Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización
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1
Módulo 1
ANÁLISIS
MATEMÁTICO DE LA
OPTIMIZACIÓN
Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning. All rights reserved.
![Page 2: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Matemática de la Optimización
• Muchas teorías económicas empiezan con el
supuesto de que un agente económico quiere
encontrar el valor óptimo de alguna función
– consumidores buscan maximizar utilidad
– empresas buscan maximizar utilidad
• Este capítulo introduce a las matemáticas que
se emplean en estos problemas
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3
Maximización de una función de una
variable• Ejemplo: Administrador de una firma desea
maximizar beneficios
)(qf
= f(q)
Cantidad
*
q*
Utilidad máxima
* ocurre en q*
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4
Maximización de una función de una
variable• El admimistrador posiblemente intentará variar q para
ver dónde se obtienen los beneficios máximos
– un incremento de q1 a q2 produce un aumento en
= f(q)
Cantidad
*
q*
1
q1
2
q2
0q
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5
Maximización de una función de una
variable• Si el producto se incrementa más alla de q*, las
utilidades disminuirán
– un incremento de q* a q3 conduce a una caída en
= f(q)
Cantidad
*
q*
0q
3
q3
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6
Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de / q para
cambios muy pequeños en q
h
qfhqf
dq
df
dq
d
h
)()(lim 11
0
• El valor de este ratio depende del valor de
q1
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7
Valor de una derivada en un punto
• La evaluación de la derivada en el punto q =
q1 puede ser denotado
1qqdq
d
• En nuestros ejemplos previos,
0
1qqdq
d0
3qqdq
d0
*qqdq
d
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8
Condición de primer orden para un máximo
• Para que una función de una variable to
alcance su valor máximo en algún punto, la
derivada en ese punto debe ser cero
0
*qqdq
df
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9
Condiciones de segundo orden
• La condición de primer orden (d /dq) es una
condición necesaria para un máximo, pero no es
una condición suficiente
Cantidad
*
q*
Si la función de utilidad tuviese forma de
u, con la condición de primer orden se
obtendría q* donde se minimizaría
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10
Condiciones de segundo orden
• Esto puede significar que para que q* sea
un óptimo,
* para 0 qqdq
dy * para 0 qq
dq
d
• Por lo tanto, en q*, d /dq debe ser
decreciente
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11
Segundas derivadas
• La derivada de una derivada se denomina
segunda derivada
• La segunda derivada puede denotarse por
)(" o o 2
2
2
2
qfdq
fd
dq
d
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12
Condiciones de segundo orden
• La condición de segundo orden para un
máximo (local) es
0)("*
*
2
2
qfdq
d
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13
Reglas para hallar derivadas
0 entonces constante, una es Si 1.dx
dbb
)(')]([
entonces constante, una es Si 2. xbfdx
xbfdb
1 entonces constante, es Si 3.
b
b
bxdx
dxb
xdx
xd 1ln 4.
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14
Reglas para hallar derivadas
aaadx
da x
x
constantecualquier para ln 5.
– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex
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15
Reglas para hallar derivadas
)(')(')]()([
6. xgxfdx
xgxfd
)()(')(')()]()([
7. xgxfxgxfdx
xgxfd
• Supongamos que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y g’(x) existe
• Entonces
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16
Reglas para hallar derivadas
0)( que dado
)]([
)(')()()(')(
)(
8.2
xg
xg
xgxfxgxf
dx
xg
xfd
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17
Reglas para hallar derivadas
dz
dg
dx
df
dz
dx
dx
dy
dz
dy 9.
• Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y
g’(x), entonces:
• Se denomina la regla de la cadena. La regla
de la cadena nos permite estudiar cómo una
variable (z) afecta otra variable (y) a través
de su influencia sobre alguna variable
intermedia (x)
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18
Reglas para hallar derivadas
axax
axax
aeaedx
axd
axd
de
dx
de )(
)( 10.
• Algunos ejemplos de la regla de la cadena
incluyen
)ln()ln()(
)(
)][ln()][ln( 11. axaaax
dx
axd
axd
axd
dx
axd
xx
xdx
xd
xd
xd
dx
xd 22
1)(
)(
)][ln()][ln( 12.
