma de: 3ab – 6 y 3a2 – 8ab + 59. If: A = 3x3 + x + 2 ; B = x3 + x – 6. find the difference: A – B10. Given the polynomials: A = 8xy + 6y2 + 1 ; B = -2xy – 5y2 – 1 ; C = 8y2 + 4 – 6xy.

Resolve the following operations:a) A + B b) B – A c) C – (A + B)

57

MÓDULO N° 07: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Calcula el producto de monomios correctamente.2. Multiplica un monomio por un polinomio sin margen de error.

II. ACTIVIDADES:A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

1. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: Para multiplicar monomios en Z, se multiplican los coeficientes y los factores variables entre si, recordando específicamente la multiplicación de potencias de bases iguales:

Ejemplo 01: Ejemplo 02:Si P(x) = 4x2 ; Q(x) = 7x9 M(x,y) = 5x7y6 ; N(x,y) = 3x2y3

Hallar: P(x) por Q(x) Hallar: M(x,y) por N(x,y)

Solución: Solución:P(x) . Q(x) = (4x2)(7x9) M(x,y) . N(x,y) = (5x7y6)(3x2y3)= (4 . 7)(x2 x9) = (5 . 3)(x7 y6 x2 y3)= 28x11 = 15x9y9

Ejemplo 03: Ejemplo 04:Multiplica: -2a por 8a2b7 Multiplica: 12x5y9 por -5x4z3

Solución: Solución:(-2a)(8a2b7) = (-2 . 8)(a . a2b7) (12x5y9)(-5x4z3) = (12)(-5)(x5 y9 x4 z3)= -16a3b7 = -60x9y9z3

2. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO: Para multiplicar un monomio por un polinomio, el monomio se distribuye como factor con cada término del polinomio (propiedad distributiva) y luego se procede como en la multiplicación de monomios.

Ejemplo 01: Ejemplo 02:Efectúa: 3x2 (5x3 + 7x4y2) Efectúa: -8a x (-2a2 + 5a - 7)

Solución: Solución:3x2 (5x3 + 7x4y2) -8a x (-2a2 + 5a - 7)= 3x2 . 5x3 + 3x2 . 7x4y2) = (-8a)(-2a2) + (-8a)(5a) + (-8a)(-7)= (3 . 5)(x2 x3) + (3 . 7)(x2 x4 y2) = 16a3 - 40a2 + 56a= 15x5 + 21x6y2

58

SESIÓN Nº 02: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICASESIÓN Nº 02: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

Recordemos dos propiedades estudiadas: Multiplicación de potencias de bases iguales: am . an = am+n

Propiedad distributiva: a (b + c) = a . b + a . cEstas propiedades nos permiten resolver estas operaciones:1) 3x2 . 4x5 = 12x7 2) 2m5 (4m2 + 5m4) = 8m7 + 10m9

Denominadas: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

Ejemplo 03: Hallar el producto: -4a3b2 x (12a6b + 9ab4 - 5c4)

Solución:-4a3b2 x (12a6b + 9ab4 - 5c4) = -4a3b2 . 12a6b + -4a3b2 . 9ab4 + -4a3b2 . -5c4)= -48a9b3 - 36a4b6 + 20a3b2c4

C. COMPROBACIÓN:

Halla el producto de las siguientes operaciones:

1. (3x)(-7x2) 4. (-8axbn)(-75ax+1b2)

2. (-17a3bc5)(-9a4b6) 5. (-36ax+1)(5bx-3c2)

3. (11x3y2w)(18x3w5y) 6. (0,2)(-0,8x2)(2,4ab2)(-0,1abx3)

Calcula el producto de monomios por polinomios:

7. (5x – 7x2y + 4)(-3x2y) 9.

8. (4m)(3mn+1 – 3mn + 7mn-1) 10. (0,2a3 – 1,2a2 + 3,5a)(-0,7a3b)

11. Resolve the following multiplication: (2x2 – 1)(2x2 + 1)

12. Given the polynomials: A = 3a + 2 y B = a + 1. Calculate: A x B.

Resuelve:

13. 14.

15.

16.