2
2
2
22
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19
Ejemplo de maximización de utilidad
• Suponga que la relación entre utilidad y producto es
= 1,000q - 5q2
• La condición de primer orden para un máximo es
d /dq = 1,000 - 10q = 0
q* = 100
• Dado que la segunda derivada es siempre -10, q =
100 es un máximo global
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20
Funciones de varias variables
• La mayoría de los objetivos de los agentes
económicos dependen de varias variables
– existen trade-offs (disyuntivas)
• La dependencia de una variable (y) sobre una serie
de otras variables (x1,x2,…,xn) se denota por
),...,,(n
xxxfy21
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21
• La derivada parcial de y con respecto a x1 se
denota por
Derivadas
1
11
o o o 1
ffx
f
x
yx
• Se entiende que al calcular una derivada
parcial, todas las demás x’s se mantienen
constantes
![Page 22: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/22.jpg)
22
• Una definición más formal de la derivada
parcial es
Derivadas parciales
h
xxxfxxhxf
x
f nn
h
xx n
),...,,(),...,,(lim
2121
0
,...,12
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23
Calculando derivadas parciales
212
2
211
1
2
221
2
121
2
y 2
entonces ,),( If 1.
cxbxfx
f
bxaxfx
f
cxxbxaxxxfy
2121
21
2
2
1
1
21
y
entonces ,),( Si 2.
bxaxbxax
bxax
befx
faef
x
f
exxfy
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24
Calculando derivadas parciales
2
2
21
1
1
2121
y
entonces ,lnln),( Si 3.
x
bf
x
f
x
af
x
f
xbxaxxfy
![Page 25: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Derivadas parciales
• Las derivadas parciales son la expresión
matemática del supuesto ceteris paribus
– muestra cómo los cambios en una variable
afectan algunos resultados cuando otras
influencias se mantienen constantes
![Page 26: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Derivadas parciales
• Debemos tener en cuenta cómo están
medidas las variables
– Si q representa la cantidad de gasolina
demandada (medida en billones de litros) y p
representa el precio en dólares por litro,
entonces q/ p medirá el cambio en la demanda
(en billones de litros por año) para un cambio
en el precio de un dólar por litro
![Page 27: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Elasticidad
• Las elasticidades miden el efecto
proporcional del cambio en una variable
sobre otra
• La elasticidad de y con respecto a x es
y
x
x
y
y
x
x
y
x
x
y
y
exy ,
![Page 28: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Elasticidad y forma funcional
• Suponga que
y = a + bx + otros términos
• En este caso,
bxa
xb
y
xb
y
x
x
ye
xy ,
• ey,x no es constante
– es importante notar el punto en el cual la
elasticidad va a ser computada
![Page 29: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Elasticidad forma funcional
• Supongamos que
y = axb
• En este caso,
bax
xabx
y
x
x
ye
b
b
xy
1
,
![Page 30: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Elasticidad y forma funcional
• Supongamos que
ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
x
yb
y
x
x
ye
xyln
ln,
• Las elasticidades pueden calcularse a través
de la diferenciación logarítmica
![Page 31: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Derivada parcial de segundo-orden
• La derivada parcial de una derivada parcial
se denomina derivada parcial de segundo-
orden
ij
ijj
i fxx
f
x
xf2
)/(
![Page 32: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, no importa el
orden en el cual se realiza la diferenciación
parcial para evaluar las derivadas parciales
de segundo orden
jiijff
![Page 33: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Uso de las parciales de
segundo-orden
• Las parciales de segundo-orden juegan un papel
importante en muchas teorías económicas
• Una de las más importantes es la parcial de
segundo orden de la misma variable, fii
– muestra cómo la influencia marginal de xi sobre y
( y/ xi) cambia a medida que se incrementa xi
– un valor de fii < 0 indica rendimiento maginal
decreciente
![Page 34: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Diferencial total
• Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s varían en una pequeña
cantidad, el efecto total sobre y será
n
n
dxx
fdx
x
fdx
x
fdy ...
2
2
1
1
nndxfdxfdxfdy ...
2211
![Page 35: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Condición de primer orden para un máximo (o mínimo)
• Una condición necesaria para un máximo (o mínimo)
de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0 para
cualquier combinación de cambios pequeños en las x’s
• La única forma de que esto sea cierto es si
0...21 n
fff
• Un punto en el que esta condición se verifica se
denomina punto crítico
![Page 36: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Encontrar un máximo
• Supongamos que y es una función de x1 y x2
y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
y = - x12 + 2x1 - x2
2 + 4x2 + 5
• Condiciones de primer orden implican que
042
022
2
2
1
1
xx
y
xx
y
O2
1
2
1
*
*
x
x
![Page 37: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Frontera de posibilidades de producción
• Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225
• Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0
• Dado que fx = 4x y fy = 2y, la disyuntiva de coste
de oportunidad entre x e y es
y
x
y
x
f
f
dx
dy
y
x2
2
4
![Page 38: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Teorema de la función implícita
• No siempre será posible resulver funciones
implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones
explícitas de la forma y = f(x)
– los matemáticos han derivado las condiciones
necesarias
– en muchas aplicaciones económicas, estas
condiciones son las mismas que las condiciones de
segundo orden para un máximo (o mínimo)
![Page 39: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/39.jpg)
39
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente considera cómo el
valor óptimo de una función en particular
cambia cuando un parámetro de esa función
cambia
• La forma más simple de verlo es mediante un
ejemplo
![Page 40: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/40.jpg)
40
El teorema de la envolvente
• Supongamos que y es una función de x
y = -x2 + ax
• Para valores diferentes de a, esta función
representa una familia de parábolas invertidas
• Si a a asignamos un valor específico, entonces
y es una función de x solamente y el valor de x
que maximiza y puede calcularse
![Page 41: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/41.jpg)
41
El teorema de la envolvente
Valor de a Valor de x* Valor de y*
0 0 0
1 1/2 1/4
2 1 1
3 3/2 9/4
4 2 4
5 5/2 25/4
6 3 9
Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a
![Page 42: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/42.jpg)
42
El teorema de la envolvente
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7
a
y*
A medida que a aumenta,
el valor máximo de
for y (y*) se incrementa
La relación entre a
e y
es cuadrática
![Page 43: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/43.jpg)
43
El teorema de la envolvente
• Supongamos que estamos interesados en
cómo y* cambia a medida que a cambia
• Hay dos formas de hacer esto
– calculamos la pendiente de y directamente
– mantenemos x constante en su valor óptimo y
calculamos y/ a directamente
![Page 44: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/44.jpg)
44
El teorema de la envolvente
• Para calcular la pendiente de la función,
debemos resolver para el valor óptimo de x
para cualquier valor de a
dy/dx = -2x + a = 0
x* = a/2
• Sustituyendo, obtenemos
y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)
y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4
![Page 45: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/45.jpg)
45
El teorema de la envolvente
• Por lo tanto,
dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*
• Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el
teorema de la envolvente
– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser
computado manteniendo x en x* y calculando y/
a directamente de y
![Page 46: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/46.jpg)
46
El teorema de la envolvente
y/ a = x
• Manteniendo x = x*
y/ a = x* = a/2
• Es el mismo resultado obtenido anteriormente
![Page 47: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/47.jpg)
47
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente afirma que el cambio
en el valor óptimo de una función con respecto a un
parámetro de la función puede ser encontrado
diferenciando parcialmente la función objectivo
mientras se mantiene constante x (o varias x’s) en
este valor óptimo
)}(*{*
axxa
y
da
dy
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48
El teorema de la envolvente• El teorema de la envolvente puede extenderse al
caso donde y es una función de varias variables
y = f(x1,…xn,a)
• Encontrar un valor óptimo para y consistiría en
resolver n ecuaciones de primer orden
y/ xi = 0 (i = 1,…,n)
![Page 49: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/49.jpg)
49
El teorema de la envolvente
• Valores óptimos para estas x’s se determinarían
como una función de a
x1* = x1*(a)
x2* = x2*(a)
xn*= xn*(a)
.
.
.
![Page 50: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/50.jpg)
50
El teorema de la envolvente
• Sustituyendo en la función objectivo original
resulta en una expresión para el valor óptimo de
y (y*)
y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]
• Diferenciando resulta
a
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dyn
n
...*
2
2
1
1
![Page 51: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/51.jpg)
51
El teorema de la envolvente
• Debido a las condiciones de primer orden, todos
los términos excepto f/ a son iguales a cero si
las x’s están en sus valores óptimos
• Por lo tanto,
)}(*{*
axxa
f
da
dy
![Page 52: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Maximización restringida
• ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de
las x’s?