D. FIJACIÓN:

Efectúa los siguientes ejercicios:

1. Efectúa: (-7a2x3)(-4a3x4y5) 8. am - am-1 + am-2 por -5a

2. Halla el producto: (8am+1bn-2)(-a3-mb5-n) 9. 3x2m (4xm-1 + 6xm - 4xm-2)

3. Resuelve: (-6xn+1yn+2)(-5xn-3yn+5) 10. (x3 - 3x2 + 8x - 7)(-2x3)

4. Efectúa: (-4a2b)(-2b3c)(+7c5d) 11. (a + 4)(a - 2)

5. Halla el producto: (-3x2)(x3 – 2x + 1) 12. (y - 5)(y + 1)

6. Efectúa: (xa+5 – 3xa+4 + xa+3 – 5xa+1)(2x2) 13. (m2 + 6)(m2 - 6)

7. (-7ax+3)(+6ax+3) 14. (x - 1)(x3 + 2x2 - x + 4)

15. Find the product of the monomials: A = 4x3y5z2 ; B = -3x7y2z3

16. Given the polynomials: P = 4x2 – 5x + 3; Q = 0,3x – 2. Calculate the product from P and Q.

59

MÓDULO N° 07: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:1. Aplica la potenciación de números enteros para calcular la potencia de expresiones algebraicas en

forma correcta

II. ACTIVIDADES:A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

POTENCIACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Comprende el estudio de potenciación de monomios y potenciación de polinomios.POTENCIACIÓN DE MONOMIOS: Para calcular la potencia de un monomio, se eleva a dicha potencia el coeficiente, luego las variables aplicando la propiedad potencia de potencia.Ejemplos: Halla la potencia de los siguientes monomios.

1. (5x2)3 = 53 (x2)3 = 125x6

2. (-6m2n3)2 = (-6)2 (m2)2 (n3)2 = 36m4n6

3. (-8a4b5c)3 = -512a12b15c3

4. (2ax+1bx-2)5 = 32a5x+5b5x-10

5. [(-3mxny)2]3 = (-3mxny)6 = 729m6xn6y

6. (4x2x+y-1 za+b+2)4 = 256x8x+4y-4 z4a+4b+8

POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS: Para hallar la potencia de un polinomio, se multiplica dicho polinomio por si mismo, tantas veces como indica el exponente de la potencia.Ejemplos: Halla la potencia de los siguientes polinomios.

1. (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4

2. (2x - 1)2 = (2x - 1)(2x - 1) = 4x2 - 2x - 2x + 1 = 4x2 – 4x +1

3. (x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x2 + 2x + 1)(x + 1) = x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1

4. (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

60

SESIÓN Nº 03: POTENCIACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASSESIÓN Nº 03: POTENCIACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Recordemos la potenciación de números enteros, resolviendo el siguiente ejercicio:(-7)2 = (-7)(-7) = 49. Es decir: bn = b . b . b ... n vecesAsí mismo nos hemos referido a otras propiedades, tales como:- Multiplicación de potencias de bases iguales: bm . bn = bm+n

- Potencia de potencia:

Aplicando estas propiedades podemos resolver las siguientes operaciones:1. (-8x2y3)2 = (-8x2y3)(-8x2y3) = 64x4y6

2. (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9Operaciones referidas a la POTENCIACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, motivo de esta sesión.

5. (3a - 2)3 = (3a - 2)(3a - 2)(3a - 2) = (9a2 - 6a - 6a +4)(3a - 2) = (9a2 - 12a + 4)(3a - 2) = 27a3 - 18a2 - 36a2 + 24a + 12a - 8 = 27a3 - 54a2 + 36a - 8

CUADRADO DE UN POLINOMIO DE CUALQUIER NÚMERO DE TÉRMINOS: Es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el doble de las combinaciones binarias que con ellos pueden formarse.Ejemplos:1. (x + y + z)2 = x2 + y2 +z2 +2xy + 2xz + 2yz

2. (a2 - 2a + 1)2 = (a2)2 + (-2a)2 + (1)2 + 2(a2)(-2a) + 2(a2)(1) + 2(-2a)(1)= a4 + 4a2 + 1 - 4a3 + 2a2 - 4a= a4 - 4a3 + 6a2 - 4a + 1