– puede ser que todos los valores de x tengan que ser
positivos
– las elecciones de los consumidores están limitadas por la
cantidad de poder adquisitivo disponible
• Un método para resolver problemas de
maximización restringidas es el método del
multiplicador Lagrangiano
![Page 53: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Método del multiplicador
Lagrangiano• Supongamos que queremos encontrar los
valores de x1, x2,…, xn que maximizan
y = f(x1, x2,…, xn)
sujeta a una restricción que permite utilizar
sólo ciertos valores de las x’s
g(x1, x2,…, xn) = 0
![Page 54: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Método del multiplicador
Lagrangiano• El método del multiplicador Lagrangiano
comienza con la siguiente expresión
L = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)
donde es una variable adicional
denominada multiplicador de Lagrange
• Cuando la restricción se mantiene, L = f
porque g(x1, x2,…, xn) = 0
![Page 55: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Método del multiplicador
Lagrangiano• Condiciones de primer orden
L/ x1 = f1 + g1 = 0
L/ x2 = f2 + g2 = 0
.
L/ xn = fn + gn = 0
.
.
L/ = g(x1, x2,…, xn) = 0
![Page 56: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Método del multiplicador
Lagrangiano• Generalmente las condiciones de primer
orden pueden resolverse para x1, x2,…, xn y
• La solución tendrá dos propiedades:
– las x’s cumplirán con la restricción
– estas x’s harán del valor de L (y por lo tanto de
f) tan grande como sea posible
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57
Método del multiplicador
Lagrangiano• El multiplicador Lagrangiano ( ) tiene una
importante interpretación económica
• Las condiciones de primer orden implican que
f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn =
– los numeradores miden el beneficio marginal que una
unidad más de xi tendrán para la función f
– los denominadores reflejan la carga agregada sobre la
restricción de utilizar más xi
![Page 58: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Método del multiplicador
Lagrangiano• En las elecciones óptimas para las x’s, el ratio del
beneficio marginal de incrementar xi y el coste
marginal de incrementar xi sería el mismo para cada
x
• es el ratio común de coste-beneficio para todas
las x’s
i
i
x
x
de marginal coste
de marginal beneficio
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59
Método del multiplicador
Lagrangiano
• Si se relajase la restricción en una pequeña
cantidad, no importaría que x está cambiando
• El multiplicador Lagrangiano provee una
medida de cómo la relajación dela restricción
afectaría el valor de y
• provee un “precio sombra” para la
restricción
![Page 60: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Método del multiplicador
Lagrangiano• Un valor alto de indica que y puede
incrementarse sustancialmente relajando la
restricción
– cada x tiene un alto ratio coste-benecio
• Un valor bajo de indica que no hay mucho
que ganar al relajar la restricción
• =0 implica que la restricción no es
vinculante (cambiando la restricción no
cambia la solución óptima)
![Page 61: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Dualidad
• Cualquier problema de maximización
restringida está vinculado con un problema
dual de minimización restringida que enfoca
la atención sobre las restricciones del
problema original
![Page 62: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Dualidad• Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una
restricción presupuestaria
– problema dual: los individuos minimizan el gasto
necesario para lograr un nivel dado de utilidad
• Las firmas minimizan el coste de los insunmos para
producir un nivel dado de producto
– problema dual: las firmas maximizan el producto para
costes de insumos adquiridos
![Page 63: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Maximización restringida• Supongamos que un agricultor tiene cierta
extensión de valla (P) y desea encerrar la forma
rectangular más grande posible
• Denotemos x como la extensión de un lado
• Denotemos y como la extensión del otro lado
• Problema: escoger x e y tal que se maximiza el
área (A = x·y) sujeta a la restricción de que el
perímetro es fijo en P = 2x + 2y
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64
Maximización restringida
• Configurando el multiplicador Lagrangiano
L = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las condiciones de primer orden para un
máximo son
L/ x = y - 2 = 0
L/ y = x - 2 = 0
L/ = P - 2x - 2y = 0
![Page 65: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Maximización restringida• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y
– el campo sería cuadrado
– x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios
marginales y costes marginales serían iguales
• Dado que x = y e y = 2 , podemos utilizar la
restricción para mostrar que
x = y = P/4
= P/8
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66
Maximización restringida• Interpretación del multiplicador de Lagrange
– si el agricultor estuviese interesado en conocer qué
campo adicional puede tener valla agregando un
metro adicional de valla, sugiere que puede
saberlo dividiendo el perímetro presente (P) por 8
– por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee
información acerca del valor implícito de la
restricción
![Page 67: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Maximización restringida
• Problema dual: escoger x e y para minimizar la
cantidad de valla requirida para rodear el
campo
minimizar P = 2x + 2y sujeta a A = x·y
• Configurando el Lagrangiano:
LD = 2x + 2y + D(A - x y)
![Page 68: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Maximización restringida
• Conditiones de primer orden:
LD/ x = 2 - D·y = 0
LD/ y = 2 - D·x = 0
LD/ D = A - x·y = 0
• Resolviendo, tenemos
x = y = A1/2
• El multiplicador Lagrangiano ( D) = 2A-1/2
![Page 69: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Teorema de la envolvente &
maximización restringida• Supongamos que queremos maximizar
y = f(x1,…,xn;a)
sujeta a la restricción
g(x1,…,xn;a) = 0
• Una forma de resolver sería fijando la
expresión para el Lagrangiano y resolver las
condiciones de primer orden
![Page 70: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Teorema de la envolvente &
Maximización restringida
• Alternativamente, puede demostrarse que
dy*/da = L/ a(x1*,…,xn*;a)
• El cambio en el valor máximo de y que resulta
cuando a cambia puede encontrarse
diferenciando parcialmente L y evaluando la
derivada parcial en el punto óptimo
![Page 71: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Restricciones con desigualdad
• En algunos problemas económicos no necesitamos
que las restricciones se cumplan exactamente
• Por ejemplo, supongamos que buscamos
maximizar y = f(x1,x2) sujeta a
g(x1,x2) 0,
x1 0, and
x2 0
![Page 72: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Restricciones con desigualdad
• Una forma de resolver este problema es
introduciendo tres nuevas variables (a, b, y
c) que convierte las desigualdades en
igualdades
• Para asegurar que se cumplen las
desigualdades, elevamos al cuadrado estas
nuevas variables para asegurar que sus
valores son positivos
![Page 73: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Restricciones con desigualdad
g(x1,x2) - a2 = 0;
x1 - b2 = 0; and
x2 - c2 = 0
• Cualquier solución que obedece estas tres
restricciones de igualdad también cumplirán
con las restricciones de desigualdad
![Page 74: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Restricciones de desigualdad
• Podemos establecer el siguente Lagrangiano
L = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] + 3[x2 -
c2]
• Con lo cual obtendremos ocho condiciones
de primer orden
![Page 75: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Restricciones de desigualdad
L/ x1 = f1 + 1g1 + 2 = 0
L/ x2 = f1 + 1g2 + 3 = 0
L/ a = -2a 1 = 0
L/ b = -2b 2 = 0
L/ c = -2c 3 = 0
L/ 1 = g(x1,x2) - a2 = 0
L/ 2 = x1 - b2 = 0
L/ 3 = x2 - c2 = 0
![Page 76: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Restricciones de desigualdad
• De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o 1
= 0
– si a = 0, la restricción g(x1,x2) se cumple exactamente
– si 1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la
restricción implica que su valor para la función objetivo
es 0
• Similares relaciones de complementariedad de
holguras (formadas por el conjunto de las
restricciones de menor o igual multiplicadas por
su correspondiente ) también se cumplen para x1
y x2
![Page 77: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Restricciones de desigualdad
• A estos resultados se los conoce como las
condiciones de Kuhn-Tucker– muestran que las soluciones para problemas de
optimización que involucran a restricciones con
desigualdades diferirán de problemas similares que
involucran restricciones con igualdades
– no podemos equivocarnos trabajando principalmente
con restricciones con igualdades, hay que considerar las
desigualdades
![Page 78: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Condiciones de segundo orden –funciones de una variable
• Denotemos y = f(x)
• Una condición necesaria para un máximo es
que
dy/dx = f ’(x) = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y
debe ser decreciente para los movimientos
fuera de él
![Page 79: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Condiciones de segundo orden-funciones de una variable
• La diferencial total mide el cambio en y
dy = f ’(x) dx
• Para estar en un máximo, dy debe ser
decreciente para incrementos pequeños en x
• Para ver los cambios en dy, debemos utilizar la
segunda derivada de y
![Page 80: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Condiciones de segundo orden –funciones de una variable
• Notemos que d 2y < 0 implica que f ’’(x)dx2 <
0
• Dado que dx2 debe ser positivo, f ’’(x) < 0
• Esto significa que la función f debe tener una
forma cócava en el punto crítico
22)(")("
])('[dxxfdxdxxfdx
dx
dxxfdyd
![Page 81: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/81.jpg)
81
Condiciones de segundo orden –funciones de dos variables
• Supongamos que y = f(x1, x2)
• Las condiciones de primer orden para un máximo
son
y/ x1 = f1 = 0
y/ x2 = f2 = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe
disminuir para movimientos en cualquier
dirección fuera del punto crítico
![Page 82: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Condiciones de segundo orden –funciones de dos variables
• La pendiente en la dirección x1 (f1) debe ser
decreciente en el punto crítico
• La pendiente en la dirección x2 (f2) debe ser
decreciente en el punto crítico
• Pero, se deben establecer condiciones sobre las
derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) para
asegurar que dy es decreciente para todos los
movimientos a través del punto crítico
![Page 83: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Condiciones de segundo orden –funciones de dos variables
• La diferencial total de y está dado por
dy = f1 dx1 + f2 dx2
• La diferencial de esta función es
d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2
d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2
2
• Por el teorema de Young, f12 = f21 y
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
![Page 84: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/84.jpg)
84
Condiciones de segundo orden-funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
• Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa
para cualquier cambio en las x’s, f11 y f22 deben ser
negativas
• Si dx2 = 0, entonces d 2y = f11 dx12
– para d 2y < 0, f11 < 0
• Si dx1 = 0, entonces d 2y = f22 dx22
– para d 2y < 0, f22 < 0
![Page 85: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/85.jpg)
85
Condiciones de segundo orden –funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
• Si ni dx1 o dx2 son cero, entonces d 2y será sin
ambigüedad negativo sólo si
f11 f22 - f122 > 0
– las derivadas parciales de segundo orden (f11 y f22)
deben ser suficientemente negativas tal que compensan
cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas
parciales cruzadas (f12 = f21)
![Page 86: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/86.jpg)
86
Maximización restringida
• Supongamos que queremos escoger x1 y x2
para maximizar
y = f(x1, x2)
• Sujeta a la restricción linear
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Podemos establecer el Lagrangiano
L = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)
![Page 87: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/87.jpg)
87
Maximización restringida
• Las condiciones de primer orden son
f1 - b1 = 0
f2 - b2 = 0
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Para asegurar que tenemos un máximo,
debemos usar la diferencial total de “segundo”
orden
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
![Page 88: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/88.jpg)
88
Maximización restringida• Sólo los valores de x1 y x2 que satisfacen la
restricción pueden ser consideradas como
alternativas válidas para el punto crítico
• Por ello, debemos calcular la diferencial total de la
restricción
-b1 dx1 - b2 dx2 = 0
dx2 = -(b1/b2)dx1
• Estos son los cambios relativos permitidos en x1 y x2
![Page 89: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/89.jpg)
89
Maximización restringida
• Debido a las condiciones de primer orden que
implican que f1/f2 = b1/b2, podemos sustituir y
obtener
dx2 = -(f1/f2) dx1
• Dado
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
podemos sustituir dx2 y tenemos
d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1
2 + f22(f12/f2
2)dx12
![Page 90: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/90.jpg)
90
Maximización restringida• Combinando términos y reordenando
d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f1
2 [dx12/ f2
2]
• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser cierto que
f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f1
2 < 0
• Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones
denominadas funciones cuasi-cóncavas
– cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar
una línea introducida completamente en el conjunto
![Page 91: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/91.jpg)
91
Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas
• Las diferencias entre las funciones cóncavas
y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la
función
y = f(x1,x2) = (x1 x2)k
donde las x’s pueden tomar solamente
valores positivos y k puede tomar una
variedad de valores positivos
![Page 92: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/92.jpg)
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Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas
• No importa que valores toma k, esta función
es cuasi-cóncava
• Si la función es cóncava o no depende del
valor de k
– si k < 0.5, la función es cóncava
– si k > 0.5, la función es convexa
![Page 93: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/93.jpg)
93
Funciones homogéneas
• Una función f(x1,x2,…xn) es homogénea de
grado k si
f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)
– cuando una función es homogénea de grado uno,
duplicando todos los argumentos duplica el valor
de la función
– cuando una función es homogéna de grado cero,
duplicando todos los argumentos deja la función
sin cambios
![Page 94: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/94.jpg)
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Funciones homogéneas
• Si una función es homogénea de grado k, las
derivadas parciales de la función será
homogénea de grado k-1
![Page 95: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/95.jpg)
95
Teorema de Euler
• Si diferenciamos la definición de
homogeneidad con respecto a la
proporcionalidad del factor t, obtenemos