3. (x2 - 3x + 4)2 = (x2)2 + (-3x)2 + (4)2 + 2(x2)(-3x) + 2(x2)(4) + 2(-3x)(4)= x4 + 9x2 + 16 - 6x3 + 8x2 - 24x= x4 - 6x3 + 17x2 - 24x + 16

C. COMPROBACIÓN:

Resuelve las siguientes potencias:

1. (7x4y5)2 4. (0,4m4n5)3 7. (2x – 1)2

2. (4a5b4c3)3 5. (-9pa+2g5tb-3)4 8. (a2 + 2)2

3. 6. (x + 4)2 9. (2m3 – 1)2

10. Find the power of:

11. Find the result from the following operation: (8a2b3c4)3 (7a3b5c6)2

D. FIJACIÓN:

Halla la potencia de los siguientes monomios:

1. 6.

2. 7.

3. 8. Calcula:

4. 9. Calculate the power of:

5. 10. Resolve the following mixed operation:

MÓDULO N° 07: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

61

SESIÓN Nº 04: DIVISIÓN ALGEBRAICASESIÓN Nº 04: DIVISIÓN ALGEBRAICA

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Resuelve ejercicios de división de monomios sin margen de error.2. Resuelve ejercicios de división de un polinomio entre un monomio correctamente.

II. ACTIVIDADES:A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

1. DIVISIÓN DE MONOMIOS: Para resolver esta operación se dividen los coeficientes y las variables entre sí, aplicando la propiedad: División de potencias de bases iguales, según la cual restamos los exponentes.

Ejemplos: 1. Divide: -18x4y9 : -9x2y5 5. -25x4y5 : -5x3y

Solución: Solución:-18x4y9 : -9x2y5 = (-18 : 9)(x4 : x2)(y9 : y5) = 2x2y4 25x4y5 : -5x3y = 5xy4

2. Divide: -15a2b3c5 : 5a2b3c 6. Resuelve:Operando en forma directa tenemos:-15a2b3c5 : 5a2b3c = -3a0b0c4 = -3c4 Solución:

= 3xa-1-(3-a) yb+2-(b-2)

= 3xa-1-3+a yb+2-n+2

3. Efectúa: 35m2a+3 : 7m2a+1 = 3x2a-4 y4

Solución:35m2a+3 : 7m2a+1 = 5m2a+3-(2a-1) = 5m2a+3-2a+1 = 5m4

4. Divide: -48x2a+5ya-9 : -8xa+6ya-10 Solución:-48x2a+5ya-9 : -8xa+6ya-10 = 6x2a+5-(a+6)ya-9-(a-10) = 6x2a+5-a-6ya-9-a+10 = 6xa-1y

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO: En este caso se divide cada término del polinomio entre el monomio, escribiendo los cocientes uno a continuación de otro.

Ejemplos:

1. Divide: (6x2 + 3x) : 3x 2. Halla el cociente: (18x3 - 9x2 + 3x) : 3x

Solución: Solución:(6x2 + 3x) : 3x = 2x + 1 (18x3 - 9x2 + 3x) : 3x = 6x2 - 3x + 1

3. Resuelve: (15y2 - 20y) : -5y 4. Efectúa: (24y + 12y2 - 6y3) : -6y

Solución: Solución:

62

Recuerda la propiedad: División de potencias de bases iguales: 57 : 55 = 57-5 =52

Aplicando esta propiedad podemos resolver las siguientes divisiones:1. -15a4b3c5 : 3ab2c3 = -5a3bc2

2. (12x4y5 - 16x2y2 + 20x6y7) : 4xy= 3x3y4 - 4xy + 5x5y6

Operaciones que se refieren a la DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, de las cuales nos ocupamos en esta sesión.

(15y2 - 20y) : -5y = -3y + 4 q = -4 + 2y - y2

C. COMPROBACIÓN:

Divide:

1. -6a2 : -a 7. -30x2a+4 : -6xa+2

2. 18a4b5 : -3ab2 8. (x2 - xy) : x

3. -m3b4c : m3b4 9. (6a2y3 - 9x2y4) : -3a2

4. 54x2y2z3 : -6xy2z3 10. (ax+1 + a2m) : a

5. -5m3n : m3n 11. (12am + 15am+3 - 6am-1) : -3a2

6. -14ax+1 : 7ax-2 12. (14x2n-1 - 21x3n+2) : 7xn-3

13. Calculate the quotient from the division: (8m2x - 4m3x + 24m5) : 4m2x

14. Resolve the following operation: (x5 - 5x4 + 10x6 - 20x8) : x5

Resuelve las siguientes divisiones de expresiones algebraicas:

15.