ktk-1f(x1,…,xn) x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)
• Esta relación se denomina teorema de Euler
![Page 96: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/96.jpg)
96
Teorema de Euler
• El teorema de Euler muestra que, para
funciones homogéneas, hay una relación
definida entre los valores de la función y
los valores de sus derivadas parciales
![Page 97: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/97.jpg)
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Funciones homotéticas
• Una función homotética es una que se
forma tomando una transformación
monotónica de una función homogénea
– no tienen las propiedades de homogeneidad de
sus funciones subyacentes
![Page 98: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/98.jpg)
98
Funciones homotéticas
• Tanto para funciones homogéneas como
para las homotéticas, las disyuntivas
implícitas entre las variables en la función
dependen solamente de los ratios de
aquellas variables, no de sus valores
absolutos
![Page 99: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/99.jpg)
99
Funciones homotéticas
• Supongamos que examinamos la función implícita
de dos variables f(x,y) = 0
• La disyuntiva implícita entre x e y para una
función de dos variables
dy/dx = -fx/fy
• Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus
derivadas parciales serán homogéneas de grado k-
1
![Page 100: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/100.jpg)
100
Funciones homotéticas
• La disyuntiva implícita entre x e y es
),(
),(
),(
),(1
1
tytxf
tytxf
tytxft
tytxft
dx
dy
y
x
y
k
x
k
• Si t = 1/y,
1,
1,
1,'
1,'
y
xf
y
xf
y
xfF
y
xfF
dx
dy
y
x
y
x
![Page 101: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/101.jpg)
101
Funciones homotéticas
• La disyuntiva no está afectada por la
transformación monotónica y permanece
una función solamente del ratio x e y
![Page 102: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/102.jpg)
102
Puntos importantes a
considerar:• Utilizando matemáticas tenemos una
forma conveniente para que los
economistas desarrollen sus modelos
– las implicaciones de varios supuestos
económicos pueden estudiarse a través de
herramientas matemáticas
![Page 103: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/103.jpg)
103
Puntos importantes a
considerar:• Las derivadas se usan a menudo en
economía porque los economistas están
interesados en cómo los cambios marginales
en una variable afectan a otras
– las derivadas parciales incorporan el supuesto
ceteris paribus utilizando en muchos modelos
económicos
![Page 104: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/104.jpg)
104
Puntos importantes a
considerar:• Las matemáticas para optimización es
una herramienta importante para el
desarrollo de modelos que asumen que
los agentes económicos racionalmente
persiguen algunas metas
– las condiciones de primer orden requieren
todas las derivadas parciales sean cero
![Page 105: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/105.jpg)
105
Puntos importantes a
considerar:• La mayoría de los problemas de
optimización económica involucran
restricciones en las elecciones que los
agentes pueden realizar
– las condiciones de primer orden para un
máximo sugieren que cada actividad puede
operar a un nivel en el cual el beneficio
marginal de la actividad es igual a su coste
marginal
![Page 106: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/106.jpg)
106
Puntos importantes a
considerar:
• El multiplicador Lagrangiano se emplea
para ayudar a resolver problemas de
maximization
– el multiplicador Lagrangiano puede ser
interpretado como el valor implícito (precio
sombra) de la restricción
![Page 107: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/107.jpg)
107
Puntos importantes a
considerar:
• El teorema de la función implícita ilustra
la dependencia de las elecciones que
resultan de un problema de optimización
sobre los parámetros del problema
![Page 108: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/108.jpg)
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Puntos importantes a
considerar:
• El teorema de la envolvente examina
cómo las elecciones óptimas cambiarán
a medida que cambia el parámetro del
problema
• Algunos problemas de optimización
pueden involucrar restricciones que son
desigualdades antes que igualdades
![Page 109: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/109.jpg)
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Puntos importantes a
considerar:
• Condiciones de primer orden son
necesarias pero no suficientes para
asegurar un máximo o un mínimo
– las condiciones de segundo orden que
describen la curvatura de una función deben
revisarse
![Page 110: Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022082218/55ada3581a28ab370c8b4609/html5/thumbnails/110.jpg)
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Puntos importantes a
considerar:• Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos
problemas económicos
– funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones
de segundo orden de problemas de máximo o
mínimo restringido donde las restricciones son
lineales
– las funciones homotéticas tienen la propiedad de
que las disyuntivas implícitas entre las variables
dependen solamente de los ratios de estas variables