16.

D. FIJACIÓN:

Realiza las siguientes divisiones de monomios:

1. -24a2b7 : 6a-1b-8

2. -2m4anb-2p7 : -4m4anb-2p9

3. (-5ambnc2)2 : 5am+1bn-2

4. (0,36xa+1ya-2) : (0,9xy2)2

5. Halla el cociente de: (a4 – 10a3 – 5a2 + 15a) : (-5a)

6. Divide: (an+2 – 5an+1 – 5an – an-1) : an-2

7. Efectúa: (0,6m2n3x – 18m4n3x5 – 0,9m3n2) : (0,3m3n2)

8. Realiza la siguiente operación: (7a-7 + 8a-6 – 6a-5) : a-5

9. Resolve the following division: (21xn+1 – 14xn-1 + 7xn) : 7xn-2

10. Find the quotient from the following division:

Resuelve las siguientes divisiones de expresiones algebraicas:

11.

12.

13. 14. (m3 + 1) : (m + 1)

AUTOEVALUACIÓN Nº 06

I. INSTRUCCIÓN: Resuelve los ejercicios y marca con un aspa la letra que corresponde a la respuesta correcta.

63

1) Halla la suma de: m + n – p con -m – n + pa) 1 b) 2 c) 0 d) 4 e) -1

2) Calcula la suma de: 3a + 2b – c con 2a + 3b + ca) 5a + 5b b) 3a – 2b c) 6a – 2b d) 4a + 6b

3) ¿Cuál es la suma de: con

a) b) c) d)

4) Halla la suma de: a2 + ab con -2ab + b2

a) a2 + ab + 2b2 b) a2 – ab + b2 c) a2 – 2ab – b2 d) a2 + 3ab + 2b2

5) Calcula A + B, si A = x2 – 1,5x3 + 4,1x; B = -0,5x3 + 3,6x2 – 3,4xa) 4,6x2 – 2x3 + 0,7x b) 2,3x2 + 4x3 – 0,6x c) 1,5x2 + x3 – x d) 3,4x2 – 3x3 – 0,5x

II. INSTRUCCIÓN: Resuelve los ejercicios y escribe la respuesta en el lugar indicado.

1) De 10x2 restar 6x2 Rpta: ________________________

2) Restar de Rpta: ________________________

3) De 6x2 – 3x + 2 restar 8x2 + 2x – 5 Rpta: ________________________4) Restar -3x + 5 de 8x + 10 Rpta: ________________________5) Halla la diferencia: (6x2 – 3x + 8) – (5x2 + 5x – 10) Rpta: ________________________

III. INSTRUCCIÓN: Resuelve los ejercicios y encierra con una circunferencia la letra que corresponde a la respuesta correcta.

1) Efectúa: (-5ab)(-2a2c)a) 10abc b) 10a3bc c) 10ab3c d) 10abc2

2) Resuelve: (8ambn)(-ab)a) -8abm+n b) -9amnb c) -8am+1bn+1 d) 8ambn

3) Resuelve: (-2x2)(x2 – 4x + 3)a) -2x4 + 8x3 – 6x2 b) 2x2 + 8x4 + 6x c) 2x4 – 8x2 – 6x d) -2x4 – 8x3 + 6x2

4) Efectúa:

a) b) c) d)

5) Resuelve: 4x2 (0,2x2 – 0,5x + 4,5)

a) 8x4 – 2x3 + 18x b) 0,8x4 – 2x3 + 18x2 c) 0,8x4 – 0,2x3 + 1,8x2 d) 80x4 – 0,2x3 – 1,8x

IV. INSTRUCCIÓN: Resuelve las divisiones y escribe la respuesta en el lugar indicado.

1) -24a2b3 : 6ab2 Rpta: __________________________

2) 8xn+3 : -2xn-1 Rpta: __________________________

3) Rpta: __________________________

4) (a4 – 10a3 – 5a2 + 15a) : -5a Rpta: __________________________

5) Rpta: __________________________

64